弹簧振子的低阻尼振动

弹簧振子的低阻尼振动

力学实验最困难的问题就是摩擦力对测量的影响。气垫导轨就是为消除摩擦而设计的力学实验的装置，它使物体在气垫上运动，避免物体与导轨表面的直接接触，从而消除运动物体与导轨表的摩擦。利用气垫导轨可以进行许多力学实验，如测加速度，验证牛顿第二定律，研究简谐振动等。 一、实验前应弄清楚的问题

1、查阅有关气垫导轨及光电门计时系统的资料，了解气垫导轨的水平调节以及操作注意事项，理解光电计时系统的工作原理。 2、存储式数字毫秒计具有哪些基本功能？

3、弹簧振子在低阻尼状态下的振动为什么可以看作简谐振动？ 4、你打算怎样测定轻质弹簧的劲度系数? 理论依据是什么 5、你打算怎样测定弹簧振子的振动周期？拟采用什么方法处理数据？ 6、如何建立弹簧振子的振动周期与质量以及振幅随时间变化的实验公式？ 7、如何测量上述第6两种情形中弹簧振子经过中间平衡位置时的最大速度？ 8、实验中如何判定气垫导轨是否调水平了？

9、熟悉实验仪器的使用方法，实验操作时应该注意哪些方面? 二、实验室可提供的主要器材

气垫导轨、滑块、砝码、弹簧两根、光电计时系统、电子天平. 三、实验内容

1、设计实验测量给定轻质弹簧的劲度系数，表格自拟。

2、设计实验方案研究弹簧振子振动周期T与质量m的关系及弹簧振子经过中间平衡位置时的对应最大速度V，表格自拟。

3、设计实验方案研究弹簧振子振动周期T与初始振幅的关系及弹簧振子经过中间平衡位置时的对应最大速度V，表格自拟。

四、数据处理要求

1、根据实验数据用作图法绘出V 2—A2图，T2—m图，并求出弹簧振子的最大动能，并计算实验值和理论值的相对误差，分析误差来源。

2、根据实验结果，给出关于弹簧振子的振动周期与质量之间定性结论及振幅的改变对周期的影响。

五、实验报告的要求

1．报告实验的研究意义。2．介绍实验的原理，测量方案和实验步骤。 3．数据处理过程清楚，正确表达测量结果。4．总结实验结论和心得体会。 六、思考与讨论： 1、本实验的弹簧倔强系数

，若

、

相差较大，对本实验有何影响？

2、本实验中若气轨没有被调节水平，对测量结果有何影响？ 3、若考虑弹簧的质量，则弹簧振子的周期

（其中

为弹簧的有效质

量，为系统的倔强系数）。试问：通过本实验能否测出弹簧的有效质量和系统的倔强系数？如何测量？

力学实验遇到的最大难题是运动体与支承面的直接接触产生的摩擦力，它严重地限制了力学实验的准确度，为了避免运动物体与支承面的直接接触，人们使它们之间产生一层薄薄的空气膜（气垫导轨的气垫厚度为10~200μm），这就是气垫技术（用气体把运动物体“垫”起来）。其最大特点就是低摩擦。这一技术在实际中已得到广泛应用。如气垫船、气垫轴承等。

在力学实验中，它可用于平均速度、瞬时速度、加速度、力的测定，还可用于验证牛顿定律、动量守恒、机械能守恒以及弹簧振子的振动、阻尼系数、磁力能的测定等。

1．低阻尼状态的弹簧振子

如图1所示，将质量为m的滑块两头各接一质量可忽略的弹簧，让它偏离平衡位置后释放，它将来回振动，构成一个弹簧振子。滑块在气轨上振动时，与气轨之间的摩擦力可忽略，但受到空气阻力和粘滞力的作用，振幅将逐渐减小。由于阻力很小，可认为弹簧振子处在低阻尼状态，振动周期与无阻尼时的振动周期相同。

2．建立简谐振动弹簧振子的周期与质量的关系式

要建立简谐振动弹簧振子的周期与质量的关系式T?f(M)，只需测量出在不同质量下弹簧振子的周期即可。

4??2 T?M?k

23．建立低阻尼情况下弹簧振子的振幅随时间的变化关系式

要建立低阻尼状态下弹簧振子的振幅A随时间t的变化关系A?f(t)，需要测量出不同时间下弹簧振子的振幅。但振幅和时间不易在气轨上采用简单的方式直接测量，可以采用的测量方法如下。

（1）采用振动周期的个数确定低阻尼弹簧振子的振动时间，t?nT。

112（2）根据滑块通过平衡位置的最大速度确定低阻尼弹簧振子的振幅，mVmax?kA。

22（3）测量最大速率Vmax??x?t，?x即为双遮光片通过光电门时两次遮光所经过的距离，

?t是通过光电门所用的时间。

由此可知，测量振幅随时间的变化关系A?f(t)，只有测量出Δt与t（t=nT）的关系即可。

〔实验装置及仪器〕

1．实验装置及仪器简介

实验装置如图1所示，主要包括气垫导轨、滑块、砝码、弹簧、光电计时系统等。气轨是在能作相对运动的物体之间充一层薄薄的空气层，让运动物体悬在空气层上，消除接触摩擦，使运动近似为无摩擦运动的一种装置。气垫导轨的整体结构主要有四部分组成：导轨、滑块、供气装置和光电计时系统。

1 1 2 3 4 5 6 图1 低阻尼下弹簧振子的振动研究实验装置

图中：①为导轨，上面有气孔、标尺，两端有碰簧；②为弹簧；③为滑块，由遮光片、碰簧组

成；④为光电门，由光源、光敏二极管组成；⑤为光电计时器；⑥为标尺。

2．气垫导轨的调节

（1）粗调。把滑块放在气轨中央静止释放，观察滑块是否停在原处不动。若总往一处滑动，则气轨倾斜，应调节单底角螺丝。顺时针旋转升高，逆时针旋转降低。

（2）细调。理论上要求做到向左的加速度等于向右的加速度，则气轨完全水平。实验中采用如下方法，轻推滑块，使其经过两个光电门做来回运动，按先后次序记下滑块往返一次经过两个光电门的时间?t1、?t2、?t3和?t4。由于空气阻力和粘滞阻力的作用，滑块经过第一个光电门的速度要比经过第二个的要大一些。如果?t2－?t1和?t4－?t3的均差值大于0，且基本相等，则可保证向左和向右的加速度同数量级，气垫导轨可近似视为水平。

〔实验内容〕

1．调节气轨水平及光电计时系统正常工作。

2．测量弹簧振子质量m与振动周期T的关系，建立周期与质量之间关系的经验公式。 滑块依次增加50g质量，使用单挡光片，分别测量振动周期。

3．测量低阻尼下弹簧振子Δt与nT的关系，建立振幅随时间变化的经验公式。

滑块不增加质量，使用双遮光片，光电门置于平衡位置处，使滑初始幅为30cm，待滑块运行平稳后，每隔10个周期测一次Δt，测出n=10，20，30，40，50，60，70时对应的Δt，建立时间与振幅的关系。

〔实验注意事项〕

1．气轨是较精密仪器，实验中必须避免导轨受碰撞、摩擦而变形、损伤，没有给气轨通气时，不准在导轨上放置和强行推动滑块。

2．实验时必须调整气轨水平。

3．实验中不能用手按着滑块在气轨上滑动。

4．连接滑块和弹簧时，不能过度拉伸弹簧，以免损坏。

5． 注意调节光电门位置，必须使双遮光片在平衡位置遮光。

〔数据记录及处理〕

1．建立简谐振动弹簧振子的周期与质量的关系式

（1）T与M之间关系的测量数据

表1 T与M关系的测量数据表 质量/M 10T /s T /s T2/s2

（2）T与M之间关系曲线

2.52.42.32.22.12.01.91.81.71.61.50.200.250.30241.62 16.6938 1.66938 2.7868296 291.62 18.2899 1.82899 3.3452044 341.62 19.8249 1.98249 3.9302666 391.62 21.1216 2.11216 4.4612199 441.62 22.4759 2.24759 5.0516608 491.62 23.6868 2.36868 5.6106449 周期T/s实验曲线乘幂 (实验曲线)0.350.40质量M/kg0.450.500.55

图1 T与M之间关系的实验曲线和拟合曲线

拟合公式为：T= 3.3596M0.4927≈3.3596M1/2，相关系数R2 = 0.9999。

6.05.55.0实验曲线线性 (实验曲线)周期平方T2/s24.54.03.53.02.52.00.200.252

0.300.350.40质量M/kg0.450.50

图2 T与M之间关系的实验曲线和拟合曲线

拟合公式为：T2 = 11.297M + 0.056005≈11.297M，T=3.3611M1/2，相关系数R2 = 0.9999。 因此，简谐振动弹簧振子周期与质量的关系式为：T=3.360M1/2，与理论关系式T?2?符，比较可得2π/k1/2=3.360，所以k=3.497（N/m）。

M相k2．建立低阻尼情况下弹簧振子的振幅随时间的变化关系式

（1）周期数n与△t之间关系的测量数据

表1 n与Δt关系的测量数据表 周期数n △t/ms 10 12.63 20 17.42 30 23.45

40 30.86 50 39.96 60 51.19 70 64.22 70605040实验曲线指数 (实验曲线)Δt/ms302010051015202530354045505560657075周期数n

M?x?kA由上述曲线形状可以判断，该曲线的函数形式为指数形式，拟合公式： ?t?10.112e0.2703n，相关系数

R2

=0.9967。根据

tt?nT和

tA?M?x???t?k?t可得

?t?0.2703M?xT?A???10.112ekA?0.2703M?xT ?ek10.112?t?0.2703M?xT(ms)?A??10.112ekAt?0.2703M?xT(SI) ?103ek10.112t将M=0.24162kg，k=3.497N/m，Δx=9.945×10-3m，T=1.66938s代入上述表达式，可以求得弹簧振子的振幅随时间的变化关系式为：

T?2?M?kMT1.66938???0.26569(s),A0?k2?2?M?x9.945?0.26569??0.2613(m) k10.11210.112tTA?A0e?0.2703tT(SI)，A?0.2613e?0.2703?0.2613e?0.1619t(m)

〔思考题〕

1．测量弹簧振子的周期Ｔ时，光电毫秒计如何操作？（请看实验5-8附录5-3气垫导轨及计

时系统使用说明，教科书147页）

2．在测量不同质量的振子周期过程中，共测量6次。先测量只有滑块的振子的周期，依次给滑块振子增加50g的铁块，到250g为止。依次测得周期分别为T1、T2、T3、T4、T5、T6。请你采用逐差法，求出振子周期同质量关系式T2=Cm中比例系数C。

3．以振子周期平方T2为纵坐标，振子质量m为横坐标，作出T2=Cm的关系曲线，求出直线的斜率，即为T2=Cm中的C，这种处理数据的方法叫什么方法？

4．在测量T2=Cm中的常数C时，有人说只要称出振子的质量m，再测量出周期T，由C=T2/m即可求出C，这样存在何种误差？这种误差由什么引起？如何克服？

5．已知振子的质量m0，通过上面的测量，如何求出弹簧的等效质量？

6．在测量弹簧振子的阻尼系数即式An?A0e??nT中的α时，如果开始测得振子通过平衡位置时走了Δx的距离是t0，在经过10个周期、20个周期、30个周期、40个周期和50个周期依次测得相应的时间为t1、t2、t3、t4、t5，利用逐差法，写出求阻尼系数α的公式。

7．利用测得振子周期T以及测得振子开始经过平衡位置通过Δx距离所用时间Δt，写出求初始振幅A0的公式。

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