圆锥曲线 中点弦2

关于圆锥曲线的中点弦问题

直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型：

（1）求中点弦所在直线方程问题； （2）求弦中点的轨迹方程问题； （3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。 一、求中点弦所在直线方程问题

x2y2

1内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程。 例1 过椭圆

164

解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：

(4k2 1)x2 8(2k2 k)x 4(2k 1)2 16 0

又设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)，B（x2,y2），则x1,x2是方程的两个根，于是

xx8(2k2 k)1 2 4k2

1

， x2 又M为AB的中点，所以

1 x24(2k2 k)

4k2 1

2， 解得k 1

2

，

故所求直线方程为x 2y 4 0。

解法二：设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)，B（x2,y2），M（2，1）为AB的中点， 所以x1 x2 4，y1 y2 2，

又A、B两点在椭圆上，则x2

1 4y2

2

2

1 16，x2 4y2 16， 两式相减得(x2

2

1 x2) 4(y2

2

1 y2) 0，

所以

y1 y2x x1 x2 1

，即k1AB 1 x24(y1 y2)2

2，

故所求直线方程为x 2y 4 0。

解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y)，由于中点为M（2，1）， 则另一个交点为B(4-x,2 y)，

因为A、B两点在椭圆上，所以有 x2 4y2 164 x) 4(2 y) 16

， (22

两式相减得x 2y 4 0，

由于过A、B的直线只有一条，

故所求直线方程为x 2y 4 0。

二、求弦中点的轨迹方程问题

例2 过椭圆

x264 y2

36

1上一点P（-8，0）作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程。 解法一：设弦PQ中点M（x,y），弦端点P（x1,y1），Q（x2,y2），

则有 9x21 16y21 576，两式相减得9(x2222

9x216y2

1 x2) 16(y1 y2) 0， 2 2 576

又因为x1 x2 2x，y1 y2 2y，所以9 2x(x1 x2) 16 2y(y1 y2) 0， 所以

y1 y2x

9x，而ky 0

9xyPQ 1 x216y

x ( 8)，故16y x 8。 化简可得9x2

72x 16y2

0 （x 8）。 解法二：设弦中点M（x,y），Q（x 81,y1），由x

x12

，y y

12可得x1 2x 8，y1 2y，

2

2

又因为Q在椭圆上，所以x1y14(x 4)2464 36 1，即

64 y236 1， 所以PQ中点M的轨迹方程为

(x 4)2y2

16 9

1 （x 8）。 三、弦中点的坐标问题

例3 求直线y x 1被抛物线y2

4x截得线段的中点坐标。

解：解法一：设直线y x 1与抛物线y2

4x交于A(x1,y1)， B(x2,y2)，其中点P(x0,y0)，

由题意得 y x 1消去y得(x y 4x

1)2 4x，即x2

2， 6x 1 0，

所以xx1 x2

0

2

3，y0 x0 1 2，即中点坐标为(3,2)。 解法二：设直线y x 1与抛物线y2

4x交于A(x1,y1)， B(x2,y2)，其中点P(x0,y0)，

由题意得 y21 4x1(y y1)(y2 y y2

4xy22

1)2，两式相减得2 y1 4(x2 x1)，所以22x 42 x，1 所以y1 y2 4，即y0 2，x0 y0 1 3，即中点坐标为(3,2)。

上面我们给出了解决直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题的一些基本解法。下面我们看一个结论

22Ax Cy Dx Ey F 0上的两点，P(x0,y0)为弦AB的中点， 引理 设A、B是二次曲线C：

kAB

则

2Ax0 D

(2Cy0 E 0)

2Cy0 E。

22

(x,y)(x,y)Ax Cy Dx1 Ey1 F 0……（1） 112211 设A、B则

22Ax Cy2 Dx2 Ey2 F 0 ……（2） 2

(1) (2)得A(x1 x2)(x1 x2) C(y1 y2)(y1 y2) D(x1 x2) E(y1 y2) 0

∴ ∴

2Ax0(x1 x2) 2Cy0(y1 y2) D(x1 x2) E(y1 y2) 0 (2Ax0 D)(x1 x2) (2Cy0 E)(y1 y2) 0

2Ax0 D2Ax0 Dy1 y2

kAB

2Cy0 E 0∴x1 x2 ∴x1 x22Cy0 E。 2Cy0 E即 ∵

B时，上面的结论就是过二次曲线C上的点P(x0,y0)的切线斜率公式，即（说明：当A

2Ax0 Dk

2Cy0 E）

22x y Dx Ey F 0的弦AB的中点为 推论1 设圆

2x D2x D

kAB 0k 0

2y0 E。2y0 E则（假设点P在圆上时，则过点P的切线斜

P

(x0,y0)（y0 0)，

率为）

b2x0x2y2

kAB 2 2 12(x,y)y 0)，则ay0。 b推论2 设椭圆a的弦AB的中点为P00（0

b2x0

k 2

ay0） （注：对a≤b也成立。假设点P在椭圆上，则过点P的切线斜率为

b2x0x2y2

kAB 2 2 12(x,y)y 0)ay0。 b推论3 设双曲线a的弦AB的中点为P00（0则

b2x0k 2

ay0） （假设点P在双曲线上，则过P点的切线斜率为

pk AB2

(x,y)y 0)y0。 y 2px推论4 设抛物线的弦AB的中点为P00（0则

k

（假设点P在抛物线上，则过点P的切线斜率为

我们可以直接应用上面这些结论解决有关问题，下面举例说明。

p)y0

x2y2

1

例1、求椭圆2516斜率为3的弦的中点轨迹方程。

16x3

25y， 解：设P（x，y）是所求轨迹上的任一点，则有

(

故所示的轨迹方程为16x+75y=0

7575 x )241241

x2y2

2 1(a b 0),2(x,0)，ab例2、已知椭圆A、B是椭圆上两点，线段AB的垂直平分线l与x轴相交于P0a2 b2a2 b2

x0

aa。 求证：

证明：设AB的中点为T(x1,y1)，由题设可知AB与x轴不垂直，∴y1 0，

b2x1a2y1kAB 2 kl 2

aybx1 1 ∵l⊥AB ∴ ∴

a2y1a2y1

y y1 2 (x x1)0 y1 2 (x0 x1)

bx1bx1

∴l的方程为： 令y=0 得

a2a2

x1 22 x0|22 x0| a

|x| aa b ∴ ∵1 ∴a b

a2 b2a2 b2 x0

aa ∴

例3、已知抛物线C：y x，直线l:y k(x 1) 1,要使抛物线C上存在关于l对称的两点，k的取值范围

是什么？

解：设C上两点A、B两点关于l对称，AB的中点为P

2

(x0,y0)（y0 0)

kAB

∴

1p11 y0 ky0y0k ∴2∵P∈l∴y0 k(x0 1) 1,

111111k k(x0 1) 1,x0 P( , k)

2k ∴2k2 ∴2 ∴

1211k3 2k 4k 0,42k4k ∵P在抛物线内 ，∴ ∴

(k 2)(k2 2k 2) 0,

4k ∴ ∴ 2 k 0.

与抛物线有关的弦的中点的问题

（1）中点弦问题：

（上题麻烦了。是圆不用中点法）

例1 由点( 2,0)向抛物线y2 4x引弦，求弦的中点的轨迹方程。

分析：解决问题的关键是找到弦的端点A、B在直线上的性质和在抛物线上的性质的内在联系。解法1：利用点差法。

设端点为A(x2

2

1,y1)，B(x2,y2)，则y1 4x1，y2 4x2， 两式相减得y2

2

2 y1 4(x2 x1)， ① ①式两边同时除以x2 x1，得(yy2 y1

2 y1)

x 4， ②

2 x1

设弦的中点坐标为(x,y)，则x1 x2 2x，y1 y2 2y， ③ 又点(x,y)和点( 2,0)在直线AB上，所以有

y

y y1x 2 2

x。 ④ 2 x1

将③、④代入②得2y

y

x 2

4， 整理得y2 2(x 2)。 故得中点的轨迹方程是y2

2(x 2)在抛物线y2

4x内部的部分。

解法2：设弦AB所在直线的方程为y k(x 2)，

y k(x 2)

由方程组 2

y 4x

(1)(2)

消去x并整理得ky2 4y 8k 0， （3）

设A(x1,y1)、B(x2,y2)、中点(x,y)，对于方程（3），由根与系数的关系，有y1 y2 ∴y

4

， k

y1 y22

代入（1）得y2 2(x 2) 2k

故得所求弦中点的轨迹方程是y2 2(x 2)在抛物线y2 4x内部的部分。

评注：（1）求点的轨迹方程即是求曲线上的点的横、纵坐标所满足的关系式，本题所给出的两种方法，都是找动点(x,y)与已知条件的内在联系，列关于x，y的关系式，进而求出轨迹的方程。

（2）弦中点轨迹问题

2

设抛物线y 2px（p 0）的弦AB，A(x1,y1)，B(x2,y2)，弦AB的中点C(x0,y0)， 2 y1 2px1

则有 2

y 2 2px2

(1)(2)

2

，

（1）－（2）得y1 y2 2p(x1 x2)， ∴

2

y1 y22p

，

x1 x2y1 y2

y1 y2p

，代入上式，并整理得kAB ，

yx1 x20

将y1 y2 2y0，kAB

这就是弦的斜率与中点的关系，要学会推导，并能运用。

例2 已知抛物线y 2x，过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A，B两点，试求弦AB的中点轨迹方程。

解：如图，设弦AB的中点为M，并设A、B、M点坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，(x,y)，根据题意设有y1 2x1， ①

2

2

y2 2x2， ② x1 x2 2x， ③ y1 y2 2y， ④

2

y1 y2y 1

， ⑤

x1 x2x 2

④代入①－②得，2y(y1 y2) 2(x1 x2)，

∵x1 x2，∴

y1 y21

， ⑥

x1 x2y

1

2

2

⑥代入⑤得，y2 y x 2，即(y ) x

7。 4

评注：本题还有其他解答方法，如设AB的方程为y k(x 2) 1，将方程代入y2 2x，利用根与系数的关系，求出弦中点的轨迹方程。

例6 求直线y x 1被抛物线y2

4x截得线段的中点坐标。

解：解法一：设直线y x 1与抛物线y2 4x交于A(x1,y1)， B(x2,y2)，其中点P(x0,y0)， 由题意得

y x 1

y 4x

， 2

消去y得(x 1)2 4x，即x2

6x 1 0， 所以xx2

0

x1 2

3，y0 x0 1 2，即中点坐标为(3,2)。 解法二：设直线y x 1与抛物线y2 4x交于A(x1,y1)， B(x2,y2)，其中点P(x0,y0)，由题意得 y2 1 4x122

y2x，两式相减得y2 y1 4(x2 x1)，

2 42

所以

(y2 y1)(y2 y1)

x 4，

2 x1

所以y1 y2 4，即y0 2，x0 y0 1 3，即中点坐标为(3,2)。

中点弦问题的求解策略

中点弦问题常见的题型有：1．求中点弦所在的直线方程； 2..求弦的中点的轨迹方程； 3..求弦长为定值的弦中点的坐标． 常用的求解策略是：1．两式相减用中点公式求得斜率； 2．联列方程组用韦达定理．

例1．已知直线x y 2与抛物线y2 4x交于A，B两点，那么线段AB的中点的坐标为．

解析：设A xx x y 2

21,y1 ,B 2,y2 ，由 y2 4x

得y 4y 8 0，从而

y1 y2 4,x1 x2 y1 y2 4 ，因此，线段8

AB的中点的坐标为 4,2 ．

例2．椭圆3x2 4y2 12中，一组平行弦中点的轨迹是x 2y 0（在椭圆内的一段）， 则这组平行弦的斜率为

解析：设A x1,y1 ,B x2,y2 是这组平行弦中的一条弦与椭圆的交点，从而x1 x2 2 y1 y2 ， 把A，B的坐标代入椭圆方程并相减得3 x1 x2 x1 x2 4 y1 y2 y1 y2 0， 即k 3 x1 x2 4y y 3

．

122

例3．直线l与椭圆x2

2y2

2交于P1,P2两点，线段PP12的中点为P，设直线l的斜率为k1 k1 0 ， 直线OP的斜率为k2，则k1k2的值等于（ ） A．2 B． 2 C．

12 D． 12

解析：D．设P1 x1,y1 ,P2 x2,y2 ，从而P

y1 y2 x1 x2y1 y2

，因此， k ,2

x x22 12

1x1 x2

，故k1k2 ．

22y1 y2 把P1,P2代入椭圆方程并相减得k1

例4．直线y kx 2交抛物线y2 8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2， 则|AB|

y kx 2

k 0知k 1．又解析：设A x1,y1 ,B x2,y2 ，由 2得ky2 8y 16 0，又由 64 64

y 8x

y1 y2

81 8

，从而x1 x2 4 4得k 2． kk k

x2y2

1，求以点P 2, 1 为中点的弦所在的直线方程． 例5．已知椭圆

164

解析：设所求直线与椭圆相交于A x x 1,y1 ,B2,y2，把A，B的坐标代入椭圆方程并相减得P为弦AB的中点，则x1 x2 4,y1 y2 2，从而得(x1 x2)(x1 x2) 4(y1 y2)(y1 y2) ，又因为点0到k

1

，∴所求直线方程为x 2y 4 0． 2

例6．已知椭圆C

的焦点分别为F1

和F2，长轴长为6，设直线y x 2交椭圆C于A，B两点，求线段AB的中点坐标．

解析：设A x1,y1 ,B x2,y2 ，并根据题意，得椭圆的方程为x2 9y2 9，把直线y x 2方程代入椭圆方

2

程并整理得10x 36x 27 0，从而x1 x2

18182

,y1 y2 4 ．因此线段AB的中点坐标为555

91

, ． 55

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