朗肯土压力

第六章

侧向土压力 6.1 简介

这一章解决的是土体与相邻的支护结构间，侧向土压力的分布和大小。假定平面应变的条件。

也就是认为在结构的纵向方向的应力为零。对于这类问题的应力与应变要进行充分的考虑，并且在理论上通过静力平衡条件满足极限平衡边界条件建立方程，求解土中各点在极限平衡是的应力和位移。通过有限元法，运用电脑软件得到近似实际值的应变参数。然而在发生塑性破坏时，这种弹性的应变相对于塑性形变来说可以忽略不计。因此土压力的问题可以看作一个塑性问题。

通过土体的应力应变特征，可以假定土为理想的塑性体。如图6.1，其中屈服发生在剪切破坏相同的应力的值；只要达到这个屈服水平后塑性形变将不断怎加。土体中每个点的剪切应力都在代表值点γ’以内，土体就保持塑性平衡。

达到塑性平衡之后土体会出现塑性破坏，相对于滑动土体的静止土体形成一种不稳定的结构，作用于系统的荷载，包括土体的自重。利用塑性理论的极限平衡方程得到屈服荷载是极为复杂的。塑性区满足的屈服准则和变形规律在特殊的变形条件下无法满足平衡条件。然而塑性理论也提供了一些方法避免了复杂的分析，可以通过塑性理论极限平衡来计算上下边界以确定真实的极限荷载。这些理论可以产生精确的极限荷载。极限理论表示如下：

下界理论

如果找到一个没有达到破坏标准的点和一个是系统处于平衡的外荷载（包括土体的自重），就可以找到这个状态的压力。土体不会发生破坏，这个外部荷载的系统是低于极限荷载边界的（因为存在外荷载之上的有效应力分布平衡）

上界理论

如果在结构发生塑像破坏的前提下，由于外荷载的作用产生一个位移增量，且这个增量与内部应力的内能消散是相等的。，这种使破坏发生外荷载系统构成就高出破坏的极限荷载的边界（因为存在一个比外部荷载低的有效应力导致破坏发生）

从低边界靠近，是在没有产生变形的平衡状态下，满足达到屈服的条件。同样适用于摩尔-库伦屈服准则，从高边界接近是塑性破坏的情况是选中滑裂面在外部作用力相平衡后能量释放导致沿滑裂面破坏的情况。这样没有考虑平衡的情况。在真实的情况下这种破坏是

不会出现的。但土体的滑裂面的运动必须在运动上满足土体的连续性和边界的兼容性。比如AtkinsonandParry在塑性的高边界理论中提出的：由直线或者圆弧构成的不排水的滑裂面（或者既有圆弧又有直线）；由直线或者对数螺线组成的排水情况下的滑裂面（或者既有直线又有螺线）

侧向土压力的计算通常是基于朗肯理论和库伦理论，在6.2和6.3节中所描述的，两种理论都把土体视为刚塑性体。

6.2朗肯土压力理论

朗肯理论（1857）认为当土体达到塑性平衡时的应力，也就是当

土体发生剪切破坏时候的应力。理论满足塑性问题低边界的情况。图6.2的莫尔圆表示了两个会发生剪切破坏的压力。与剪切应力大小有关的参数是c和υ，剪切破坏沿着角度为45°+υ/2的面发生破坏，如果土体中每一个点的所受应力像主应力一样同相分布。理论上将有一个倾斜于主应力方向网状的破坏面（就像已知滑裂面）。如同图6.2哪样，应该可以知道塑性平衡之后土体会发生充分的位移。

假设土体水平是一个半无限体，且竖直墙面光滑直立，土体可以延伸至无穷。如图6.3(a)假设土体均匀且各相同性。土体中的竖直应力σz和水平应力σx都由深度z决定。由于水平方向没有侧向的力传递，所以水平和竖向没有剪切应力的存在，因此，竖向和水平的压力为主应力。

如果出现墙体远离土体的运动，水平应力σx的值将会减小，土体向外延伸或者扩展。但是水平应力σx的减小作用在侧向应力中的影响我们不知道。假如土体向外扩展到了一个足够大的值，使土体达到了塑性极限平衡点后，水平应力σx减小成为最小主应力（σ3）竖向应力σz为最大主应力（σ1）

主应力σ1（=σz）是一个在深度z的且由深度所确定的载荷值。σ3（=σx）是根据土体的莫尔圆破坏边界中当土体达到塑性极限平衡状态时σ1和σ3的关系推导得到的。朗肯理论最初推导是假设抗剪强度参数c为0，但是一般情况下c是大于零的，使用不排水时的抗剪强度参数Cu或者有效应力的看见强度参数C’来使用

关于图6.2可以得到

由此可知，tan2（45°-υ/2）可以替换为

1?sinυ1+sinυ

综上所述，σ1是埋深z的载荷压力也就是 σ1=γz

在上面这种情况中的水平压力被定义为在土体自重作用下产生的主动压力（Pa）

如果Ka=

1?sinυ1+sinυ

认为ka为主动土压力系数，方程6.1可以写作 Pa=-kaγz-2c ka（6.2）

当土体水平压力等于主动土压力时，称为土体的朗肯主动土压力状态。由两个破坏方向，分别沿着水平向主应力方向倾斜45°+υ/2。如图6.3（b）所示

以上推论是抢远离土体的情况，另一种情况下，如果墙体抵抗土体，向土体方向移动，土体将会出现侧向的压缩且水平应力σx将会增大，直至达到塑性极限平衡出现破坏。这种情况水平应力σx达到最大值成为最大主应力σ1，σ2是竖向的土体载荷压力是较小的主应力。

σ3=γz

在σ3保持固定值不变，σ1不断增大到最大值达到莫尔圆的极限平衡的破坏边界。这

中情况的水平压力称为被动朗肯土压力（Pp）是由于土体压缩产生最大的抗力的情况。

关于公式6.1可以得到σ1=σ3（如果Kp=

1+sinυ1?sinυ

1+sinυ1?sinυ

）+2c

1+sinυ1?sinυ

（6.3）

认为kp为被动土压力系数，公式6.3可以写作 Pp=kpγz+2c kp（6.4）

当水平压力等于被动土压力这种状态叫朗肯被动土压力状态。将沿两个方向发生破坏，分别沿竖直方向向最大主应力倾斜45°+υ/2，如图6.3（C）

通过观察方程6.2和6.4我们知道主动和被动土压力的增加都是与深度线性相关的，如图6.4三角分布表示，当c=0时，不同状态下的应力分布。

当c值大于零时，主动土压力pa相比于零时有一个特殊的深度Z0，从公式6.2可以得到，当pa=0时

Z0=2???? ka（6.5）

它是指在主动土压力状态下，土体在深度Z0面上存在着拉力即粘聚力c，然而这种拉力在实际情况中不能直接作用于墙体上，直到拉力区出现开裂发育后才能作用，使深度Z0以上的压力分布忽略不计。

作用在高H的竖直墙面上的总的主动土压力（pa）是根据墙体的每个长度单元上受到的力相关的

主动土压力（pa）作用于竖直墙体的距离底部1 ? 3 (H - Z0)的位置处。

作用在高H的竖直墙面上的总的被动土压力（Pp）是根据墙体被动压力分布相关的：

组成被动土压力的两个作用力分别作用在从当墙底部距离1/3H和1/2H的地方。

如果有一个均布荷载作用在全部土体的每一个单元体上，竖直压

力σz在任意深度都增加变为γz+q，导致在主动土压力状态中加入一个附加应力Kaq，在被动土压力状态下加入一个附加应力Kpq，都是一个常量随着深度分布，如图6.5，相应的在高为H的竖直墙面上以KaqH和KpqH的推力分别作用在墙的中间位置。运用和在的概念可以获得分层土的土压力分布，两个不同土层有不同的抗剪强度参数，上土层的自重荷载可以当作一个均布荷载作用在下土层上，在压力分布图示中，上下土层边界有不连续，是由于两个土层的抗剪强度参数不一样。

如果土体水位线以下土体饱和的情况下，主动土压力和被动土压力必须使用有效应力来表示，且必须使用有效应力抗剪强度参数c’和υ’。例如，如果在水位线的面，没有渗流发生，在深度z的主动土压力应该为：

Pa=-kaγ’z-2c′ ka其中Ka=

1?sinυ‘1+sinυ’

相对于在被动土压力情况下的运用。水在土的空隙中产生静水压力γwZ，加在主动和被动土压力上来考虑

在不排水的饱和黏土中，主动土压力和被动土压力在计算是选用抗剪强度指标Cu（υu为0）和总的单元体重度γast来计算。（也就是吧图和水作为一个整体来进行考虑），这种情况要充分考虑拉力区的做用，在理论上一个（干燥的）裂缝深度（Z0）是等于2Cu/γast（就是方程6.5在υu为0是ka=1），；裂缝大都出现在黏土和墙的分界面上，并相比在黏土中抵抗开裂的程度低。如果一个裂口充满水（由于一个大雨或其他水流流入），静水压力作用在墙上，因此水在深度Z0w的裂缝中作用于黏土，主动土压力抵消了静水压力，假设没有其他附加荷载：

γast Z0w-2Cu=γwZ0w

在朗肯理论中假设墙面光滑竖直，然而在实际情况中要考虑挡墙于相邻土体的摩擦，这取决于墙的材料，重点是理论结果高估了主动

土压力的值，低估了被动土压力的值（分别低于了屈服荷载的边界），或者在准确的主动被动土压力之内。

例题6.1

（a）计算高5m的挡土墙受到的总的主动土压力，挡土墙内的保留土是重度为17KN/m3土的内摩擦角υ=35°的沙土，沙土面水平，水位线在墙体之下。（b）如果水位线上升至沙面下2m确定挡土墙上的主动土压力。饱和土体的重度为20kn/m3

（b）如图6.6所示土压力和静水压力在挡土墙的分布，作用于距

离墙底距离3m的位置。主动土压力组成为：

例题6.2

土体相邻的板桩墙如图6.7所示，一个均布附加荷载50KN/m2施加在墙后的土体上，水位线之上的抗剪强度参数为C’=0，υ=38°，重度18KN/m3，在水位线下的土体2，是饱和的黏土层，主动土压力分布在图中挡墙的后面，被动土压力分布在图中挡墙的前面。对于土（1）来说

对于土（2）来说

土1的土压力计算ka=0.24，kp=4.17和γ=18KN/m3，土1可以视为（18*6）的均布荷载作用于土2上，土2的土压力计算ka=0.36，kp=2.78和γ’=（20-9.8）KN/m3=10.2KN/m3（详情见表6.1）主动土压力和被动土压力分布如图6.7，再加上在水位线下的静水压力。 倾斜土面

朗肯理论将被运用在土面于水平始终呈β角的情况下，假设主动土压力和被动土压力在与倾斜面平行的方向。在半无限土体中，认为在深度为z处土体是保持竖直边竖直与水平夹角β的棱形单元体。在单元体上作用竖直的压力和往适当方向倾斜β的主动土压力或被动土压力。如图6.8（a）所示，由于这些力不再是一般情况下的各自的方向（存在剪切趋势），不再是主应力。

在朗肯主动状态下，在深度z的竖向应力，是与水平倾斜夹角β的方向垂直的到z的距离的竖向应力：

σz=γzcosβ

并且在应力图中用OA表示（图6.8（b）），如果土体向外膨胀产生足够大的位移以至于达到塑性极限平衡的状态时，在莫尔圆上表示单元体的压力必然通过A点（这样就导致圆上的一部分位于OA分另一边）并且已经超过了土的破坏范围包线。

主动土压力Pa在图中表示为OB（在数值上与OB’相等），当c=0时，根据图中可以推导pa与σz的关系，得到主动土压力系数：

现在

因此

于是主动土压力运动方向平行于倾斜面，主动土压力为： Pa=Kaγzcosβ（6.9）

并且作用于高H的竖直墙面上的总压力为 Pa=KaγH2zcosβ（6.10）

21

在朗肯被动土压力状态下，竖直压力σz在途中表示为OB’，在莫尔圆上表示由于土体压缩导致单元体的压力达到塑性极限平衡，必然通过点B’（这样就导致圆上的一部分位于OB’分另一边），并且已经超过了土的破坏范围包线。被动土压力Pp在图中表示为OA’（在数值上和OA相等）且当c=0是被动土压力系数（等于Pp/σz）表示为：

（6.11）

被动土压力运动方向平行于倾斜面，主动土压力为： Pp=Kpγzcosβ（6.12）

并且作用于高H的竖直墙面上的总压力为 Pp=KpγH2zcosβ（6.13）

21

主动土压力和被动土压力的压力单元体，被直观的从图6.8（b）

中表现出来，以上的公式仅在抗剪强度指标c为零时才可以使用当c

大于零时，应该采用更直观的手段。

从图6.8（b）中可以知道两种破坏方式，分别沿两个不同的方向发生破坏，在主动土压力状态下，与点A同在水平方向倾斜β角方向上的点，都和点A表示一样的方向，因此可以知道OB’的方向，（平行OA同样与圆边界相交的点，处于相同的方向），这种情况的竖向应力通过B点来表示，破坏方向如图6.8（a）所示，破坏方向平行于B’F和B’G(F与G与破坏包线相切)，在被动土压力状态下，与点B’同在水平方向倾斜β角方向上的点，都和点B’表示一样的应力状态，因此可以知道OA的方向，这种情况的竖向应力通过A’点来表示竖向压力，被动情况的破坏方向平行于AF和AG。

考虑到当β=υ时，方程6.8和方程6.11明显得到Ka=Kp，这在土的实际情况中是不可能发生的，因此不能运用这种圆模型理论。 例题6.3

一竖直的墙高6m，在水位线之上，保留土有20°的斜面，土的重度为18KN/m3相应的抗剪强度参数C’=0,υ=40,确定主动土压力情况下作用于墙上总的土压力和相对于水平的两个破坏方向。 总的主动土压力可以运用公式6.8计算得到：

之后

最后的结果可以画出压力土就可以得出（图6.9），在σ/τ图中画出破坏包线和一条从原点出发与水平倾斜20°夹角的直线，在深度6m处，

这个压力刚好是与水平倾斜20°夹角直线的数值（OA的距离），莫尔圆也可以画出来如图6.9，且主动土压力的值（OB或OB’的距离）可以从圆中得到

Pa=27KN/m2 之后

破坏方向平行于B’F和B’G(图6.9)，破坏方向通过测量得出分别与水平59°和71°夹角(相加等于90°+υ)

静止土压力

综上所述，主动土压力是伴随着土体侧向膨胀而发生的一个较小的土压力值；被动土压力是伴随土体侧向压缩的一个极大的值。主动土压力和被动土压力可以看作一个边界值，如果土体的侧向拉力为0，相应的侧向应力被叫做静止土压力，通过有效应力表示方程为：

P0=K0γ’Z（6.14）

在有效应力作用下，其中K0为静止土压力系数，静止的情况是不包含土体破坏的情况的竖直和水平应力在莫尔圆中是不接触到破坏包线的，且水平应力是不能被估算的，然而K0的值可以通过实验室的方法得出，通过三轴压缩实验，同时增加轴向压力和周围的压力，在不排水的实验条件下，容器中的样品的侧向拉力维持在0，测试出相应的数据。在软黏土中，可以通过Andersen发明的侧向应力的原为测试方法来得到或者用Wroth and Hughes发明的压力仪得到。

通常在主动土压力和被动土压力之间的任何情况的侧向土压力是不知道的，合理的可能范围可以再实验室内没确定，且图6.10表示了这种介于拉力与压力之间的参数关系，这种准确的关系取决于最初的K0值，且包括建筑构造用土是否开挖或者回填。通过实验证明指出，认为发生被动压力的力的需求要大于发生主动土压力的需求。例如阻止完全被动状态的运动，挡墙需要在密集的沙土中插入2-4%的深度时发生移动，需要挡墙在松散的沙土中插入10-15%的深度时发生移动。相应的在主动状态下是墙发生运动，仅需要挡墙分别插入0.25%和1%的深度。

通常在稳固的土体中，K0的值与有效应力参数υ’有关，大约值通过Jaky提出的公式得到：

K0=1-sinυ’（6.15a）

土的K0值取决于土的历史应力状态，在保留土最初固结到静止土压力发育这段期间，有效竖直应力随之减小。Mayne and Kulhawy提出在超固结土在膨胀的过程中有以下的关系（但是不会增加压力）：

Roc是OCR（超固结比），在规范中是被提出：

一个典型的关于黏土中K0和OCR的关系，在三轴压缩实验中得到的数据如图6.11，其余不同土的K0如同表6.2所示。

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