哈尔滨工业大学2010《现代控制理论基础》考试题A卷及答案

哈工大2010年春季学期

现代控制理论基础 试题A答案

一．（本题满分10分）

如图所示为一个摆杆系统，两摆杆长度均为L，摆杆的质量忽略不计，摆杆末端两个质量块（质量均为M）视为质点，两摆杆中点处连接一条弹簧， 1与 2分别为两摆杆与竖直方向的夹角。当 1 2时，弹簧没有伸长和压缩。水平向右的外力f(t)作用在左杆中点处，假设摆杆与支点之间没有摩擦与阻尼，而且位移足够小，满足近似式sin ，cos 1。 （1）写出系统的运动微分方程； （2）写出系统的状态方程。

【解】

（1）对左边的质量块，有

f Lcos k L sin sin Lcos MgLsin ML2 111211

222

对右边的质量块，有

k L sin sin Lcos MgLsin ML2 21222

22

在位移足够小的条件下，近似写成：

f kL Mg ML 1121

24

kL Mg ML 2122

4

即

1

g kf k

1 2

4M2ML 4ML

k k g 21 2

4M 4ML

（2）定义状态变量

，x ，x x1 1，x2 32142

则

1 x2 x

g kf k x 2 x1 x3

4M2ML 4ML

x x4 3 kg k 4 x1 x3 x

4M 4ML

或写成

0

1 k xg x 2 4ML x 3 0 4 k x

4M

1

0

x 0

k1

00 1

x2 4M

2ML f

001 x3

0 x4 g k 0 0 0

4ML

二．（本题满分10分）

Ax，其中A R2 2。 设一个线性定常系统的状态方程为x

e 2t 2 1

若x(0) 时，状态响应为x(t) 2t ；x(0) 时，状态响应为

1 1 e

1 2e t

x(t) t 。试求当x(0) 时的状态响应x(t)。

3 e

【解答】系统的状态转移矩阵为Φ(t) eAt，根据题意有

e 2t 1 x(t) 2t eAt

1 e

2e t 2 x(t) t eAt

1 e

合并得

e 2t 2t e

求得状态转移矩阵为

e 2tAt

e 2t

e

2 2e t At 1 e t e 1 1

1

e 2t2e t 12

2t t e 1 1 e2e t 1 2

t e 11

e 2t 2e t

2t t e e

1

当x(0) 时的状态响应为

3

2e 2t 2e t

2t t 2e e

1 e 2t 2e t

x(t) e 2t

t

3 e e

At 2e 2t 2e t 1

2t t 2e e 3

7e 2t 8e t

2t

t

7e 4e

三．（本题满分10分）

已知某系统的方块图如下，

回答下列问题：

（1）按照上图指定的状态变量建立状态空间表达式；

（2）确定使系统状态完全能控且完全能观时，参数k的取值范围。 【解答】（1）系统的状态空间表达式为

1 2k x1 1 x

x 1 u x10 2 2

y 10 x1

x2

（2）使系统状态完全能控且完全能观时，参数k 3且k 0。

四．（本题满分10分）

离散系统的状态方程为

x1(k 1) 41 x1(k) 0

x(k 1) 2 3 x(k) 1 u(k)

2 2

（1）是否存在一个有限控制序列 u(0)u(1) u(N) ，使得系统由已知的初始状态

x1(0)，x2(0)转移到x1(N 1) 0，x2(N 1) 0？试给出判断依据和判断过程。 （2）若存在，求N的最小值及控制序列 u(0)u(1) u(N) 。

【解答】

（1）由题意，

41 0 01 G ，h 1 ，Qc hGh 1 3 ，rankQc 2，由系统能控性的定义可2 3

知：存在有限控制序列，使得在有限时间内由状态初值转移到零。

（2）由系统状态完全能控的性质可知，此系统为二阶系统，可用适当的u(0)，u(1)，使得x(2) 0，即N的最小值为1。

根据状态方程x(k 1) Gx(k) hu(k)进行递推如下： x(1) Gx(0) hu(0)

x(2) Gx(1) hu(1) G Gx(0) hu(0) hu(1) G2x(0) Ghu(0) hu(1) 0， 由上面最后一步可得

Ghu(0) hu(1) G2x(0)

即

u(1)

hGh G2x(0)

u(0) u(1) Qc G2x(0) u(0)

u(1) 4010 4010 x1(0) 12

QGx(0) x(0) c u(0) 187 187 x(0) 2

即u(0) 18x1(0) 7x2(0)，u(1) 40x1(0) 10x2(0)。 五．（本题满分10分）

对下列系统

01 0 xx u 6 5 1

试设计一个状态反馈控制器，满足以下要求：闭环系统的阻尼系数

0.707；阶跃响

应的峰值时间等于3.14秒。 【解答】

假设状态反馈控制律为u k1

x1

k2 ，代入状态方程得闭环系统

x2

01 0 x x k1k2 x 6 5 1

1 0 x 6 k1 5 k2

闭环特征多项式为

f( ) det I

6 k1 1

2 5

k2 6 k1

5 k2

t ， n 根据题意的要求， 0.707 ，P2

项式为

2

f*( ) 2 2 n n 2 2 2

根据多项式恒等的条件可得：

5 k2 2

6 k1 2

解得

k1 4

k2 3

状态反馈控制律为u k1

x1

k2 4x1 3x2。

x2

六．（本题满分10分）

设系统的状态空间表达式为

01 0 xx u 0 5 100 y 10 x

若该系统的状态x2不可测量，试设计一个降维状态观测器，使降维观测器的极点为 10，

要求写出降维观测器动态方程，并写出状态x2的估计方程。

【解答】将状态空间表达式写成：

1 x2 x

2 5x2 100u x y x

1

进一步写成

2 5x2 100u x

y x2

设降维观测器方程为

5 l xx22 100u l 5 l x x22 100u ly

引入中间变量z

x2 ly，两边求导数得

z x2 ly 5 l x2 100u ly ly 5 l x2 100u

5 l z ly 100u z

5 l z l 5 l y 100u z

根据题意，降维观测器的极点为-10，即 5 l 10，解得l 5。 最终得到降维观测器的动态方程为

10z 50y 100u z

状态估计的表达式为x2

z 5y。

七. （本题满分10分）

证明对于线性定常系统的线性变换，其传递函数（矩阵）保持不变。 【证明】设原线性系统为

Ax Bu x

y Cx Du

其传递函数矩阵为W(s) C sI A B D 设线性变换为x Tz，变换后的线性系统为

1

z T 1ATz T 1Bu

y CTz Du

该系统的传递函数矩阵为

(s) CT sI TAT T 1B D

1

1

CT sT 1T T 1AT T 1B D

1

CT T

1

sI A T

1

1

1

T 1B D

CTT 1 sI A TT 1B D C sI A B D

显然，W(s) (s)，即其传递函数（矩阵）保持不变。 证毕

八. （本题满分10分）

3

x 1 x2 3x1 5，证明该系统在坐标原点处某2阶非线性系统的状态方程为 2x1x225

2 x1x2 x2 2 xx1 3

渐近稳定。 【证明】

2

取李雅普诺夫函数V(x) x12 x2，显然是正定函数；此外，沿着状态轨线的导数为：5

2x1x2325 1 2x2x 2 2x1 x2 3x1 2x2 x1x2 x2 2V(x) 2x1x

x 3 1

2x1 6 6x12 2x2 1 2

x1 3

令函数y

2x12

，则yx1 2x1 3y 0，关于x1的二次方程的根的判别式为 2

x1 3

1，

。则有 y 1 1 y 1，所以表达式3

3333

4

12y2 0，y2 1

2x1

(x)为负定。所以该系统在坐标原点处渐近稳定。 恒小于零，因此，V2

x1 3

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