实变函数复习资料
更新时间:2024-04-23 12:37:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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《实变函数》单元测试资料
一、集合
1、 证明:(A?B)?C?A?(B?C);(A?B)?C?(A?C)?(B?C)。
2、 证明:单调上升(下降)有上界(下界)的数列{xn}必有上确界(下确界),且sup{xn}?limxn,
nn??(inf{xn}?limxn)。
nn??3、 证明:若{An}单增,则limAn??An;若{An}单减,则limAn??An。
n??n?1n??n?1?114、 证明:E[f?a]??E[f?a?];E[f?a]??E[f?a?]。
n?1n?1nn???5、 证明:任何无限集必与其一个真子集对等。
6、 证明:若A是无限集,B是有限集或可数集,则A?B?A。 7、 证明:有理数全体成一可数集。 8、 证明:开区间(0,1)是一不可数集。 9、证明:无理数全体成一不可数集。
二、点集
1、设A?B,证明:A??B?,A0?B0,A?B。 2、证明:?A?A?A。
3、设E是[0,1]中的全体有理点,求E在R内的E?,E0,E。
4、设E?{(x,y)|0?x?y?1},求E在R内的全体内点集,外点集,界点集,聚点集,孤立点集。 5、设E?R,证明:E是开集,E?和E是闭集。
6、证明开集的任意并、有限交仍为开集。并举例说明开集的任意交不一定是开集。 7、证明开集与闭集的对偶性。
8、证明:点集F为闭集的充要条件是F?F。
9、设f(x)是定义在R上的函数,则f(x)在其上连续的充要条件是:对任意开集G,点集
n01
2220f?1(G)?{x|f(x)?G}是开集。
三、测度论
n1、 若E?{(0,0,???,0)}?R,求mE。
***2、 证明:若A?B,则mA?mB。
《实变函数》单元测试资料
3、 若mA?0,则对任意B,证明:m*(A?B)?m*B。 4、 若m*(E1\\E2)?m*(E2\\E1)?0,
证明:m*(E1?E2)?m*(E1?E2)?m*E1?m*E2。
5、 设S1,S2均为可测集,S2?S1且mS2??,证明:m(S1?S2)?mS1?mS2。 6、 证明:凡外测度为零之集皆可测。
7、 若X?{1,2,3},??{{1},{2,3}},试写出X上由?所生成的?代数。 8、 若{En}是一列可测集,证明: 1)limEn与limEn都是可测集;
n??n??*2)m(limEn)?limmEn;
n??n???3)若m(n?1UEn)??,则limmEn?m(limEn)。
n??n??9、若可测集列{En}满足
四、可测函数
?m(En?1?n)??,证明m(limEn)?0。
n??1、 若E是可测集,f(x)?c,x?E,c为常数,证明f(x)是E上的可测函数。 2、 若E是可测集,A?E,f(x)为定义在E上的函数,f(x)??数的充要条件是E为可测集。
3、 设f(x)是定义在可测集E上的函数,证明:f(x)是E上的可测函数的充要条件是对任意有限实数a,
?1,x?A,证明f(x)是E上可测函
?0,x?AE[f?a]是可测集。
4、 证明可测集上的连续函数必是可测函数。
5、 设E?R是可测集,f(x)为定义在E上的实函数,证明:f(x)为E上的可测函数的充要条件是对
任意开集G?R,f?1n(G)是可测集。
6、 设fn(x)依测度收敛于f(x),证明:fn(x)依测度收敛于g(x)的充要条件是 f(x)?g(x)a.e.于E。 7、 设{fn(x)}是可测集E上一列可测函数,f(x)???a.e.于E。若对任给??0,存在E的可测子集
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E?,使得m(E\\E?)??,且{fn(x)}在E?上一致收敛于f(x),证明:{fn(x)}在E上几乎处处
收敛于f(x)。
8、 设E是可测集,f(x)???a.e.于E,若对任给??0,存在E的闭子集F,使得m(E\\F)??,且
f(x)在F上连续,证明:f(x)是E上的可测函数。
五、积分论
1、 设mE???,f(x)是定义在E上的非负可测函数,证明:若f(x)在E上有界,则f(x) 在E上L可
积。
2、 设E是可测集,f(x)是定义在E上的非负可测函数,证明: 1)若
?Ef(x)dx?0,则f(x)?0a.e.于E;
2)若A,B是E的两个互不相交的可测子集,则
?A?Bf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx。
AB3、设E是可测集,f(x)与g(x)都是定义在E上的非负可测函数, 证明:若f(x)?g(x),则
?Ef(x)dx??g(x)dx。
B4、设A,B是可测集且A?B,f(x)是定义在B上的非负可测函数,证明:
?Af(x)dx??f(x)dx。
BE上一列非负可测函数,当x?E时,对任意n?Z有fn(x)?fn?1(x)且5、设E是可测集,{fn}?n?1为
?limfn(x)?f(x)。若?f1(x)dx???,证明:lim?fn(x)dx??f(x)dx。
n??En??EE6、设E是可测集,证明:
(1)设f在E上积分确定且f(x)?g(x),则g也在E上积分确定且(2)设f和g都在E上积分确定且f(x)?g(x),则
?Ef(x)dx??g(x)dx。
E?Ef(x)dx??g(x)dx。
E
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