18.4 反比例函数

18.4 反比例函数(第1课时)

一、素质教育目标 (一)知识储备点

1.了解反比例函数的意义. 2.了解反比例函数图象的特征. 3.掌握反比例函数的性质. (二)能力培养点

通过观察反比例函数图象的特征,能够正确地归纳出反比例函数的性质,进一步培养学生从运动中概括抽象出事物本质属性的能力, 进一步拓宽数形结合的思路和方法. (三)情感体验点

通过利用反比例函数解决简单问题,体验反比例函数与人类生活的密切联系,增强对反比例函数学习的求知欲,发展学生的探索与创新精神. 二、教学设想 1.重点、难点

重点:由反比例函数图象探索反比例函数的性质. 难点:反比例函数性质的灵活运用. 2.课型与基本教学思路 课型:新授课.

教学思路:情境质疑──观察操作──概括归纳──解决问题. 三、媒体平台 1.教具学具准备

教具:多媒体一台,三角板一副,彩色粉笔若干. 学具:三角板一副,几何练习簿一本,彩笔若干. 2.多媒体课件撷英 (1)课件资讯

利用powerpoint制作幻灯片:问题、例题、达标反馈等;华东师范大学出版社教学光盘中课件:“你能建围栏吗？”、“反比例函数”；利用FLASH制作“反比例函数图象上的点与两条坐标轴上对应点做同步运动”的课件。 (2)素材储备

幻灯片:问题1、2;例题；达标反馈1、2；课件：“建围栏”、“反比例函数”、FLASH动画等.

四、课时安排: 2课时. 五、教学设计

第1课时

(一)本课目标

1.了解反比例函数的意义.

2.会用待定系数法求反比例函数解析式. (二)教学流程 1.情境导入

利用多媒体演示课件“反比例函数”.(华东师范大学出版社教学光盘)

通过观察发现:无论三角形的底边和底边上的高怎样变化,它们的积保持不变( 等于一个非零常数). 2.课前热身

(1)在正比例函数中,两个变量的商具有什么特征?

(2)回顾小学所学的反比例,请举出两个成反比例关系的实例.

(例如:路程一定时,速度与时间成反比;矩形面积一定时,长与宽成反比例等) 3.合作探究 (1)整体感知

本节课我们着重探讨两个变量的积是一个非零常数的函数的相关概念、解析式的求法.

(2)四边互动 互动1

师:利用多媒体演示幻灯片.

问题1:小华的爸爸早晨骑自行车带小华到15千米外的镇上去赶集, 回来时让小华乘坐公共汽车,用的时间少了.假设两人经过的路程一样, 而且自行车和汽车的速度都不变, 爸爸要小华找出从家里到镇上的时间和乘车不同交通工具的速度之间的关系.

师: 这里的“找出从家里到镇上的时间和乘坐不同交通工具的速度之间的关系”是什么意思?

生:展开讨论,举手回答个人的不同认识.

师:归纳讨论的结果:这里涉及两个时间和两个对应的速度──两个函数值和与函数值对应的自变量的两个值, 实际含义是指找出一个统一的表示时间和速度之间关系的函数关系式,给出其中任意一个速度,就可以通过这个函数关系式计算出与之相对应的时间. 现在你们能解答这个问题了.

生:动手尝试,并交流解答的过程和结果.

明确 和其他实际问题一样,要探求两个变量之间的关系,应先选用适当的字母表示变量,再根据题意列出相应的函数关系式.

设小华乘坐交通工具的速度是v千米/时,从家里到镇上的时间是t小时. 因为在匀速运动中,时间=路程÷速度,所以t=

15. v

互动2

师:利用多媒体演示课件“你能建围栏吗?”(华东师范大学出版社教学光盘)

问题2:学校课外生物小组的同学准备自己动手,用旧围栏建一个面积为24 平方米的矩形饲养场.设它的一边长为x(米),求另一边的长y(米)与x的函数关系式. 生:观察课件,讨论发现的问题,并解答问题.

明确 根据矩形面积可知y=24,即y=

24. x

互动3

师:上述函数(1)、(2)具有怎样的共同特征?能否用一个统一的函数关系式把它们表示出来?说出你的想法.

生:相互交流自己的观点,逐渐达成共识.

明确 上述函数中,两个变量的积等于一个非零常数,都可以写成y= 一般地, 形如y=

k

(k≠0) 的形式. x

k

( k 是常数, k ≠0) 的函数叫做反比例函数( inverse-x

proportional function). 互动4

师:请同学们把正比例函数与反比例函数进行比较,说出它们有哪些不同? 生:讨论交流,逐个举手回答自己的观点.

明确 从形式上来看,正比例函数是关于自变量的整式,反比例函数是关于自变量的分式;从内涵上来看,正比例函数两个变量的商是一个非零常数, 反比例函数两个变量的积是一个非零常数;从自变量和函数的取值范围来看,正比例函数中的自变量和函数值都可以为零,反比例函数中的自变量和函数值都不能为零. 互动5

师:利用多媒体演示幻灯片. 请解答下列问题.

(1)若y与x成正比例,x与z成反比例,则y与z成什么关系?

(2)y是x的反比例函数,当x=2时,y=3,求y与x之间的函数关系式.

(3)已知y1与x成正比,y2与x成反比,且y=y1+y2,当x=1时,y=3;当x=2时,y=3, 求y与x之间的函数关系式.

生:分组合作,在小组内达成共识的基础上,推选代表进行板演,其余同学在座位上独立解答.

明确 师生共同归纳完善学生板演结果.

(1)因为y与x成正比例,所以可设y=k1x(k1≠0),同样设x=由于k1k2≠0,所以y与z成反比例. (2)设y=

k2kk (k2≠0),则y=12,zz

k1.53

(k≠0),则3=2k,解得k=1.5,所以函数解析式为y==. xx2x

k1 k2 3

k2k2

(3)设y1=k1x,y2=,则y=k1x+,依题题得 ,解方程组得k1=1,k2=2,所以k2

2k 3xx1 2

y=x+

2

. x

由上面的操作过程可知: 确定反比例函数解析式的条件是已知一对对应的自变量和函数值求几个简单函数的复合形式函数的解析式, 常常首先分别设出这几个函数的一般形式,然后用待定系数法解决问题. 互动6

师:请同学们独立解答课本第50页练习,解答完毕后在小组内进行交流. 生:独立尝试,并交流解答结果.(教师来回巡视,帮助学有困难的学生分析.) 明确 教师和学生共同归纳解答过程和应注意的事项. 4.达标反馈 (多媒体演示)

(1)若y与x成反比,x与z成反比,则y与z成 正比 关系.

(2)若y与x2-2成反比例,且当x=2时,y=1,则y与x之间的关系式为 y=

2

. x2 2

(3)如果点(3,-1)在反比例函数y=

k

的图象上,那么一次函数y=kx-k的解析式为x

y=-3x+3.

(4)在电压一定时,通过用电器的电流与用电器的电阻之间成 (B) A.正比 B.反比 C.一次函数关系 D.无法确定 (5)已知点(2,5)在反比例函数y=

#

的图象上,其中“#”是被污染的无法辨认的字迹,x

则下列各点在该反比例函数图象上的是(B)

A.(2,-5) B.(-5,-2) C.(-3,4) D.(4,-3) 5.学习小结 (1)内容总结

意义(表达形式) 反比例函数

解析式的求法 (2)方法归纳

确定反比例函数解析式的条件是已知一对自变量和函数的对应值( 或其图象上一点的坐标),可以利用待定系数法求反比例函数的解析式. (三)延伸拓展 1.链接生活

火车从安庆驶往相距约200千米的合肥,求火车行驶的速度v(千米/时)与行驶的时间t(时)之间的函数关系式. 2.实践探索 (1)实践活动

用描点法画出本节课中问题2的函数图象,并把所画的图象与一次函数的图象进行比较.

(2)巩固练习

课本第52页习题17.4第3题. 补充题:

列出下列函数关系式,并指出它们是分别什么函数.

①火车从安庆驶往约200千米的合肥,若火车的平均速度为60千米/时,求火车距离安庆的距离S(千米)与行驶的时间t(时)之间的函数关系式.

②火车从安庆驶往约200千米的合肥,若火车的平均速度为60千米/时,求火车距离合肥的距离S(千米)与行驶的时间t(时)之间的函数关系式.

③某中学现有存煤20吨,如果平均每天烧煤y(吨),共烧了x(天),求y与x 之间的函数关系式.

答案:①s=60t(0≤t≤③y=

100100

);正比例函数 ②s=200-60t(0≤t≤);一次函数 33

20

(x>0);反比例函数. x

(四)板书设计

17.4 反比例函数(第2课时)

(一)本课目标

1.了解反比例函数图象的形状特征. 2.会画反比例函数的图象.

3.经历探究反比例函数性质的过程,掌握反比例函数的性质. 4.学会利用反比例函数的性质解决简单的实际问题. (二)教学流程 1.复习导入

(1)反比例函数是怎样定义的?

(2)确定反比例函数的解析式需要什么条件? 2.课前热身

请同学们展示各自在上节课实践活动中所画出的问题2的函数图象,比一比谁画得最好?

(学生互评在上节课的实践活动中所画出的问题2的函数图象, 形成对反比例函数图象的初步感形认识.) 3.合作探究 (1)整体感知

我们知道一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是直线,其性质随着k的正负发生变化, 那么反比例函数y=

k

(k≠0)的图象又具有什么特征?其性质是否随着k 的正负发生变化呢?本x

课我们着重探讨这两个问题. (2)四边互动 互动1

师:利用多媒体演示幻灯片. 【例1】画出函数y=

6

的图象. x

师:在未知函数图象的形状特征时,我们画函数的图象通常用什么方法?

这个函数自变量的取值范围是什么?由此猜想这个函数的图象是连在一起的吗? 用描点法画该函数的图象,在列表应注意哪些? 生:逐个举手回答问题,达成共识. 师:利用多媒体展现画图过程.

(1)列表:这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数,列出x与y的对应值表:

──┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬── x │ │-6│-3│-2│-1│ │1 │2 │3 │6 │ ──┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼── y │ │-1│-2│-3│-6│ │6 │3 │2 │1 │ ──┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴──

(2)描点:由这些有序实数对,可以在直角坐标系中描出相应的点(-6,-1),(-3,--2),(-2,-3)等.

(3)连线:用光滑曲线将各点依次连起来,就得到反比例函数的图象,如图所示: 师:请同学们用透明纸放在课本的该函数图

象上复制这个图象,并用大头钉固定上下坐标系

原点,再把上面的图象绕着原点旋转180°,结果你发现什么现象? 生:动手操作,并提出发现的问题. 师:利用多媒体演示.

试一试:在课本图17.4.1所在坐标系中画

6

出函数y=-的图象.

x

生:动手画图,交流画图的结果. 师:请同学们讨论下列问题.

讨论:(1)这个函数的图象在哪两个象限?和

6

的图象有什么不同? x

k

(2)反比例函数y= 图象在哪两个象限?由什么确定?

x

函数y=

生:在小组内展开交流,然后各组推选代表回答提出的问题,在全班交流,让全体同学达成共识.

明确 概括:通过上述操作、讨论与交流,我们发现反比例函数的图象是两条曲线,且这两条曲线关于原点对称,这种图象通常称为双曲线(hyperbola). 反比例函数y=

k

图象的两个分支位居的象限与k的正负有关,当k>0时, 函数的图象x

分布在第一、三象限;当k<0时,函数的图象分布在第二、四象限. 互动2

师:利用多媒体演示课件:反比例函数图象上的点与两条坐标轴上对应点做同步运动. 请同学们观察反比例函数y=

66 和y=- 图xx

象上点的运动情况,然后回答下列问题. (1)对于反比例函数y=

6

,其图象在每个象x

限内从左到右是上升的还是下降的? y的值随着x的变化将怎样变化? (2)对于反比例函数y=-

6

,其图象在每个象x

限内从左到右是上升的还是下降的? y的值随着x的变化将怎样变化?

生:在观察的基础上,在小组内展开讨论,并概括归纳发现的现象,对提出的问题进行解答.

明确 通过观察可知,反比例函数y=

k

有下列性质:(1)当k>0时,函数的图象( 如图x

17-4-2所示)在每个象限内,曲线从左向右下降,也就是在每个象限内y随x 的增加而减小;(2)当k<0时,函数的图象(如图17-4-2所示)在每个象限内, 曲线从左向右上升,也就是在每个象限内y随x的增加而增大. 互动3

师:利用多媒体演示幻灯片. 已知反比例函数y=

3

在第一象限内的图象如图所示,x

yMN

O

A

B

点M、N是图象上的两个不同点,分别过点M、N作x轴的垂线,垂足分别为A、B,试探究△MOA的面积S △MOA与△NOB的面积S△NOB之间的大小关系.

师:(点拨)如果设点M、N的坐标分别位(x1,y1)和(x2,y2),那么S△MOA与x1 、 y1之间存在怎样的关系?x1²y1的值是多少?S△NOB与x2,y2呢?

生:在讨论交流的基础上,回答问题,并着手尝试解决问题,最后交流解答的过程与结果.

明确 因为点(x1,y1)在该反比例函数图象上,所以y1=

3

,得x1²y1=3, x1

S △MOA=

1133

OA²MA= x1 y1 ,同理S△NOB=,所以S△MOA=S△NOB. 2222

归纳可知:过反比例函数图象上任意一点作x轴的垂线,那么这点与垂足、 坐标系原

点构成的三角形的面积是一个定值. 互动4

师:利用多媒体演示.

已知点A(-3,a)、B(-2,b)、C(4,c)在双曲线y=-

2

上,请把a、b、c 按从小到大的顺x

序进行排列.

生:动手操作,操作完毕把个人所得结果在小组内展开交流.

师:请同学们画出该双曲线的草图,验证你的结论,从中你发现什么问题? 生:动手画图,验证各自解答的结果.

明确 许多同学直接利用反比例函数的性质,得出错误的结论:c<b<a.

原因是没有理解反比例函数的性质“当k<0时,在每个象限内y随x的增加而增大”.在同一个象限内y随x的增加而增大,并不是说在整个坐标平面内y随x的增加而增大.因此,在比较反比例函数值的大小时,要分清对应的自变量的值是否在x轴的同一个方向上(或几个点是否在同一个象限),如果不在同一个方向上,不能直接应用反比例函数的性质.

4.达标反馈 (多媒体演示)

(1)写出一个反比例函数,使它的图象在第二、四象限,这个函数解析式为y=

1 x

(2)如图所示,直线y=kx与双曲线y=-ABC的面积为 6.

(3)已知反比例函数y=

6

相交于点A、B,过点A作AC⊥y轴于点C,则△x

3 m

的两点(x1,y1),(x2,y2),当x1<0<x2时,y1<y2,则m 的取-x

值范围是(D)

A.m<0 B.m>0 C.m>3 D.m<3

(4)下列四个函数中,当x>0时,y随x的增大而减小的是(D) A.y=2x B.y=x+3 C.y=-

y

22 D.y= xx

A

C

5.学习小结 O (1)内容总结

图象特征、画法 反比例函数

性质 (2)方法归纳

画反比例函数的图象,只能用描点法,利用反比例函数的性质比较大小时, 要注意对应的点是否在同一个象限内. (三)延伸拓展 1.链接生活

某课外小组在做气体实验时,获得压强p(帕)与体积v(cm3)之间的下列对应数据: ┌───┬─┬─┬─┬─┬──┬──┬─┐ │p(帕) │ │1 │2 │3 │4 │5 │ │ ├───┼─┼─┼─┼─┼──┼──┼─┤ │v(cm3)│ │6 │3 │2 │1.5 │1.2 │ │ └───┴─┴─┴─┴─┴──┴──┴─┘ 根据表中提供的信息,回答下列问题:

(1)在坐标系中描出表中各点,猜想p与v之间的关系,并求出函数解析式; (2)当气体的体积是12cm3时,压强是多少? 2.实践探索 (1)实践活动

收集反比例函数在社会生活中应用的实例2个. (2)巩固练习

课本第52页练习第1题和第2题和习题17.4第2题.

(四)板书设计

附:另一份教案

反比例函数（1）

知识技能目标

1.理解反比例函数的概念，根据实际问题能列出反比例函数关系式； 2.利用正比例函数和反比例函数的概念求解简单的函数式． 过程性目标

1.经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力； 2.探求反比例函数的求法，发展学生的数学应用能力． 教学过程 一、创设情境

两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果两个数的积一定，这两个数的关系叫做反比例关系． 二、探究归纳

问题1 小华的爸爸早晨骑自行车带小华到15千米的镇外去赶集，回来时让小华乘公共汽车，用的时间少了．假设两人经过的路程一样，而且自行车和汽车的速度在行驶过程中都不变，爸爸要小华找出从家里到镇上的时间和乘坐不同交通工具的速度之间的关系． 分析 和其他实际问题一样，要探求两个变量之间的关系，就应先选用适当的符号表示变量，再根据题意列出相应的函数关系式．

设小华乘坐交通工具的速度是v千米/时，从家里到镇上的时间是t小时．因为在匀速运动中，时间＝路程÷速度，所以

t

15 v

从这个关系式中发现:

1.路程一定时，时间t就是速度v的反比例函数．即速度增大了，时间变小；速度减小了，时间增大．

2.自变量v的取值是v＞0．

问题2：学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为24平方米的

矩形饲养场．设它的一边长为x(米)，求另一边的长y(米)与x的函数关系式． 分析 根据矩形面积可知

xy＝24， 即 y

24 x

从这个关系中发现：

1.当矩形的面积一定时，矩形的一边是另一边的反比例函数．即矩形的一边长增大了，则另一边减小；若一边减小了，则另一边增大； 2.自变量的取值是x＞0．

上述两个函数都具有y

kk

的形式，一般地，形如y (k是常数，k≠0)的函数叫xx

y

k，k是常x

做反比例函数(proportional function)．

说明 1.反比例函数与正比例函数定义相比较，本质上，正比例y＝kx，即数，且k≠0；反比例函数y

k

，则xy＝k，k是常数，且k≠0．可利用定义判断两个量x

k

kx 1( k是常数，k≠0)． x

x和y满足哪一种比例关系．

2.反比例函数的解析式又可以写成：y

3.要求出反比例函数的解析式，只要求出k即可．

三、实践应用

例1 下列函数关系中，哪些是反比例函数？

2

(1)已知平行四边形的面积是12cm，它的一边是acm，这边上的高是hcm，则a与h的函数关系；

(2)压强p一定时，压力F与受力面积s的关系；

(3)功是常数W时，力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系． (4)某乡粮食总产量为m吨，那么该乡每人平均拥有粮食y(吨)与该乡人口数x的函数关系式．

分析 确定函数是否为反比例函数，就是看它们的解析式经过整理后是否符合y 常数，k≠0)．所以此题必须先写出函数解析式，后解答． 解 (1)a

k

(k是x

12

，是反比例函数； h

(2)F＝ps，是正比例函数；

W

，是反比例函数； sm

(4)y ，是反比例函数．

x

(3)F

例2 当m为何值时，函数y

4x2m 2

是反比例函数，并求出其函数解析式．

分析 由反比例函数的定义易求出m的值． 解 由反比例函数的定义可知：2m－2＝1，m 所以反比例函数的解析式为y

3． 2

4． x

例3 将下列各题中y与x的函数关系与出来． (1)y

1

，z与x成正比例； z

(2)y与z成反比例，z与3x成反比例； (3)y与2z成反比例，z与

1

x成正比例； 2

解 (1)根据题意，得z＝kx(k≠0)．

1

11

把z＝kx代入y ，得y ，即y k．因此y是x的反比例函数．

zkxx

(2)根据题意，得y

k1k

,z 2(k1，k2均不为0)． z3x

把z

k3kk2k3k

代入y 1，得y 1 1x，即y 1x．

k2k23xzk23x

因此y是x的正比例函数． (3)根据题意，得y

k1k11

,z k2x．把z k2x代入y 1，得 2z222z

y

k1

12 k2x2

k1k

，即y＝2．因此y是x的反比例函数．

x

2

例4 已知y与x成反比例，并且当x＝3时，y＝2．求x＝1.5时y的值．

2

分析 因为y与 x成反比例，所以设y

k

，再用待定系数法就可以求出k，进而再求出2x

y的值．

解 设y

kk

2 ．因为当x＝3时，y＝2，所以，k ＝18．

9x2

当x＝1.5时，y

1818

8． x2(1.5)2

2

例5 已知y＝y1＋y2， y1与x成正比例，y2与x成反比例，且x＝2与x＝3时，y的值都等于19．求y与x间的函数关系式．

分析 y1与x成正比例，则y1＝k1x，y2与x成反比例，则y2

2

k2

，又由y＝y1＋y2，可x2

知，y k1x

k2

，只要求出k1和k2即可求出y与x间的函数关系式． 2x

解 因为y1与x成正比例，所以 y1＝k1x； 因为y2与x成反比例，所以 y2

2

k2

， x2

而y＝y1＋y2，所以 y k1x

k2

， 2x

当x＝2与x＝3时，y的值都等于19．

k2

19 2k 1 k 5 4

, 解得 1所以 k k2 36 19 3k 2.1 9

所以y 5x

36

． x2

四、交流反思

本堂课，我们讨论了具有什么样的函数是反比例函数，一般地，形如y

k

(k是常数，x

k≠0)的函数叫做反比例函数(proportional function)．

要求反比例函数的解析式，可通过待定系数法求出k值，即可确定．

五、检测反馈

1.分别写出下列问题中两个变量间的函数关系式，指出哪些是正比例函数，哪些是反比例

函数，哪些既不是正比例函数也不是反比例函数？

(1)小红一分钟可以制作2朵花，x分钟可以制作y朵花；

32

(2)体积为100cm的长方体，高为hcm时，底面积为Scm；

2

(3)用一根长50cm的铁丝弯成一个矩形，一边长为xcm时，面积为ycm；

(4)小李接到对长为100米的管道进行检修的任务，设每天能完成10米，x天后剩下的未检修的管道长为y米．

2.已知y与x－2成反比例，当x＝4时，y＝3，求当x＝5时，y的值．

3.已知y＝y1＋y2， y1与x成正比例，y2与x成反比例．当x＝1时，y＝－12；当x＝4时，y＝7．(1)求y与x的函数关系式和x的取范围；(2)当x＝

2

1

时，求y的值． 4

4.已知一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是ycm，宽是5cm，高是xcm． (1)写出用高表示长的函数式； (2)写出自变量x的取值范围； (3)当x＝3cm时，求y的值．

5.试用描点作图法画出问题1中函数的图象．

反比例函数（2）

知识技能目标

1.理解反比例函数的图象是双曲线,利用描点法画出反比例函数的图象,说出它的性质； 2.利用反比例函数的图象解决有关问题． 过程性目标

1.经历对反比例函数图象的观察、分析、讨论、概括过程，会说出它的性质； 2.探索反比例函数的图象的性质,体会用数形结合思想解数学问题．

教学过程 一、创设情境

上节的练习中，我们画出了问题1中函数t

s

的图象，发现它并不是直线．那么它v

是怎么样的曲线呢？本节课，我们就来讨论一般的反比例函数y 的图象，探究它有什么性质． 二、探究归纳 1.画出函数y

k

（k是常数，k≠0）x

6

的图象． x

分析 画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤，在反比例函数中自变量x ≠0． 解 1．列表：这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数，列出x与y的对应值：

2.描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出在京各点点(－6,－1)、(－3,－2)、(－2,－3)等．

3.连线：用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支；用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一个分支．这两个分支合起来，就是反比例函数的图象．

上述图象，通常称为双曲线(hyperbola)．

提问 这两条曲线会与x轴、y轴相交吗？为什么？ 学生试一试：画出反比例函数y 函数图象的步骤）．

6

的图象（学生动手画反比函数图象，进一步掌握画x

学生讨论、交流以下问题，并将讨论、交流的结果回答问题． 1.这个函数的图象在哪两个象限？和函数y 2.反比例函数y

6

的图象有什么不同？ x

k

(k≠0)的图象在哪两个象限内？由什么确定？ x

3.联系一次函数的性质，你能否总结出反比例函数中随着自变量x的增加，函数y将怎样变化？有什么规律？ 反比例函数y

k

有下列性质： x

(1)当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少；

(2)当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加．

注 1．双曲线的两个分支与x轴和y轴没有交点； 2．双曲线的两个分支关于原点成中心对称．

以上两点性质在上堂课的问题1和问题2中反映了怎样的实际意义？

在问题1中反映了汽车比自行车的速度快，小华乘汽车比骑自行车到镇上的时间少． 在问题2中反映了在面积一定的情况下,饲养场的一边越长,另一边越小．

三、实践应用

2 m

例1 若反比例函数y (m 1)x的图象在第二、四象限，求m的值．

2

分析 由反比例函数的定义可知：2 m 1 ,又由于图象在二、四象限，所以m＋1＜0，由这两个条件可解出m的值．

2

2 m2 1,

解 由题意，得 解得m ．

m 1 0

例2 已知反比例函数y －k的图象经过的象限． 分析 由于反比例函数y

k

(k≠0)，当x＞0时，y随x的增大而增大，求一次函数y＝kxx

k

(k≠0)，当x＞0时，y随x的增大而增大，因此k＜0，而一x

次函数y＝kx－k中，k＜0，可知，图象过二、四象限，又－k＞0，所以直线与y轴的交点在x轴的上方． 解 因为反比例函数y

k

(k≠0)，当x＞0时，y随x的增大而增大，所以k＜0，所以一x

次函数y＝kx－k的图象经过一、二、四象限．

例3 已知反比例函数的图象过点(1,－2)． (1)求这个函数的解析式，并画出图象；

(2)若点A(－5,m)在图象上，则点A关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？ 分析 (1) 反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x＝1时，y＝－2．由待定系数法可求出反比例函数解析式；再根据解析式，通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象； (2)由点A在反比例函数的图象上，易求出m的值，再验证点A关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上．

解 (1)设：反比例函数的解析式为：y

k

(k≠0)． x

而反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x＝1时，y＝－2． 所以 2

k

，k＝－2． 1

2．

x

即反比例函数的解析式为：y

(2)点A(－5,m)在反比例函数y 点A的坐标为( 5,)．

点A关于x轴的对称点( 5, )不在这个图象上； 点A关于y轴的对称点(5,)不在这个图象上； 点A关于原点的对称点(5, )在这个图象上；

3 m

例4 已知函数y (m 2)x为反比例函数．

2

222

， 图象上，所以m

x 55

2

5

25

25

25

(1)求m的值；

(2)它的图象在第几象限内？在各象限内，y随x的增大如何变化？ (3)当－3≤x≤

1

时，求此函数的最大值和最小值． 2

3 m2 1,

解 (1)由反比例函数的定义可知： 解得，m＝－2．

m 2 0.

(2)因为－2＜0，所以反比例函数的图象在第二、四象限内，在各象限内，y随x的增大而增大．

(3)因为在第个象限内，y随x的增大而增大，

14时，y最大值＝ 8；

12

244 ． 当x＝－3时，y最小值＝

33

14

所以当－3≤x≤ 时，此函数的最大值为8，最小值为．

23

所以当x＝

例5 一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y厘米，宽是5厘米，高是x厘米． (1)写出用高表示长的函数关系式； (2)写出自变量x的取值范围； (3)画出函数的图象． 解 (1)因为100＝5xy,所以y (2)x＞0． (3)图象如下：

说明 由于自变量x＞0,所以画出的反比例函数的图象只是位于第一象限内的一个分支．

四、交流反思

本节课学习了画反比例函数的图象和探讨了反比例函数的性质． 1.反比例函数的图象是双曲线(hyperbola)．

2.反比例函数有如下性质：

(1)当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少；

(2)当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加．

五、检测反馈

1.在同一直角坐标系中画出下列函数的图象： (1)y

20 ． x

13； (2)y ．

xx

2.已知y是x的反比例函数，且当x＝3时，y＝8,求：

(1)y和x的函数关系式；

2

时，y的值； 3

3

(3)当x取何值时，y ?

2

(2)当x 2

n

3.若反比例函数y (3n 9)x

2

13

的图象在所在象限内，y随x的增大而增大，求n的值．

4.已知反比例函数y

m 3

经过点A(2,－m)和B(n,2n)，求： x

(1)m和n的值；

(2)若图象上有两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)，且x1＜0＜ x2，试比较y1和 y2的大小．

反比例函数(3)

知识技能目标

1.综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题；

2.借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题． 过程性目标

1.进一步探求一次函数和反比例函数的性质，感受用待定系数法求函数解析式的方法； 2.通过培养学生看图（象）、识图（象）、读图（象）能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题． 教学过程 一、创设情境

已知正比例函数y＝ax和反比例函数y

b

的图象相交于点(1,2)，求两函数解析式．

x

分析 根据题意可作出图象．点(1,2)在正比例函数和反比例函数图象上，把点(1,2)代入

正比例函数和反比例函数的解析式中，求出a和b． 解 因为点(1,2)在正比例函数和反比例函数图象上， 把x＝1，y＝2分别代入y＝ax和y 2＝a，2

b

中，得 x

b

，b＝2． 1

2． x

所以正比例函数解析式为y＝2x． 反比例函数解析式为y

二、探究归纳

综合运用一次函数和反比例函数的知识解题，一般先根据题意画出图象，借助图象和题目中提供的信息解题．

三、实践应用

例1 已知直线y＝x＋b经过点A(3,0)，并与双曲线y

k

的交点为B(－2，m)和C，求k、x

b的值．

解 点A(3,0)在直线y＝x＋b上，所以0＝3＋b，b＝－3． 一次函数的解析式为：y＝x－3．

又因为点B(－2，m)也在直线y＝x－3上，所以m＝－2－3＝－5，即B(－2,－5)． 而点B(－2,－5)又在反比例函数y

k

上，所以k＝－2³(－5)＝10． x

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