数学建模课后习题作业

数学建模习题选做 陈文滨

选修课——数学建模部分习题详细解答 【陈文滨】

1、在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？ 【模型假设】

（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形．

（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断 (没有像台阶那样的情况)，即从数学的角度看，地面是连续曲面．这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件． （3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地．为保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的．因为在地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰(即使是连续变化的)，此时三只脚是无法同时着地的。 【模型建立】

在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来． 首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动．生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换．然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的．于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形．

注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地．把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置．为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题． 如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系．椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD转至

2014年春 - 1 / 33 - 数学建模

数学建模习题选做 陈文滨

A1B1C1D1 的位置，这样就可以用旋转角θ（0≤θ≤π）表示出椅子绕点O旋转θ后的位置．

其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来．

我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地．由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数．

由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数．而由假设(3)可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0．因此，只需引入两个距离函数即可．考虑到长方形ABCD是中心对称图形，绕其对称中心 O沿逆时针方向旋转180°后，长方形位置不变，但A,C和B,D对换了．因此，记A、B两脚与地面竖直距离之和为f（θ），C、D两脚与地面竖直距离之和为g（θ），其中θ∈[0，π]，从而将原问题数学化。

数学模型：已知f（θ）和g（θ）是θ的非负连续函数，对任意θ，f（θ）?g(θ)＝0，证明：存在θ0∈[0，π]，使得f（θ0）＝g（θ0）＝0成立。 【模型求解】

如果f（0）＝g（0）＝0，那么结论成立。

如果f（0）与g（0）不同时为零，不妨设f（0）＞0，g（0）＝0。这时，将长方形ABCD绕点O逆时针旋转角度π后，点A，B分别与C，D互换，但长方形ABCD在地面上所处的位置不变，由此可知，f（π）＝g（0），g（π）＝f（0）.而由f（0）＞0，g（0）＝0，得g（π）＞0， f（π）＝0。

令h（θ）＝f(θ)－g（θ），由f(θ)和g(θ)的连续性知h(θ)也是连续函数。 又h（0）＝f(0)－g（0）＞0，h（π）＝f(π)－g（π）＜0，,根据连续函数介值定理，必存在θ0∈（0，π）使得h（θ0）＝0，即f（θ0）＝g（θ0） ；

又因为f（θ0）?g（θ0）＝0，所以f（θ0）＝g（θ0）＝0。于是，椅子的四只脚同时着地，放稳了。 【模型讨论】

用函数的观点来解决问题，引入合适的函数是关键．本模型的巧妙之处就在于用变量θ表示椅子的位置，用θ的两个函数表示椅子四只脚与地面的竖直距离．运用这个模型，不但可以确信椅子能在不平的地面上放稳，而且可以指导我们如何通过旋转将地面上放不稳的椅子放稳．

2014年春 - 2 / 33 - 数学建模

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2、人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。问人、狗、鸡、米怎样过河 【模型假设】

人带着猫、鸡、米过河，从左岸到右岸，船除了需要人划之外，只能载猫、鸡、米三者

之一，人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。试设计一个安全过河方案，使渡河次数尽量地少。 【符号说明】

X1：代表人的状态，人在该左岸或船上取值为1，否则为0； X2：代表猫的状态，猫在该左岸或船上取值为1，否则为0； X3：代表鸡的状态，鸡在该左岸或船上取值为1，否则为0； X4：代表米的状态，米在该左岸或船上取值为1，否则为0； SK?(X1,X2,X3,X4)：状态向量，代表时刻K左岸的状态； DK?(X1,X2,X3,X4)：决策向量，代表时刻K船上的状态；

【模型建立】

?X?X3?2X1?0??2?X3?X4?2 限制条件：

初始状态：

S0?(1,1,1,1),D0?(0,0,0,0)

目标：确定有效状态集合，使得在有限步内左岸状态由(1,1,1,1)?(0,0,0,0) 【模型求解】

根据乘法原理，四维向量

(X1,X2,X3,X4)共有24?16种情况，根据限制条件可以排

除(0,1,1,1),(0,1,0,1),(0,0,1,1)三种情况，其余13种情况可以归入两个集合进行匹配，易知可行决策集仅有五个元素：

D??(1,1,1,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(1,0,0,0),(0,0,0,0)?,状态

集有8个元素，将其进行匹配，共有两种运送方案：

方案一：人先带鸡过河，然后人再回左岸，把米带过右岸，人再把鸡运回左岸，人再把猫带过右岸，最后人回来把鸡带去右岸（状态见表1）；

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方案二：人先带鸡过河，然后人再回左岸，把猫带过右岸，人再把鸡运回左岸，人再把米带过右岸，最后人回来把鸡带去右岸（状态见表2）。 表1：方案一的状态与决策 时刻 左岸状态SK 船上DK K?0 K?1 K?2 （1,1,1,1） （0,1,0,1） （1,1,0,1） （0,1,0,0） （1,1,1,0） （0,0,1,0） （1,0,1,0） （0,0,0,0） （0,0,0,0） （1,0,1,0） （1,0,0,0） （1,0,0,1） （1,0,1,0） （1,1,0,0） （1,0,0,0） （1,0,1,0） K?3 K?4 K?5 K?6 K?7

表2：方案二的状态与决策 时刻 左岸状态SK 船上DK K?0 K?1 K?2 （1,1,1,1） （0,1,0,1） （1,1,0,1） （0,0,0,1） （1,0,1,1） （0,0,1,0） （1,0,1,0） （0,0,0,0） （0,0,0,0） （1,0,1,0） （1,0,0,0） （1,1,0,0） （1,0,1,0） （1,0,0,1） （1,0,0,0） （1,0,1,0） K?3 K?4 K?5 K?6 K?7

3、 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖完的报纸退回。设每份报纸的购进价为，零售价为，退回价为，应该自然地假设。这就是说，报童售出一份报纸赚，退回一份报

2014年春 - 4 / 33 - 数学建模

数学建模习题选做 陈文滨

纸赔。报童如果每天购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱。请你为报童筹划一下，他应该如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入。 【符号说明】

报纸具有时效性每份报纸进价b元，卖出价a元，卖不完退回份报纸c元。设每日的订购量为n，如果订购的多了，报纸剩下会造成浪费，甚至陪钱。订的少了，报纸不够卖，又会少赚钱。为了获得最大效益，现在要确定最优订购量n。

n的意义。n是每天购进报纸的数量，确定n一方面可以使报童长期以内拥有一个稳定的收入，另一方面也可以让报社确定每日的印刷量，避免纸张浪费。所以，笔者认为n的意义是双重的。

本题就是让我们根据a、b、c及r来确定每日进购数n。 【模型假设】

1、假设报童现在要与报社签定一个长期的订购合同，所以要确定每日的订购量n。 2、假设报纸每日的需求量是r，但报童是一个初次涉足卖报行业的菜鸟，毫无经验，无法掌握需求量r的分布函数,只知道每份报纸的进价b、售价a及退回价c。 3、假设每日的定购量是n。 4、报童的目的是尽可能的多赚钱。 【模型建立】

应该根据需求量r确定需求量n，而需求量r是随机的，所以这是一个风险决策问题。而报童却因为自身的局限，无法掌握每日需求量的分布规律，已确定优化模型的目标函数。但是要得到n值，我们可以从卖报纸的结果入手，结合r与n的量化关系，从实际出发最终确定n值。

由常识可以知道卖报纸只有赚钱、不赚钱不赔钱、赔钱会有三种结果。现在用简单的数学式表示这三种结果。

1、赚钱。赚钱又可分为两种情况:

①r>n，则最终收益为(a-b)n (1) ②r0 整理得：r/n>(b-c)/(a-c) (2) 2、由(2)式容易得出不赚钱不赔钱。 r/n=(b-c)/(a-c) (3) 3、赔钱。

2014年春 - 5 / 33 - 数学建模

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解得， 当 x=20，y=30时， Zmax=3360元

则此时，生产生产计划为20桶牛奶生产A1，30桶牛奶生产A2。 （2）设：纯利润为W元。

W=Z-33*(x+y)=39x+31y=3360-33*50=1710(元)>0 则，牛奶33元/桶 可以买。

(3)若不限定牛奶的供应量，则其优化条件变为：

12x8y

0 3x W=39x+31y

2014年春 - 11 / 33 - 数学建模

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解得，当x=0，y=60时 ， Wmax=1860元 则最多购买60桶牛奶。

(4) 若将全部的利润用来支付工人工资，设工资最高为n元。 n=Wmax/480=3.875（元）

(5)若A1的获利为30元，则其优化条件不变。 Z1=90x+64y

2014年春 - 12 / 33 - 数学建模

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解得， 当x=0，y=60时，Z1max=3840（元） 因此，不必改变生产计划。

k?r．9、建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k，销售速率为常数r，在

每个生产周期Ｔ内，开始的一段时间

?0?t?T0?一边生产一边销售，后来的一段时间

(T0?t?T)只销售不生产，画出贮存量g(t)的图形.设每次生产准备费为c1，单位时间每

件产品贮存费为c2，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论k??r和k?r的情况. 【模型建立】

2014年春 - 13 / 33 - 数学建模

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建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k，销售速率为常数r，k?r．在每个生产周期Ｔ内，开始的一段时间

?0?t?T0?一边生产一边销售，后来的一段时间

(T0?t?T)只销售不生产，画出贮存量g(t)的图形.设每次生产准备费为c1，单位时间每

件产品贮存费为c2 【模型求解】

由题意可得贮存量g(t)的图形如下：

O ngg(t)k?r r T0 0TTt (k?r)T0?T2

贮存费为 又?

c2lim?g(?i)?ti?c2?g(t)dt?c2?t?0i?1(k?r)T0?r(T?T0)

T0?rr(k?r)T?TTc2?k , ? 贮存费变为 2k

?

于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为

c1c2r(k?r)T2c1r(k?r)TC(T)????c2T2kTT2k

cdCr(k?r)??12?c22k. T dTdCT??令?0dT , 得

2c1kc2r(k?r)

?C(T)在T处取得最小值，即最优周期为： 易得函数

?T??2c1kc2r(k?r)

当k??r时，T

?2c1c2r . 相当于不考虑生产的情况.

2014年春 - 14 / 33 - 数学建模

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当k?r时，T

10、在考虑最优价格问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成本q随时间增长，设

??? . 此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.

q(t)?q0??t，?为增长率.又设单位时间的销售量为x?a?bp(p为价格).今将销售

0?t?T和T?t?T22期分为两段，每段的价格固定，记作p1,p2.求p1,p2的最优值，

使销售期内的总利润最大.如果要求销售期T内的总售量为【模型求解】

按分段价格，单位时间内的销售量为

Q0，再求p1,p2的最优值.

T??a?bp1,0?t?2x??a?bp2,T?t?T?2?

又?

q(t)?q0??t.于是总利润为 ?(p1,p2)??T20?p1?q(t)?(a?bp1)dt??T?p2?q(t)?(a?bp2)dt2T

TT?2??2???(a?bp1)?p1t?q0t?t?2?(a?bp2)?p2t?q0t?t?T2?2???02 =

p1Tq0T?T2p2Tq0t3?T2(a?bp1)(??)?(a?bp2)(??)228228=

??p1Tq0T?T2T??b(??)?(a?bp1)?p12282 p2Tq0t3?T2??T??b(??)?(a?bp2)?p22282

令?????0,?0?p1?p2,

得到最优价格为:

2014年春 - 15 / 33 - 数学建模

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?1??T?p?a?b(q?)?10???2b?4???p2?1?a?b(q0?3?T)??2b?4??? ?在销售期T内的总销量为

Q0??(a?bp1)dt??T(a?bp2)dt?aT?2T20TbT(p1?p2)2

于是得到如下极值问题：

p1Tq0T?T2p2Tq0t3?T2max?(p1,p2)?(a?bp1)(??)?(a?bp2)(??)228228

s.t

aT?bT(p1?p2)?Q02

利用拉格朗日乘数法，解得：

aQ0?T?p??1b?bT?8?aQ?T?p2??0?bbT8 ?即为p1,p2的最优值.

11、某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用A原料1千克, B原料5千克；一件乙产品用

A原料2千克, B原料4千克.现有A原料20千克, B原料70千克.甲、乙产品每件售价

分别为20元和30元.问如何安排生产使收入最大？ 【模型建立】

设安排生产甲产品x件,乙产品y件，相应的利润为S 则此问题的数学模型为： max S=20x+30y

s.t. 【模型求解】

?x?2y?20??5x?4y?70?x,y?0,x,y?Z?

这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解

2014年春 - 16 / 33 - 数学建模

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可行域为：由直线l1：x+2y=20, l2:5x+4y＝70 l2 y 以及x=0,y=0组成的凸四边形区域. 直线l：20x+30y=c在可行域内 l 平行移动.

易知：当l过l1与l2的交点时， l1 x S取最大值.

?x?2y?20?x?10??5x?4y?70y?5

由? 解得? 此时

12某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：

体积 货物 （立方米/箱） 甲 乙 5 4 （百斤/箱） 2 5 （百元/箱） 20 10 重量 利润 Smax＝20?10?30?5＝350（元）

已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润. 【模型建立】

设甲货物、乙货物的托运箱数分别为x1,x2,所获利润为z.则问题的数学模型可表示

max z?20x1?10x2

?5x1?4x2?24?st?2x1?5x2?13?x,x?0,x,y?Z ?12

【模型求解】

2014年春 - 17 / 33 - 数学建模

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这是一个整线性规划问题. 用图解法求解. 可行域为：由直线

l1:5x1?4x2?24

l2:2x1?5x2?13 及x1?0,x2?0组成直线 l:20x1?10x2?c在此凸四边形区域内x2 . 平行移动

易知：当l过l1与l2

的交点时，z取最大值

由

?5x1??2x1?4x2?24?x1??5x2?13x 解得 ?2?4?1

zmax?20?4?10?1?90.

a?4.b13、在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为

初始兵力

x0与y0相同.

(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.

(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负. 【模型建立】

用x?t?,y?t?表示甲、乙交战双方时刻t的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:

2014年春 - 18 / 33 - 数学建模

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?dx?dt??ay?dy???bx, ?1? ?dt?x?0??x,y?0??y00?【模型求解】

?0?a?A????b0?? 现求(1)的解: (1)的系数矩阵为

?E?A??a??2?ab?0. ??1,2??abb?

??2??2????，????1??1?

abt??1,?2对应的特征向量分别为??x?t????2?????1?的通解为?C1??y?t???1??e????再由初始条件，得

?2???C2??1??e??abt.

?x?x?t???0?y0?e?2?dxabt?x???0?y0?e??2?abt ???2?

?1?可得dy?bx.又由

ay

2222ay?bx?k, 而k?ay?bx ???3? 00其解为

22ay0?bx0kb3当x?t1??0时，y?t1????y01??y0.aaa2(1)

3y0.2即乙方取胜时的剩余兵力数为

?x?x?t1??0,由（2）得?0?y0?e?2?又令

abt1?x???0?y0?e??2?abt1abt1?0.

x0?y0,得e2注意到

abt1?x0?2y0?e22y0?x0.

?3, ?t1?ln3.4b

(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援.则

2014年春 - 19 / 33 - 数学建模

数学建模习题选做 陈文滨

?dx?dt??ay?r?dy???bx ???4??dt?x(0)?x,y?0??y00?由?4?得

dx?ay?r?,即bxdx?aydy?rdy.22ay?2ry?bx?k, dy?bx 相轨线为

22.0r?r2?2k?ay?2ry0?bx或a?y???bx??k.a?a? 此相轨线比书图11中的轨线上移了

20r?b2r2?rk?0,亦即?y0???x0?2..a?aa a乙方取胜的条件为?

14、在6.1节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从Logistic规律，而单位时间捕捞量为常数h．

(1)分别就h?rN/4，h?rN/4，h?rN/4这3种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其稳定状况．

(2)如何获得最大持续产量，其结果与6.1节的产量模型有何不同． 【模型建立】

设时刻t的渔场中鱼的数量为x?t?，则由题设条件知：x?t?变化规律的数学模型为

2dx(t)x?rx(1?)?hdtN

记

F(x)?rx(1?x)?hN

【模型求解】

(1).讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性： 由F?x??0，得

rx(1?x)?h?0N ．

r2x?rx?h?0??????????1?N即

2014年春 - 20 / 33 - 数学建模

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n2nE?E'?4m，6m2 由上知：

E'/E?2n2n?13m，当m?n时，3m， ? E'?E．

?

所以第二种办法比第一种办法好．

20、某甲早8：00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿. 次日早8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅店.某乙说，甲必在两天中的同一时刻经 过路径中的同一地点.为什么？ 【模型建立】

我们以山下旅店为始点记路程,设从山下旅店到山顶的路程函数为f(t)(即t时刻走的路程为f(t)),同样设从山顶到山下旅店的路函数为g(t),并设山下旅店到山顶的距离为a(a>0). 【模型求解】

f(8)?0,f(17)?a,g(8)?a,g(17)?0.令h(t)?f(t)?g(t),则有

h(8)?f(8)?g(8)??a?0，h(17)?f(17)?g(17)?a?0，由于f(t),g(t)都是时间

t的连续函数,因此h(t)也是时间t的连续函数,由连续函数的介值定理,

?t0?[8,17],使

h(t0)?0,即f(t0)?g(t0).

21、已知某商品在k时段的数量和价格分别为

xk和yk，其中1个时段相当于商品的一个生yk?1?f(xk?1?xk)x?g(yk).试建2和k?1产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为

立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件. 【模型建立】

2014年春 - 26 / 33 - 数学建模

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商品的需求函数和供应函数分别为

yk?1?f(xk?1?xk)x?g(yk). 2和k?1P(x,y)P设曲线f和g相交于点000，在点0附近可以用直线来近似表示曲线f和g

【模型求解】

yk?1?y0???(xk?1?xk?x0),??02 --------------------（1）

由（2）得

xk?1?x0??(yk?y0),??0 --- ----------------（2）

xk?2?x0??(yk?1?y0) --------------------（3）

xk?2?x0????(xk?1?xk?x0)2

（1）代入（3），可得 ?

2xk?2???xk?1???xk?2x0?2??x0,k?1,2,?， --------------（4）

上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程. 为了寻求

P0点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程：

2 2?????????0 容易算出其特征根为

?1,2????(??)2?8???4 ---------------（5）

当???8时，显然有

????(??)2?8?????2???44 -----------（6）

从而

?2??2 2，在单位圆外．下面设???8，由(5)式可以算出

?1,2?1，必须 ???2．

?1,2???2

要使特征根均在单位圆内，即 故

P0点稳定平衡条件为 ???2．

2014年春 - 27 / 33 - 数学建模

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dx(t)x?rx(1?)N 22、设某渔场鱼量x(t)(时刻t渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：dt其中r为固有增长率,N`为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数h. （1）．求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性; （2）．试确定捕捞强度

*x0平.

Em,使渔场单位时间内具有最大持续产量Qm,并求此时渔场鱼量水

（1）【模型建立】

dx(t)x?rx(1?)?hx(t)变化规律的数学模型为 dtN

【模型求解】

f(x)?rx(1?记

xxr2)?hrx(1?)?h?0x?rx?h?0NN,令 ，即 N----（1）

??r2?4rh4h?r(r?)x1,2?NN ， （1）的解为：

N?1?24hNrN

当??0时，（1）无实根，此时无平衡点；

②当??0时，（1）有两个相等的实根，平衡点为

x0?N2.

f'(x)?r(1?xrx2rx)??r?'NNN ，f(x0)?0 不能断定其稳定性.

f(x)?rx(1?但

?x?x0 及x?x0 均有

xrNdx)??0?0N4?x0不稳定； ，即dt③ 当??0时，得到两个平衡点：

N?N1?x1?2x1?4hrN ，

N?N1?x2?24hrN

易知

NNx2?2 ， 2 ?f'(x1)?0， f'(x2)?0

2014年春 - 28 / 33 - 数学建模

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?平衡点x1不稳定 ，平衡点x2稳定.

（2） 【模型建立】

maxh??s.t.f(x)?0

最大持续产量的数学模型为： ?【模型求解】

maxh?rx(1?xNrNN**)x0?h?x0?N， 易得 2 此时 4，但2这个平衡点不稳定.

x?NNN2,且尽量接近2,但不能等于2.

要获得最大持续产量，应使渔场鱼量

23、某工厂生产甲、乙两种产品,生产每件产品需要原材料、能源消耗、劳动力及所获利润如下表所示： 品种 甲 乙 原材料 2 3 能源消耗(百元) 劳动力(人) 1 6 4 2 利润(千元) 4 5 现有库存原材料1400千克；能源消耗总额不超过2400百元；全厂劳动力满员为2000人.试安排生产任务(生产甲、乙产品各多少件),使利润最大,并求出最大利润. 【模型建立】

设安排生产甲产品x件，乙产品y件，相应的利润为S.则此问题的数学模型为

maxS?4x?5ys.t.2x?3y?1400x?6y?24004x?2y?2000 x?0,y?0,x,y?Z 【模型求解】

用图解法.可行域为：由直线

2014年春 - 29 / 33 - 数学建模

数学建模习题选做 陈文滨

l1:2x?3y?1400l2::x?6y?2400l3:4x?2y?2000及x?0,y?0

组成的凸五边形区域.

l与l3的交点时，S取最

直线l:4x?5y?C在此凸五边形区域内平行移动. 易知：当l过1?2x?3y?1400?4x?2y?2000 解得：x?400,y?200

大值. 由?Smax?4?400?5?200?2600（千元）.

故安排生产甲产品400件、乙产品200件,可使利润最大,其最大利润为2600千元.

24、证明8.1节层次分析模型中定义的n阶一致阵A有下列性质： （1） A的秩为1，唯一非零特征根为n； （2） A的任一列向量都是对应于n的特征向量. 证明： （1）由一致阵的定义知：A满足

aij?ajk?aik，i,j,k?1,2,?,n

于是对于任意两列i,j，有

aik?aij，?k?1,2,?,n?.即i列与j列对应分量成比例. ajk从而对A作初等行变换可得：

?b11b12?00初等行变换?A?????????0?0?b1n??0??? B ?????0?这里B?0.?秩?B??1，从而秩?A??1

再根据初等行变换与初等矩阵的关系知：存在一个可逆阵P，使PA?B，于是

?c11c12?00?1?1?PAP?BP?????0?0?c1n??0???C ?????0?2014年春 - 30 / 33 - 数学建模

数学建模习题选做 陈文滨

易知C的特征根为c11,0,?,0（只有一个非零特征根）.

又?A～C，?A与C有相同的特征根，从而A的非零特征根为c11，又?对于任意矩阵有?1??2????n?Tr?A??a11?a22???ann?1?1???1?n.故A的唯一非零特征根为n.

（2）对于A的任一列向量?a1k,a2k,?,ank?，?k?1,2,?,n?

T有 A?a1k,a2k,?,ank?T?n??n?aaa??1jjk???1k??jn?1??jn?1??na1k??aa??a??na2k?2jjk????2k?????n?a,a,?,a?T ???1k2knkj?1j?1????????n???n???na???aa???a??nk?njjknk????j?1j?1????T?A的任一列向量?a1k,a2k,?,ank?都是对应于n的特征向量.

25、在9.1节传送带效率模型中,设工人数n固定不变.若想提高传送带效率D,一种简单的方法是增加一个周期内通过工作台的钩子数m，比如增加一倍，其它条件不变．另一种方法是在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子，其它条件不变，于是每个工人在任何时刻可以同时触到两只钩子，只要其中一只是空的，他就可以挂上产品，这种办法用的钩子数量与第一种办法一样．试推导这种情况下传送带效率的公式，从数量关系上说明这种办法比第一种办法好． 【模型建立】

两种情况的钩子数均为2m．第一种办法是2m个位置，单钩放置2m个钩子；第二种办法是m个位置，成对放置2m个钩子． 【模型求解】

① 由9.1节的传送带效率公式，第一种办法的效率公式为

n2m??1?? D??? ?1??1?n?2m????? 当

n较小，n??1时，有 2m2014年春 - 31 / 33 - 数学建模

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D?2m??1n?n?1???n?1 1?1???1?????2n??2m4m8m??n 4m D?1?E ， E? ② 下面推导第二种办法的传送带效率公式：

对于m个位置，每个位置放置的两只钩子称为一个钩对，考虑一个周期内通过的m个钩对．

1； m1 任一只钩对不被一名工人接触到的概率是1?；

m11 记p?,q?1?．由工人生产的独立性及事件的互不相容性．得，任一钩对为空

mm 任一只钩对被一名工人接触到的概率是

的概率为qn，其空钩的数为2m；任一钩对上只挂上１件产品的概率为npqn?1，其空钩数为m．所以一个周期内通过的2m个钩子中，空钩的平均数为 2m?qn?m?npqn?1?m2qn?npqn?1 于是带走产品的平均数是 2m?m2qn?npqn?1， 未带走产品的平均数是 n?2m?m2q?npq ?此时传送带效率公式为

nn?112m?m2qn?npn?qm?1?n?1?????2?2?1????1??? D'?nn?m?m???m?????????nn?1??）

?? ③ 近似效率公式：

1?nn?n?1?1n?n?1??n?2?1?由于 ?1???1?? ?23m2m6m?m?n1?? ?1???m?n?1?1?n?1?n?1??n?2?1 ?2m2m? D'?1??n?1??n?2?

6m2n2当n??1时，并令E'?1?D'，则 E'? 26m④ 两种办法的比较：

2014年春 - 32 / 33 - 数学建模

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n2n 由上知：E?，E'? 24m6m ? E'/E?2n2n?1， ? E'?E． ，当m?n时，

3m3m所以第二种办法比第一种办法好． 2014年春 - 33 / 33 - 数学建模

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