孙畅健--开题报告4

鞍山师范学院

数学与信息科学学院

2013届学生毕业设计（论文）开题报告

课题名称：富比尼定理及其应用学生姓名：孙畅健

专 业：数学与应用数学 班 级：09.2 学 号：04号 指导教师：赵艳英

2012年 12 月 26 日

论文开题报告

论文题目：富比尼定理及其应用

一、选题意义 1.理论意义

勒贝格(Lebesgue)测度与积分理论的发展奠定了近代分析数学的基础，而这一变革和发展的根基就是经典的黎曼(Riemann)积分。而在交换积分次序这个问题上，勒贝格积分要求的条件也是比黎曼积分要求条件少得多，在R积分的框架内，总不免要用到某些难以验证的条件。而在L积分的框架内，富比尼定理从根本上解决了上述问题。 2. 现实意义

富比尼（Fubini）定理揭示了高维积分与低维积分之间的关系，也就是数学分析中重积分与累次积分之间关系的推广。在交换积分次序问题上，勒贝格积分要求的条件比黎曼积分要求的条件弱得多，这就是勒贝格积分理论的优越性之一。勒贝格积分极大地推动了数学的发展，继而能够比较容易的解决有关几何、物理甚至经济等自然学科的相关问题。 二、论文综述

1.理论渊源及演进过程

勒贝格积分理论作为分析学中的一个有效工具的出现，尤其是他在三角级数中应用的高度成功，吸引了许多数学家，例如P．法国（Fatou），F．里斯(Riesz)和E．菲舍尔(Fischer)等，来探讨有关的问题，使得这一领域开始迅速发展．其中特别是里斯关于Lp空间的工作(注：勒贝格可积的函数全体构成的距离空间是完备的)，使得勒贝格积分在积分方程和函数空间的理论中持久地占有重要的位置．

勒贝格积分是以昂利.勒贝格命名的，他于1904年引入了这个积分定义。今天勒贝格积分有狭义和广义两种意义。广义地说是相对于一个测度而定义的函数积分。狭义则是指相对于勒贝格测度在实直线。或者更高维数的欧式

空间的一个子集中定义的函数的积分。在闭区间a和b之间对函数f的积分可以被看作是求f的函数图像下的面积。对于多项式这样比较常见的函数来说这个定样比较常见的函数来说这个定义简而易懂。但是对于更加稀奇古怪的函数来说它是什么意思呢？广义地来说，对于什么样的呢？广义地来说，对于什么样的函数“函数图像下的面积”这个函数“函数图像下的面积”这个呢？广义地来说，对于什么样的函数“函数图像下的面积”这个概念有意义？这个问题的答案具有很大的理论性和实际性意义。

在传统的关于二重积分与累次积分的恒等性定理上，黎曼积分也反映出它的不足之处，人们发现了是该定理不成立的例子。从而作为一个结论，这一定理的传统说法必须修改，然后再把积分推广于无界函数时，这一修改变得更加严峻。对此，勒贝格的重积分理论，使得用累次积分来计算二重积分的函数范围扩大了。他在1902年发表的论文《积分、长度与面积》给出的一个结果奠定了1907年圭多·富比尼创立的著名定理的基础。

富比尼是意大利多产的数学家之一，论述涉及几乎所有数学分支，出版了有关线性微分方程、偏微分方程、多复变解析函数和单调函数等方面的专著；研究过变分学、积分化简、概率分析和函数级数等问题；建立了判定连续群的准则；对非欧几何和微分几何中的许多问题均有论述。1919年获王室授予的奖金。1928年起,任《纯粹与应用数学年刊》编辑。此外，他在物理学中也有贡献，对动力学、电学、波的理论提出过精辟见解。

2.国外有关研究的综述

19世纪的微积分学中已经有了许多直观而有用的积分，例如黎曼积分（简称R积分）、黎曼-斯蒂尔杰斯积分(简称R-S积分)等。只要相应的函数性质良好,用这些积分来计算曲边形面积、物体 、重心、物理学上的功、能等，是很方便的。然而，随着认识的深入，人们愈来愈经常地需要处理复杂的函数，例如，由一列性质良好的函数组成级数所定义出来的函数，两个变元的函数对一个变元积分后所得到的一元函数等。在讨论它们的可积性、连续性、可微性时，经常遇到积分与极限能否交换顺序的问题。通常只有在很强的假设下才能对这问题作出肯定的回答。因此，在理论和应用上都迫切要

求建立一种新的积分,它既能保持R积分的几何直观和计算上的有效，又能在积分与极限交换顺序的条件上有较大的改善。1902年法国数学家H.L.勒贝格出色地完成了这一工作，建立了以后人们称之为勒贝格积分的理论，而富比尼定理是勒贝格积分理论的又一重要成果。对于交换积分顺序，这个定理的条件似乎已降到最低限度。 3.国内有关研究的综述：

富比尼定理无论是在理论研究还是在实际问题中都着重要的应用。西安交大的赵汝怀在《(N )模糊积分的连续性与Fubini定理》一文中从分布函数的研究入手, 建立了一系列(N )模糊积分与极限交换次序的充分条件, 给出了乘积模糊测度空间上(N )模糊积分的Fubini 定理。1983年7月黄重器在《龙岩师专学报》发表了《富比尼定理的推广》，文中提到“在计算付伦涅尔积分的过程中, 我发觉一些分析教科书上现成的积分次序交换定理都不能引用, 因此我建立一个新的积分次序交换定理。”推广了富比尼定理的应用。还有丘维敦的《完全测度空间上的Fubini定理》，张兴汉的《拟可加测度空间的富比尼定理》，俞能福《富比尼原理及应用》，大连理工大学应用数学系杨利民和韩山师范学院数学与信息技术系陈楷城等我国的一些从事基础数学教学和研究的人员对此进行了经验研究与理论思索，并取得了较大进展。

4.本人对以上的综述

勒贝格积分与黎曼积分的产生和发展与力学、物理学和几何学的发展紧密相联，勒贝格积分和黎曼积分的产生具有深远的历史意义，一方面，极大的推动了数学学科的发展，丰富了数学学科的思想；另一方面，勒贝格积分与黎曼积分在力学以及物理和其他学科中应用，极大地推动了其他科学的发展。希望通过该课题更加全面地让同学们了解富比尼定理及其应用。

三、论文提纲 前言：

勒贝格(Lebesgue)测度与积分理论的发展奠定了近代分析数学的基础，而这一变革和发展的根基就是经典的黎曼(Riemann)积分。而富比尼定理又

是勒贝格积分中的一重要定理。

本文介绍了黎曼积分的定义、性质定理，勒贝格积分的定义、性质和富比尼定理的相关性质理论及证明。进而了解富比尼定理的优越性。 （一）黎曼积分的定义及性质定理 1.黎曼积分的定义 2.黎曼积分的性质定理

（二）勒贝格积分的定义及性质定理 1.勒贝格积分的定义 2.勒贝格积分的性质定理

（三）富比尼定理的定义及其证明 1.富比尼定理的定义 2.富比尼定理证明

（四）与富比尼定理相关的其他定理 1.托内利(Tonelli)定理 2.抽象富比尼定理 （五）富比尼定理的应用 1.随机变量及数学期望 2.计算高维积分 结论：

勒贝格积分中的富比尼定理在数学中占重要地位。同时，它和物理学、 几何学也有很大的联系，以上几个方面的应用也只是富比尼定理在数学中应用的一部分,富比尼定理还有很多其它应用之处。只要勤于学习, 善于思考, 勇于探索,就一定能提高应用数学知识解决实际问题的能力。使自己对富比尼定理有更深刻的认识。 四、预期结果

勒贝格积分和黎曼积分在数学中占重要地位。只要勤于学习, 善于思考, 勇于探索,就一定能从中感受到富比尼定理的无穷魅力, 使自己对富比尼定理更深刻的认识，同时也能提高应用数学知识解决实际问题的能力。

五、参考文献

［1］匡继昌，《实分析引论》[M]，湖南教育出版社 ，1996年12月 ［2］俞能福，富比尼原理及应用[J]，安徽技术师范学院学报，2005 ［3］胡钦训，《实变函数论基础》[M]，国防工业出版社，1984年11月 ［4］江泽坚, 昊智泉合编，《实变函数论》[M]，人民教育出版社，1961 ［5］夏道行、严绍宗，《实变函数与应用泛函分析基础》[M]，上海科学技术出版社，1987

［6］数学手册编写组, 数学手册[M ] ， 高等教育出版社, 1979 ［7］李日光,欧苡，非光滑函数的格林公式、高斯公式和斯托克斯公式[J]，广西师范学报，2003

［8］严绍宗，童裕孙合编，《实变函数与泛函分析》[M]，1992年12月 ［9］刘培德，《实变函数教程》[M]，科学出版社，2006 ［10］胡适耕，《实变函数》[M]，高等教育出版社，1999年7月 [11]张兴汉，拟可加测度空间的富比尼定理[J]，深圳大学学报,1994 六、论文写作进度安排

11月初～11月中旬 论文选题，确定论文题目

11月下旬～12月末 根据所选论文题目搜集资料、初步论证，完成开题报 告。

13年1月～2月 学习所搜集的资料，并对其进行分析、归纳、整理， 完成论文初稿。

3月初～3月末 根据指导教师意见，对论文初稿进行修改，完成论文二稿。

4月初～4月中旬 根据指导教师意见，对论文二稿进行修改，完成论文三稿，同时完成论文的英文摘要。

4月下旬～5月15日 继续修改论文，直至定稿，并完成论文的排版与打印工作。

5月下旬～5月末 准备毕业答辩.

参考文献的格式不对，按孙冰的开题报告格式，参考文献应该有期刊

五、参考文献

［1］匡继昌，《实分析引论》[M]，湖南教育出版社 ，1996年12月 ［2］俞能福，富比尼原理及应用[J]，安徽技术师范学院学报，2005 ［3］胡钦训，《实变函数论基础》[M]，国防工业出版社，1984年11月 ［4］江泽坚, 昊智泉合编，《实变函数论》[M]，人民教育出版社，1961 ［5］夏道行、严绍宗，《实变函数与应用泛函分析基础》[M]，上海科学技术出版社，1987

［6］数学手册编写组, 数学手册[M ] ， 高等教育出版社, 1979 ［7］李日光,欧苡，非光滑函数的格林公式、高斯公式和斯托克斯公式[J]，广西师范学报，2003

［8］严绍宗，童裕孙合编，《实变函数与泛函分析》[M]，1992年12月 ［9］刘培德，《实变函数教程》[M]，科学出版社，2006 ［10］胡适耕，《实变函数》[M]，高等教育出版社，1999年7月 [11]张兴汉，拟可加测度空间的富比尼定理[J]，深圳大学学报,1994 六、论文写作进度安排

11月初～11月中旬 论文选题，确定论文题目

11月下旬～12月末 根据所选论文题目搜集资料、初步论证，完成开题报 告。

13年1月～2月 学习所搜集的资料，并对其进行分析、归纳、整理， 完成论文初稿。

3月初～3月末 根据指导教师意见，对论文初稿进行修改，完成论文二稿。

4月初～4月中旬 根据指导教师意见，对论文二稿进行修改，完成论文三稿，同时完成论文的英文摘要。

4月下旬～5月15日 继续修改论文，直至定稿，并完成论文的排版与打印工作。

5月下旬～5月末 准备毕业答辩.

参考文献的格式不对，按孙冰的开题报告格式，参考文献应该有期刊

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