湖北省荆门市11-12学年高二下学期期末考试（数学理） 2

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荆门市2011—2012学年度期末质量检测考试

高 二 数 学（理）

注意：

1、全卷满分150分，考试时间120分钟.

2、考生务必将自己的姓名、考号、班级、学校等填写在答题卡指定位置；交卷时只交答题卡. 一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.将选项代号填涂在答题卡上相应位置. 1．已知复数z?

2i

，则z2等于 1?iA．2i B．-2i

2C．-2-2i D．-2 + 2i

x2y2??1的右焦点重合，则p的值为 2．若抛物线y?2px的焦点与椭圆62

A．-2

2 B．2 C．-4 D．4

3．“x?5x?4?0”是“x?2?1”的

A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

4．不等式|x?3|?|x?1|≤a2?3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为

A．(??,?1][4,??) C．?1,2?

B．(??,?2][5,??) D．(??,1][2,??)

5．设x>0,y>0,M=

A. M=N

x?yxy?，N=,则M，N的大小关系是 1?x1?y1?x?yB. M

C. M>N

D. 不能确定

6．一质点运动时速度与时间的关系为v(t)?t2?t?2，质点作直线运动，则此物体在时间?1,2?内的位移

为

A．

17 6B．

1413 C．36 D．

11 67．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形的对角线的条数f(n?1)等于

A．f(n)?n?1 B．f(n)?n C．f(n)?n?1 D．f(n)?n?2

x2y2??1上的点到直线x?2y?2?0的最大距离是 8．椭圆

164

A．3

B．11

C．22

D．10

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9．已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(1)?0，当x?0时有解集为

A．(?1,0) B．(?1,0)xf?(x)?f(x)?0，则不等式xf(x)?0的

x2(1,??) C．(1,??) D．(??,?1)(1,??)

x2y2??1的左、右焦点分别为F1,F2,弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为?，A、B两点的10．椭圆

2516坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，则y2?y1的值为

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.把答答题卡的相应位置.

11．双曲线9x?y??1的渐近线方程为 ▲ . 12. 如图，曲线y?f(x)在点P(5,f(5))处的切线方程是

22A.5 3B.

10 3C.

20 35D. 3y y=-x+8 P 案填在

y??x?8，则f(5)+f?(5)= ▲ ．

13．5个人各拿一只水桶到水龙头旁等待接水，如果水龙头注满

O 第12题图

5 x 这5个人

的水桶需要的时间分别是4分钟，8分钟，6分钟，10分钟，5分钟，如果要将所有的水桶都装满，则他们等待的总时间最少为 ▲ 分钟． 14．在?ABC中，不等式

1119?+≥成立；在四边形ABCD中，不等式 ABC?1111161111125成立；在五边形ABCDE中，不等式?+++≥成立……，依此类?++≥ABCD2?ABCDE3?推，在n边形A1A2?An中，不等式

11?+A1A21≥ ▲ 成立。 An15．已知A(?1,0),B(1,0),设M(x,y)为平面内的动点，直线AM，BM的斜率分别为k1,k2, ①若

k1?2,则M点的轨迹为直线x??3（除去点(?3,0)） k22y2?1（除去长轴的两个端点） ②若k1?k2??2，则M点的轨迹为椭圆x?2y2?1 ③若k1?k2?2，则M点的轨迹为双曲线x?22④若k1?k2?2，则M点的轨迹方程为：y?x?1（x??1） x2⑤若k1?k2?2，则M点的轨迹方程为：y??x?1（x??1）

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上述五个命题中，正确的有 ▲ （把所有正确命题的序号都填上）.

三、解答题：本大题共6小题，满分75分，将答案写在答题卡指定区域内，写出必要的文字说明、演算或证明步骤.

16．（本小题满分12分） 已知p：A?x|x2?2x?3≤0,x?R,

??q：B??x|x2?2mx?m2?9≤0,x?R,m?R?．

（Ⅰ）若AB??1,3?,求实数m的值；

（Ⅱ）若p是?q的充分条件，求实数m的取值范围．

(1?x)2x2a2b217．（本小题满分12分）已知a,b?R,试证：?≥a?b；并求函数y?（0?x?1）?bax1?x?的最小值.

18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，SA⊥平面ABCD， SA

S＝AB＝BC＝2，AD＝1．

（Ⅰ）求SC与平面ASD所成的角余弦； （Ⅱ）求平面SAB和平面SCD所成角的余弦．

ADBC

第18题图

19．（本小题满分12分）如图，从边长为2a的正方形铁皮的四个角各截去一个边长为x的小正方形，再

将四边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，且要求长方体的高度x与底面正方形的边长的比不超过常数t，问：x取何值时，长方体的容积V有最大值？

20．（本小题满分13分）

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第19题图

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1x2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线

2abx?y?6?0相切，直线l:x?my?4与椭圆C相交于A、B两点.

21．（本小题满分14分）设函数f(x)?x?(x?1)ln(x?1)(x??1).

（Ⅰ）求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）证明：当n?m?0时，(1?n)m?(1?m)n；

（Ⅲ）证明：当n?2012，且x1,x2,x3,…，xn?R?，x1?x2?x3?222x3xnx12x21???…?≥(1) 1?x11?x21?x31?xn1?n 22112x3x12x2xn12012n???…?)＞()(2) (.

1?x11?x21?x31?xn2013（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）求OA?OB的取值范围；

（Ⅲ）若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点.

?xn?1时，

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高二数学（理）参考答案及评分标准 命题：龙泉中学 张建军 审校：方延伟 李永华

一．选择题(每小题5分，共50分)

ADBAB ACDBD 二、填空题(每小题5分，共25分)

n211. 3x?y?0 12. 2 13.84 14. 15. ①④⑤

(n?2)?第4页（共9页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司

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三、解答题(本大题共6小题，共75分)

16．（Ⅰ）A??x|?1≤x≤3,x?R?, ……………………………………………2分

B??x|m?3≤x≤m?3,x?R,m?R?, ………………………………4分 AB??1,3? ?m?4……………………………………………………6分

（Ⅱ）

p是?q的充分条件, ?A?eRB, …………………………………………8分

?m?6或m??4．………………………………………………………………12分

17.证法1：（作差法）

a2b2a3?b3?a2b?ab2(a?b)2(a?b)??(a?b)??……………6分 baabab

(a?b)2(a?b)≥0,当且仅当a=b时等号成立， 又?a?0,b?0,?aba2b2??≥a?b……………………………………………………………………8分

ba

证法2：（柯西不等式）?a?0,b?0,由柯西不等式：

a2b2b??a(?)(a?b)??()2?()2???baa???b??a??b??a?b?≥???b????a??????b??a??

?(a?b)2,当且仅当a?b时等号成立，即证 ??????????????8分????222

a2b2a3b322证法3：（重要不等式）(?)(a?b)?a?b??≥a2?b2?2ab?(a?b)2baba

22ab??≥a?b,当且仅当a=b时等号成立．…………………………8分

ba

(1?x)2x21由上式可知：y??≥(1?x)?x?1,当且仅当1-x?x即x?时等号成立……12分

x1?x218. （Ⅰ）如图建系，S(0,0,2), C(2,2,0), D(1,0,0),SC?(2,2,?2)

SzyAB?平面SAD，故平面ASD的一个法向量为AB?(0,2,0)

………………3分

设SC与平面ASD所成的角为?则sin??BCSC?ABSC?AB?3 3ADx故cos??66，即SC与平面ASD所成的角余弦为………………………6分 33第5页（共9页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司

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（Ⅱ）平面SAB的一个法向量为m?(1,0,0),

?SC?(2,2,?2),SD?(1,0,?2),设平面SCD的一个法向量为n?(x,y,z),

??SC?n?0?x?y?z?0由?令z=1可得平面SCD的一个法向量为n?(2,?1,1), ??x?2z?0?……………9分 ?SD?n?0?显然，平面SAB和平面SCD所成角为锐角，不妨设为?则cos??m?nm?n?6 3即平面SAB和平面SCD所成角的余弦6 …………………………………12分 319．长方体的体积V(x)＝4x(x－a)2，(o＜x＜a)， ……………………………………2分

2tax< a ……………………………………4分 ≤ t 得 0＜x≤

1?2t2a?2xaaa而V′＝12(x－)(x－a) ∴V在（0，）增，在（，a）递减……………6分

3332taa1aa2at)上单减， 第一节 若≥即 t≥，V(x)在(0,]上单增，在(,1?2t34331?2t16a?当x＝时，V取最大值a3 ……………………………………………9分

3272taa12at]上单增 （2）若＜即 0＜t＜时，V(x)在(0,1?2t341?2t由

8ta32ta?当x＝ ……………………………………12分 时，V取最大值

1?2t(1?2t)3c2a2?b21c1422220．（Ⅰ）由题意知e??，∴e?2?，即a?b ?a234aa2y2x2??1……………3分 ?3，∴a?4，又b?b?3 故椭圆的方程为431?1622?l:x?my?4?（Ⅱ）解：由?x2y2得：(3m2?4)y2?24my?36?0 …………………………4分

??1?3?4由??0?(24m)2?4?36(3m2?4)?0?m2?4

设A(x1，y1)，B (x2，y2)，则y1?y2??224m36 ………………6分 ,yy?123m2?43m2?4?12m2?100116∴OA?OB?x1x2?y1y2?(m?1)y1y2?4m?y1?y2??16? ……8分 ??4?223m?43m?413∵m2?4∴3m2?4?16， ∴OA?OB?(?4，)

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13∴OA?OB的取值范围是(?4，)． ………………………………………………… 10分

4（Ⅲ）证：∵B、E两点关于x轴对称，∴E(x2，－y2) 直线AE的方程为：y?y1?y1?y2(x?x1)，

x1?x2令y = 0得：x?2my1y2?4(y1?y2)?y1?y22m?36?24m?4?3m2?43m2?4?1

?24m3m2?4∴直线AE与x轴交于定点(1，0)． …………………………………………………… 13分 21．（Ⅰ）由f(x)=x-(x+1)ln(x+1)，有f?(x)??ln(x?1)，………………… 2分 当?1?x?0时，f?(x)?0时，f(x)单调递增；

当x?0时，f?(x)?0时，f(x)单调递减；

所以f(x)的单调递增区间为(?1,0]，单调递减区间为[0,??). …… 4分

（Ⅱ）设g(x)=ln(1+x)(x>0)， xx-ln(1+x)x-(1+x)ln(1+x)1+x则g￠. ……………………………6分 (x)==22xx(1+x)由（Ⅰ）知，x-(1+x)ln(1+x)在(0,+ )单调递减， ∴x-(1+x)ln(1+x)<0，即g(x)是减函数， 而n?m?0，所以g?n??g?m?，得

mln(1?n)ln(1?m)， ?nmn得mln(1?n)?nln(1?m)，故?1?n???1?m?. ……………………………… 8分 （Ⅲ）（1）由x1?x2?x3?…?xn?1，及柯西不等式可知，

222x3xnx12x2(???…?)(1?n) 1?x11?x21?x31?xn222x3xnx12x2?(???…?)?(1?x1)?(1?x2)?(1?x3)?…?(1?xn)? 1?x11?x21?x31?xn2?x2x32x221???1?x1??1?x2??1?x3??1?x11?x1?x23??xn2??1?xn?

?1?xn??(x1?x2?x3??xn)2?1，

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?x12x32x22所以????1?x1?x1?x123?21xn2?1?xn2?1，………………………………11分 ??1?n?2?xxx?2?3?（2）由（1）得：??1?x11?x21?x3x??1?n?n????. 1?xn??1?n?n21n1又n?2012，由（Ⅱ）可知?1?n?1n120122012??1?2012?，

1n12012即?1?n???1?2012??1??1?，即?????1?n???2013?2.

12012?xxx?2?3?则??1?x11?x21?x3?xxx?2?3?故??1?x11?x21?x321222122?xn??1??1????????1?xn??1?n??2013?21n11n1n.

x??1?2012?n???……………………………14分 ?1?xn?2013??

附表1：各内容分布表：

12,?导数的定义和运算：?3,169,19,21?简易逻辑：?导数的应用：??选修2-1?圆锥曲线：2,8,10,11,15,20 选修2-2?积分： 6?空间向量：?推理与证明：1814???1?复数：：3,4，16?不等式和绝对值不等式?5,17,21?不等式的证明： 选修4-5?式：13,21?柯西不等式和排序不等?数学归纳法：7?附表2：部分课本改编题明细：

7 8 10 13 14 15 18 由选修4-5 P50 5改编 由选修2-1 P47 例7改编 由选修2-1 P42 3改编 由选修4-5 P44 例题1改编 由选修2-2 P84 4改编 由选修2-1，P41,例3；P42,4；P55探究；P81,B5; P74,B3改编 由选修2-1P119,3改编 第8页（共9页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司

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19 由选修4-5 P116例6改编 21 由选修4-5 P41, 6 改编

第9页（共9页）

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