高三数学-徐州市第一中学（徐州市）2014届高三考前模拟数学试题

徐州市2014届高考信息卷

数学Ⅰ

【试卷综析】这套试卷注重双基，突出能力考查;试卷的较多试题来自课本，源于平时的练习，以基本概念、基本原理和公式的应用为切入点，考查了学生对基础知识的掌握程度,同时对理解和应用能力、运算能力、空间想象能力及对解决综合问题的能力进行了考查。重视数学基本方法运用，淡化特殊技巧试题回避过难、过繁的题目，解题思路不依靠特殊技巧，只要掌握基本方法，就能找到解题思路以促进数学教学质量的提高为原则，在训练命题中立意明确，迎合了高考命题的要求。 注 意 事 项 考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分。 本试卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交 回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写 在试卷及答题纸上。

3.作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位 置作答一律无效。

4.如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。 一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上． ．．．．．．．．1．设集合A?xx2?3x?4≤0，B??x0≤x≤4?，则eAB? ▲ ． 【知识点】全集与补集的概念.

【答案解析】??1,0? 解析 ：解： 因为A?xx2?3x?4≤0????，所以解得

A??x?1?x≤4?，又因为B??x0≤x≤4?，

则eAB???1,0?故答案为：??1,0?

.

【思路点拨】先利用一元二次不等式的解法求出集合A；再利用补集的定义求eAB. 2．复数z?i?(1?i)（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于第 ▲ 象限． 【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义． 【答案解析】二 解析 ：解：z=i?（1+i）=-1+i， 故复数z对应的点为（-1，1），

在复平面的第二象限，故答案为：第二象限.

【思路点拨】化简复数z，根据复数与复平面内点的对应关系可得答案． 3．函数f(x)?lg(2?x)的定义域为 ▲ ． 【知识点】对数函数的定义域．

【答案解析】???,1? 解析 ：解：应该满足

?2?x＞0??lg?2?x?＞0

即2?x＞1，解得x?1，所以函数的定义域为???,1?故答案为：，???,1?. .

1

?2?x＞0【思路点拨】由题意得??lg?2?x?＞0然后解不等式组即可. ，4．甲、乙两个学习小组各有10名学生，他们在一次数学测验中成绩的茎叶图如图所示，则在这次测验中成绩较好的是 ▲ 组．

甲乙 58 364774566994

886643102 09

（第4题图）

【知识点】茎叶图． 【答案解析】甲 解析 ：解：甲的平均分为x甲?61?65?78?79?81?83?86?87?88?90?79.8， 1058?64?62?78?76?76?75?74?89?80x乙??73.2； 10x甲?x乙，且甲的成绩多集中在80分上，乙的成绩多集中在70分上，

∴甲组的成绩较好些； 故答案为：甲．

【思路点拨】可以利用甲、乙小组的平均分与方差，判定出成绩较好的小组．

【典型总结】本题考查了利用茎叶图判定数据的平均分与方差的问题，是基础题． 5．已知某算法的伪代码如图所示，则可算得f(?1)?f(e)的值为 ▲ ．

Read x

If x?0 Then

f(x)?lnx

Else

f(x)?2x

End If Print f(x) （第5题图） 【知识点】伪代码． 【答案解析】

3解析 ：解：如图所示的伪代码表示的算法，可得f（x）是分段函数，所2?lnx(x?0)13?1以f(x)??x∴f（e）=lne=1；f（-1）= 2?；则f（-1）+f（e）=.

22?2(x?0)故答案为：

3 22

【思路点拨】先根据算法语句写出分段函数，然后根据分段函数求出相应的函数值，从而求出所求．

【典型总结】本题主要考查了几种基本算法语句--输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想.

6．一个袋中装有2只红球、3只绿球，从中随机抽取3只球，则恰有1只红球的 概率是 ▲ ． 【知识点】组合问题. 【答案解析】

353 解析 ：解：从2只红球、3只绿球，随机抽取3只球的取法种数是 5122312C2C33C?10种，恰有1只红球的种数是CC?6,所以概率是33?，故答案为：

5C55【思路点拨】先求从2只红球、3只绿球，随机抽取3只球的取法种数，再求恰有1只红球

的种数，可得答案.

7．已知正三棱柱ABC?A1B1C1的底面边长与侧棱长相等．蚂蚁甲从A点沿表面经过棱BB1，

CC1爬到点A1，蚂蚁乙从B点沿表面经过棱CC1爬到点A1．如图，设?PAB??，

?QBC??，若两只蚂蚁各自爬过的路程最短，则???? ▲ ． 【知识点】正三棱柱的侧面展开图；两角和的正切公式. A1 ?【答案解析】 解析 ：解：通过其侧面展开图可知

4P A

C1 B1 R Q C B （第7题图）

RPA tan??QC

Btan??tan?11??1，故????. ，tan??，所以tan(???)?1?tan?tan?32411【思路点拨】先画出正三棱柱的侧面展开图，再求出tan??，tan??，代入两角和的

32正切公式即可.

2??2?x,x?1,8．已知函数f(x)??x?1，则不等式f(x)?1的解集是 ▲ ．

??e, x?1【知识点】 一元二次不等式的解法；指数不等式的解法.

?2?x2?1【答案解析】(?1,1)(1,??) 解析 ：解：原不等式f(x)?1可转化为?或

?x?1

3

?ex?1?1， ??x?1解得?1?x?1或x?1，故答案为(?1,1)(1,??).

【思路点拨】先把原不等式f(x)?1可转化为不等式组，解之即可.

9．若过点P(3,4)的直线与圆(x?2)2?(y?2)2?4相切，且与直线ax?y?1?0垂直，则实数a的值为 ▲ ．

【知识点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式；两直线垂直的充要条件. 【答案解析】

3 解析 ：解： 设过点P(3,4)的直线方程为y-4=k(x-3),此直线与圆4(x?2)2?(y?2)2?4相切，所以圆心（2,2）到直线的距离为圆的半径2.即

2k?2?3k?4k2?1所以a=

4?2，解得k=0或?，又因为与直线ax?y?1?0垂直，所以ka= ?1，

33 4【思路点拨】先设过点P(3,4)的直线方程，再利用点到直线的距离公式求出k,最后用两直线垂直的充要条件解得a即可.

10．已知函数f(x)?Asin(?x??)（A，?，?是常数，A?0，??0）的部分图象如图所

示．

若f(?)?1，??(0,)则sin2?? ▲ ．

π3

【知识点】三角函数的图像和性质；三角函数求值；两角差的正弦公式。 【答案解析】T7???1?26??,所以 解析 ：解：由函数图像知：A=3，?641234T??,则?=2；故f(x)?3sin（，0）(2x)??，又过，解得?=，f(x)?3sin(2x?)333??1因为f(?)?1即sin(2??)=1，得sin(2??)=，

333?????(0,)?2???0,π3??2?3?22π?π??cos(2??)=-，故，则sin2?? ,?2???,????333?3?? 4

??????1?26????????sin??2?????=sin?2???cos?cos?2???sin= 63?33?33?3?????【思路点拨】先根据图像求出三角函数解析式f(x)?3sin(2x?利用公式求sin2?即可.

11．设数列?an?的前n项和为Sn，若?an?和

??1)，再由sin(2??)=333?Sn?n都是

?公差为d(d?0)的等差数列，则a1? ▲ ．

【知识点】等差数列的通项公式，不等式恒成立问题. 3【答案解析】? 解析 ：解：因为

4?Sn?n 是公差为d(d?0)的等差数列，所以

?Sn?1?n?1?Sn?n?d对于n?N*始终成立，平方整理得

d2?1?2d?n2?2d?a1?2a1d?2d?n??a1?d2?1??0对于n?N*始终成立，即

3?1?2d?0?a???3??14a?2ad?2d?0a??解得故答案为 ?1?1114?a?d2?1?0?d??1??2【思路点拨】由题目给出的条件?Sn?n是等差数列，把Sn?1?n?1??Sn?n?d平方整理即可求解a1和d，则答案可求． 12．已知平面向量a，b，e满足|e|?1，a?e?1，b?e?2，

|a?b|?2，则a?b的最小值为 ▲ ．

【知识点】向量的坐标表示；向量的数量积；向量的模的运算；二次函数的最值.

【答案解析】 解析 ：解：设e??1,0?,a??x1,y1?,b??x2,y2?.由a?e?1，得x1?1，

54b?e?2得x2?2.

|a?b|?2?|a?b|2?4即?y1?y2??3，则y2?y1?3，而

22?3?552=，故最小值为 y??a?b?2?1yy?y?3y?2??211?12?44??【思路点拨】先设e??1,0?,a??x1,y1?,b??x2,y2?，然后利用已知找出y2?y1?3 代入a?b，再求二次函数的最小值.

13．已知A(x1,y1)，B(x2,y2)(x1?x2)是函数f(x)?x3?x图象上的两个不同点，

且在A，B两点处的切线互相平行，则

x2的取值范围为 ▲ ． x1【知识点】分段函数的导数；斜率于导数；利用导数求极值、最值得方法.

5

3?x?x(x?0)【答案解析】(?1,0) 解析 ：解：函数f(x)?x3?x变形为f(x)??3，

?x?x(x?0)?3x2?1(x?0)又因为在A，B两点处的切线互相平行，故f?(x1)?f?(x2)，即?f?(x)??2?3x?1(x?0)3x12?1?3x22?1，也就是3x22?3x12?2，同时x1?0,x2?0

x23x223x12?222??????1?1?所以，令个g(x)= ,g?(x)?0得到极值点2222x13x13x13x13x为x=2x33,即x1?，??1?2???1,0?，即2???1,0?. 3x133xx2的范围即可. x1【思路点拨】先把原函数求导并判断x1?0,x2?0，然后利用导数求出

14．设等差数列?an?的公差为d，前n项和为Sn，且a1≥1，a24≥24，S12≤168， 则a9?d2的取值范围是 ▲ ． 【知识点】二次函数值域问题。

a1?1??249] 解析 ：解： 由题意得?a1?23d?24 作出?d,a1?的可行域 【答案解析】[8,16?2a?11d?28?1

6

2又令a9?d2?t，则a1?d?8d?t??d?4??t?16

2T的几何意义即为二次函数a1?d2?8d?t的纵截距，所以当二次函数a1?d2?8d?t过A（1,1）时，t取得最小值8；当二次函数a1?d2?8d?t与直线2a1?11d?28，t取得最大值

249. 16【思路点拨】作出?d,a1?的可行域后，转化为二次函数求值域的问题即可.

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．

说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m?(tanA?tanC,3)，

n?(tanAtanC?1,1)，且m//n．

（1）求角B；

（2）若b?2，求ΔABC的面积的最大值． 【知识点】向量共线定理；余弦定理；基本不等式.

（2）ΔABC的面积的最大值为3．

3 解析 ：解：（1）因为m//n，所以tanA?tanC?3(tanAtanC?1)，

tanA?tanC??3，即tan(A?C)??3， ????????????4分 所以

1?tanAtanC所以tanB??tan(A?C)?3， 【答案解析】（1）B?又B?(0,?)，所以B???3． ????????????7分

a2?c2?b21（2）在ΔABC中，由余弦定理有，cosB??，

2ac222所以a?c?ac?4，

由基本不等式，a2?c2≥2ac，可得ac≤4，当且仅当a?c?2时，取等，?12分

13所以ΔABC的面积S?acsinB≤?4?3，

24故ΔABC的面积的最大值为3． ????????????14分

【思路点拨】（1）先根据m//n，得到tan(A?C)??3，解得B??3即 可.

a2?c2?b21（2）由余弦定理得，cosB??，所以a2?c2?ac?4，再通过基本不等式可

2ac2得ac≤4，最后得到ΔABC的面积的最小值.

16．（本小题满分14分）

如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AD?DC?CB?a，?ABC?60o．平面ACEF?平面ABCD，四边形ACEF是矩形，AE?a，点M在线段EF上．

7

（1）求证：BC?平面ACEF；

（2）当FM为何值时，AM//平面BDE？证明你的结论．

D

【知识点】线面垂直的判定定理；线面平行的判定定理. 【答案解析】（1）略（2） 当FM?M F C A （第16题图）

E B

3a，AM//平面BDE． 3解析 ：解：（1）由题意知，ABCD为等腰梯形，且AB?2a，AC?3a，

所以AC?BC，

又平面ACEF?平面ABCD，平面ACEF平面ABCD?AC，

所以BC?平面ACEF． ???????6分

3（2）当FM?a，AM//平面BDE． ???????8分 M 3F 在梯形ABCD中，设AC?BD?N，连结EN，则CN:NA?1:2，

因为FM?E 3a，EF?AC?3a，

C 3D

所以EM?AN，又EM//AN，

N 所以四边形EMAN为平行四边形，????11分

A 所以AM//NE，

（第16题图）

又NE?平面BDE，AM?平面BDE，

所以AM//平面BDE． ???????14分 【思路点拨】（1）先在等腰梯形ABCD中得到 AC?BC，再结合平面ACEF?平面ABCD，得到结论 .

3（2）当FM?a，AM//平面BDE．再证明四边形EMAN为平行四边形，最后得

3出结论即可.

17．（本小题满分14分）

第十八届省运会将于2014年9月在徐州市举办．为营造优美的环境，举办方决定在某“葫芦”形花坛中建喷泉．如图，该花坛的边界是两个半径为10米的圆弧围成，两圆心O1、O2之间的距离为10米．

（1）如图甲，在花坛中建矩形喷泉，四个顶点A，B，C，D均在圆弧上，O1O2?AB于点M．设?AO2Mq，求矩形的宽AB为多少时，可使喷泉ABCD的面积最大；

（2）如图乙，在花坛中间铺设一条宽为2米的观赏长廊以作休闲之用，则矩形喷泉变

pp为两个全等的等腰三角形，其中NA?NB，NO2?4米．若?AO2Mq [,]，

64求喷泉的面积的取值范围．

B

D θ O2 A M 8 D 观 A 赏长廊O1 C O1 C θ M O 2N B B （第17题图甲）

（第17题图乙）

【知识点】三角函数式的化简；导数求最值的应用；三角函数的单调性.

530?233时，矩形ABCD的面积最大．

2（2） 喷泉的面积的取值范围是[503?40,100?402]（单位：平方米）． 解析 ：解：（1）在直角ΔAO2M中，AM?10sin?，O2M?10cos?，则AD?20cos??10， 所以矩形ABCD的面积S?20sin?(20cos??10)?200(2sin?cos??sin?)，???4分

【答案解析】（1）AB?p， 3则f'(?)?2cos2??cos??4cos2??cos??2，

令f(?)?2sin?cos??sin?，0

883) ? ?0,?0? ?0 (?0,?3f'(?) 0 ? ? f(?) ↗ 极大值 ↘ 530?233时，矩形ABCD的面积最大． ??????10分

2（2）由（1）易得，喷泉的面积S?20sin?(10cos??4)?100sin2??80sin?，

所以当???0，即AB?pppp由q?[,]知，2q?[,]，所以函数g(?)?100sin2??80sin?是单调增函数，

6432所以S?[503?40,100?402]． ????????????13分

530?233（米）时，可使喷泉ABCD的面积最大；

2（2）喷泉的面积的取值范围是[503?40,100?402]（单位：平方米）． ??14分

答：（1）矩形的宽AB?

【思路点拨】（1）先找出矩形ABCD的面积的表达式

S?20sin?(20cos??10)?200(2sin?cos??sin?)，然后利用导数求其最大值 （2）由（1）易得，喷泉的面积S?20sin?(10cos??4)?100sin2??80sin?， 然后利用函数g(?)?100sin2??80sin?是单调增函数，求出范围. 18．（本小题满分16分）

x2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2作直线l与椭圆Cab交于点M、N．

1，右准线的方程为x?4，M为椭圆C上顶点，直线l交211?右准线于点P，求的值； PMPN（2）当a2?b2?4时，设M为椭圆C上第一象限内的点，直线l交y轴于点Q，

F1M?F1Q，证明：点M在定直线上．

（1）若椭圆C的离心率为

9

【知识点】直线与椭圆的位置关系；两直线垂直的充要条件；直线过定点问题. 【答案解析】（1）（2）略

13?c1?,??a?2,?a2 解析 ：解：（1）设F2(c,0)，则?2，解得?，

c?1a???4??cx2y2所以椭圆C的方程为??1， ???????????2分

43则直线l的方程为y??3(x?1)，令x?4，可得P(4,?33)， ?y??3(x?1),8335x2?22联立?x，得，所以，M(0,3)N(,?)， ??4分 ?2x?0y554?1??3?41111151??????． 所以

22PMPN8243(0?4)?(3?33)83322(?4)?(??33)55??????????6分

y0（2）设M(x0,y0)(x0?0,y0?0)，F2(c,0)，则直线l的方程为y?(x?c)，

x0?c?cy0令x?0，可得Q(0,)， ??????????8分

x0?c?cy0y0x?c由F1M?F1Q可知，kF1M?kF1Q??0??1，整理得y02?x02?c2，

x0?cc又c2?a2?b2?2a2?4，

?a2?y02?x02?(2a2?4),x0?,??2?22联立?x，解得?， ??????????14分 y200?1?2??y?2?a4?a2?a0?2?所以点M在定直线x?y?2上． ??????????16分

【思路点拨】（1）先由已知条件解出a,c的值，进而求出椭圆方程，再与直线方程联立得到M、N点的坐标代入即可.（2）通过直线l的方程求得Q的坐标，再由量直线垂直的充要条件得到y02?x02?c2，最后求出点M在定直线x?y?2上． 19．（本小题满分16分）

在数列?an?，?bn?中，已知a1?2，b1?4，且an，?bn，an?1成等差数列，bn，?an，

bn?1也成等差数列．

（1）求证：?an?bn?是等比数列； （2）设m是不超过100的正整数，求使

an?ma?4?m成立的所有数对(m,n)．

an?1?mam?1?4【知识点】等差等比数列的基本性质；不定方程求整数解； 【答案解析】（1）略（2）所有数对(m,n)为(8,9)，(80,83)． 解析 ：解：（1）由an，?bn，an?1成等差数列可得，?2bn?an?an?1，①

10

由bn，?an，bn?1成等差数列可得，?2an?bn?bn?1， ② ①?②得，an?1?bn?1??3(an?bn)，

所以?an?bn?是以6为首项、?3为公比的等比数列． ????????4分 （2）由（1）知，an?bn?6?(?3)n?1，③ ①?②得，an?1?bn?1?an?bn??2， ④

6?(?3)n?1?2③?④得，an??3?(?3)n?1?1， ????????8分

2an?mam?43?(?3)n?1?1?m3?(?3)m?1?3代入，得， ??an?1?mam?1?43?(?3)n?1?m3?(?3)m?3所以[3?(?3)n?1?1?m][3?(?3)m?3]?[3?(?3)n?1?m][3?(?3)m?1?3]， 整理得，(m?1)(?3)m?3?(?3)n?0，

所以m?1?(?3)n?m?1， ????????????12分 由m是不超过100的正整数，可得2≤(?3)n?m?1≤101， 所以n?m?1?2或4，

当n?m?1?2时，m?1?9，此时m?8，则n?9，符合题意； 当n?m?1?4时，m?1?81，此时m?80，则n?83，符合题意．

a?ma?4故使n成立的所有数对(m,n)为(8,9)，(80,83)． ????16分 ?man?1?mam?1?4【思路点拨】（1）由an，?bn，an?1成等差数列可得，?2bn?an?an?1，①

由bn，?an，bn?1成等差数列可得，?2an?bn?bn?1， ② ①?②得，an?1?bn?1??3(an?bn)，即可得证.

（2）先得到数列?an?的通项公式，代入已知条件得到m?1?(?3)n?m?1，然后解出满足题意的整数解即可. 20．（本小题满分16分）

已知函数f(x)?alnx?(x?c)x?c，a?0，c?0．

13（1）当a??，c?时，求函数f(x)的单调区间；

44（2）当c?a1?1时，若f(x)≥对x?(c,??)恒成立，求实数a的取值范围； 24（3）设函数f(x)的图象在点P(x1,f(x1))、Q(x2,f(x2))两处的切线分别为l1、l2．若

x1??a，x2?c，且l1?l2，求实数c的最小值． 2【知识点】分段函数求导；利用导数求单调区间；利用单调性求极值；不等式恒成立问题；

33【答案解析】（1）函数f(x)的单调减区间是(0,)，单调增区间是(,??)．

44（2）实数a的取值范围是(?2,?1]．

(3) 实数c的最小值为33． 2?2x2?2cx?a,x≥c,2????alnx?(x?c),x≥c,x解析 ：解：函数f(x)??，求导得f'(x)??． 22alnx?(x?c),x?c?2x?2cx?a???,x?c?x? 11

?8x2?2x?31,x≥,?13?4x4（1）当a??，c?时，f'(x)??， 244??8x?2x?3,x?1?4x4?11?8x2?2x?3若x?，则f'(x)??0恒成立，所以f(x)在(0,)上单调减；

444x1(2x?1)(4x?3)31若x≥，则f'(x)?，令f'(x)?0，解得x?或x??（舍），

44x421313当≤x?时，f'(x)?0，f(x)在[,)上单调减； 444433当x?时，f'(x)?0，f(x)在(,??)上单调增．

4433所以函数f(x)的单调减区间是(0,)，单调增区间是(,??)． ??????4分

44aa(x?1)(2x?a)（2）当x?c，c??1时，f'(x)?，而c??1?1，所以

22x当c?x?1时，f'(x)?0，f(x)在(c,1)上单调减； 当x?1时，f'(x)?0，f(x)在(1,??)上单调增．

a2所以函数f(x)在(c,??)上的最小值为f(1)?，

42a1所以≥恒成立，解得a??1或a?1，

44a又由c??1?0，得a??2，所以实数a的取值范围是(?2,?1]． ?????9分

2aaac（3）由l1?l2知，f'(?)f'(c)??1，而f'(c)?，则f'(?)??，

22acaa2(?)?2c??aaca22??2c，所以?2c??， 若??c，则f'(?)?22aa?21解得a?，不符合题意； ???????????11分

2aa?2(?)?2c??aaca22???8a?2c??， 故??c，则f'(?)?2a2a?21a?8a整理得，c?，由c?0得，a??， ??????????13分

22a?1t2??tt2t38令?8a?t，则a??，t?2，所以c?2， ?2t82t?8??142232t(t?12)t设g(t)?2，则g'(t)?，

(2t2?8)22t?8当2?t?23时，g'(t)?0，g(t)在(2,23)上单调减；

12

当t?23时，g'(t)?0，g(t)在(23,??)上单调增．

3333，故实数c的最小值为． ??16分 22【思路点拨】（1）对原函数求导，然后利用导数与单调性的关系求出单调区间.（2）利用函数的单调性求出其最小值，再通过不等式恒成立解得a的范围即可.（3）由两直线垂直得a,c的关系式，再转化为函数g(t),利用导数求出其最小值.

所以，函数g(t)的最小值为g(23)? 13

徐州市2014届高考信息卷

数学Ⅱ（附加题）

21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题纸指定区域内作答，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）

在ΔABC中，AB?2AC，BM是?ABC的平分线，ΔAMC的外接圆交BC边于点3A N．求证：3CN?2AM．

M O

B N （第21-A题图） 【知识点】三角形相似；与圆有关的比例线段．角平分线的性质、相交弦定理. 【答案解析】略

解析 ：解：在ΔABC中，因为BM是?ABC的平分线，

所以

C

ABAM?． BCMC2AC2AM?又AB?AC，所以． ① ???????? 4分

3BC3MC因为CA与CB是圆O过同一点C的弦，

CACN?所以，CM?CA?CN?CB，即． ② ????????8分 CBCM2由①、②可知 CN?AM，

3所以3CN?2AM． ????????10分

AC2AM?【思路点拨】利用角平分线的性质可得,再根据相交弦定理即可得到结论. BC3MC【典型总结】本题考查角平分线的性质、相交弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题． B．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）

?1a??1?已知矩阵M??的一个特征值及对应的一个特征向量 ． ??3e?11????b3??1?（1）求a,b的值；

（2）求曲线C:x2?4xy?13y2?1在M对应的变换作用下的新曲线的方程． 【知识点】特征值、特征向量的应用．

?a?2,【答案解析】（1）?（2） x2?y2?1

?b?0?1a??1??1??3??1?a?3,?a?2,解析 ：解：（1）由已知?，所以，解得．????5?3=??????????b3??1??1??3??b?3?3?b?0分

14

（2）设曲线C上任一点P(x,y)在M对应的变换作用下对应点P?(x?,y?)，

?x??x?2y,?x???12??x?则???????，即?，

??yy03y?3y???????2??x?x?y?,??3解得?，代入曲线C得x?2?y?2?1．

?y?1y??3?即曲线C在M对应的变换作用下的新曲线的方程是x2?y2?1．?????10分 【思路点拨】（1）设出要求的矩阵，根据矩阵的特征向量和特征值，和把一个点变成另一个

点的坐标，得到关系式，即得到关于字母的方程组，解方程组得到结果．（2）设出点（x，y）是直线l上的任一点，其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为（x′，y′），根据变换前后写出关系式，整理出要求的直线的方程．

【典型总结】本题考查矩阵的特征向量和特征值的应用，本题是一个基础题，题目的运算量较小，并且考查最基本的矩阵问题.

C．选修4-4:坐标系与参数方程（本小题满分10分）

在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线

?x?2?2t,（t为参数），曲线C的极坐标方程为??2cos?．若直线ll的参数方程为??y?t与曲线C交于A、B两点，试求线段AB的垂直平分线的极坐标方程． 【知识点】参数方程、极坐标方程与普通方程的互化 【答案解析】2?cos???sin??2?0

解析 ：解：直线l的普通方程为x?2y?2?0，

曲线C的直角坐标方程为(x?1)2?y2?1， ????????5分 所以线段AB的垂直平分线是过圆心C(1,0)且与直线x?2y?2?0垂直的直线， 其方程为2x?y?2?0，

故线段AB的垂直平分线的极坐标方程为2?cos???sin??2?0．????10分 【思路点拨】把直线l的参数方程化为普通方程，曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，得出线段AB的垂直平分线是过圆心且与直线l垂直的直线，求出普通方程，再化为极坐标方程．

D．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）

已知a,b,c均为正数，且a?2b?4c?3，求最小值时a,b,c的值． 【知识点】柯西不等式

111的最小值，并指出取得??a?1b?1c?18?52152?1723?102 ,b?,c?777解析 ：解：因为a?2b?4c?3，所以(a?1)?2(b?1)?4(c?1)?10，

因为a,b,c为正数，所以由柯西不等式得

111[(a?1)?2(b?1)?4(c?1)]?(??)≥(1?2?2)2，

a?1b?1c?122当且仅当(a?1)?2(b?1)?4(c?1)2等式成立．

【答案解析】a?所以

11111?62， ??≥a?1b?1c?11015

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