利用Rolle定理证明时求原函数的若干方法

维普资讯

3 8

高等数学研究STU DI N ES I COLLEGE M ATH EM ATI CS

V o1 .5. o.3 N Se p., 2 002

利用 Rol l e定理证明时求原函数的若干方法王顺凤 (京气象学院数学系江苏南京 2 0 4 )南 1 0 4证明“ ∈( 6使厂(一 0是微分中值定理应用中的重要题型，常可以用 Rol理来证 j n, ) )”常 l e定明，即将问题转化为求厂(的原函数 F(, F(利用 Rol理来证明 F ( (厂( ) (, ) )对 ) l e定 )即 )在 n 6内存在零点。所以，找原函数 F(是利用这一方法解决问题的关键。对于命题“ ∈ ( 6使 )寻 )了 n,)/ (= 0或 ( ) )= (= 一0” )的证明也常常采用上面的方法。这一方法是学生普遍感到困难的地方，是

教学的难点。文针对这一问题进行了探讨，结了原函数 F(的四种求法，举例说明了在利用本总 )并R l ol理证明上述这类命题时的应用。 e定一

、

观察法

根据函数的求导法则及经验直接观察函数厂(的原函数 F(。 z) )

例 1设厂(在[,]连续， (, )可导，厂( ) ) 0 1上在 01内且 0一厂( ),明： ∈ (, ) f( ) 1一0证若3 0 1, r/> r贝必了∈ (, )使得 ( )。/ U , 01, 一1分析由 (一 1∞[ ) 3一0可知： ) )—0厂( -x F(=厂(一z是 (一 1的原函数。本题 ) )只要对 F(在[,]用 Rol理。 ) 0 1上 l e定 证明令 F(一厂( -x, ) )由条件厂( ) 0=厂( ) 0可知 1一F( 0)一/ ( 0)一 0, 1 F( )=厂( )一 1一一 1< 0 1 .

又 3∈ (, )使得 f( ) r所以， 一厂(一> 0由介值定理知，。 ( 1使 F(。一0 01,/ r>/, F( ) ), 3∈, ) x),从而 F(在 E,]满足 Rol理的条件，了∈ (, ) (, )使得 F ( ) ) o。上 l e定则 0。c 0 1, 一0,即尸 ( )。 一1二、定积分法不

由原函数

存在定理及不定积分的定义知，只要厂(在[ 6上是连续的，其原函数 F(一 )口，]则 )r

定存在，为其不定积分 I ( )x中的任一个。且 fxdJ

例 2设厂 )[,L i￣, n6内可导，证：∈( )使 () (在口b k *在(,) -试 3 a6, 9 一旦分析：论可转化为证明：∈ ( 6, (一 ) ( )[ - f( )一0 结了 n, )使 6尸 一厂( ) a]。证明的关键是构造符合 Rol理的辅助函数 F(,得， l e定 )使 F ( l f[ 6一 ) ( )一 (:尸 z)一 ( )一 f( )]:厂( a ) f即 F(为 (一 ) (一 ( ) ) 6尸 )厂(一f( )的一个原函数。 n) 解法一观察法

.

由于 F (一 (一 ) (一 ( )厂( )一 (一 )厂(一厂( ) (一 ) ( )厂( ) ) 6 )厂(一 n ) 6 ( ) n )+ 6 (一 n )一

[6 (一 )厂( - f( )],以 F(= (一 ) ( - f( )。然， )合 R l ( z) a )所 )= 6= ( ) a )显 F(符 o l理的三个 e定

条件，论易证。结

收稿日期：O 1 O— 1 2O一 9 1

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/bxj4.html