极限的解法与技巧 汇总

极限的求法与技巧

极限是解决数学问题的一种有效的工具。以下列举种方法，并附有例题。

1.运用极限的定义

例：用极限定义证明:

x2?3x?2lim?1 x?2x?2x2?3x?2x2?4x?4证: 由 ?1?x?2x?2????0

?x?2?2x?2?x?2

取??? 则当0?x?2?? 时,就有

x2?3x?2 ?1??

x?2由函数极限???定义有:

x2?3x?2lim?1 x?2x?22.利用单调有界准则求极限

预备知识：若数列?an?收敛，则?an?为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数

n，有 an?M.

此方法的解题程序为：

1、直接对通项进行分析或用数学归纳验证数列?an?单调有界；

2、设?an?的极限存在，记为liman?A代入给定的表达式中，则该式变为A的代数方

n??程，解之即得该数列的极限。

例：若序列?an?的项满足a1?1?a??a?,(n?1,2,?),试证a(a?0)且an?1??n??2?an??an?有极限并求此极限。

解 由 a1?a

1

21?a?1?a12?a?2a1aa1???a a2????2??a???a2?a1?1??1?用数学归纳法证明 ak?a 需注意

22?a?2aka1?a?1?ak?ak??????a. ak??????2?ak?2?ak?ak又 an?an?12?a1?a?an???a???0 n??2?an?2an ? ?an?为单调减函数且有下界。

令其极限为A 由 an?1?1?a??an?? 有： 2?an???1?a? ??a?n??2?an? liman?1?n??即 A?1?a?A??? 2?A? ? A?a ? A?2a (A?0)

n??从而 liman?a.

3.利用等价无穷小替换

常用的等价无穷小关系：

x?0,sinx~x,n tanx~x,arcsinx~x

arctanx~x,

x1x,a?1~x,ex?1~x,loga(1?x)~lnan1?1?x?1~x,(1?x)?1~?x,ln(1?x)~x,21?x?1~xlna,等价无穷小代换法

设?,?,?,? 都是同一极限过程中的无穷小量，且有：

2

'' ?~?,?~'?，

'?'

lim' 存在，

????'

则 lim 也存在，且有lim= lim'

???1?cosx2例:求极限lim2

x?0xsinx2(x2)2 解: sinx~x, 1?cosx~

2222(x2)21?cosx22?1 =? lim2x?0xsinx22x2x2注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”

4．利用极限的四则运算法则

极限的四则运算法则叙述如下：

若 limf(x)?A limg(x)?B

x?x0x?x0(I)lim?f(x)?g(x)?? limf(x)?limg(x)?A?B

x?x0x?x0x?x0(II)lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)?A?B

x?x0x?x0x?x0(III)若 B≠0 则：

limf(x)f(x)x?x0A lim??

x?x0g(x)limg(x)Bx?x0（IV）limc?f(x)?c?limf(x)?cA （c为常数）

x?x0x?x0上述性质对于x??,x???,x???时也同样成立

总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。

x2?3x?5例：求 lim

x?2x?4x2?3x?522?3?2?55? 解: lim=

x?22?42x?45、利用两个重要的极限。

3

(A)limsinx1?1 (B)lim(1?)x?e

x?0x??xx但我们经常使用的是它们的变形：

sin?(x)?1,(?(x)?0)?(x)

1(B')lim(1?)?(x)?e,(?(x)??)?(x)(A')lim例：求下列函数极限

lncosaxax?1lim(1)、lim (2)、 x?0x?0lncosbxxln(1?u)ax?1ulna 解：（1）令a?1?u,则 x? 于是?lnaxln(1?u)x

又当x?0时，u?0ax?1ulnalnalna故有：lim?lim?lim?lim?lna1x?0u?0u?0u?0ln(1?u)xln(1?u)ln(1?u)uu

(2)、原式?limln[(1?(cosax?1)]

x?0ln[1?(cosbx?1)]ln[(1?(cosax?1)]cosbx?1 ?x?0cosax?1cosax?1ln[1?(cosbx?1)]cosbx?1cosbx?1?lim x?0cosax?1asin2x2?ab?2sin2x(x)2(x)2b2222?lim?lim??2

x?0x?0bbaa?2sin2xsin2x(x)2222b(x)22?lim6.利用重要公式求极限或转化为函数的极限

此方法必须在牢记重要极限的形式和其值的基础上，对所求式子作适当变形，从而达到求其极限的目的，这种方法灵活，有相当的技巧性。

4

例：求 lim?n?1?n?11n??nnsinn.

解 lim?n?1?n?1nsin1n

n??n1sin1 =lim??n?1?n?n???n???n1 nsin1 =lim??1?n?1n???1?n???n1

nnsin1 =lim??1?1?n

n???n??????1?1?n???1n =e?1?1 =e 1例：求极限 limx?ax?a??sinx??sina??.

1解 lim??sinx?x?ax?a?sina??

1 =limsinx?sina?x?a??x?a?1?sina??

1sinacosa?x?? =lim?2cosx?ax?a??acosasina2sin2?x?a?1??sina??????cosa?sinasina???2x?a?cosa?(x?a)?? =lim??cosasin2???x?a???1?sina?

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