2019-2020学年度最新数学高考（文）二轮专题复习习题：第1部分专

2019-2020学年度最新数学高考（文）二轮专题复习习题：第1部分专题七 概率与统计

1-7-1-含答案规范训练(十七) 概率及其应用

限时50分钟，实际用时________ 分值81分，实际得分________

一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)

11

1．(2016·高考天津卷)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则

23甲不输的概率为( )

5

A. 61C. 6

2B. 51D. 3

解析：选A.事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概115率为＋＝. 236

2．(2017·山东潍坊模拟)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )

A.1 10

B.D.3 109 10

3C. 5

解析：选D.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球通过列举知共有10个基本事件；所取的3个球中至少有1个白球的反面为“3个球均为红色”，有1个基本事件，所以所取的319

个球中至少有1个白球的概率是1－＝.

1010

3．(2016·高考全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )

A.C.4nm4m

B.D.

2nm2m 长为落在

nn解析：选C.如图，数对(xi，yi)(i＝1,2，…，n)表示的点落在边1的正方形OABC内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点半径为1的四分之一圆(阴影部分)内，则由几何概型的概率公式可得

m＝n - 1 - / 6

1π44m.故选C. 2?π＝

1n4．(2017·山东威海二模)从集合{1,2,3,4}中随机抽取一个数a，从集合{1,2,3}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(2,1)共线的概率为( )

1

A. 61C. 4

1B. 31D. 2

解析：选A.由题意可知m＝(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12个，∵m＝(a，b)与向量n＝(2,1)共线，∴a－2b1

＝0，即a＝2b，有(2,1)，(4,2)，共2个，故所求概率为.

6

5．圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，即圆在任意方向都有相同的宽度，具有这种性质的曲线可称为“等宽曲线”．事实上存在着大量的非圆等宽曲线，以工艺学家鲁列斯(Reuleaux)命名的鲁列斯曲边三角形，就是著名的非圆等宽曲线．它的画法(如图1)：画一个等︵︵︵

边三角形ABC，分别以A，B，C为圆心，边长为半径，作圆弧BC，CA，AB，这三段圆弧围成的图形就是鲁列斯曲边三角形．它的宽度等于原来等边三角形的边长．等宽曲线都可以放在边长等于曲线宽度的正方形内(如图2)．在图2中的正方形内随机取一点，则这一点落在鲁列斯曲边三角形内的概率为( )

A.π 8

π－2

2

B.

2π－33

4π－3

2

C.D.

12

解析：选D.设鲁列斯曲边三角形的宽度为a，则该鲁列斯曲边三角形的面积为3×πa－

6

32

2×a＝

4π－3

2

a2

，所以所求概率P＝

π－3

2

a2

＝

π－3

，故选D. 2

a2

x2y2

6．(2017·湖南六校联考)从－＝1(其中m，n∈{－1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双

mn - 2 - / 6

曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为( )

1A. 22C. 3

4B. 73D. 4

x2y2

解析：选B.当方程－＝1表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线时，不能有m＜0，n＞0，

mnx2y2

所以方程－＝1表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的(m，n)有(2，－1)，(3，－1)，(2,2)，

mn(3,2)，(2,3)，(3,3)，(－1，－1)，共7种，其中表示焦点在x轴上的双曲线时，则m＞0，n4

＞0，有(2,3)，(3,2)，(2,3)，(3,3)，共4种，所以所求概率P＝. 7

二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)

132

7．(2017·山东泰安三模)在区间[－2,3]上任取一个数a，则函数f(x)＝x－ax＋(a＋2)x3有极值的概率为________．

解析：区间[－2,3]的长度为5，f′(x)＝x－2ax＋a＋2.

1322

函数f(x)＝x－ax＋(a＋2)x有极值等价于f′(x)＝x－2ax＋a＋2＝0有两个不等实根，

3即Δ＝4a－4(a＋2)＞0，解得a＜－1或a＞2，又∵a∈[－2,3]，∴－2≤a＜－1或2＜a≤3，2

区间范围的长度为2，∴所求概率P＝. 5

2

答案： 5

8．(2017·山东临沂模拟)甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为________．

解析：根据题目条件知所有的数组(a，b)共有6＝36组，而满足条件|a－b|≤1的数组(a，

2

2

2

b)有：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，

(4,3)，(4,5)，(5,4)，(5,6)，(6,5)，共有16组，根据古典概型的概率公式知所求的概率为P164＝＝. 369

4

答案： 9

9．(2017·杭州模拟)已知实数x∈[2,30]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是________．

解析：设实数x∈[2,30]，

- 3 - / 6

经过第一次循环得到x＝2x＋1，n＝2， 经过第二循环得到x＝2(2x＋1)＋1，n＝3，

经过第三次循环得到x＝2[2(2x＋1)＋1]＋1，n＝4，此时输出x，输出的值为8x＋7， 30－129

令8x＋7≥103得x≥12，由几何概型得到输出的x不小于103的概率为P＝＝.

30－214答案：

9 14

三、解答题(本题共3小题，每小题12分，共36分)

10．(2017·模拟)某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况，随机对100名出租车司机进行调查．调查问卷共10道题，答题情况如下表：

答对题目数 女 男 [0,8) 2 3 8 13 37 9 12 16 10 8 9 (1)如果出租车司机答对题目数大于等于9，就认为该司机对新法规的知晓情况比较好，试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率；

(2)从答对题目数少于8的出租车司机中任选出2人做进一步的调查，求选出的2人中至少有一名女出租车司机的概率．

解：(1)答对题目数小于9的人数为55，记“答对题目数大于等于9”为事件A，

P(A)＝1－

559＝. 10020

(2)设答对题目数少于8的司机为A，B，C，D，E其中A，B为女司机，任选出2人包含AB，

AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10种情况，至少有一名女出租车司机的事件为AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，共7种．

7

记“选出的2人中至少有一名女出租车司机”为事件M，则P(M)＝.

10

11．(2017·甘肃兰州模拟)某市举行“职工技能大比武”活动，甲厂派出2男1女共3名职工，乙厂派出2男2女共4名职工．

(1)若从甲厂和乙厂派出的职工中各任选1名进行比赛，求选出的2名职工性别相同的概率． (2)若从甲厂和乙厂派出的这7名职工中任选2名进行比赛，求选出的2名职工来自同一工厂的概率．

解：记甲厂派出的2名男职工为A1，A2,1名女职工为a；乙厂派出的2名男职工为B1，B2,2名女职工为b1，b2.

(1)从甲厂和乙厂派出的职工中各任选1名进行比赛，不同的结果有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，

b1)，(A1，b2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(a，B1)，(a，B2)，(a，b1)，(a，b2)，

- 4 - / 6

共12种不同的选法．

其中选出的2名职工性别相同的选法有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(a，b1)，(a，b2)，共6种不同的选法．

61

故选出的2名职工性别相同的概率为P1＝＝. 122

(2)若从甲厂和乙厂派出的这7名职工中任选2名进行比赛，不同的结果有(A1，A2)，(A1，

a)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，a)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，b1)，(A2，b2)，

(a，B1)，(a，B2)，(a，b1)，(a，b2)，(B1，B2)，(B1，b1)，(B1，b2)，(B2，b1)，(B2，b2)，(b1，

b2)，共21种不同的选法．

其中选出的2名职工来自同一工厂的选法有(A1，A2)，(A1，a)，(A2，a)，(B1，B2)，(B1，b1)，(B1，b2)，(B2，b1)，(B2，b2)，(b1，b2)，共9种不同的选法．

93

所以选出的2名职工来自同一工厂的概率为P2＝＝.

217

12．为了吸引更多的优季学子，全国重点大学每年都会开展“夏令营活动”，据悉甲、乙两所高校共收1 000名学生，分三个批次开展“夏令营活动”，每名学生只能参加其中一校“夏令营活动”的某一个批次，时间先后安排在暑假、国庆节、寒假期间，参加两校“夏令营活动”的学生人数如表所示：

甲 乙 第一批次 200 150 第二批次 第三批次 x 160 y z 已知在参加两校“夏令营活动”的1 000名学生中随机抽取1人，第二批次参加甲大学“夏令营活动”的频率是0.21.

(1)现按批次用分层抽样的方法在所有学生中抽取50人，求应在第三批次参加“夏令营活动”的学生中抽取的人数；

(2)已知135≤y≤150，求第三批次参加“夏令营活动”的学生中参加甲大学“夏令营活动”的人数比参加乙大学“夏令营活动”的人数多的概率．

解：(1)由题意知＝0.21，解得x＝210，

1 000

第三批次参加“夏令营活动”的人数为y＋z＝1 000－(150＋200＋160＋210)＝280. 现用分层抽样的方法在所有学生中抽取50名，应在第三批次参加“夏令营活动”的学生中50

抽取的人数为×280＝14.

1 000

(2)第三批次参加“夏令营活动”的学生中参加甲大学“夏令营活动”的人数和参加乙大学“夏令营活动”的人数记为(y，z)，

- 5 - / 6

x由(1)知y＋z＝280，且y，z∈N，

则总的基本事件有(135,145)，(136,144)，(137,143)，(138,142)，(139,141)，(140,140)，(141,139)，(142,138)，(143,137)，(144,136)，(145,135)，(146,134)，(147,133)，(148,132)，(149,131)，(150,130)，共16个．

设“第三批次参加‘夏令营活动’的学生中参加甲大学‘夏令营活动’的人数比参加乙大学“夏令营活动”的人数多为事件A，则事件A包含的基本事件有(141,139)，(142,138)，(143,137)，(144,136)，(145,135)，(146,134)，(147,133)，(148,132)，(149,131)，(150,130)，*

共10个，

所以P(A)＝1016＝58

.

- 6 - / 6

由(1)知y＋z＝280，且y，z∈N，

则总的基本事件有(135,145)，(136,144)，(137,143)，(138,142)，(139,141)，(140,140)，(141,139)，(142,138)，(143,137)，(144,136)，(145,135)，(146,134)，(147,133)，(148,132)，(149,131)，(150,130)，共16个．

设“第三批次参加‘夏令营活动’的学生中参加甲大学‘夏令营活动’的人数比参加乙大学“夏令营活动”的人数多为事件A，则事件A包含的基本事件有(141,139)，(142,138)，(143,137)，(144,136)，(145,135)，(146,134)，(147,133)，(148,132)，(149,131)，(150,130)，*

共10个，

所以P(A)＝1016＝58

.

- 6 - / 6

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