王铭物理习题答案3-13章

第三章 流体的运动

习题解答

1．应用连续性方程的条件是什么？ 答：不可压缩的流体作定常流动。

2．在推导伯努利方程的过程中，用过哪些条件？伯努利方程的物理意义是什么？ 答：在推导伯努利方程的过程中，用过条件是不可压缩、无内摩擦力的流体（即理想流体）作定常流动。方程的物理意义是理想流体作定常流动时，同一流管的不同截面处，单位体积流体的动能、势能与该处压强之和都是相等的。

3．两条木船朝同一方向并进时，会彼此靠拢甚至导致船体相撞。试解释产生这一现象的原因。

答：因为当两条木船朝同一方向并进时，两船之间水的流速增加，根据伯努利方程可知，它们间的压强会减小，每一条船受到外侧水的压力大，因此两船会彼此靠拢甚至导致船体相撞。

4．冷却器由19根Φ20×2mm（即管的外直径为20mm，壁厚为2mm）的列管组成，冷却水由Φ54×2mm的导管流入列管中，已知导管中水的流速为1.4m/s，求列管中水流的速度。

解：已知Φ120×2mm，d1=20－2×2=16mm，n1=19，Φ254×2mm，d2=54－2×2=50mm，v2=1.4m/s，根据连续性方程知：

S0v0= S1v1+S2v2 +??+Snvn，则

12?dv2S2v2422d2v2502?1.4v1?????0.72 m/s

12n1d12n1S119?162n1?d14

5．水管上端的截面积为4.0×10－4m2，水的流速为5.0 m/s，水管下端比上端低10m，下端的截面积为8.0×10－4m2。(a)求水在下端的流速；(b)如果水在上端的压强为1.5×105Pa，求下端的压强。

解：(a)已知S1=4.0×10－4m2，v1=5.0 m/s，h1=10m，S2=8.0×10－4m2，p1=1.5×105Pa ，根据连续性方程：S1v1=S2v2 知：

S1v14.0?10?4?5.0v2???2.5( m/s）

S28.0?10?4

1

(b) 根据伯努利方程知：

103 kg/m3

p2?112?v12??gh1?p1??v2??gh2?p2，h2=0，?水=1.0×22112?v12??gh1?p1??v2??gh22211水??1.0?103?52?1.0?103?10?10?1.5?105??1.0?103?2.526．

22?2.6?105(Pa)平的自来水管粗处的直径是细处的两倍。如果水在粗处的流速和压强分别是1.00 m/s

和1.96×105Pa，那么水在细处的流速和压强各是多少？

解：(a)已知d1=2 d2，v1=1.00m/s，p1=1.96×105Pa，根据连续性方程知：S1v1=S2v2

12?dvS1v1411d12v1(2d2)2v2???2??1.00?4.00(m/s) 21S2d2d22?d24112(b) 根据伯努利方程知（水平管）：?v12?p1??v2?p2

2211112p2??v12?p1??v2??103?1.002?1.96?105??103?4.002?1.885?105(Pa)

2222

7．利用压缩空气，把水从一密封的筒内通过一根管以1.2 m/s的流速压出。当管的出口处高于筒内液面0.60m时，问筒内空气的压强比大气压高多少？

解：已知v1=1.2m/s，h1=0.60m，p1=p0，根据伯努利方程知：

112?v12??gh1?p1??v2??gh2?p2 22 由于S1<< S2，则v2=0，因此

11p2?p0??v12??gh1??103?1.22?103?9.8?0.6?6.6?103 (Pa)

22

8．汾丘里流速计主管的直径为0.25m，细颈处的直径为0.10m，如果水在主管的压强为5.5×104Pa，在细颈处的压强为4.1×104Pa，求水的流量是多少？

解：已知d1=0.25m，d2=0.10m，p1=5.5×104Pa，p2=4.1×104Pa，根据汾丘里流速计公式知：

2

Q?S1S22(p1?p2)1222(p1?p2)??d1d2?(S12?S22)4?(d14?d24)12?(5.5?4.1)?10422 ??3.14?0.25?0.1?344410?(0.25?0.1)?4.2?10?2(m3/s)

9．一水平管道内直径从200mm均匀地缩小到100mm，现于管道中通以甲烷（密度ρ=0.645 kg/m3），并在管道的1、2两处分别装上压强计（如图3-1），压强计的工作液体是水。设1处U形管压强计中水面高度差h1=40mm，2处压强计中水面高度差h2=-98mm（负号表示开管液面低于闭管液面），求甲烷的体积流量Q。

解：已知d1=200mm=0.200m，d2=100mm=0.100m，?=0.645kg/m3，?'=1.0×03kg/m3，h1=40mm=0.040m，h2=-98mm=-0.098m，根据汾丘里流速计公式知：

Q?S1S22(p1-p2)1222?'g(h1?h2)??d1d222?(S1?S2)4?(d14?d24)12?1.0?103?9.8?(0.040?0.098)22 ??3.14?0.2?0.1?4440.645?(0.2?0.1)?0.525(m3?s )

10．将皮托管插入河水中测量水速，测得其两管中水柱上升的高度各为0.5cm和5.4cm，求水速。

解：已知h1=5.4cm=0.054m，h2=0.5cm=0.005m，根据比托管流速计公式知：

v?2g(h1?h2)?2?9.8?(0.054?0.005)?0.98(m/s)

11．如果图3-2所示的装置是一采气管，采集CO2气体，如果压强计的水柱差是2.0cm，采气管的横截面积为10cm2。求5分钟所采集的CO2的量是多少m3？已知CO2的密度为2kg/m3。

解：已知h=2.0cm=0.02m，S=10cm2，t=5min，?=2kg/m3，?'=1.0×03kg/m3，根据比托管流速计公式知：

v?2?'gh?2?1.0?103?9.8?0.02?14(m/s)

2?所以5min采集的CO2为：

V?Svt?10?10?4?14?5?60?4.2(m3)?4.2?103 (L)

3

12．水桶底部有一小孔，桶中水深h=0.3m。试求在下列情况下，从小孔流出的水相对于桶的速度：(a)桶是静止的；(b)桶匀速上升。

解：(a)已知h1=0.30m，p1?p2?p0，S1>> S2，桶是静止时，根据伯努利方程知：

112?v12??gh1?p1??v2??gh2?p2，由于S1>> S2，则v1=0，因此 22v2?2gh1?2?9.8?0.3?2.42 (m/s)

(b)桶匀速上升时，v2=2.42 (m/s)

13．注射器的活塞截面积S1=1.2cm2，而注射器针孔的截面积S2=0.25mm2。当注射器水平放置时，用f=4.9N的力压迫活塞，使之移动l=4cm，问水从注射器中流出需要多少时间？

解：已知S1=1.2cm2，S2=0.25mm2，f=4.9N，l=4cm ，作用在活塞上的附加压强：

?p?f4.94??4.08?10(pa)，根据水平管的伯努利方程知： ?4S11.2?10112?v12?p1??v2?p2 22 由于p1?p0??p，p2?p0，S1>> S2，则v1≈0，因此

v2?2?p1?p2)?2?p?2?4.08?104?9 (m/s)

1?103??根据连续性方程知：S1v1=S2v2

S2v20.25?10?6?9v1???0.0188(m/s)

S11.2?10?4t?l0.04??2.13(s) v10.0188

14．用一截面为5.0cm2的虹吸管把截面积大的容器中的水吸出。虹吸管最高点在容器的水面上1.20m处，出水口在此水面下0.60m处。求在定常流动条件下，管内最高点的压强和虹吸管的流量。

解：(a)已知SD=5.0cm2=5.0×10－4m2，hB=1.20m，hD=－0.60m，SA>> SD，如图3-10所示，选取容器内液面A为高度参考点，对于A、D两处，pA?pD?p0=1.013×105 Pa，应

1122用伯努利方程，则有：?vA??ghA??vD??ghD

22vD?2g(hA?hD)?2ghAD?2?9.8?0.6?3.43 (m/s)

4

B、D两处（均匀管）应用伯努利方程得： ?ghB?pB??ghD?pD

pB?pD??g(hD?hB)?1.013?105?103?9.8?(?0.60?1.20)?0.84?105(pa)

(b)Q=SDvD= 5.0×10－4×3.43=1.72×10－3 (m3/s)

15．匀速地将水注入一容器中，注入的流量为Q=150 cm3/s，容器的底部有面积S=0.50cm2的小孔，使水不断流出。求达到稳定状态时，容器中水的高度。

解：已知Q=150 cm3/s=1.5×10－4m3/s，S2=0.5cm2=5.0×10－5m2，因为以一定流量为Q匀速地将水注入一容器中，开始水位较低，流出量较少，水位不断上升，流出量也不断增加，当流入量等于流出量时，水位就达到稳定，则：

v2?2gh和Q2?S22gh

2Q2(1.50?10?4)2h?2??0.45(m) ?52S2?2g(5.0?10)?2?10

16．如图3-3所示，两个很大的开口容器B和F，盛有相同的液体。由容器B底部接一水平管子BCD，水平管的较细部分C处连接到一竖直的E管，并使E管下端插入容器F的液体内。假设液流是理想流体作定常流动。如果管的C处的横截面积是D处的一半。并设管的D处比容器B内的液面低h，问E管中液体上升的高度H是多少？

解：已知截面积SC?S1SD，由连续性方程得vC?DvD?2vD，考虑到A槽中的液面

SC2流速相对于出口处的流速很小，由伯努利方程求得

vD?2gh

对C、D两点列伯努利方程：

pC?1122 ?vC?pD??vD22因为，pD?p0(大气压），所以，pC?p0?3?gh，即C处的压强小于p0，又因为F槽液面的压强也为p0，故E管中液柱上升的高度H应满足：

pC??gH?p0

解得 H?3h

17．使体积为25cm3的水，在均匀的水平管中从压强为1.3×105Pa的截面移到压强为1.1×105Pa的截面时，克服摩擦力做功是多少？

5

解：已知V=25 cm3=2.5×10－5m3，p1=1.3×105Pa，p2=1.1×105Pa，由实际流体运动规律知：

1212?v1??gh1?p1??v2??gh2?p2?w 22w?p1?p2?1.3?105?1.1?105?2.0?104(Pa)（水平均匀管）

W?w?V?2.0?104?2.5?10?5?0.50(J)

18．为什么跳伞员从高空降落时，最后达到一个稳恒的降落速度？

答：跳伞员从高空降落时，最后达到一个稳恒降落速度的原因主要是跳伞员的重力、受到浮力和空气阻力达到平衡，沉降速度恒定。

19．20℃的水，在半径为1.0cm的水平管内流动，如果管中心处的流速是10cm/s。求由于粘性使得管长为2.0m的两个端面间的压强差是多少？

解：已知R=1.0 cm，vmax=10cm/s=0.10m/s，L=2.0m，t=20℃，查表知20℃时水的黏度系数为：?水?1.005?10?3 Pa?s，由泊肃叶定律的推导知：

v?p1?p22(R?r2) 4?L(p1?p2)R2??0.10m/s

4?L当r=0，vmax4?Lv4?1.005?10?3?2?0.10p1?p2???8.04(Pa)

R2(1.0?10?2)2

20．图3-3为粘性流体沿水平管流动时，压强沿管路降低的情况。若图中h=23cm；h1=15cm；h2=10cm；h3=5cm；a=10cm。求液体在管路中流动的速度。 已知：h=23cm；h1=15cm；h2=10cm；h3=5cm；a=10cm 求：v=?

解：由实际流体运动规律知：1，2两处（水平均匀管）

1212?v1??gh1?p1??v2??gh2?p2?w 22w?p1?p2??g(h2?h1)??g?h(J/m3)

容器开口液面处与圆管出口处应用实际流体运动规律知：

1?gh?p0??v2?p0?4w

2

6

得： v?2g(h?4?h)?2?9.8?(0.23?4?0.05)?0.77(m/s)

21．直径为0.01mm的水滴，在速度为2 cm/s的上升气流中，能否向地面落下？设空气的η=1.8×10－5Pa?s。

解：已知d=0.01mm=105m，v=2 cm/s=0.02 m/s，η=1.8×105Pa?s，水滴受力分析：重

－

－

力、浮力、粘性阻力，由斯托克斯定律定律知：

f阻?6??rv?6???????????0.5?10?5?0.02?1.08??10?11(N)

mg?f浮?131?d????')g???(10?5)3?103?10?0.17??10?11 (N)

22．水从一截面为5cm2的水平管A，流入两根并联的水平支管B和C，它们的截面积分别为4cm2和3cm2。如果水在管A中的流速为100cm/s，在管C中的流速为50 cm/s。问：(a)水在管B中的流速是多大？(b)B、C两管中的压强差是多少？(c)哪根管中的压强最大？

解：(a)已知SA=5cm2，SB=4cm2，SC=3cm2，vA=100cm/s=1.00m/s，vC=50cm/s=0.50m/s，根据连续性方程知：SAvA= SBvB+SCvC

vB?SAvA?SCvC5?1?3?0.5??0.875(m/s)

SB4(b) 根据伯努利方程知：

1122A、B两处： ?vA??ghA?pA??vB??ghB?pB

221122A、C两处： ?vA??ghA?pA??vC??ghC?pC

221122因此，pB?pC??(vC?vB)??103?(0.52?0.8752)??258(Pa)

22(c)由以上两个方程可知：vA?vB?vC则：pA?pB?pC，即C管压强最大。

23．如图3-4所示，在水箱侧面的同一铅直线的上、下两处各开一小孔，若从这两个小孔的射流相交于一点，试证：h1H1=h2H2。

证明：根据小孔流速规律v?2gh知：v1?2gh1和v2?2gh2 再根据平抛运动规律知：

x=vt和H?联立以上关系式得：

4hH?x2

7

12gt 2由于 x1=x2 所以 h1H1=h2H2 证毕。

24．在一个顶部开启高度为0.1m的直立圆柱型水箱内装满水，水箱底部开有一小孔，已知小孔的横截面积是水箱的横截面积的1/400，(a)求通过水箱底部的小孔将水箱内的水流尽需要多少时间？(b)欲使水面距小孔的高度始终维持在0.1m，把相同数量的水从这个小孔流出又需要多少时间？并把此结果与(a)的结果进行比较。

解：(a)已知h1=0.1m，S2= S1/400，随着水的流出，水位不断下降，流速逐渐减小，根据小孔流速规律知在任意水位处水的流速为：v2?2gh，该处厚度为dh 的一薄层从小孔流出时间为：

dt?S1dhS1dh? S2v2S22gh整个水箱的水流尽所需时间为

t1??h10S1dhS22gh??0.10400dh2?9.8?h?4002?9.8?2h0.10?57(s)

(b) 水面距小孔的高度始终维持在0.1m，则小孔速度始终不变为v2?2gh1 则相同数量的水从这个小孔流出又需要时间为：

t2?S1h1?S2v2400?0.12?9.8?0.1?28.5(s)

比较(a)、(b)知：t1?2t2

8

第四章 振动和波

习题解答

1．一振动的质点沿x轴作简谐振动，其振幅为5.0×10-2m，频率2.0Hz，在时间t=0时，经平衡位置处向x轴正方向运动，求运动方程。如该质点在t=0时，经平衡位置处向x轴负方向运动，求运动方程。

解：已知A?5.0?10?2m,??2.0Hz,t=0时v>0。

通解方程式为x?5.0?10?2cos(2??2?t??0)?5.0?10?2cos(4?t??0) 由t=0时x=0 有cos?0?0,速度表达式为v??0???2

dx??4??5.0?10?2sin(4?t??0) dt根据已给条件t=0时v>0 有

sin?0?0，考虑?0???2,?0???2。

∴运动方程为x?5.0?10?2cos(4?t?

?2)m

22．质量为5.0×10-3kg的振子作简谐振动，其运动方程为x?6.0?10?2cos(5t?π)

3式中，x中的单位是m，t的单位是s。试求：(a)角频率、频率、周期和振幅；(b)t=0时的

位移、速度、加速度和所受的力；(c)t=0时的动能和势能。

解：(a)根据已给条件??5rad??5,??A?6.0?10?2m。

?52?2?，?,T??2?2??5 (b) 将条件t=0带入方程

2?x?Acos()??6.0?10?2?0.5??3?10?2m/s

3dx2?2?v???A?sin(?t?)??6.0?10?2?5?sin??0.26m/s

dt33dv2?2?a???A?2cos(?t?)??6.0?10?2?5?5?cos??0.75m/s

dt331 (c) 动能Ep?mv2?0.169?10?5J

211 势能Ek?kx2??2mx2?5.625?10?4J

22

3．一轻弹簧受29.43N的作用力时,伸长为9.0×10-2m,今在弹簧下端悬一重量P=24.5N

9

的重物，求此这重物的振动周期。

k?解：由胡克定律 F??kxF29.43?x9

2??2?m k??kmT??带入相关数值 T?2?

m24.5/9.82.5?2??2? ?2k32729.43/9?104．续上题,若在开始时将重物从平衡位置拉下6.0×10-2m,然后放开任其自由振动,求振动的振幅、初相位、运动方程和振动能量。

5．经验证明，当车辆沿竖直方向振动时，如果振动的加速度不超过1.0m/s2，乘客就不会有不舒服的感觉。若车辆竖直的振动频率为1.5Hz，求车辆振动振幅的最大允许值。

解：由加速度a?A?2有

A?a?1?2?1.13?10m 2?2?2??1.5?

6．质量为m、长圆管半径为r的比重计，浮在密度为ρ的液体中,如果沿竖直方向推动比重计一下,则比重计将上下振动.在不考虑阻力作用的情况下,试证其振动周期为

T?2πm

rg? 证：设坐标x向下为正。以比重计在水中的平衡位置为坐标零点，比重计被向下压入

水中偏离平衡位置的位移为x，比重计排开水的体积为V??r2x，其所受浮力为

F??V?gx???r2?gx

其中负号表示力的方向与位移相反。由牛顿第二定律F?ma有

d2xF???r?gx?ma?m2

dt2d2x?r2?gx?0 整理有 2?mdt令

?r2?gmd2x??，方程化为振动方程2??2x?0

dt2 10

空间。设S = 200cm2，d = 5.00mm，d1 = 2.00mm， ?r?= 5.00，?r?= 2.00，求(a)该电容器的电容；(b) 如果将380V的电压加在该电容器的两个极板上，那么第一层电介质内的场强是多少？

解：(a)此时电量不变， q???C?1.2?10?4C

EEqS为极板，插入电解质后，场强 E??0?0

?0?rS?r2C?2C （b）此时电压不变，插入电解质后，电容 Cb??r??4Cb?2?C?2.?41C0 于是电量 qb???2qq此时场强 E???E0，故场强不变。

?0?rS?0S

22. 三个电容器其电容分别为C1=4?F，C2=1?F，C3=0.2?F。C1和C2串联后再与C3并联。求(a)总电容C；(b)如果在C3的两极间接上10V的电压，求电容器C3中储存的电场能量。

解：未插入金属板时的电场能：

q2?drq22W??dW??W?q/2C0 02?R8??0r8??0R插入金属板后，因电量不变，则金属板间的场强不变，则两极板间的电势差为：

q12q， U?(d?d)??0S33?0Sq3?S3则此时 C??0?C0

U2d2q22?W0 电场能 W?2C3

23. 有一平行板电容器，极板面积为S，极板间的距离为d，极板间的介质为空气。现将一厚度为d/3的金属板插入该电容器的两极板间并保持与极板平行，求(a)此时该电容器的电容；(b) 设该电容器所带电量q始终保持不变，求插入金属板前后电场能量的变化。

? 解：该点场强为 E?

2??0?rr1?22?1.995?10?6J/m3 故电场能体密度为 ???0?rE?2228??0?rr

24. 一个无限长均匀带电直线的电荷线密度为?=1.67×10-7C/m，被相对电容率?r=5.00的无限大均匀电介质所包围，若a点到带电直线的垂直距离为2m，求该点处的电场能量密度。

解：距球心为r(r?R)处的场强为

26

E?q4??0r2

12则在半径为ｒ厚度为dr的同心薄球壳中的电场能为：

q2dW??dV?dr

8??0r2电场中储存的能量

q2?drq2W??dW?? 2?R8??0r8??0R

25. 真空中一个导体球的半径为R，带有电荷为q，求该导体球储存的电场能量。 解：

qqqdqq2W??Vdq???

4??R8??R0000该处的电场能体密度

???0E2

本题也可用对电场能量密度积分的方法（方法见下题），结果是一样的。

26. 一个半径为R的导体球带电为q，导体球外有一层相对电容率为?r的均匀电介质球壳，其厚度为d，电介质球壳外面为真空，充满了其余空间。求(a)该导体球储存的电场能量；(b)电介质中的电场能量。

解：电场能量等于电场能量密度对所考虑空间的积分，题中所给各处电场为： 导体内： E=0； 电介质球内：E?q24??0?rrq电介质球外：E?； 24??0rR；

11(a)：W???0?rE2dV???0?rE24?r2dr?220R?d?R11?0?rE24?r2dr???0E24?r2dr 22R?d?11q2(?)?=

8??0?rRR?d8??0(R?d)(b)

q

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第七章 直流电路

习题解答

1．把截面相同的铜丝和钢丝串联起来，铜的电导率为5.8?107Sm，钢的电导率为

0.2?107Sm，横截面积为2mm2，如通以电流强度为1?A的恒定电流，求铜丝和钢丝中的

电场强度。

解：铜丝中的电场强度E1??I??8.6?10?9V/m ?1?1S钢丝中的电场强度E2?

?I??2.5?10?7V/m ?2?2S2．平板电容器的电量为2?10?8C，平板间电介质的相对介电常数为78.5，电导率为

2?10?4Sm，求开始漏电时的电流强度。

解：电介质中的场强为E?q?0?rS

则电流密度为：???E??q ?0?rS?q?5.76?10?3A ?0?r漏电时的电流强度I??S?

3．一个用电阻率为?的导电物质制成的空心半球壳，它的内半径为a，外半径为b，求内球面与外球面间的电阻。

解：厚为dr，半径为ｒ的薄同心半球壳的电阻为dR??则所求电阻为R??dR?

4．两同轴圆筒形导体电极，其间充满电阻率为10??m的均匀电介质，内电极半径为

10cm，外电极半径为20cm，圆筒长度为5cm。(a)求两极间的电阻；(b)若两极间的电压

dr 22?r?2??R2R1dr?11?(?) 2r2?ab为8V，求两圆筒间的电流强度。

解：设内圆筒半径为R1，外圆筒半径为R2，圆筒长为Ｌ。电阻率为?，则半径为ｒ，长为l厚度为dr的薄同心圆筒的电阻为：

28

dR??dr,R1?r?R2 2?rlR2?Rdr??ln?22?

2?l?Rr2?lR121电极间的电阻为R??dR?两筒间电流强度为I?

U8??0.36A R225.图7-3中E1?24V，r1?2?，E2?6V，r2?1?，R1?2?，R2?1?，R3?3? 求：(a)电路中的电流；(b)a、b、c和d点的电势；(c)Uab和Udc。

解：(a)电路中电流为I? (b) 因ｅ接地 Ue?0

a点电势为：Ua?Uae?IR2?2V

b点电势为：Ub?Ube?IR2?Ir1??1??18V c点电势为：Uc?Ucb?Ube?IR1?Ub??14V d点电势为：Ud?Ude??IR2??6V (c) Uab??1?Ir1?20V，Udc??2?Ir2?8V

6.图7-4中E1?12V，r1?3?，E2?8V，r2?2?，E3?4V，r3?1?，R1?3?，

R2?2?，R3?5?，I1?0.5A，I2?0.4A，I3?0.9A。计算Uab、Ucd、Uac和Ucb。

5 解： Uac?I1R1?Ir2?1(??)?11V?1??2r1?r2?R1?R2?R3?2A

Ucb??I2r2?IR?(6 2?2Ir23???2)??3VUab?Uac?Ucb?9V Ucd?I3R3?4.5V

7．图7-5中 E1?4V，r1?2?，E2?4V，r2?1?，E3?6V，r3?2?，

E4?2V，r4?1?，E5?0.4V，r5?2?，R1?3?，R2?4?，R3?8?，R4?2?，R5?5?，

29

计算Uab、Ubc、Uad、Uac和Ued。

?????解：?1aR3?3bR2?2R1环路电流I?123r1?R3?r3?R

2?r2?R?0.1A，方向逆时针。1则 Uab?I(R3?r3)??3?V7 Ubc?I(R2?r2)??2??3.5V Uad?Uab?Ubd?Uab??4?9V Uac?Uab?Ubc?3.5V Ued???5?IR2??4?1.2V

8．图7-6中E1?6V，r1?0.2?，E2?4.5V，r2?0.1?，E3?2.5V，r3?0.1?，R1?0.5?，R2?0.5?，R3?2.5?，求通过电阻R1、R2、R3的电流。

解：通过R1,R2,R3的电流为I1,I2,I3，方向如书中的图。 则由基尔霍夫定律得：

I1R1?I2R2?I3R3?0

??2??1?I1R1?(I1?I2)r2?(I1?I3)r1 ??3??2?I2R2?(I2?I3)r3?(I1?I2)r2

则可解得I1?2A,I2?3A,I3?1A，均为正值，表示电流方向与假设方向相同。

9．图7-7中，已知支路电流I13A，I11?2?2A。求电动势E1，E2。

解：?2?I2(r2?R2)?I3R3?9V

?1?I1(r1?R1)?I3R3?6V

10．求图7-8中的未知电动势E。 解：I2?I1?I3

?2??I2(r2?R2)?I3R3

30

故 I3??10A 92I(2?r又 ?1??2?I(1r?1R)?1R )故 ?1?

64V 311．直流电路如图7-9所示，求a点与b点间的电压Uab。 解： I?12?8?0.25A

10?5?0.5?0.5 Uab?0.25(5?0.5)?(4?8)?5.37V

12．直流电路如图7-10所示，求各支路的电流。

解：设左右侧电池电动势分别为?3,?1，则由基尔霍夫定律得：

?1??3?I1?1?(I1?I2)?2?I3?1

?1??3?I1?1?I2?3?(I1?I2?I3)?2?I3?1?1?I1?1?I2?3 则可得I1?

13．在图7-11中，要使Ib?0，试问R1的值应为多少？

证明：根据基尔霍夫定律，

I1R?IRi??1I2R?IRi??2I3R?IRi??3I?I1?I2?I3563614562034A,I2??A,I3??A,I1?A,I1?I2?A,I1?I2?I3?A 414141414141

由以上各式得IR?3IRi??1??2??3

(a) 当Ri?R，4IR??1??2??3，即U?IR?(b) 当Ri?R，IR??1??2??3，则U?IRi?

14．蓄电池E2和电阻为R的用电器并联后接到发电机E1的两端，如图7-12

?1??2??34

Ri(?1??2??3) R 31

所示，箭头表示各支路中的电流方向。已知E2?108V，r1?0.4?，r2?0.2?，I2?10A，

I1?25A，试确定蓄电池是在充电还是在放电？并计算E1、I和R的值。

解：根据基尔霍夫第二定律

IR1?R2(I?Ib)?6R2(I?Ib)?0.7

又Ib?0，故

I?7?10?5AR1?76k?

15．图7-13的电路中含三个电阻R1?3?，R2?5?，R3?10?，一个电容C?8?F，和三个电动势E1?4V，E2?16V，E3?12V。求：(a)所标示的未知电流；(b)电容器两端的电势差和电容器所带的电量。

解：(a)由基尔霍夫定律得

I1?I2?I3

?1??2?I2R2?I1R1

0?I2R2?I3R3

则可得I1?1.89A,I2??1.26A,I3?0.63A 回路中存在电容器相当于断路，故I4?0

(b) 电容器两端电压Uc??3?I3R3?5.7V

则所带电量为q?CUc?4.56?10?5C

16．温差电偶与一固定电阻和电流计串联，用来测量一种合金的熔点，电偶的冷接头放在正溶解的冰内，当电偶的热接头相继地放入在100?C的沸水和327?C的熔化的铅中，电流计的偏转分别为76和219分度，如果将热接头放在正熔化的该合金中，则电流计偏转为

175分度。设温差电动势和温度的关系遵守

12E?a(T1?T2)?b(T1?T2)2

求该合金的熔点。

32

解：不论热接头处于何种温度下，热电偶电路中的电阻值不变，则可设??kI，而

I??M,M为偏转分度。即??CM,C为常数。则原方程可写成

1CM?a(T1?T2)?b(T1?T2)

2带入数值，得

176C?100a?1002b2 1219C?327a?3272b2ab?0.80,??0.00079 CC故当M＝175时，

解得

1175?0.80T??0.00079T2

2解得 T?249.0C4（T?17760C?3270C舍去）

17．当冷热接头的温度分别为0?C及t?C时，康铜与铜所构成的温差电偶的温差电动势可以用下式表示：

E(?V)?35.3t?0.039t2

今将温差电偶的一接头插入炉中，另一接头的温度保持0?C，此时获得温差电动势为

28.75mV，求电炉的温度。

解：将已知值带入方程，得

t?4.6?028.75?103?35.3t?0.039t2

解得 t?516.70C（另一值为负值，舍去）

18．使RC电路中的电容器充电，试问要使这个电容器上的电荷达到比其平衡电荷（即

t??时电容器上的电荷）小1.0％的数值，必须经过多少个时间常量的时间？

解：由q?Q(1?e?t/RC)及q?0.99Q得：

e?t/RC=0.01

t/RC?4.6

t?4.6?0

故需经4.6个时间常数的时间。

33

第八章 磁场 习题解答

1. 一个速度为v?5.0?107m?s-1的电子，在地磁场中垂直地面通过某处时，受到方向向西的洛仑兹力作用，大小为3.2?10?16N。试求该处地磁场的磁感应强度。 解： 电子电量大小为1.6×10-19C，该处磁感应强度大小为

f3.2?10?16B???4.0?10?5T ?197qv1.6?10?5.0?10 因电子带负电垂直向下运动，所以B的方向向北。

2. 几种载流导线在平面内分布(图8-1)，电流均为I，求他们在O点的磁感应强度。 解： (a) O点的磁感应强度等于载流圆环与无限长直载流导线在O点所产生的磁感应强度的矢量和。

载流圆环在圆心O处的磁感应强度：B1??0I2R, 方向为垂直图面指向外；

无限长直导线在圆心O处的磁感应强度：B2?故：BO?B1?B2，BO?B1?B2??0I，方向为垂直图面指向外。 2?R?0I(1??)，方向为垂直图面指向外。 2?R(b) O点的磁感应强度等于两段半无限长直载流导线与1/4载流圆环在O点所产生的磁感应强度的矢量和。

由于O点在其中一段半无限长直载流导线的延长线上，所以该半无限长直载流导线在O点产生的磁感应强度B1?0；

另一段半无限长直载流导线在O点产生的磁感应强度：B2?垂直图面向外；

1/4载流圆环在O点产生的磁感应强度：B3?故：BO?B1?B2?B3，BO?B1?B2?B3??0I1?0I，方向为??2?R24?R?0I2R?1?0I，方向为垂直图面指向外。 ?48R?0I(??2)，方向为垂直图面指向外。 8?R(c) O点的磁感应强度等于两段半无限长直载流导线与1/2载流圆环在O点所产生的磁感应强度的矢量和。

上半无限长直载流导线在O点产生的磁感应强度：B1?图面向外；

下半无限长直载流导线在O点产生的磁感应强度：B2?

?0I1?0I，方向为垂直??2?R24?R?0I1?0I，方向为垂直??2?R24?R34

图面向外；

1/2载流圆环在O点产生的磁感应强度：B3?故：BO?B1?B2?B3，BO?B1?B2?B3?

3. 将通有电流强度I的导线弯成如图8-2所示的形状，组成3/4的圆 (半径为a ) 和3/4 的正方形 (边长为b )。求圆心O处的磁感应强度。

解：O点的磁感应强度等于3/4载流圆环与四段有限长直载流导线在O点所产生的磁感应强度的矢量和。

由于O点在两段有限长直载流导线的延长线上，故它们在O点所产生的磁感应强度均为零，即B1?B2?0。

另两段有限长直载流导线在O点所产生的磁感应强度的方向均为垂直图面指向外，大小分别为：

B3??0I2R?1?0I，方向为垂直图面指向外。 ?24R?0I(??2)，方向为垂直图面指向外。 4?R?0I?I?32?0I， (cos?1?cos?2)? 0(cos?cos?)?4?b4?b248?bB4??0I?I??2?0I。 (cos?1?cos?2)?0(cos?cos)?4?b4?b428?b2a48a3/4载流圆环在O点所产生的磁感应强度：B5??0I?3?3?0I， 外。

故：BO?B1?B2?B3?B4?B5，BO?B1?B2?B3?向外。

方向为垂直图面指向

?0I3?2(?)，方向为垂直图面指4?2ab4. 两根长直导线互相平行地放置在真空中，如图8-3所示 ，其中通以同方向的电流I1

= I2 = 10 A。已知r = 1.0 m。求图中M、N点的磁感应强度。

解：（1）I1在M处产生的磁感应强度：B1??0I1，方向沿I2M由M点指向外；

22?rI2在M处产生的磁感应强度： B2??0I1，方向由M点指向I1。

22?rB1、B2大小相等，方向夹角为900，故M处的磁感应强度为

?0I12?0I14??10?7?10BM?2B1cos?2?? ?方向为水平向左。 ?2.0?10?6 T，

422?r2??1.022?r?

35

（2）I1在N处产生的磁感应强度：B1?I2在N处产生的磁感应强度：B2??0I1，方向由N点指向M点； 2?r?0I1，方向沿MN由N点指向外。 2?rB1、B2大小相等，方向相反，故N处的磁感应强度BN?B1+B2，BN?B1?B2?0。

5. 有一无限长直导线，载有5.0 A电流，试用安培环路定理计算与此导线相距 10 cm 的P点的磁感应强度。

解：选过P点作半径为R的圆环为积分路径，积分路径的绕行方向与电流方向成右手螺旋，根据安培环路定理：

?B?dl???I?L0i

?Bcos0dl??I ?L0?0I4??10?7?5.0B???1.0?10?5T

2?R2??0.1根据右手螺旋法则可知电流与磁感应线成右手螺旋，P点的磁感应强度方向为磁感应线在该点的切线方向。

6. 已知一螺线管的直径为 2.0 cm，长为100 cm，匝数为 1000，通过螺线管的电流强度为 5 .0A。求通过螺线管每一匝的磁通量。

解：通电螺线管内磁场可看视为均强磁场，螺线管轴线上的磁感应强度：

N1000B??0nI??0I?4??10?7?5.0??6.28?10?3T，方向为沿轴线方向。

L1.00通过螺线管每一匝的磁通量：

????B?S?BScos0?Bd2?6.28?10?3??0.0202?1.97?10?6Wb

44

7. 两平行长直导线相距 40 cm (图8-5) ，每条导线载有电流I1 = I2 = 20 A，求：(a) 两导线所在平面内与两导线等距的一点A处的磁感应强度大小和方向；(b) 通过图中斜线所示面积的磁通量。

解：(a)两长直导线到A点的距离相等，故电流I1、I2产生的磁感应强度在A点大小相等，方向相同。

?0I4??10?7?20?4.0?10?5 T，方向垂直图面指向外。 ， BA?2B1?2?B1?B2?2??0.202?R(b) 因长直导线在其周围产生的磁场为非均匀磁场，故在距长直导线为x处的矩形面积

36

?0I。 2?xa?L?I?0I101?1??Bx?dS??hdx??hdx，

SS2?xa2?xa?L?I?I02同理， ?2??Bx?dS??02hdx??hdx

SS2?xa2?x 因电流I1、I2在此处产生的磁感应强度方向相同。所以有 中取一小面积元ds?hdx ，在此处的磁感应强度为Bx????1??2?2?

a?La?0I1?ILhdx?201hln(1?)2?x2?a

4??10?7?200.2 ?2??0.25ln(1?)2?0.1 ?2.2?10?6Wb

8. 一长直导线载有电流30A，离导线30cm处有一电子以速率2.0?107m?s?1运动，求以下三种情况作用在电子上的洛仑兹力。

（1）电子的速度v平行于导线； （2）速度v垂直于导线并指向导线； （3）速度v垂直于导线和电子所构成的平面。 解：长直载流导线周围的磁感应强度大小为B?系。

运动电子在磁场中所受的洛仑兹力：f?qv?B??ev?B

（1）v平行于导线，则v与B垂直

?0I，方向与电流的方向成右手螺旋关2?r?0Iev4??10?7?30?1.6?10?19?2.0?107?17 f?evBsin???6.4?10N ?222?r2??30?10?方向：若v与I同向，则F垂直于导线指向外面；若v与I反向，则F垂直指向导线。

（2） 此时v与B互相垂直，所以洛仑兹力大小同上，f?6.4?10?17N，方向与电流的方向相同。

（3）此时v与B同向，洛仑兹力f?0。

9. 电量为2.0?10?4C、质量为 2.0?10?9g的带电粒子，在磁感应强度为1.0?10?3T的匀强磁场中运动，其初速度为1.0?106cm?s?1，方向与磁场成 30?，求其螺旋线轨道的半径是多少？

37

mv2.0?10?12?1.0?104解：螺旋线轨道的半径为：R?sin??sin30o?5.0?10?2m ?4?3qB2.0?10?1.0?10

10. 电子在磁感应强度B?2.0?10?3T的匀强磁场中，沿半径R = 5.0 cm的螺旋线运动(如图8-6)，螺距 h = 31.4 cm。求电子的速度。

解：螺旋线轨道的半径和螺距分别为：

mv2?mR?sin?，h?vcos?

qBqB即 qBR?vmsin?——（1）

qBh?mvcos?——（2） 2?R5.0?（1）÷（2）得 tg???2???2?3.1?4，1??

h31.44把???4代入（1）式便可求出电子的速度：

qBR1.6?10?19?2.0?10?3?5.0?10?27?1v=??2.5?10m?s ?31msin?9.1?10?2/2

11. 利用霍尔元件可以测量磁场的磁感应强度。设一用金属材料制成的霍尔元件，其厚度为0.15mm，载流子数密度为1.0?1025m?3，将霍尔元件放入待测的匀强磁场中，测得霍尔电势差为40?V、电流为10mA，求待测磁场的磁感应强度。

解：霍尔电势差为 Uaa??1IB ?nqdnqdUaa?1.0?1025?1.6?10?19?0.15?10?3?40?10?6??0.96T 则待测磁场的磁感应强度：B?I10?10?3

12. 电子在磁场和电场共存的空间运动，如图8-7所示，已知匀强电场强度

E?3.0?102N?C?1，匀强磁场B?2.0?10?3T，则电子的速度应为多大时，才能在此空间作

匀速直线运动？

解：当电子受到的电场力和洛仑兹力大小相等、方向相反时才能作匀速直线运动，由

eE?eBv

E3.0?102?1.5?105m?s?1 得： v???3B2.0?10

38

13. 一无限长载流直导线通有电流I1，另一有限长度的载流直导线AB通有电流I2，AB长为l。求载流直导线AB与无限长直载流导线平行和垂直放置，如图8-8(a)、(b)所示时所受到的安培力的大小和方向。

解：(a) 载流直导线AB与无限长载流直导线平行放置时，距无限长载流直导线为a处

?I的AB的磁感应强度大小均为B?01，方向垂直图面向里。

2?a?II载流直导线AB所受到的安培力的大小为F?I2Bl?012l，方向垂直AB水平向右

2?a(b) 载流直导线AB与无限长载流直导线垂直放置时，AB上各处的磁感应强度不同。

以长直导线为原点作OX坐标轴，根据安培环路定律，距长直导线为x处的磁感应强度B??0I1 2?x该处电流元Idx所受安培力的大小为 df?I2Bdx 整条载流直导线AB所受合力为：

a?la?l?II?II?IIla?l012 F??df??I2Bdx??dx?012lnxa?012ln(1?)

aa2?x2?2?a方向垂直AB竖直向上。

14. 在图8-9中，一根长直导线载有电流I1=30A，与它同一平面的矩形线圈ABCD载有电流I2=10A，已知d=1.0cm，b=9cm，l=20cm。求作用在矩形线圈的合力。 解：根据上题的结果可得： FAB?FCD??0I1I2ln(1?b)，

2?d?0I14??10?7?30 FAD?I2l??10?0.20?1.2?10?3N；

2??0.0102?dFBC4??10?7?20?10?0.20?1.2?10?4N。 ?I2l?2??(0.01?0.09)2?(d?b)?0I1 根据安培定律，F AB方向竖直向上，FCD方向竖直向下，FAD方向水平向左，F BC方向

水平向右。

因为FAB??FCD，所以作用在矩形线圈的合力为：

F?FAD?FBC?1.2?10?3?1.2?10?4?1.08?10?3N，方向水平向左指向导线。

15. 长方形线圈abcd 可绕y轴旋转，载有10A的电流，方向如图8-10所示。线圈放在磁感应强度为0.2 T、方向平行于x轴的匀强磁场中。问：( a ) 线圈各边受力的大小和方

39

向；( b )若维持线圈在原位置时，需要多大力矩？( c )线圈处在什么位置时所受磁力矩最小？

解：( a ) Fab?BIl1sin90??0.2?10?0.08?0.16N，z方向；

Fbc?BIl2sin30??0.2?10?0.06?0.5?0.06N，y方向； Fcd?Fab?0.16N，-z方向；

Fda?BIl2sin(180??30?)?0.2?10?0.060?0.5?0.06N，-y方向。

( b ) 线圈磁矩M?pm?B

M?Il1l2Bsin(90??30?)?10?0.08?0.06?0.2?sin120??8.31?10?3N?m，方向为+y方向。

要维持线圈在原位置时，则外加的力矩必须大小相等，方向相反。即需要的力矩为

8.31?10?3N?m，-y方向。

(c) 当pm与B方向相同或相反时，即线圈的法线方向与B的夹角为0或 ?时，所受的力矩M?0，最小。

16. 如图8-11所示为一正三角形线圈，放在匀强磁场中，磁场方向与线圈平面平行，且平行于BC 边。设I = 10A，B = 1T，正三角形的边长l = 0.1m，求(a)线圈所受磁力矩的大小和方向；(b)线圈将如何转动？

解：(a) 线圈磁矩M?pm?B

13?0.1?4.3?10?2N?m，方向向上。 M?ISBsin90??10??0.1?22(b) 当

pmpm与B方向相同时，所受的力矩最小。故线圈将绕OO′轴逆时针方向转动至

与B方向相同。

17. 一个具有铁心的螺绕环，每厘米绕有10匝导线，当通以2.0 A的电流时，测得螺

绕环内部的磁感应强度B为1.0 T。试计算：( a ) 放入或移去铁心两种情况下的磁场强度；( b ) 铁心的相对磁导率。

解：(a) 磁场强度H与磁介质无关，不管有无铁芯，环内的磁场强度均为：

N10H?I??2.0?2.0?103A?m?1

L0.01B1.0??398 (b) ?r??73?0H4??10?2.0?10

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