三角函数的图像和性质

三角函数的图象和性质（一）

教学目标：

1、 了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和

函数y?Asin(?x??)的简图； 2、 理解A,?,?的物理意义，掌握由函数y?sinx的图象到函数y?Asin(?x??)的图象的变换原理;

3、 掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心.

教学重点：函数y?sinx的图象到函数y?Asin(?x??)的图象的变换方法．

一、知识点归纳：

1.“五点法”画正弦、余弦函数和函数y?Asin(?x??)的简图. 2.函数y?sinx的图象到函数y?Asin(?x??)的图象的两种主要途径． 3.掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心. 4.会由三角函数图象求出相应的解析式.

二、知识点解析：

1.“五点法”画正弦、余弦函数和函数y?Asin(?x??)的简图，五个特殊点通常都是取

三个平衡点，一个最高、一个最低点；

2.给出图象求y?Asin(?x??)?B的解析式的难点在于?,?的确定，本质为待定系数法，基本方法是：①寻找特殊点（平衡点、最值点）代入解析式；②图象变换法，即考察已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到的，通常可由平衡点或最值点确定周期T，进而确定?．

3.对称性:?1?函数y?Asin(?x??)对称轴可由?x???k???2?k?Z?解出；对称

中心的横坐标是方程?x???k??k?Z?的解，对称中心的纵坐标为0.( 即整体代换法)

?k?Z?解出；对称中心的纵坐标是方

?2?函数y?Acos??x???对称轴可由?x???k??2程?x???k???k?Z?的解，对称中心的横坐标为0.( 即整体代换法)

k2?3?函数y?Atan??x???对称中心的横坐标可由?x?????k?Z?解出，对称中心的

纵坐标为0，函数y?tan??x???不具有轴对称性.

4.A?0时，y?Asin??x???，当?x???2k???2?k?Z?时，有最大值A，

当?x???2k???2?k?Z?时,有最小值?A；A?0时，与上述情况相反.

（三）典例分析：

x?问题1． 已知函数y?2sin(?)?x?R?.

23?1?用“五点法”画出它的图象；?2?求它的振幅、周期和初相；

?3?说明该函数的图象可由y?sinx的图象经过怎样的变换而得到.

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π??π?问题2．?1?(07海南)函数y?sin?在区的简图是 2x??，π????y?3?

??2??2??31 ?6??y21 ?O x

??2??3 O ?1 ?6?x

?1 A. y B. y?1 ??6??61 ?1 O ?3x ??2 O ?1 ?3?x

C. D.

?2?(05天津文)函数y?Asin(?x??)???0,???2,x?R? 4 y 的部分图象如图所示，则函数表达式为

???? A.y??4sin(x?) B.y?4sin(x?)

8484C.y??4sin(?8x??4) D.y?4sin(?8x??4?2 O ?4 6 x )

y

?3?已知函数y?Asin(?x??)（A?0,|?|??）

的一段图象如下图所示，求该函数的解析式．

2 2

到图象对应解析式是

3?3xA.y?5sin(2?23?43? 83?O ?2 ?x 问题3．?1?将函数y?5sin(?3x)的周期扩大到原来的2倍，再将函数图象左移

)B.y?5sin(7?10?3x2)C.y?5sin(?3，得

?3x?6x) D.y?5cos 62?2?（07山东文）要得到函数y?sinx的图象，只需将函数y?cos?x?????? ??的图象 A.向右平移

C.向左平移

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????个单位；B.向右平移个单位；D.向左平移

????个单位； 个单位

?3?（04山东）为了得到函数y?sin(2x??6)的图象，可以将函数yA.向右平移C.向左平移

?cos2x的图象

?6个单位长度 B. 向右平移个单位长度 D.向左平移

?3?3个单位长度

?6个单位长度

??问题4．?1?(07福建)已知函数f(x)?sin??x???(?????0)的最小正周期为?，则

该函数的图象 A.关于点???，0?对称 B.关于直线x?对称

??????????C.关于点?，0?对称 D..关于直线x?对称

?????2?（05山东）已知函数y?sin(x??12)cos(x??12)，则下列判断正确的是

A.此函数的最小正周期为2?，其图象的一个对称中心是????,0? ?12? B.此函数的最小正周期为?，其图象的一个对称中心是????,0? ?12????,0? ?6? C.此函数的最小正周期为2?，其图象的一个对称中心是????D.此函数的最小正周期为?，其图象的一个对称中心是?,0?

?6?????x?R，问题5．（07陕西）设函数f(x)?a?b，其中向量a?(m，cos2x)，b?(1?sin2x，1)，

且y?f(x)的图象经过点?x值的集合．

?π?（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值及此时，2?．

?4?

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（四）课外作业：

1.要得到y?sin2x?cos2x的图象，只需将y?sin2x?cos2x的图象

A. 向左平移

π8 B. 向右平移

π8 C. 向左平移

π4 D.向右平移?8π4

2.如果函数y?sin2x?acos2x的图象关于直线x??对称，则a? （五）走向高考：

4.（05天津）要得到函数y?2cosx的图象，只需将函数y?2sin(2x??4)的

图象上所有的点的

A.横坐标缩短到原来的B.横坐标缩短到原来的

1212倍（纵坐标不变）,再向左平行移动倍（纵坐标不变），再向右平行移动

?8个单位长度 个单位长度 个单位长度 个单位长度

?44C.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动D.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动5.（06江苏）为了得到函数y?2sin(x3???8?6),x?R的图像，只需把函数y?2sinx,x?R的

图像上所有的点

A.向左平移B.向右平移C.向左平移D.向右平移

?6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）

31?6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）

31?6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）

??的图象为C， ??6??6. (07安徽)函数f(x)?3sin?2x???①图象C关于直线x???5???对称；②函数f(x)在区间??，?内是增函数； 12????????11③由y?3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C．

以上三个论断中，正确论断的个数是

A.0 B.1 C.2 D.3 y 7.（06安徽）将函数y?sin?x(??0)的图象按向量 1 ????a???,0?平移，平移后的图象如图所示，

?6?O 则平移后的图象所对应函数的解析式是

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712? x ?1

A.y?sin(x??6) B.y?sin(x??6)

338.（05福建）函数y?sin(?x??)(x?R,??0, C.y?sin(2x??) D.y?sin(2x??)

0???2?)的部分图象如图，则 ?65?4y

A.??C.???2,??,???4 B.?? D.???3,??,??

1 ?4?4?4O 1 3 x ???9.（07福建）已知函数f(x)?sin??x??(??0)的最小正周期为?，则该函数的图象

???????????A.关于点?，0?对称B.关于直线x?对称C.关于点?，0?对称D.关于直线x?对称

????????π??π??10.（07广东文）已知简谐运动f(x)?2sin?x???????的图象经过点(0，1)，则

32????该简谐运动的最小正周期T和初相?分别为

A.T?6，??π6；B.T?6，??π3；C.T?6π，???62π6；D.T?6π，???12)(x?R).

π3

11.（06陕西）已知函数f(x)?3sin(2x?)?2sin(x?（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求使函数f(x)取得最大值的x集合.

12.（05全国Ⅰ文）设函数f(x)?sin(2x??) (?????0),y?f(x)图像的一条对称轴

是直线x??8.（Ⅰ）求?；（Ⅱ）求函数y?f(x)的单调增区间；

（Ⅲ）画出函数y?f(x)在区间[0,?]上的图像。

13. (03全国)已知函数f(x)?sin(?x??)(??0,0????)是R上的偶函数，其图象关

于点M(

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3?4,0)对称，且在区间?0,????上是单调函数。求?和?的值。

2??

三角函数的图象和性质（二）

教学目标：掌握三角函数的定义域、值域的求法；理解周期函数与最小正周期的意义，会

求经过简单的恒等变形可化为y?Asin(?x??)或y?Atan(?x??)的三角函数的周期．

教学重点：求三角函数的定义域是研究其它一切性质的前提． （一）知识点归纳：

三角函数的定义域、值域及周期如下表： 函数 定义域 y?sinx R y?cosx R y?tanx {x|x?k??值域 [?1,1] [?1,1] R 周期 2? 2? ?2,k?Z} ? （二）知识点解析： 1.求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组）．一般可用三角函数的图象或三角函数

线确定三角不等式的解．列三角不等式，既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根被开方数大于等于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身的定义域；

2.求三角函数的值域的常用方法：①化为求代数函数的值域；②化为求

的值域；③化为关于sinx（或cosx）的二次函数式； y?Asin?(x???)B3.三角函数的周期问题一般将函数式化为y?Af(?x??)??0）（其中f(x)为三角函数，．

（三）典例分析： 问题1． 求下列函数的定义域:

?1?

f(x)?3?tanx；?2? f(x)?tan(sinx)；?3? f(x)?2cosx?1tanx?1

问题2．求下列函数的值域：

?1?

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y?cosx2cosx?1；?2?y?2sinxcosx1?sinx2；?3?y?log23?sinx3?sinx；?4?y?1?sinx3?cosx．

问题3．求下列函数的周期：

sin2x?sin(2x??3)?1?

y?cos2x?cos(2x??3；?2?y?2sin(x?)?2)sinx；?3?y?cos4x?sin4xcos4x?sin4x

问题4．已知函数f?x???acos2x?2为??5,1?，求常数a,b的值．

3asinxcosx?2a?b的定义域为0,?????2??，值域

（四）课后作业：

1.求函数y?lgsinx?2.函数y?12?cosx的定义域.

2sinx?16?x的定义域为 3.若方程cos2x?23sinxcosx?k?1有解，则k? 4.（05江西）设函数f(x)?sin3x?sin3x，则f(x)为（

A.周期函数，最小正周期为

2?3 ）

?3 B.周期函数，最小正周期为

D.非周期函数

C.周期函数，数小正周期为2?

5.（05全国Ⅱ）函数f(x)?sinx?cosx的最小正周期是 A.6.函数y?sin6x?cos6x的最小正周期为 7.函数y?tanx?cotx的周期是

?4 B.?2C.? D.2?

8.已知函数f?x??6cosx?5sinx?4cos2x42，求f?x?的定义域，判断它的奇偶性，并求其

值域

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（五）走向高考：

9.（04四川）函数y?sin4x?cos2x的最小正周期为 A.?4 B.?2 C.?D.2?

π?π???10.（07上海）函数y?sin?x??sin?x??的最小正周期T?

3?2???????11.（06福建）已知函数f(x)?2sin?x???0?在区间?,上的最小值是?2，则?

?34??? 的最小值等于 A.23 B.32 C.2 D.3

12.（07安徽文）解不等式(3x?1?1)(sinx?2)?0．

13.（07天津）已知函数f(x)?2cosx(sinx?cosx)?1，x?R．

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；

?π3π???（Ⅱ）求函数f(x)在区间?，?上的最小值和最大值．

84

14.（07重庆）设f(x)?6cos2x?3sin2x．（Ⅰ）求f(x)的最大值及最小正周期；

（Ⅱ）若锐角?满足f(?)?3?23，求tan

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45?的值．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/bxb3.html