第十七讲中考数学代数提升

2017年初三数学二轮复习

专题提升(三) 列方程(组)解应用题

一、一元一次方程的应用

1．某商品连续两次降价10%后的价格是81元，则该商品原来的价格是( ) A. 100元 B. 90元 C. 810元 D. 819元

2．某品牌电动车经销商一月份销售该品牌电动车100辆，二月份的销售量比一月份增加10%，二月份每辆电动车的售价比一月份每辆电动车的售价低80元，二月份的销售总额比一月份销售总额多12200元，问：一月份每辆电动车的售价是多少元？

3．现有甲、乙两种金属的合金10 kg，如果加入甲种金属若干，那么重新熔炼后的合金中乙种金属占2份，甲种金属占3份，如果加入的甲种金属是第一次加入的2倍，那么重新熔炼后的合金中乙种金属占3份，甲种金属占7份，第一次加入的甲种金属多少？原来这块合金中甲种金属的百分比是多少？

二、二元一次方程(组)的应用

4．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b，2b＋c，2c＋3d，4d.例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16.当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为( )

A. 7，6，1，4 B. 6，4，1，7 C. 4，6，1，7 D. 1，6，4，7 5．某景点的门票价格如表： 购票人数/人 每人门票价/元 1～50 12 51～100 10 100以上 8 某校七年级(1)、(2)两班计划去游览该景点，其中(1)班人数少于50人，(2)班人数多于50人且少于100人，如果两班都以班为单位单独购票，那么一共支付1118元；如果两班联合起来作为一个团体购票，那么只需花费816元．

(1)两个班各有多少名学生？

6．由大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨．请根据以上信息，提出一个能用方程(组)解决的问题，并写出这个问题的解答过程．

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三、一元二次方程的应用

7．股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是( )

1110

A. (1＋x)2＝ B. (1＋x)2＝ 1091110

C. 1＋2x＝ D. 1＋2x＝ 109

8．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12 m的住房墙，另外三边用

25 m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1 m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80 m2?

(第8题图)

9．某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元． (1)求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率．

(2)根据(1)所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元．

四、分式方程的应用

10．现有纯农药一桶，倒出20升后用水补满，然后又倒出10升，再用水补满，这时，桶中纯农药与水的体积之比为3∶5，则桶的容积为 升．

11．扬州建城2500年之际，为了继续美化城市，计划在路旁栽树1200棵，由于志愿者的参加，实际每天栽树的棵数比原计划多20%，结果提前2天完成，则原计划每天栽树多少棵？

12．某部队将在指定山区进行军事演习，为了使道路便于部队重型车辆通过，部队工兵1

连接到抢修一段长3600 m道路的任务，按原计划完成总任务的后，为了让道路尽快投入使

3用，工兵连将工作效率提高了50%，一共用了10 h完成任务．

1

(1)按原计划完成总任务的时，已抢修道路_________________m.

3(2)问：原计划每小时抢修道路多少米？

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专题提升(四) 一次函数图象与性质的综合应用

1．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋bx与y＝bx＋a的图象可能是( )

2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1 cm，BC＝2 cm，点P从点A出发，以1 cm/s的速度沿折线AC→CB→BA运动，最终回到点A，设点P的运动时间为x(s)，线段AP的长度为y(cm)，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是( )

,(第2题图)(第3题图)

3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，3)，△OAB沿x轴向右平移后得到3

△O′A′B′，点A的对应为点为直线y＝x上一点，则点B与其对应点B′间的距离为 ( )

4

9

A. B. 3 C. 4 D. 5 4

4．汽车以60 km/h的速度在公路上匀速行驶，1 h后进入高速路，继续以100 km/h的速度匀速行驶，则汽车行驶的路程s(km)与行驶的时间t(h)的函数关系的大致图象是( )

5．把直线y＝－x＋3向上平移m个单位后，与直线y＝2x＋4的交点在第一象限，则m的取值范围是( )

A. 1＜m＜7 B. 3＜m＜4 C. m＞1 D. m＜4

6．如图，已知一条直线经过点A(0，2)，B(1，0)，将这条直线向左平移，使其与x轴、y轴分别交与点C，D.若DB＝DC，则直线CD的函数表达式为 ．

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,(第6题图)) (第9题图)

－（n＋1）1

7．已知直线y＝x＋(n为正整数)与坐标轴围成的三角形的面积为Sn，

n＋2n＋2则S1＋S2＋S3＋…＋S2012＝____ ．

8．已知直线y＝kx＋b，若k＋b＝5，kb＝6，那么该直线不经过第___ 象限． 9．如图，点A，B的坐标分别为(0，2)，(3，4)，点P为x轴上的一点．若点B关于直线AP的对称点B′恰好落在x轴上，则点P的坐标为__ ．

10．已知水银体温计的读数y(℃)与水银柱的长度x(cm)之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰(如图)，表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度．

(第10题图)

水银柱的长度x(cm) 体温计的读数y(℃) 4.2 35.0 … … 8.2 40.0 9.8 42.0 (1)求y关于x的函数关系式(不需要写出函数自变量的取值范围)．

(2)用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2 cm，求此时体温计的读数．

(第11题图)

k

11．如图，一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，点A坐标为

x1

(m，2)，点B坐标为(－4，n)，OA与x轴正半轴夹角的正切值为，直线AB交y轴于点C，

3过C作y轴的垂线，交反比例函数图象于点D，连结OD，BD.

(1)求一次函数与反比例函数的表达式． (2)求四边形OCBD的面积．

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12．甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2 h，并且甲车途中休息了0.5 h，如图是甲、乙两车行驶的距离y(km)与时间x(h)的函数图象． (1)求出图中m，a的值．

(2)求出甲车行驶路程y(km)与时间x(h)的函数表达式，并写出相应的x的取值范围． (3)当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距50 km?

(第12题图)

13．经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v(千米/小时)是车流密度x(辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

(1)求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度．

(2)在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？

(3)车流量(辆/小时)是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数(即：车流量＝车流速度×车流密度)．求大桥上车流量y的最大值．

14．某市政府为了增强城镇居民抵御大病风险的能力，积极完善城镇居民医疗保险制度，纳入医疗保险的居民的大病住院医疗费用的报销比例标准如下表：

医疗费用范围 不超过8000元 超过8000元且不超过30000元的部分 超过30000元且不超过50000元的部分 超过50000元的部分 报销比例标准 不予报销 50% 60% 70% 设享受医保的某居民一年的大病住院医疗费用为x元，按上述标准报销的金额为y元． (1)直接写出x≤50000时，y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围． (2)若某居民大病住院医疗费用按标准报销了20000元，则他住院医疗费用是多少元？ 15．某农户计划购买甲、乙两种油茶树苗共1000株．已知乙种树苗比甲种树苗每株贵3元，且用100元钱购买甲种树苗的株数与用160元钱购买乙种树苗的株数刚好相同．

(1)求甲、乙两种油茶树苗每株的价格．

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(2)如果购买两种树苗共用5600元，那么甲、乙两种树苗各买了多少株？

(3)调查统计得，甲、乙两种树苗的成活率分别为90%，95%.要使这批树苗的成活率不低于92%，且使购买树苗的费用最低，应如何选购树苗？最低费用是多少？

16．某动车站在原有的普通售票窗口外新增了无人售票窗口，普通售票窗口从上午8点开放，而无人售票窗口从上午7点开放．某日从上午7点到10点，每个普通售票窗口售出的车票数y1(张)与售票时间x(小时)的变化趋势如图①，每个无人售票窗口售出的车票数y2(张)与售票时间x(h)的变化趋势是以原点为顶点的抛物线的一部分，如图②.若该日截至上午9点，每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同．

(1)求图②中所确定抛物线的表达式．

(2)若该日共开放5个无人售票窗口，截至上午10点，两种窗口共售出的车票数不少于900张，则至少需要开放多少个普通售票窗口？

(第16题图)

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专题提升(五) 反比例函数图象与性质的综合应用

m

1．反比例函数y＝的图象如图所示，有以下结论：

x

①常数m＜－1；

②在每个象限内，y随x的增大而增大；

③若点A(－1，h)，B(2，k)在图象上，则h＜k；

④若点P(x，y)在图象上，则点P′(－x，－y)也在图象上． 其中正确的是( ) A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 2．下列函数中，当x>0时，y随x的增大而增大的是( )

1

A. y＝－x＋1 B. y＝x2－1 C. y＝ D. y＝－x2＋1

x

3．已知圆柱的侧面积是20π cm2，若圆柱底面半径为r(cm)，高为h(cm)，则h关于r的函数图象大致是( )

(第1题图)(第4题图) (第5题图)

1

4．如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，点A在反比例函数y＝的xk

图象上．若点B在反比例函数y＝的图象上，则k的值为( )

x

A. －4 B. 4 C. －2 D. 2

6

5．如图，在反比例函数y＝－(x<0)的图象上任取一点P，过点P分别作x轴，y轴的

x垂线，垂足分别为M，N，那么四边形PMON的面积为____ ．

2a－1

6．反比例函数y＝的图象有一支位于第一象限，则常数a的取值范围是__ _ ．

x7．如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数yk

＝(x>0)的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F.若点D的坐标为(6，8)，x则点F的坐标是 ．

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(第7题图)(第8题图) (第9题图)

k

8．如图，反比例函数y＝的图象经过点(－1，－22)，点A是该图象第一象限分支上

x的动点，连结AO并延长交另一支于点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，顶点C在第四象限，AC与x轴交于点P，连结BP.

(1)k的值为 ．

(2)在点A运动过程中，当BP平分∠ABC时，点C的坐标是 ．

k2

9．如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x＋b的图象与反比例函数y＝的图象x交于A(1，4)，B(3，m)两点．

(1)求一次函数的表达式． (2)求△AOB的面积． 10．人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄．当车速为50 km/h时，视野为80度．如果视野f(度)是车速v(km/h)的反比例函数，求f，v之间的关系式，并计算当车速为100 km/h时视野的度数．

11．某地计划用120～180天(含120与180天)的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万m3.

(1)写出运输公司完成任务所需的时间y(天)与平均每天的工作量x(万m3)之间的函数表达式，并给出自变量x的取值范围．

(2)由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石方比原计划多5000 m3，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米3?

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12．工匠制作某种金属工具需要进行材料煅烧和锻造两道工序，即需要将材料烧到800 ℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8 min时，材料温度降为600 ℃.煅烧时温度y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；锻造时，温度y(℃)与时间x(min)成反比例函数关系(如图)．已知该材料初始温度是32 ℃.

(1)分别求出材料煅烧和锻造时y关于x的函数表达式，并且写出自变量x的取值范围． (2)根据工艺要求，当材料温度低于480 ℃时，须停止操作．那么锻造的操作时间有多长？

(第12题图)

k

13．如图，已知点A，P在反比例函数y＝(k＜0)的图象上，点B，Q在直线y＝x－3

x上，点B的纵坐标为－1，AB⊥x轴(点A在点B下方)，且S△OAB＝4.若P，Q两点关于y轴对称，设点P的坐标为(m，n)．

(1)求点A的坐标和k的值．

nm

(2)求＋的值．

mn

(第13题图)

14．我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18 ℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大k

棚内温度y(℃)随时间x(时)变化的函数图象，其中BC段是反比例函数y＝图象的一部分．请

x根据图中信息解答下列问题：

(1)恒温系统在这天保持大棚内温度为18 ℃的时间有多少小时？ (2)求k的值．

(3)当x＝16时，大棚内的温度约为多少度？

(第14题图)

1

15．已知双曲线y＝(x＞0)，直线l1：y－2＝k(x－2)(k＜0)过定点F且与双曲线交于

x

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A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)，直线l2：y＝－x＋2.

(1)若k＝－1，求△OAB的面积S.

5

(2)若AB＝2，求k的值．

2

(3)设N(0，22)，P在双曲线上，M在直线l2上且PM∥x轴，求PM＋PN最小值，并求PM＋PN取得最小值时点P的坐标．

(参考公式：在平面直角坐标系中，若A(x1，y1)，B(x2，y2)则A，B两点间的距离为AB（x1－x2）2＋（y1－y2）2.

(第15题图)

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专题提升(六) 二次函数图象与性质的综合应用

1．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，下列结论： ①二次三项式ax2＋bx＋c的最大值为4；②4a＋2b＋c＜0； ③一元二次方程ax2＋bx＋c＝1的两根之和为－1；

④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0.其中正确的个数有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

(第1题图)(第2题图)

2．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC.则下列结论：

b2－4acc

①abc<0；②>0；③ac－b＋1＝0；④OA·OB＝－.其中正确结论的个数是( )

4aaA. 4 B. 3 C. 2 D. 1

1

3．对于抛物线y＝－(x＋1)2＋3，有下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直

2线x＝1；③顶点坐标为(－1，3)；④x＞1时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

(第4题图) (第7题图)(第8题图)

4．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1

A. y1 ≤y2 B. y1 ＜y2 C. y1 ≥y2 D. y1 ＞y2

5．已知A(－2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为( )

A. y1>y2>y3 B. y1>y3>y2 C. y3>y2>y1 D. y3>y1>y2

115

6．已知二次函数y＝－x2－7x＋，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，

22则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是( )

A. y1＞y2＞y3 B. y1＜y2＜y3 C. y2＞y3＞y1 D. y2＜y3＜y1

7．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，图象经过点(3，0)，下列结论中，正确的一项是( )

A. abc＜0 B. 2a＋b＜0 C. a－b＋c＜0 D. 4ac－b2＜0

8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2＋bx

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＋c－m＝0没有实数根，有下列结论：①b2－4ac＞0；②abc＜0；③m＞2.其中，正确结论的个数是( )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

9．已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(3，0)，B(－1，0)． (1)求抛物线的表达式． (2)求抛物线的顶点坐标．

10．已知关于x的一元二次方程：x2－(m－3)x－m＝0. (1)试判断原方程根的情况．

(2)若抛物线y＝x2－(m－3)x－m与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．

(友情提示：AB＝|x1－x2|)

11．根据下列要求，解答相关问题：

(1)请补全以下求不等式－2x2－4x≥0的解集的过程：

①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y＝－2x2－4x；并在下面的坐标系中(见图①)画出二次函数y＝－2x2－4x的图象(只画出图象即可)；

②求得界点，标示所需：当y＝0时，求得方程－2x2－4x＝0的解为x1＝0，x2＝－2；并用粗线标示出函数y＝－2x2－4x图象中y≥0的部分；

③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式－2x2－4x≥0的解集为－2≤x≤0． (2)利用(1)中求不等式解集的步骤，求不等式x2－2x＋1＜4的解集： ①构造函数，画出图象； ②求得界点，标示所需； ③借助图象，写出解集．

(3)参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集．

(第11题图)

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12．如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，AD＝4 cm，DC＝5 cm，AB＝8 cm.点P由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点Q由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，它们的速度均为1 cm/s，当点P到达点C时，两点同时停止运动，连结PQ，设运动时间为t(s)，解答下列问题：

(1)当t为何值时，P，Q两点同时停止运动？

(2)设△PQB的面积为S，当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值． (3)当△PQB为等腰三角形时，求t的值．

(第12题图)

13．如图①，关于x的二次函数y＝－x2＋bx＋c经过点A(－3，0)，点C(0，3)，点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．

(1)求抛物线的表达式．

(2)DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等，若存在，求出点P；若不存在，请说明理由．

(3)如图②，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC＝3S△EBC，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

(第13题图)

14．已知O为坐标原点，抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于点A(x1，0)，B(x2，0)，与y轴交于点C，且O，C两点之间的距离为3，x1·x2<0，|x1|＋|x2|＝4，点A，C在直线y2＝－3x＋t上．

(1)求点C的坐标．

(2)当y1随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围．

(3)将抛物线y1向左平移n(n>0)个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，直线y2向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求2n2－5n的最小值．

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