修改后自考高数一知识点

1 函数、极限与连续

§1--1 初等函数

基本初等函数

我们把幂函数y =x α(α∈R )、指数函数y =a x (a >0且a ≠1)、对数函数y =log a x (a >0且a ≠1)、三角函数y =sin x , y =cos x , y =tan x , y =cot x , y =sec x , y =csc x 和反三角函数y =arcsin x , y =arccos x , y =arctan x , y =arccot x 统称为基本初等函数．很多时候也把多项式函数y =a n x n +a n-1x n-1+...+a 1x +a 0看作基本初等函数．

复合函数

定义1 如果y 是u 的函数y =f (u )，而u 又是x 的函数u =?(x )，且?(x )的值域与y =f (u )的定义域的交非空，那么，y 通过中间变量u 的联系成为x 的函数，我们把这个函数称为是由函数y =f (u )与u =?(x )复合而成的复合函数，记作y =f [?(x )]．

例1 已知y =ln u , u =x 2，试把y 表示为x 的函数．

解 y =ln u =ln x 2, x ∈(-∞,0)?(0,+∞)．

例2 设y =u 2, u =tan v , v =2

x ，试把y 表示为x 的函数．

解 y =u 2=tan 2v =tan 22

x ．

复合函数的中间变量可以不限于一个．

例3 函数y =e sin x 是由哪些简单函数复合而成的？

解 令u =sin x ，则y =e u ，故y =e sin x 是由y =e u , u =sin x 复合而成的．

例4 函数y =tan 3（2lnx+1）是由哪些初等函数复合而成的？

解 令u =tan （2lnx+1），则y =u 3；再令v =2lnx+1，则u =tan v .

故y =tan 3（2lnx+1）是由y =u 3, u =tan v , v =2lnx+1复合而成的．

初等函数

定义2 由常数和基本初等函数，经过有限次四则运算和有限次复合而成的，并且能用一个式子表示的函数，称为初等函数．例如：

2),1(log ,1

sin 22x x a a a y x x y x x y -+=++=+=

等都是初等函数． 例5 分解()231sin x e y +=．

解 令u =sin(1+3x 2)，得y =e u ；再令v =1+3x 2，得u =sin v ．

故()231sin x e y +=是由y =e u , u =sin v , v =1+3x 2复合而成的

定义3 设a,R ∈δ, δ>0,数集 {x| |x-a|<δ ,x ∈ R },即实数轴上和a 点的距离小于δ的点的全体，称为点a 的δ邻域，记作U （a,δ）,点a 与数δ分别称为这邻域的中心和半

2 径．有时用U （a ）表示点a 的一个泛指的邻域．数集{x|0<|x-a|<δ,x ∈ R

},称为点的空

心δ邻域，记作),(0δa U ．

U （a,δ）=(a-δ,a+δ)，).,(),(),(0δδδ+-=a a a a a U

§1--2 极限

数列的极限

两个数列：

;,2

1,,81,41,21 n (1) .,1

,,43,32,21 +n n (2) 在数轴上表示．

数列(1)中的项无限趋近于0，数列(2)中的项无限趋近于1．

定义 1 当数列{a n }的项数n 无限增大时，如果a n 无限地趋近于一个确定的常数A ，那么就称这个数列存在极限A ，记作n n a ∞

→lim =A ．读作“当n 趋向于无穷大时，a n 的极限等于A ”．符号“→”表示“趋向于”，“∞”表示“无穷大”，“n →∞”表示“n 无限增大”．A a n n =∞→lim 有时也记作当n →∞时，a n →A ，或a n →A , (n →∞)．

若数列{a n }存在极限，也称数列{a n }收敛；若数列{a n }没有极限，则称数列{a n }发散． 注意：(1)一个数列有无极限，应该分析随着项数的无限增大，数列中相应的项是否无限趋近于某个确定的常数，如果这样的数存在，那么这个数就是所论数列的极限，否则数列的极限就不存在．

(2)常数数列的极限都是这个常数本身．

函数的极限

自变量x 的变化过程：

(1)x 的绝对值|x |无限增大(记作x →∞)；

(2)x 无限接近于某一值x 0，或者说x 趋向于x 0 (记作x →x 0)．

1.当x →∞时函数f (x )的极限

x →∞包含以下两种情况：

(1)x 取正值，无限增大，记作x →+∞；

(2)x 取负值，它的绝对值无限增大(即x 无限减小)，记作x →-∞．

若x 不指定正负，只是|x |无限增大，则写成x →∞．

例1 讨论函数x y 1=+1当x →+∞和x →-∞

O x 1 41 1 1 1 2 3 4 1 1

3

解 作出函数x y 1=+1的图像．

当x →+∞和x →-∞时，y 1=+1→1，因

此当x →∞时，x

y 1=+1→1．

定义 如果当|x |无限增大(即x →∞)时，函数f (x )无限 地趋近于一个确定的常数A ，那么就称f (x )当x →∞ 时存

在极限A ，称数A 为当x →∞时函数f (x )的极限，类似地，如果当x →+∞(或x →-∞)时，函数f (x )无限地趋近于一个确定的常数A ，那么就称f (x )当x →+∞(或x →-∞) 时存在极限A ，称数A 为当x →+∞(或x →-∞)时函数f (x )的极限．记作 ()())l i m (l i m A x f A x f x x ==-∞

→+∞

→或．

例2 作出函数y =(21)x 和y =2x 的图像，并判断下列极限：

(1) +∞→x lim (2

1)x ；(2) -∞→x lim 2x ． 解 (1) +∞

→x lim (2

1)x =0； (2)-∞

→x lim 2x =0．

例3 讨论下列函数当x →∞时的极限： (1)y =1+

21

x

；(2)y =2x ． 解： (1)当x →+∞时，y =1+21

x

→1；

当x →-∞时，y =1+21

x

→1．

因此，当|x |无限增大时，函数y =1+21

x

无限地接近于常数1，即

∞→x lim (1+

21

x

)=1． (2) 当x →+∞时，y =2x →+∞； 当x →-∞时，y =2x →0．

因此，当|x |无限增大时，函数y =2x 不可能无限地趋近某一个常数，即

∞

→x lim 2x 不存在．

结论：当且仅当+∞→x lim f (x )和-∞

→x lim f (x )都存在并且相等为A 时，∞

→x lim f (x )存在为A ，即 ∞→x

l i m f (x )=A ? +∞→x lim f (x )=-∞

→x lim f (x ) =A ．

4

2.当x →x 0时，函数f (x )的极限 x →x 0包含以下两种情况：

(1)x →+

0x 表示x 从大于x 0的方向趋近于x 0；

(2) x →-

0x 表示x 从小于x 0的方向趋近于x 0．

记号x →x 0表示x 无限趋近于x 0，对从哪个方向趋近没有限制． 例4 讨论当x →2时，函数y =x +1的变化趋势． 解 作出函数y =x +1的图像．

不论x 从小于2的方向趋近于2，或者从大于2的方向 趋近于2，函数y =x +1的值总是随着自变量x 的变化从 两个不同的方向愈来愈接近于3 ，所以说

当x →2时y =x +1→3．

例5 讨论当x →1时，函数y =1

1

2

--x x 的变化趋势．

解 作出函数y =1

1

2--x x 的图像．

函数的定义域为(-∞, 1)?(1, ∞)，在x =1处函数没有定义，

x 不论从大于1或从小于1两个方向趋近于1时，函数 y =112--x 的值是从两个不同方向愈来愈接近于2的．我们研

究当x 趋近于1函数y =

1

1

2

--x x 的变化趋势时，并不计较函数 在x =1处是否有定义，而仅关心函数在x =1的邻近（x ),1(0

δU ∈）的函数值的变化趋势，也

即我们认为在x →1时隐含一个要求：x ≠1．因此，

当x →1时, y =1

1

2--x x →2．

定义 如果当x ≠x 0, x →x 0时，函数f (x )无限地趋近于一个确定的常数A ，那么就称当

x →x 0时f (x )存在极限A ；数A 就称为当x →x 0时，函数f (x )的极限，记作()A x f x

x =→0

lim ． 例6 求下列极限：

(1)f (x )=x ，0

lim x x →f (x )；(2)f (x )=C ，0

lim x x →f (x ), (C 为常数)． 解 (1)因为当x →x 0时，f (x )=x 的值无限趋近于x 0，所以有0

lim x x →f (x )= 0lim x x →x = x 0． (2)因为当x →x 0时，f (x )的值恒等于C ，所以有0

lim x x →f (x )= 0lim x x →C =C ．由此可见，常数的极限是其本身． 规定：

(1)如果x 从大于x 0的方向趋近于x 0(即x →+

0x )时，函数f (x )无限地趋近于一个确定的

5 常数A ，那么就称f (x )在x 0处存在右极限A ，称数A 就称为当x →x 0时，函数f (x )的右极限 ，

记作()A x f x x =+→0

lim ； (2)如果x 从小于x 0的方向趋近于x 0(即x →-0x )时，函数f (x )无限地趋近于一个确定的常数A ，那么就称f (x )在x 0处存在左极限A ，称数A 就称为当x →x 0时，函数f (x )的左极限 ，

记作()A x f x x =-→0

lim ． 例7 已知函数()?

??≥<-=0,,0,13x x x x x f ，讨论当x →0时的极限． 解 ()()11lim lim 0

0-=-=--→→x x f x x ， ()0lim lim 30

0==++→→x x f x x ， ()()x f x f x x -+→→≠0

0lim lim ． 因而当x →0时f (x )的极限不存在． 一般地，

()x f x x 0lim →=A ?()()A x f x f x x x x ==+-→→0

0lim lim ． 例8 已知()???<≥=2

,2,2,x x x x f ，求()x f x 2lim →． 解 因为()2lim lim 22

==++→→x x f x x ， ()22lim lim 2

2==--→→x x x f ， 即 ())(lim lim 22x f x f x x -+→→==2， 所以 ()2lim 2

=→x f x ． 例9 已知f (x )=x

x ||， ()x f x 0lim →是否存在？ 解 当x >0时，f (x )=

x x x x =||=1； 当x <0时，f (x )=x

x x x -=||=-1， 所以函数可以分段表示为()???<->=,

0,1,0,1x x x f 于是

()()1lim ,1lim 00-==-+→→x f x f x x ，即 ()()x f x f x x -+→→≠00lim lim ，所以()x f x 0lim →不存在

6 §1--3 极限的四则运算

和、差、积、商的极限运算法则：

如果0l i m x x →f (x )=A ，0

lim x x →g (x )=B ，那么 1．0lim x x →[f (x )±g (x )]=0lim x x →f (x ) ±0

lim x x →g (x )=A ±B ； 2．0lim x x →[f (x )?g (x )]=0lim x x →f (x ) ?0

lim x x →g (x )=A ?B ； 特别地，0lim x x →C ?f (x )=C ?0

lim x x →f (x )=C ?A ，(C 为常数)； 3．()()()()()0,lim lim lim 0

00≠==→→→B B A x g x f x g x f x x x x x x ．

说明：

1．上述运算法则对于x →∞等其他变化过程同样成立；

2．法则1, 2可推广到有限个函数的情况，因此只要x 使函数有意义，例如下面的等式也成立：

0lim x x →[f (x )]n =[0lim x x →f (x )]n ，0lim x x →[f (x )]α=[0

lim x x →f (x )]α, α∈Q ． 极限运算“0

lim x x →”与四则运算(加、减、乘、除)可以交换次序(其中除法运算时分母的极限必须不等于零）．

例1 求2

lim →x (x 2+2x -3)． 解：2lim →x (x 2+2x -3)= 2

lim →x x 2+2lim →x 2x -2lim →x 3=[2lim →x x ]2+2?2lim →x x -3=2?2+2?2-3=5． 例2 求6

52lim 221++-→x x x x ． 解 652lim 221++-→x x x x =74)6(lim )52(lim 21

21=++-→→x x x x x ． 例3 求1

1lim 21--→x x x ． 解 11l i m 21--→x x x =)1(lim 1

)1)(1(lim 11+=-+-→→x x x x x x =2． 例4 求3

54lim 4-+-→x x x ． 解 354

lim 4-+-→x x x =)3)5)(35()3)5)(4(lim 4++-+++-→x x x x x

=)3)5(lim 4

)3)5)(4(lim 44++=-++-→→x x x x x x =5lim 4+→x x +3=6．

7 例5 求4

3212lim 22++++∞→n n n n n ． 解 43212lim 22++++∞→n n n n n =21432lim 121lim 432121lim 2222=??? ??++??? ??++=++++

∞→∞→∞→n n n n n n n n n n ． 例6 求1

2352lim 32--+-∞→x x x x x ． 解 12352l i m 32--+-∞→x x x x x =030123512lim 3232==--+-∞→x

x x x

x x ． §1--4 无穷大和无穷小

七、 无穷大 考察函数f (x )=1

1-x ．

由图可知，当x 从左右两个方向趋近于1时，|f (x )|都无限地增大．

定义1 如果当x →x 0时，函数f (x )的绝对值无限增大，那么称函数f (x )为当x →x 0时的无穷大．

如果函数f (x )为当x →x 0时的无穷大，那么它的极限是不存在的．但为了便于描述函数的这种变化趋势，我们也说“函数的极限是无穷大”，并记作

)(lim 0x f x x →=∞．

注意 式中的记号“∞”是一个记号而不是确定的数，记号的含意仅表示“f (x )的绝对值无限增大”．

如果在无穷大的定义中，对于x 0左右近旁的x ，对应的函数值都是正的或都是负的，也即当x →x 0时，f (x )无限增大或减小，就分别记作

)(lim 0x f x x →=+∞ 或)(lim 0

x f x x →=-∞． 定义可推广到x →+0x , x →-0x ,∞→x ，x →+∞, x →-∞时的情形．

例如，（1）当x →∞时，|x |无限增大，所以x 是当x →∞时的的无穷大，记作∞

→x lim x =∞． （2）当x →+∞时，2x 总取正值而无限增大，所以2x 是当x →+∞时的的无穷大，记作+∞→x lim 2x =+∞．

8 （3）当x →0+时，ln x 总取负值而无限减小，所以ln x 是x →0+时的无穷大，记作+→0lim x ln x =-∞．

注意 (1)一个函数f (x )是无穷大，是与自变量x 的变化过程紧密相连的，因此必须指明自变量x 的变化过程．

(2)不要把绝对值很大的数说成是无穷大．

无穷大表示的是一个函数，这个函数的绝对值在自变量某个变化过程中的变化趋势是无限增大；而这些绝对值很大的数无论在自变量何种变化过程，其极限都为常数本身，并不会无限增大或减小．

八、 无穷小

１．无穷小的定义

考察函数f (x )=x -1，由图可知，当x 从左右两个方向无

限趋近于1时，f (x )都无限地趋向于0．

定义2 如果当x →x 0时，函数f (x )的极限为0，那么就称函数 f (x )为x →x 0时的无穷小．记作()x f x x 0lim →=0． 例如，（１）因为1

lim →x (x -1)=0，所以函数x -1是当x →1

例如，（２）因为x x 1lim ∞→=0，所以函数x

1是当x →∞时的无穷小． 注意 (1)一个函数f (x )是无穷小，是与自变量x 的变化过程紧密相连的，因此必须指明自变量x 的变化过程．

(2)不要把绝对值很小的常数说成是无穷小．

无穷小表示的是一个函数，这个函数在自变量某个变化过程中的极限为0；而这些绝对值很小的数无论自变量是何种变化过程，其极限都不是0；只有常数0可以看成是无穷小，因为常数函数0的任何极限总是0．

２．无穷小的性质

设f 1(x ),f 2(x ),...,f n (x )是x →x 0(或x →∞等)时的无穷小．

性质1 f (x )=∑=n

i i i x f a 1)( (a i ∈R )是x →x 0(或x →∞等)时的无穷小，即有限个无穷小的代

数组合仍然是无穷小．

性质2 f (x )=f 1(x )?f 2(x ) ?...? f n (x )是x →x 0(或x →∞等)时的无穷小，即无穷小的积仍然是无穷小．

性质3 设g (x ) 当x →x 0(或x →∞等)时是有界的，则g (x )?f i (x )(i =1,2,...,n )是x →x 0(或x →∞等)时的无穷小，即有界函数与无穷小的积是无穷小．

例1 求x

x x 1sin lim 0→． 解 因为0

lim →x x =0，所以x 是x →0时的无穷小． O x y

1 ?

9 而|sin

x 1|≤1，所以sin x

1是有界函数． 根据无穷小的性质3，可知x x 1sin lim 0→=0． 例2 求x

x x sin lim ∞→． 解 因为 x x sin =x

1?sin x ， 而x

1是当x →∞时的无穷小， sin x 是有界函数． 所以x

x x sin lim ∞→=0． ３．函数极限与无穷小的关系 定理 1 )(lim 0x f x x →=A ? f (x )=A +α, α0

lim x x →=0．即当x →x 0时f (x )以A 为极限的充分必要条件是f (x )能表示为A 与一个x →x 0时的无穷小之和．

证明： 必要性 设)(lim 0

x f x x →=A ， 令α=f (x )-A ，则f (x )=A +α，

而 α0lim x x →=])([lim 0

A x f x x -→=0， 即 α是当x →x 0时的无穷小．

充分性 设f (x )=A +α，其中α是当x →x 0时的无穷小，则

)(lim 0x f x x →=)(lim 0

α+→A x x =A ． 即f (x )的极限为A ．

九、无穷大与无穷小的关系

定理 无穷大的倒数是无穷小；反之，在变化过程中不为零的无穷小的倒数为一个无穷大．

例3 求1

4lim 1-+→x x x ． 解 因为41lim

1+-→x x x =0，即4

1+-x x 是当x →1时的无穷小， 根据无穷大与无穷小的关系可知，它的倒数1

4-+x x 是当x →1时的无穷大， 所以 14lim 1-+→x x x =∞． 例4 求∞

→x lim (x 2-3x +2)． 解 因为02311

lim 231lim 222=+-=+-∞→∞→x

x x x x x x ，

10 所以 ∞

→x lim (x 2-3x +2)= ∞． 例5 求7

52lim 223++-∞→x x x x ． 解 因为051271lim 527lim 33232

=+-+=+-+∞→∞→x x x x x x x x x ，

所以 7

52lim 223++-∞→x x x x =∞．

a 0/

b 0， 当m =n ；

n

n n m m m x b x b x b a x a x a ++++++--∞→ 110110l i m = ∞， 当m >n ； 0， 当m

§1--5 两个重要极限

一、x

x x s i n lim 0→ 当x 取正值趋近于0时，

x →1，即+→0lim x x

=1； 当x 取负值趋近于0时，-x →0, -x >0, sin(-x )>0．于是

)()sin(lim sin lim 00x x x x x x --=+-→-→． 综上所述，得 1sin lim

0=→x x x ． 1s i n lim 0=→x

x x 的特点： (1)它是“00”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0

0； (2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂．

推广 如果a

x →lim ?(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)， 则 a x →lim

()[]()x x ??sin =()()[]()x x x ???sin lim 0→=1． 十、 求x

x x tan lim 0→．

11 解 x x x tan lim 0→=111cos 1lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0000=?=?=?=→→→→x x x x

x x x x ． 十一、 求x

x x 3sin lim

0→． 解 x x x 3sin lim 0→=3sin lim 3)3(33sin 3lim 00==→→t

t t x x x t x 令． 十二、 求20cos 1lim x x x -→． 解 20cos 1lim x x x -→=212

2sin 22sin 21lim )2(22sin lim 2sin 2lim 02

20220=??==→→→x x x x x x x x x x x ．

十三、 求x

x x arcsin lim 0→． 解 令arcsin x =t ，则x =sin t 且x →0时t →0． 所以x

x x arcsin lim 0→=1sin lim 0=→t t t ． 十四、 求30sin tan lim x

x x x -→． 解 30sin tan lim x x x x -→=3030cos cos 1sin lim sin cos sin lim x

x x x x x x

x x x -?=-→→ =2

1cos 1lim cos 1lim sin lim 2000=-??→→→x x x x x x x x ． 二、e x

x x =+∞→)11(lim 观察当x →+∞时函数的变化趋势：

当x 取正值并无限增大时，x x )11(+

是逐渐增大的，但是不论x 如何大，x x

)11(+的值总不会超过3．实际上如果继续增大x ．即当x →+∞时，可以验证x x

)11(+是趋近于一个确定的无理数e ＝2.718281828...．

当x →-∞时，函数x x

)11(+有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于e ． 综上所述，得 x x x

)11(lim +∞→=e ． x x x )11(lim +∞→=e 的特点： （１）lim(1+无穷小)无穷大案 ；

12 （２）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数．

推广 （１）若a x →lim ?(x )= ∞,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则

()[])()()

(1

1lim ))(11(lim x x x a x x x ?????+=+∞→→=e ； （２）若a x →lim ?(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则

[()]()[()])(10)(11lim 1lim x x x a x x x ?????+=+→→=e ．

变形 令x

1=t ，则x →∞时t →0，代入后得到 ()e t t t =+→101lim ． 如果在形式上分别对底和幂求极限，得到的是不确定的结果1∞，因此通常称之为1∞不定型．

十五、 求x x x

)21(lim -∞→． 解 令－2=t ，则x =－t

2． 当x →∞时t →0，

于是 x x )21(lim -∞→=21

020])1(lim [)1(lim -→-→+=+t t t t t t =e –2．

十六、 求x x x

x )23(lim --∞→． 解 令x x --23=1+u ，则x =2－u

1． 当x →∞时u →0，

于是 x x x x )23(lim --∞→=])1()1[(lim )1(lim 210120u u u u u u u +?+=+-→-→ =])1(lim [])1(lim [20110u u u u

u +?+→-→=e -1． 十七、 求x x x cot 0

)tan 1(lim +→． 解 设t =tan x ，则

t 1＝cot x ． 当x →0时t →0，

于是 x x x cot 0)tan 1(lim +→=t

t t 10)1(lim +→=e ．

13 §1--6 函数的连续性

十八、 函数在一点的连续

所谓“函数连续变化”， 在直观上来看，它的图象是连续不断的，或者说“可以笔尖不离纸面地一笔画成”；从数量上分析，当自变量的变化微小时，函数值的变化也是很微小的．

例如，函数（１）g (x )=x +1，（２）f 1(x )=???≤->+1

,1,1,1x x x x ，（３）f 2(x )=112--x x ，作出它们的图像．

（１）函数g (x )=x +1在x =1处有定义，图象在对应于自变量x =1的点处是不间断的或者说是连续的．表现在数量上，g (x )在x =1处的极限与函数值相等，即成立1

lim →x

g (x )=g (1)． （２）函数f 1(x )=???≤->+1

,1,1,1x x x x 在x =1处有定义，图象在对应于自变量x =1的点处

是间断的或者说是不连续的．表现在数量上，f 1(x )在x =1处的极限与函数值不等．进一步还可以看出：+→1lim x f 1(x ), -→1

lim x f 1(x )存在却不相等，因此1lim →x f 1(x )不存在． （３）函数f 2(x )=1

12--x x 在x =1处无定义，图象在对应于自变量x =1的点处是间断的或者说是不连续的．表现在数量上，f 2(x )在x =1处的极限与函数值不等．进一步还可以看出： 1

lim →x f 2(x )=2虽然存在，但f 2(1)却无意义，所以两者都没有极限与函数值之间的相等关系． 定义1 如果函数f (x )在x 0的某一领域内有定义，且0

lim x x →f (x )=f (x 0)，就称函数f (x )在x 0处连续，称x 0为函数f (x )的连续点．

例1 研究函数f (x )=x 2+1在x =2处的连续性．

解 （１）函数f (x )=x 2+1在x =2的某一领域内有定义．f (2)=5，

（２）2lim →x f (x )= 2

lim →x (x 2+1)=5， （３）2

lim →x f (x )=f (2)． +1

14 因此，函数f (x )=x 2+1在x =2处连续．

注意 从定义1可以看出，函数f (x )在x 0处连续必须同时满足以下三个条件：

(1)函数f (x )在x 0的某一领域内有定义；

(2)极限0

lim x x →f (x )存在； (3)极限值等于函数值，即0

lim x x →f (x )=f (x 0)． 如果函数y =f (x )的自变量x 由x 0变到x ，我们称差值x -x 0为自变量x 在x 0处的改变量或增量，通常用符号?x 表示，即?x =x -x 0．此时相应的函数值由f (x 0)变到f (x )，我们称差值f (x )-f (x 0)为函数y =f (x )在点x 0处的改变量或增量，记作?y ，即?y = f (x )-f (x 0)． 由于?x =x -x 0，所以x =x 0+?x ，因而?y = f (x )-f (x 0)=f (x 0+?x )-f (x 0)． 利用增量记号，x →x 0等价于?x =x -x 0→0，0lim x x →f (x )=f (x 0)等价于0lim x x →[f (x )-f (x 0)]=0，上式又等价于y x ??0

lim →=0． 定义1' 设函数f (x )在x 0及其附近有定义，如果当自变量x 在x 0处的增量?x 趋于零时，相应的函数增量?y =f (x 0+?x )-f (x 0)也趋于零，即y x ??0

lim →=0，则称函数f (x )在x 0处连续，称x 0为函数f (x )的连续点．

连续的直观认识：当自变量的变化很微小时，函数值的变化也很微小． 定义2 如果函数y =f (x )在x 0及其左边附近有定义，且-→0lim x x f (x )=f (x 0)，则称函数y =f (x )在x 0处左连续．如果函数y =f (x )在x 0及其右边附近有定义，且+→0lim x x f (x )=f (x 0)，则称函数y =f (x )在x 0处右连续．

y =f (x )在x 0处连续 ? y =f (x )在x 0处既左连续又右连续．

例2 讨论函数f (x )= 22,sin ,

,cos 1π

π

≥<+x x x x 在x =2

π处的连续性． 解 （１）f (2

π)=1； （２）由于-→2lim π

x f (x )=-→2lim π

x (1+cos x )=1+cos 2

π=1， +→2lim π

x f (x )= +→2

lim πx sin x =sin 2π

=1， 所以 -→2lim π

x f (x )＝+→2lim π

x f (x ) 则 2

x lim π→f (x ) =1； （３）且2x lim π→f (x ) =f (2

π)．

15 因此 f (x )在x =2

π处连续． 十九、 连续函数及其运算

１．连续函数

定义3 如果函数y =f (x )在开区间(a ,b )内每一点都是连续的，则称函数y =f (x )在开区间(a,b)内连续，或者说y =f (x )是(a ,b )内的连续函数．

如果函数y =f (x )在闭区间[a ,b ]上定义，在开区间(a ,b )内连续，

且在区间的两个端点x =a 与x =b 处分别是右连续和左连续，

即+→a x lim f (x )=f (a )，-→b

x lim f (x )=f (b )， 则称函数y =f (x )在闭区间[a ,b ]上连续，或者说f (x )是闭区间[a ,b ]上的连续函数． 函数f (x )在它定义域内的每一点都连续，则称f (x )为连续函数．

２．连续函数的运算

定理 1 如果函数f (x ),g (x )在某一点x =x 0处连续，则f (x )± g (x ),

f (x )?

g (x ),)

()(x g x f (g (x 0)≠0) 在点x =x 0处都连续．

证明 因为f (x ),g (x )在点x 0处连续，所以

0lim x x →f (x )=f (x 0), 0

lim x x →g (x )=g (x 0)， 由极限的运算法则，得到

0lim x x →[f (x )± g (x )]=0lim x x →f (x )±0

lim x x →g (x )=f (x 0) ±g (x 0)． 因此，函数f (x )± g (x )在点x 0处连续．

同样可证明后两个结论．

注意 和、差、积的情况可以推广到有限个函数的情形．

定理2(复合函数的连续性) 设函数u =?(x )在点x 0处连续，y =f (u )在u 0处连续，u 0=?(x 0)，则复合函数y =f [?(x )]在点x 0处连续，即0lim x x →f [?(x )]=f [0

lim x x →?(x )]=f [?(x 0)]． 推论 设a x →l i m ?(x )存在为u 0，函数y =f (u )在u 0处连续，则a x →lim f [?(x )]=f [a x →lim ?(x )]． 即极限符号“a

x →lim ”与连续的函数符号“f ”可交换次序，即可以在函数内求极限． ３．初等函数的连续性

基本初等函数以及常数函数在其定义区间内是连续的．

初等函数在其定义区间内是连续的．

例3 求)2

sin(lim 1ππ-→x x ． 解 )2

sin(lim 1ππ-→x x =sin(π?1-2π)=sin 2π=1． 例4 求a x a

x 2

arctan 1lim +→．

16 解 a x a x 2

arctan 1lim +→=2222164

1)4(11arctan 1arctan 1ππ+=+=+=+a a ． 例5 证明()x

x x +→1ln lim 0=1． 证明 ()x

x x +→1ln lim 0=()()]1lim ln[1ln lim 1010x x x x +=+→→=1． 例6 证明x

e x x 1lim 0-→=1． 证明 令e x -1=t ，则x =ln(1+t )，且x →0时t →0，于是由例5即可得

()()11ln 1lim 1

1ln lim 1lim 000=+=+=-→→→t t t t x e t t x x ．

二十、 函数的间断点

１．间断点的概念

如果函数y =f (x )在点x 0处不连续，则称f (x )在x 0处间断，并称x 0为f (x )的间断点． f (x )在x 0处间断有以下三种可能：

(1)函数f (x )在x 0处没有定义；

(2)f (x )在x 0处有定义，但极限0

lim x x →f (x )不存在； (3) f (x )在x 0处有定义，极限0lim x x →f (x )存在，但0

lim x x →f (x )≠f (x 0)． 例如，（１）函数f (x )=1在x =0处无定义，所以x =0是其的间断点； （２）函数f (x )=???<+≥0

,1,0,2x x x x 在x =0处有定义f (0)=0，但+→0l i m x f (x )=0, -→0lim x f (x )=1，故0l i m →x f (x )不存在，所以x =0是f (x )的间断点；

（３）函数f (x )=??

???=≠--1,1,1,112x x x 在x =1处有定义f (1)=1，1lim →x f (x )=2极限存在但不等于f (1)，所以x =1是f (x )的间断点．

２．间断点的分类

设x 0是f (x )的间断点，若f (x )在x 0点的左、右极限都存在，则称x 0为f (x )的第一类间断点；凡不是第一类的间断点都称为第二类间断点．

在第一类间断点中，如果左、右极限存在但不相等，这种间断点又称为跳跃间断点；如果左、右极限存在且相等(即极限存在)，但函数在该点没有定义，或者虽然函数在该点有定义，但函数值不等于极限值，这种间断点又称为可去间断点．

函数y =x 1在x =0处间断．因为+→0lim x x 1=+∞, -→0lim x x 1=-∞，所以x =0是y =x

1的第二类间断点．

例7 讨论函数f (x )=?

??≤≤+-<≤--20,1,02,4x x x x 在x =1与x =0处的连续性．

17 解 （１）因为1lim →x f (x )=1lim →x (-x +1)，而f (1)=0，故1

lim →x f (x )=f (1)，因此x =1是f (x )的连续点．

（２）因为+→0lim x f (x )=+→0lim x (-x +1)=1，-→0lim x f (x )= -→0

lim x (x -4)=-4，则 +→0lim x f (x )≠-→0

lim x f (x )， 所以有 0

l i m →x f (x )不存在， 因此x =0是f (x )的间断点，且是第一类的跳跃型间断点．

例8 讨论函数f (x )=()

112--x x x 的连续性，若有间断点，指出其类型． 解 在x =0, x =1处间断．

在x =0处，因为0lim →x f (x )=()

∞=--→11lim 20x x x x ，所以x =0是f (x )的第二类间断点；

在x =1处，因为1lim →x f (x )=()x

x x x x x x 1lim 11lim 121+=--→→=2，所以x =1是f (x )的第一类可去间断点．

二十一、 闭区间上连续函数的性质

定理3(最大值最小值定理) 闭区间上的连续函数必能取到最大值和最小值．

几何直观上看，因为闭区间上的连续函 数的图像，是包括两端点的一条不间断的曲 线，因此它必定有最高点P 和最低点Q ， P 与Q 的纵坐标正是函数的最大值和最小值． 注意 如果函数仅在开区间(a ,b )或半闭 半开的区间[a ,b ]，(a ,b )内连续，或函数在闭

区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值．

例如，（１）函数y =x 在开区间(a ,b )内是连续的，这函数在开区间(a ,b )内就既无最大值，又无最小值．

（２）函数f (x )=??

???≤<+-=<≤+-.21,3,1,

1,

10,1x x x x x 在闭区间[0,2]上有间断点x =1，它在闭区间[0,2]上也是既无最大值，又无最小值．

定理4(介值定理) 若f (x )在闭区间[a ,b ]上连续，m 与M 分别是f (x )在闭区间[a ,b ]上的最小值和最大值，u 是介于m 与M 之间的任一实数：m ≤u ≤M ，则在[a ,b ]上至少存在一点ξ，使得f (ξ)=u ．

18 介值定理的几何意义：介于两条水平直线y =m 与y =M 之间的任一条直线y =u ，与y =f (x )的图象曲线至少有一个交点．

推论(方程实根的存在定理) 若f (x )在闭区间[a ,b ]上连续，且f (a )与f (b )异号，则在(a ,b )内至少有一个根，即至少存在一点ξ，使f (ξ)=0．

推论的几何意义：一条连续曲线，若其上的点的纵坐标由负值变到正值或由正值变到负值时，则曲线至少要穿过x 轴一次。

例9 证明方程x =cos x 在(0,

2π)内至少有一个实根． 证明 x -cos x =0．

令 f (x )=x -cos x , 0≤x ≤

2π， 则 f (x )在[0,2π

]上连续，且f (0)=-1, f (2π)=2π

>0．

由根的存在定理，在(0,

2π)内至少有一点ξ，使f (ξ)=ξ-cos ξ=0， 即方程x =cos x 在(0,2π

)内至少有一个实根．

(1)若f (x )在x 0处连续，则0

lim x x →f (x )存在． (2)若0

lim x x →f (x )=A ，则f (x )在x 0处连续． (3)初等函数在其定义域内连续．

(4)设y =f (x )在[a ,b ]上连续，则y =f (x )在[a ,b ]上可取到最大值和最小值．

§1--7 无穷小的比较

自变量同一变化过程的两个无穷小的代数组合及乘积仍然是这个过程的无穷小．但是两个无穷小的商却会出现不同的结果．

如x , 3x , x 2

都是当x →0时的无穷小，而x x x 3lim 20→=0，2

03lim x x x →=∞，x x x 3lim 0→＝３，产生这种不同结果的原因，是因为当x →0时三个无穷小趋于0的速度是有差别的．

从表中数值看，当x →0时，

f

19 （１）x 2比3x 更快地趋向零；

（２）3x 比x 2较慢地趋向零；这种快慢存在档次上的差别．

（３）而3x 与x 趋向零的快慢虽有差别，但是是相仿的，不存在档次上的差别． 反映在极限上，当x →0时，

（１）趋向零较快的无穷小与较慢的无穷小之商的极限为0；

（２）趋向零较慢的无穷小与较快的无穷小之商的极限为∞；

（３）趋向零快慢相仿的无穷小之商的极限为不为零常数．

定义 设α,β是当自变量x →a (a 可以是有限数x 0，可以是±∞或∞)时的两个无穷小，且β≠0．

(1)如果β

αa x →lim =0，则称当x →a 时 α是β的高阶无穷小，或称β是α的低阶无穷小，记作α=o (β), (x →a )；

(2)如果β

αa x →lim =A ,(A ≠0)，则称当x →a 时α与β是同阶无穷小；特别地，当A =1时，称当x →a 时α与β是等价无穷小，记作α~β,(x →a )．

注意 记号“α=o (β), (x →a )”并不意味着α, β的数量之间有什么相等关系，它仅表示α, β是x →a 时的无穷小，且α是β的高阶无穷小．

例如，（１）当x →0时，x 2是比x 高阶的无穷小，所以x 2=o (x ), (x →0)； （２）因为x

x x sin lim 0→=1， sin x 与x 是x →0时的等价无穷小，所以sin x ~x , (x →0)； （３）因为0cos 1lim 0=-→x x x ，1tan lim 0=→x x x ，21cos 1lim 20=-→x x x ，111lim 2

10=-+→x x ， 所以 1-cos x =o(x ), tan x ~x , x +1-1~2

1x , (x →0)． 而1-cos x 与x 2是x →0时的同阶无穷小．

定理 设α，β，α', β'是x →a 时的无穷小，且α~α', β~β'，则当极限βα'

'→a x lim 存在时，极限βαa x →lim 也存在，且βαa x →lim =βα'

'→a x lim ．

证明 βαa x →l i m =βββαααβ

ββααα'?''?'='?''?'→→→→a x a x a x a x lim lim lim )(lim =βα''→a x lim ． 常用等价无穷小：

sin x ~x , tan x ~ x , arcsin x ~ x , arctan x ~ x , 1-cos x ~2

1x 2, ln(1+x ) ~x , e x -1~x , n x +1-1~n

1x , (x →0)． 例1 求x x 5tan 2sin lim

0→． 解 因为x 0→时，sin2x ~2x , tan5x ~5x ，

所以 x x x 5tan 2sin lim 0→=5252lim 0=→x x x ． 例2 求x

x e x x x 2sin )cos 1()1)(1ln(lim 20--+→．

20 解 因为e x -1~x , ln(1+x 2) ~x 2, sin2x ~2x , 1-cos x ~

2

1x 2, (x →0)， 所以 x x e x x x 2sin )cos 1()1)(1ln(lim 20--+→=x x x x x 2lim 22120??→=1． 例3 求下列极限：

(1)x

x x x x ???sin )sin(lim 0-+→,x ∈(-∞,+∞)； (2)x

x x x x ???ln )ln(lim 0-+→, x >0． 解 (1)sin(x +?x )-sin x =(sin x ?cos ?x +sin ?x ?cos x )-sin x =sin ?x ?cos x -sin x (1-cos ?x )，

因为 sin ?x ~?x , 1-cos ?x~

2

1(?x )2, (?x →0)，而|sin x |≤1, x ∈(-∞,+∞)， 所以 x x x x x ???s i n )s i n (lim 0-+→=]cos 1sin sin [cos lim 0x x x x x x x ?????--→=cos x , x ∈(-∞,+∞)． (2)ln(x +?x )-ln x =ln(1+x x ?)~x

x ?, (?x →0, x >0)， x x x x x ???ln )ln(lim 0-+→=x

x x x

1lim =???, x >0． 例4 用等价无穷小的代换，求30sin tan lim x

x x x -→． 解 因为tan x -sin x =tan x (1-cos x )，而tan x ~ x , 1-cos x ~

21x 2, (x →0)，所以 30sin tan lim x

x x x -→=21lim 32210=?→x x x x

总结·拓展

一、知识小结

掌握基本初等函数的图象和性质的基础上，理解复合函数和初等函数的概念，会把一个初等函数作分解．

极限是描述数列和函数的变化趋势的重要概念，是从近似认识精确、从有限认识无限、从量变认识质变的一种数学方法．

连续概念是函数的一种特性．

函数在点x 0存在极限与在x 0连续是有区别的，前者是描述函数在点x 0邻近的变化趋势，不考虑在x 0处有无定义或取值；而后者则不仅要求函数在x 0点有极限，而且极限存在且等于函数值．

一切初等函数在其定义域内都是连续的．

1. 几个重要概念

21 (1))(lim x f x ∞→=A ? )(lim x f x -∞→=)(lim x f x +∞

→=A ； (2))(lim 0x f x x →=A ? )(lim 0x f x x -→=)(lim 0

x f x x +→=A ． x →∞的含义为x →???∞+∞-；x →x 0的含义为x →???+-0

0x x ． 2. 无穷大和无穷小

无穷大和无穷小(除常数0外)都不是一个数，而是两类具有特定变化趋势的函数，因此不指出自变量的变化过程，笼统地说某个函数是无穷大或无穷小是没有意义的．

几个重要结论：

１）)(lim x f a

x →=A (a 可以是有限数x 0或±∞,∞) ? f (x )=A +α, α→0 (当x →a )； ２）若y 是当x →a (a 可以是有限数x 0或±∞,∞)时的无穷大(非零无穷小)，则

y

1是当x →a 时的无穷小(无穷大)；

３）无穷小与有界函数之积仍为无穷小．

(3)极限与连续的关系

１）f (x )在x 0连续 ? )(lim 0x f x x -→=)(lim 0x f x x +→=f (x 0)； ２）f (x )在x 0连续 )(lim 0

x f x x →存在． (4)无穷小的比较

设α, β是x →a (a 可以是有限数x 0或±∞,∞)时的无穷小，则

0，α是β的高阶无穷小；

β

αa x →lim = ∞，α是β的低阶无穷小； c , (c ≠0)，α与β是同阶无穷小；若c =1，α与β是等价无穷小．

2. 计算极限的方法

(1)极限的四则运算法则与两个重要极限

利用极限的四则运算法则求极限时，注意需要满足的条件；

两个重要极限给出了两个特殊的“

0”,“1∞”型未定型的极限： x

x x sin lim 0→=1,(可推广为)()(sin lim 0)(x x ???→=1)； x x x )11(lim +∞→=e , (可推广为)()(])(11[lim x f x f x f +∞→=e 及)(1)](1[lim 0)(x x x ???+→=e )． (2)求极限的基本思路

极限分为两大类：确定型和未定型．

确定型极限指可直接利用极限的运算法则或函数的连续性得到极限；

未定型包括“

0”，“∞∞”， “1∞”，“∞-∞”，“0?∞”， “∞0”， “00”等几种．其中后面几种都能改变为前两种，因此前两种是基本的．计算未定型极限的基本思想是通过恒等变形化为确定型的极限，或应用两个重要极限、无穷小的性质及等价无穷小替换等进行计算．

3. 函数的连续性 ? ?

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/bx3q.html