初三同步辅导材料

初三同步辅导材料（第12周）

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一. 教学内容：

第五章 圆 二. 典型例题：

例1 ⊙O的半径r＝5cm，圆心O到直线l的距离OD＝4cm，点P、M、N在直线l上，且

PD＝2cm，MD＝2cm，ND＝3cm，则点P、点M、点N与⊙O的位置关系分别是 .

分析 这是判断点与圆的位置关系问题，所以，只需确定OP、OM、ON与半径r＝5cm的大小关系.

∵ OD＝4cm , PD＝22cm

∴ 利用勾股定理求得OP＝24＜25＝5(cm) 故点P在⊙O内.

同理可分别求得 OM＝28＞25＝5(cm), ON＝25＝5(cm).

故点M在⊙O外,点N在⊙O上.

例2 如图,C为⊙O外的一点,AC交⊙O于点B,且

证明： ∵OB＝BC,

∴∠ABO＝∠ACO＋∠BOC ＝2∠ACO.

又∵OA＝OB , ∴∠A＝∠ABO. 则 ∠A＝2∠ACO.

评述 例3、已知：如图，两同心圆的直径AC、BD相交于 分析：证△AOB≌△COD即可.

证明：∵两同心圆的直径AC、BD相交于O点， ∴O点为两同心圆的圆心，∴OA=OC，OB=OD， 又∵∠AOB=∠COD ∴△AOB≌△COD（SAS）

∴AB=CD.

说明：此题目不难，但它是以“同心圆”为背景的，所以该题目重点不是证明过程，而是“同心圆”具备什么性质和特征.

，

∴四边形ABCF是平行四边形．故AF∥BC. 同理AGBC是平行四边形，故AG∥BC. ∴点G、A、F三点在同一直线上． ∴过点G、A、F不可能作圆．

说明：此题是小型一个综合题，主要培养学生的思维能力.

例6、如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，

求CD的长.

分析 要充分利用条件∠BED=30°，构造出以弦心距、半径、半弦组成的一个直角三角形，通过解直角三角形求得未知量.

解 过O作OF⊥CD于F，连结CO， ∵AE=6cm，EB=2cm，∴AB=8cm

∴OA=AB=4cm，OE=AE-AO=2cm， 在Rt△OEB中，∵∠CEA=∠BED=30°，

∴OF=OE=1cm.

在Rt△CFO中，OF =1cm，OC＝OA＝4cm，

∴CF=cm．

又∵OF⊥CD．∴ CD＝2CF＝2cm．

答：CD的长为2cm.

说明：此题是利用垂径定理的计算问题.在求有关弦心距、弦长和半径等问题时，常常利用弦心距和半径构成直角三角形求解；另外此题若直接利用以后的“相交弦定理”来解，较为困难.

例7、已知：△ABC内接于⊙O，AB=AC，半径OB=5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求AB的长．

分析：①此题没有图形，在解题时应考虑到满足条件的图形，此题有两种情况；②利用条件构造垂径定理的基本图形解题． 解：分两种情况：

（1）如图①，过A作AD⊥BC于D，

又∵AB=AC，∴点O在AD上，∴OD=3cm．连结OB， 在Rt△ODB中，OB==5cm，OD=3cm，由勾股定理，得

，∴

在Rt△ADB中， AD=AO+OD=5+3=8cm，由勾股定理，得

，∴（cm）

（2）如图②，同理可得：

AB=（cm）．

说明：①此题的目的主要是培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形——分析图形——数形结合——解决问题；②作辅助线的能力．

例8 四边形ABCD是⊙O的内接梯形,AB∥CD,AB＝8cm,CD＝6cm. ⊙O的半径是5cm,求梯形ABCD的面积.

分析 此题有两种情况:

(1) 圆心O位于梯形ABCD的外部 (图1) (2) 圆心O位于梯形ABCD的内部 (

因此,本题有两解.

解 过点O作OF ⊥ CD于点F,OF((1) 当圆心O位于梯形ABCDDF＝

11

CD＝3， AE＝AB＝422

∴OF＝2 DF2＝52 32∴OE＝2 AE2＝52 42∴EF＝OF－OE＝4－3＝1. 1

∴S梯形ABCD＝（8＋6）·1＝7.

2

(2)当圆心O位于梯形ABCDOF＝4， OE＝3，

又EF＝OE＋OF＝7. ∴S梯形ABCD＝

1

（6＋8）·7 2

＝49.

答：梯形ABCD的面积是7cm2例9 已知：如图，AB是⊙O过点D的切线交AC于点E. 求证:AE⊥证明 连结OD.

∵DE是⊙O的切线,∴OD⊥DE(

又∵∠OAD＝∠ADO,∠OAD＝∠DAE, ∴∠DAE＝∠ADO. 则AE∥OD. ∴AE⊥DE.

说明 本例再次证明,遇圆的切线时,例10 已知:如图,以AD为直径的⊙O切Δ于点D,分别交AB、AC于点E、F.

求证:AB·AE＝AC·AF. 证明 连结DF.则∠AEF＝∠ADF. ∵AD是直径,BC是切线, ∴∠ADC＝∠AFD＝90o, 则∠C＝∠ADF＝∠AEF ∴ΔAEF∽ΔACB,则

AEAF

=

即AB·AE＝AC·AF.

例11 已知:如图,两同心圆O, 小圆O与AB相切于点D. 求证:AC是小圆的切线

证明 连结OD,作OE⊥AC于 ∵AB是小圆O的切线, ∴OD⊥AB.

⌒ ⌒

又∠B＝∠C,∴AC＝AB

则OD＝OE(在同圆中,等弧所对弦的弦心距也相等). ∴AC是小圆的切线.

说明 判定直线与圆相切常有三种方法:

(1) 根据切线的定义,若一条直线与圆有唯一公共点,则这条直线是圆的切线;

(2) 根据“d＝r直线与⊙0相切”.若圆心到一条直线的距离等于圆的半径,则这条

直线是圆的切线.

(3) 根据切线的判定定理.是圆的半径.

这里(2)、(3)是常用的方法.

例12 已知:如图,AB是⊙O的直径,PB与⊙O AC∥OP,PC交BA的延长线于点D. 求证:PD是⊙O的切线.

分析 欲证PD与⊙O相切,就要证明PD⊥OC. 证明 连结OC. ∵AC∥OP,

∴∠OAC＝∠POB,∠ACO＝∠COP. 又∵OA＝OC,∴∠COP＝∠POB. 则ΔCOP≌ΔBOP(SAS) ∵PB与⊙O相切于点B, ∴∠PBO＝90o,则∠PCO＝90o 即PD是⊙O的切线.

例13 已知:如图,⊙O内切于RtΔ

相切于点D,AO的延长线交BC求证:AD·AE＝AO·AC. 证明 连结OD、OF.(

点D、F ∵OD＝OF， ∴AE平分∠ 则RtΔACE∽RtΔADO. ∴

ACAE

, =

ADAO

即 AD·AE＝AO·AC.

巩固练习

3.在RtΔABC中，两条直边长分别是40cm、9cm，则此直角三角形的外接圆半径为_____cm， 内切圆半径为______cm.

4.等边三角形内切圆半径为3cm,则它的边长为________cm.

5.在直径为2cm的圆的外部有一点P,若点P到圆上各点的最短距离是3cm,则过点P向该 圆所作的切线长(点P与切点间的线段长)为_______cm. 二、解答题

6.如图,已知:PB切⊙O于点B,OP交⊙O于点A,BC⊥OP,垂足为C,OA＝6cm,OP＝8cm 求:AC的长.

参考答案

一、1.121o; 2.59o; 3.20.5,4; 4.6; 5.. 二、6.AC＝1

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cm.提示:连结OB,则OB＝OA＝OC·OP,又AC＝OA－OC. 2

7.BC＝4.8cm.提示:PA＝10cm,RtΔABC∽RtΔAPB 8.110o

三、9.提示：连结BI，证BI平分∠ABC.

10.略证:∵l切⊙O于点T,∴OT⊥l, 又∵AB∥l,P为OT的中点, ∴AB是OT的垂直平分线.

由垂径定理知OT是AB的垂直平分线,则四边形AOBT是菱形. (对角线互相垂直平分的四边形是菱形)

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