初三同步辅导材料

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初三同步辅导材料(第12周)

姓名

一. 教学内容:

第五章 圆 二. 典型例题:

例1 ⊙O的半径r=5cm,圆心O到直线l的距离OD=4cm,点P、M、N在直线l上,且

PD=2cm,MD=2cm,ND=3cm,则点P、点M、点N与⊙O的位置关系分别是 .

分析 这是判断点与圆的位置关系问题,所以,只需确定OP、OM、ON与半径r=5cm的大小关系.

∵ OD=4cm , PD=22cm

∴ 利用勾股定理求得OP=24<25=5(cm) 故点P在⊙O内.

同理可分别求得 OM=28>25=5(cm), ON=25=5(cm).

故点M在⊙O外,点N在⊙O上.

例2 如图,C为⊙O外的一点,AC交⊙O于点B,且

证明: ∵OB=BC,

∴∠ABO=∠ACO+∠BOC =2∠ACO.

又∵OA=OB , ∴∠A=∠ABO. 则 ∠A=2∠ACO.

评述 例3、已知:如图,两同心圆的直径AC、BD相交于 分析:证△AOB≌△COD即可.

证明:∵两同心圆的直径AC、BD相交于O点, ∴O点为两同心圆的圆心,∴OA=OC,OB=OD, 又∵∠AOB=∠COD ∴△AOB≌△COD(SAS)

∴AB=CD.

说明:此题目不难,但它是以“同心圆”为背景的,所以该题目重点不是证明过程,而是“同心圆”具备什么性质和特征.

∴四边形ABCF是平行四边形.故AF∥BC. 同理AGBC是平行四边形,故AG∥BC. ∴点G、A、F三点在同一直线上. ∴过点G、A、F不可能作圆.

说明:此题是小型一个综合题,主要培养学生的思维能力.

例6、如图,已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,AE=6cm,EB=2cm,∠BED=30°,

求CD的长.

分析 要充分利用条件∠BED=30°,构造出以弦心距、半径、半弦组成的一个直角三角形,通过解直角三角形求得未知量.

解 过O作OF⊥CD于F,连结CO, ∵AE=6cm,EB=2cm,∴AB=8cm

∴OA=AB=4cm,OE=AE-AO=2cm, 在Rt△OEB中,∵∠CEA=∠BED=30°,

∴OF=OE=1cm.

在Rt△CFO中,OF =1cm,OC=OA=4cm,

∴CF=cm.

又∵OF⊥CD.∴ CD=2CF=2cm.

答:CD的长为2cm.

说明:此题是利用垂径定理的计算问题.在求有关弦心距、弦长和半径等问题时,常常利用弦心距和半径构成直角三角形求解;另外此题若直接利用以后的“相交弦定理”来解,较为困难.

例7、已知:△ABC内接于⊙O,AB=AC,半径OB=5cm,圆心O到BC的距离为3cm,求AB的长.

分析:①此题没有图形,在解题时应考虑到满足条件的图形,此题有两种情况;②利用条件构造垂径定理的基本图形解题. 解:分两种情况:

(1)如图①,过A作AD⊥BC于D,

又∵AB=AC,∴点O在AD上,∴OD=3cm.连结OB, 在Rt△ODB中,OB==5cm,OD=3cm,由勾股定理,得

,∴

在Rt△ADB中, AD=AO+OD=5+3=8cm,由勾股定理,得

,∴(cm)

(2)如图②,同理可得:

AB=(cm).

说明:①此题的目的主要是培养学生的严密性思维和解题方法:确定图形——分析图形——数形结合——解决问题;②作辅助线的能力.

例8 四边形ABCD是⊙O的内接梯形,AB∥CD,AB=8cm,CD=6cm. ⊙O的半径是5cm,求梯形ABCD的面积.

分析 此题有两种情况:

(1) 圆心O位于梯形ABCD的外部 (图1) (2) 圆心O位于梯形ABCD的内部 (

因此,本题有两解.

解 过点O作OF ⊥ CD于点F,OF((1) 当圆心O位于梯形ABCDDF=

11

CD=3, AE=AB=422

∴OF=2 DF2=52 32∴OE=2 AE2=52 42∴EF=OF-OE=4-3=1. 1

∴S梯形ABCD=(8+6)·1=7.

2

(2)当圆心O位于梯形ABCDOF=4, OE=3,

又EF=OE+OF=7. ∴S梯形ABCD=

1

(6+8)·7 2

=49.

答:梯形ABCD的面积是7cm2例9 已知:如图,AB是⊙O过点D的切线交AC于点E. 求证:AE⊥证明 连结OD.

∵DE是⊙O的切线,∴OD⊥DE(

又∵∠OAD=∠ADO,∠OAD=∠DAE, ∴∠DAE=∠ADO. 则AE∥OD. ∴AE⊥DE.

说明 本例再次证明,遇圆的切线时,例10 已知:如图,以AD为直径的⊙O切Δ于点D,分别交AB、AC于点E、F.

求证:AB·AE=AC·AF. 证明 连结DF.则∠AEF=∠ADF. ∵AD是直径,BC是切线, ∴∠ADC=∠AFD=90o, 则∠C=∠ADF=∠AEF ∴ΔAEF∽ΔACB,则

AEAF

=

即AB·AE=AC·AF.

例11 已知:如图,两同心圆O, 小圆O与AB相切于点D. 求证:AC是小圆的切线

证明 连结OD,作OE⊥AC于 ∵AB是小圆O的切线, ∴OD⊥AB.

⌒ ⌒

又∠B=∠C,∴AC=AB

则OD=OE(在同圆中,等弧所对弦的弦心距也相等). ∴AC是小圆的切线.

说明 判定直线与圆相切常有三种方法:

(1) 根据切线的定义,若一条直线与圆有唯一公共点,则这条直线是圆的切线;

(2) 根据“d=r直线与⊙0相切”.若圆心到一条直线的距离等于圆的半径,则这条

直线是圆的切线.

(3) 根据切线的判定定理.是圆的半径.

这里(2)、(3)是常用的方法.

例12 已知:如图,AB是⊙O的直径,PB与⊙O AC∥OP,PC交BA的延长线于点D. 求证:PD是⊙O的切线.

分析 欲证PD与⊙O相切,就要证明PD⊥OC. 证明 连结OC. ∵AC∥OP,

∴∠OAC=∠POB,∠ACO=∠COP. 又∵OA=OC,∴∠COP=∠POB. 则ΔCOP≌ΔBOP(SAS) ∵PB与⊙O相切于点B, ∴∠PBO=90o,则∠PCO=90o 即PD是⊙O的切线.

例13 已知:如图,⊙O内切于RtΔ

相切于点D,AO的延长线交BC求证:AD·AE=AO·AC. 证明 连结OD、OF.(

点D、F ∵OD=OF, ∴AE平分∠ 则RtΔACE∽RtΔADO. ∴

ACAE

, =

ADAO

即 AD·AE=AO·AC.

巩固练习

3.在RtΔABC中,两条直边长分别是40cm、9cm,则此直角三角形的外接圆半径为_____cm, 内切圆半径为______cm.

4.等边三角形内切圆半径为3cm,则它的边长为________cm.

5.在直径为2cm的圆的外部有一点P,若点P到圆上各点的最短距离是3cm,则过点P向该 圆所作的切线长(点P与切点间的线段长)为_______cm. 二、解答题

6.如图,已知:PB切⊙O于点B,OP交⊙O于点A,BC⊥OP,垂足为C,OA=6cm,OP=8cm 求:AC的长.

参考答案

一、1.121o; 2.59o; 3.20.5,4; 4.6; 5.. 二、6.AC=1

122

cm.提示:连结OB,则OB=OA=OC·OP,又AC=OA-OC. 2

7.BC=4.8cm.提示:PA=10cm,RtΔABC∽RtΔAPB 8.110o

三、9.提示:连结BI,证BI平分∠ABC.

10.略证:∵l切⊙O于点T,∴OT⊥l, 又∵AB∥l,P为OT的中点, ∴AB是OT的垂直平分线.

由垂径定理知OT是AB的垂直平分线,则四边形AOBT是菱形. (对角线互相垂直平分的四边形是菱形)

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/bx14.html

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