电磁场与电磁波答案（第四版）谢处方

一章习题解答

1.1 给定三个矢量A、B和C如下： A?ex?ey2?ez3

B??ey4?ez

C?ex5?ez2

求：（1）aA；（2）A?B；（3）A?B；（4）?AB；（5）A在B上的分量；（6）A?C；

（7）A?（8）(A?B)?C和A?(B?C)。 (B?C)和(A?B)?C；

解 （1）aA?ex?ey2?ez3A123 ??ex?ey?ez222A1414141?2?(?3)（2）A?B?(ex?ey2?ez3)?(?ey4?ez)?ex?ey6?ez4?53 （3）A?B?(ex?ey2?ez3)?(?ey4?ez)?－11

A?B?111111?1 ，得 ??co????(?)?135.5sABAB14?17238238A?B11 （5）A在B上的分量 AB?Aco???sAB?B17exeyez（4）由 co?sAB?（6）A?C?12?3??ex4?ey13?ez10 0?2ex5exeyez1?ex8?ey5?ez20 ez5（7）由于B?C?0?40?2eyA?B?12?3??ex10?ey1?ez4

0?41所以 A?(B?C)?(ex?ey2?ez3)?(ex8?ey5?ez20)??42 (A?B)?C?(?ex10?ey1?ez4)?(ex5?ez2)??42

ex5exA?(B?C)?1eyez（8）(A?B)?C??10?1?4?ex2?ey40?ez5

0?2ey5ez202?3?ex55?ey44?ez11

8

1.2 三角形的三个顶点为P(0,1,?2)、P(4,1,?3)和P(6,2,5)。

123 （1）判断?PPP是否为一直角三角形；

123 （2）求三角形的面积。

解 （1）三个顶点P(0,1,?2)、P(4,1,?3)和P(6,2,5)的位置矢量分别为

123 r1?ey?ez2，r2?ex4?ey?ez3，r3?ex6?ey2?ez5 则 R12?r2?r1?ex4?ez， R23?r3， ?r?2ex2?ey?ez8R31?r1?r3??ex6?ey?ez7

由此可见

R12?R23?(ex4?ez)?(ex2?ey?ez8)?0

故?PP为一直角三角形。 12P3 （2）三角形的面积 S?1R?R?1R12231?17?69?17. 1323222 1.3 求P?(?3,1,4)点到P(2,?2,3)点的距离矢量R及R的方向。

解 rP???ex3?ey?ez4，rP?ex2?ey2?ez3，

12?R则 RP?P?rP?rP??ex5?ey3?ez 且RP?P与x、y、z轴的夹角分别为

ex?RP?P5)?cos?1()?32.31? RP?P35e?R??3?y?cos?1(yPP)?cos?1()?120.47?

RP?P35e?R1?z?cos?1(zP?P)?cos?1(?)?99.73?

RP?P351.4 给定两矢量A?ex2?ey3?ez4和B?ex4?ey5?ez6，求它们之间的夹角和A在

?x?cos?1(B上的分量。

解 A与B之间的夹角为

?AB?cos?1(A?B?31)?cos?1()?131? AB29?77A在B上的分量为 AB?A?B?31???3.532 B771.5 给定两矢量A?ex2?ey3?ez4和B??ex6?ey4?ez，求A?B在C?ex?ey?ezex解 A?B?2上的分量。

eyez3?4??ex13?ey22?ez10 ?6?41所以A?B在C上的分量为 (A?B)C?

(A?B)?C25???1?4.4 3C31.6 证明：如果A?B?A?C和A?B?A?C，则B?C；

解 由A?B?A?C，则有A?(A?B)?A?(A?C)，即

(A?B)A?(A?A)B?(A?C)A?(A?A)C

由于A?B?A??(A?A) CC，于是得到 (A?A)B故 B?C

1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量，p?A?X而P?A?X，p和P已知，试求X。

解 由P?A?X，有

A?P?A?(A?X)?(A?X)A?(A?A)X?pA?(A?A)X 故得 X?（2）球坐标中的坐标。

pA?A?P A?A2?1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由(4,（1）直角坐标中的坐标；,3)定出，求该点在：3解 （1）在直角坐标系中 x?4cos?(2?3)?、2y?4sin(2?3)?23、z?3

故该点的直角坐标为(?2,23,3)。

2（2）在球坐标系中

?1??r?4?32?5、??tan(43)?53.1、??2?3?120

故该点的球坐标为(5,53.1?,120?)

25， r2（1）求在直角坐标中点(?3,4,?5)处的E和Ex；

1.9 用球坐标表示的场E?er（2）求在直角坐标中点(?3,4,?5)处E与矢量B?ex2?ey2?ez构成的夹角。 解 （1）在直角坐标中点(?3,4,?5)处，r2?(?3)2?42?(?5)2?50，故

E?er251

?2r21?332

Ex?ex?E?Ecos?rx????25220（2）在直角坐标中点(?3,4,?5)处，r??ex3?ey4?ez5，所以

2525r?ex3?ey4?ez5 E?2?3?rr102故E与B构成的夹角为

?EB?cos?1(E?B19(102))?cos?1(?)?153.6? E?B321.10 球坐标中两个点(r1,?1,?1)和(r2,?2,?2)定出两个位置矢量R1和R2。证明R1和R2间夹角的余弦为

cos??cos?1cos?2?sin?1sin?2cos(?1??2)

解 由 R1?exr1sin?1cos?1?eyr1sin?1sin?1?ezr1cos?1R2?exr2sin?2cos?2?eyr2sin?2sin?2?ezr2cos?2

得到 cos??R1?R2?

R1R2sin?1sin?2(cos?1cos?2?1sin?1sin?2)?cos?1cos?2? sin?1sin?2cos(?1??2)?cos?1cos?2

sin?1cos?1sin?2cos?2?sin?1sin?1sin?2sin?2?cos?1cos?2?

1.11 一球面S的半径为5，球心在原点上，计算： 解 ??(er3sin?)?dS???(er3sin?)?erdS?SS??(e3sin?)?dS的值。

rS2??22 d?3sin??5sin?d??75???001.12 在由r?5、z?0和z?4围成的圆柱形区域，对矢量A?er2?e2z验证散度定

rz理。

解 在圆柱坐标系中 ??A?42?1??(rr2)?(2z)?3r?2 r?r?z50所以 又

??Ad???dz?d??(3r?2)rdr?1200? ??00S2A?dS?(er?ez2z)?(erdSr?e?dS??ezdSz)? r????S42?52?2 故有

??500?5d?dz???2?4rdrd??1200?

00SA?dS ??Ad??1200??????1.13 求（1）矢量A?exx2?eyx2y2?ez24x2y2z3的散度；（2）求??A对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求A对此立方体表面的积分，验证散度定理。

222223?(x)?(xy)?(24xyz)解 （1）??A????2x?2x2y?72x2y2z2 ?x?y?z（2）??A对中心在原点的一个单位立方体的积分为

12121212222 ??Ad??(2x?2xy?72xyz)dxdydz?????24??12?12?12 （3）A对此立方体表面的积分

1212A?dS?()dydz?(?)dydz? ??????22S?12?12?12?121212121212122 2x()dxdz?2x(?)dxdz? ????22?12?12?12?122121212121313122 24xy()dxdy?24xy(?)dxdy?????2224?12?12?12?122212121212

故有

1.14 计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分，并求??r对球体积的积分。

2?????Ad??1?A?dS ??24S?解

??r?dS???r?erdS?SS23 d?aasin?d??4?a??00又在球坐标系中，??r?1?2(rr)?3，所以 2r?r2??a????rd??23 3rsin?drd?d??4?a???00021.15 求矢量A?exx?eyx2?ezyz沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求??A对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。

22222解

??A?dl??xdx??xdx??2C000dy??0dy?8

0ex?又 ??A??xxey??yx2ez??ex2yz?ez2x ?zy2z22所以 ??A?dS?S???(e2yz?e2x)?exz00Szdxdy?8

故有

??A?dl?8????A?dS

C1.16 求矢量A?exx?eyxy2沿圆周x2?y2?a2的线积分，再计算??A对此圆面积的积分。

2A?dl?xdx?xydy?解 ????CC2??a4

?(?acos?sin??acos?sin?)d??242204?Ax??A?dS?e(?)?ezdS?z???x?ySS?Ay?a4

?ydS???rsin?rd?dr?222S00a2?41.17 证明：（1）??R?3；（2）??R?0；（3）?(A?R)?A。其中R?exx?eyy?ezz，A为一常矢量。

解 （1）??R??x?y?z???3 ?x?y?z

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