2010年中考数学一轮复习-第二讲圆

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第二讲：圆知识梳理

知识点一、圆的定义及有关概念[来源:21世纪教育网] 重点：掌握圆的定义及有关概念难点：熟练掌握运用概念

1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

2、有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。

在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。

例．P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；?最长弦长为_______．

解题思路：圆内最长的弦是直径，最短的弦是和OP垂直的弦，答案：10 cm，8 cm 知识点二、平面内点和圆的位置关系

重点：掌握平面内点和圆的位置关系及数量关系难点：运用点和圆的位置关系及数量关系

平面内点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内当点在圆外时，d＞r；反过来，当d＞r时，点在圆外。当点在圆上时，d＝r；反过来，当d＝r时，点在圆上。当点在圆内时，d＜r；反过来，当d＜r时，点在圆内。

例．如图，在Rt△ABC中，直角边AB?3，BC?4，点E，F分

别是BC，_________，

AC的中点，以点A为圆心，AB的长为半径画圆，则点E在圆A的

点F在圆A的_________．

解题思路：利用点与圆的位置关系，答案：外部，内部

，?4)．试判断点P(3，?1)与圆O的练习：在直角坐标平面内，圆O的半径为5，圆心O的坐标为(?1位置关系．

答案：点P在圆O上．

知识点三、圆的基本性质

重点：掌握垂径定理、圆心角定理、圆周角定理及推论难点：定理及推论的运用

1圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。

2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对的弧。 3、圆具有旋转对称性，特别的圆是中心对称图形，对称中心是圆心。

圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

4、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。[来源:21世纪教育网] 圆周角定理推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。

圆周角定理推论２：直径所对的圆周角是直角；９０°的圆周角所对的弦是直径。例1．如图，在半径为5cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是（）

A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm

解题思路：在一个圆中，若知圆的半径为R，弦长为a，圆心到此弦的距离为d，?根据垂径定理，有

aR2=d2+（2）2，所以三个量知道两个，就可求出第三个．答案C

例2、如图，A、B、C、D是⊙O上的三点，∠BAC=30°，则∠BOC的大小是( ) A、60° B、45° C、30° D、15° 解题思路：运用圆周角与圆心角的关系定理，答案：A

例3、如图1和图2，MN是⊙O的直径，弦AB、CD?相交于MN?上的一点P，?∠APM=∠CPM．

（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．

（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．

AFODNBPDFMPECAEBMCN

(1) (2)

解题思路：（1）要说明AB=CD，只要证明AB、CD所对的圆心角相等，?只要说明它们的一半相等．

上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的．解：（1）AB=CD

理由：过O作OE、OF分别垂直于AB、CD，垂足分别为E、F ∵∠APM=∠CPM ∴∠1=∠2

OE=OF

连结OD、OB且OB=OD ∴Rt△OFD≌Rt△OEB ∴DF=BE

根据垂径定理可得：AB=CD

（2）作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F

∵∠APM=∠CPN且OP=OP，∠PEO=∠PFO=90° ∴Rt△OPE≌Rt△OPF ∴OE=OF

连接OA、OB、OC、OD

易证Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF ∴∠1+∠2=∠3+∠4 ∴AB=CD

例4．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？

解题思路：BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰，要证明D是BC的中点，?只要连

A结AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．

解：BD=CD

理由是：如图24-30，连接AD

OC ∵AB是⊙O的直径

∴∠ADB=90°即AD⊥BC

D 又∵AC=AB

B ∴BD=CD www.czsx.com.cn练习

1： AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=?8，?求∠DAC的度数． 2．如图，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC、AD于E、F，若∠D=50°，求弧BE的度数和弧EF的度数．

A FD

BCE

www.czsx.com.cn3.如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO=120°．（1）求证：AB为⊙C直径．

（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标．

答案：1.(1) AC、AD在AB的同旁，如右图所示: ∵AB=16，AC=8，AD=83，

A _ C _ 111 ∴2AC=2（2AB），∴∠CAB=60°，

同理可得∠DAB=30°， ∴∠DAC=30°．

（2）AC、AD在AB的异旁，同理可得：∠DAC=60°+30°=90°． 2．BE的度数为80°，EF的度数为50°． 3.（1）略（2）4，（-23，2）

B _ 知识点四、圆与三角形的关系

重点：掌握确定圆的条件、三角形的外心、内心

难点：确定圆的条件、三角形的外心、内心等知识熟练运用 1、不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 2、三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆。

3、三角形的外心：三角形三边垂直平分线的交点，即三角形外接圆的圆心。 4、三角形的内切圆：与三角形的三边都相切的圆。

5、三角形的内心：三角形三条角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。

例1．如图，通过防治“非典”，人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了，人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图24-49所示，A、B、C?为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，?要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请问如果你是工程师，你将如何选址．

www.czsx.com.cn解题思路：连结AB、BC，作线段AB、BC的中垂线，两条中垂线的交点即为垃圾回收站所在的位置．

例2．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（） A．130° B．100° C．50° D．65°

解题思路：此题解题的关键是弄清三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点，答案A

例3．如图，Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则它的外心与顶点C的距离为（）．

AA．5 cm B．2.5cm C．3cm D．4cm

解题思路：直角三角形外心的位置是斜边的中点，答案 B

练习1、如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，BC=4，AC=3，CD平 BC分∠ACB，则弦AD长为（）

BCOB5 A．252 B．2 C．2 D．3

D2．设I是△ABC的内心，O是△ABC的外心，∠A=80°，则∠BIC=?________，?∠BOC=________．答案1.A 2. 130° 160°

知识点五、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离重点：，直线和圆的位置关系的性质和判定难点：直线和圆三种位置关系的性质及判定。

当直线和圆相交时，d＜r；反过来，当d＜r时，直线和圆相交。[21世纪教育网] 当直线和圆相切时，d＝r；反过来，当d＝r时，直线和圆相切。当直线和圆相离时，d＞r；反过来，当d＞r时，直线和圆相离。切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的直径

切线的判定定理：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。

切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和圆外这点的连线平分两条切线的夹角。例1、在

中，BC=6cm，∠B=30°，∠C=45°，以A为圆心，当半径r多长时所作的⊙A与

直线BC相切？相交？相离？

解题思路：作AD⊥BC于D

在在

中，∠B=30° ∴ 中，∠C=45°

∴ CD=AD ∵ BC=6cm ∴ ∴ ∴ 当

时，⊙A与BC相切；当时，⊙A与BC相离。

例2．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=?∠A．（1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．（2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．

解题思路：（1）要说明CD是否是⊙O的切线，只要说明OC是否垂直于CD，垂足为C，?因为C点已在圆上．

由已知易得：∠A=30°，又由∠DCB=∠A=30°得：BC=BD=10 解：（1）CD与⊙O相切

理由：①C点在⊙O上（已知） C ②∵AB是直径

∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°

AOBD ∵∠A=∠OCA且∠DCB=∠A

∴∠OCA=∠DCB ∴∠OCD=90°

综上：CD是⊙O的切线．

（2）在Rt△OCD中，∠D=30° ∴∠COD=60° ∴∠A=30° ∴∠BCD=30° ∴BC=BD=10 ∴AB=20，∴r=10

答：（1）CD是⊙O的切线，（2）⊙O的半径是10．

练习：1.如图，AB为⊙O直径，BD切⊙O于B点，弦AC的延长线与BD交于D?点，?若AB=10，AC=8，则DC长为________．

时，⊙A与BC相交；当

OCDBPCOB

2．如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，弦AB与PO交于C，⊙O半径为1，PO=2，则PA_______，PB=________，PC=_______AC=______，BC=______∠AOB=________． 3．如图，P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，过点P的任一直线交⊙O于B、C，?连结AB、AC，连PO交⊙O于D、E．

（1）求证：∠PAB=∠C．

（2）如果PA2=PD·PE，那么当PA=2，PD=1时，求⊙O的半径．

答案： 1．A 2．B 3. （1）提示：作直径AF，连BF，如右图所示．

3 （2）由已知PA2=PD·PE，可得⊙O的半径为2．

知识点六、圆与圆的位置关系

．重点：两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用．难点：探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题．

外离：两圆没有公共点，一个圆上所有的点都在另一个圆的外部相离：

内含：两圆没有公共点，一个圆上所有的点都在另一个圆的内部相切：

外切：两圆只有一个公共点，除公共点外一个圆上所有的点都在另一个圆的外部

内切：两圆只有一个公共点，除公共点外一个圆上所有的点都在另一个圆的内部相交：两圆只有两个公共点。

设两圆的半径分别为r1、r2，圆心距（两圆圆心的距离）为d，则有两圆的位置关系，d与r1和r2之间的关系．

外离?d>r1+r2 外切?d=r1+r2

相交?│r1-r2│

内含?0≤d<│r1-r2│（其中d=0，两圆同心）

例1．两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图1所示（点O，O′是圆心），分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．

（1） (2)

解题思路：要求∠TPN，其实就是求∠OPO′的角度，很明显，∠POO′是正三角形，如图2所示．解：∵PO=OO′=PO′

∴△PO′O是一个等边三角形 ∴∠OPO′=60°

又∵TP与NP分别为两圆的切线， ∴∠TPO=90°，∠NPO′=90°

∴∠TPN=360°-2×90°-60°=120°

例2．如图1所示，⊙O的半径为7cm，点A为⊙O外一点，OA=15cm，求：（1）作⊙A与⊙O外切，并求⊙A的半径是多少？

(1) (2) （2）作⊙A与⊙O相内切，并求出此时⊙A的半径．

解题思路：（1）作⊙A和⊙O外切，就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距d=rO+rA；（?2）?作OA与⊙O相内切，就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距d=rA-rO．

解：如图2所示，（1）作法：以A为圆心，rA=15-7=8为半径作圆，则⊙A?的半径为8cm （2）作法：以A点为圆心，rA′=15+7=22为半径作圆，则⊙A的半径为22cm

练习：1．已知两圆的半径分别为5cm和7cm，圆心距为8cm，那么这两个圆的位置关系是（） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离

2．半径为2cm和1cm的⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，且O1A⊥O2A，则公共弦AB的长为（? ）．

52545 A．5cm B．5cm C．5cm D．5cm

3．如图所示，半圆O的直径AB=4，与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M，?设⊙O1的半径为y，AM=x，则y关于x的函数关系式是（）．

11 A．y=4x2+x B．y=-4x2+x 11C．y=-4x2-x D．y=4x2-x

O1AMOBwww.czsx.com.cn4．如图所示，点A坐标为（0，3），OA半径为1，点B在x轴上．

（1）若点B坐标为（4，0），⊙B半径为3，试判断⊙A与⊙B位置关系；（2）若⊙B过M（-2，0）且与⊙A相切，求B点坐标．

答案: 1．B 2．D 3．B 4．（1）AB=5>1+3，外离．

29?x（2）设B（x，0）x≠-2，则AB=，⊙B半径为│x+2│，

y _ A _ O _ x _ ①设⊙B与⊙A外切，则9?x=│x+2│+1，

当x>-2时，9?x=x+3，平方化简得：x=0符题意，∴B（0，0），

29?x当x<-2时，=-x-1，化简得x=4>-2（舍）， 29?x②设⊙B与⊙A内切，则=│x+2│-1，

22当x>-2时，9?x=x+1，得x=4>-2，∴B（4，0），

29?x当x<-2时，=-x-3，得x=0，

知识点七、正多边形和圆

重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、?边长之间的关系．

难点：使学生理解四者：正多边形半径、中心角、?弦心距、边长之间的关系．[来源:21世纪教育网] 正多边形的中心：所有对称轴的交点；

正多边形的半径：正多边形外接圆的半径。正多边形的边心距：正多边形内切圆的半径。

正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角。

正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。

例1．如图，已知正六边形ABCDEF，其外接圆的半径是a，?求正六边形的周长和面积．

解题思路：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM?中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的．

360? 解：如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于6=60°，?△OBC是等边

三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．因此，所求的正六边形的周长为6a

11 在Rt△OAM中，OA=a，AM=2AB=2a

利用勾股定理，可得边心距

EODFAC11a2?(a)22 OM==23a MB1133 ∴所求正六边形的面积=6×2×AB×OM=6×2×a×2a=23a2 例2．在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC?的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如图24-94的设计方案是使AC=8，BC=6．（1）求△ABC的边AB上的高h．

h?DNNF?hAB，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？（2）设DN=x，且

（3）实际施工时，发现在AB上距B点1．85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形

水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．

CNhADGEB

F 解题思路：要求矩形的面积最大，先要列出面积表达式，再考虑最值的求法，初中阶段，尤其现学的知识，应用配方法求最值．（3）的设计要有新意，?应用圆的对称性就能圆满解决此题．

ACBC8?6?AB10=4.8 解：（1）由AB·CG=AC·BC得h=h?DNNF?hAB且DN=x （2）∵h=10(4.8?x)4.8 ∴NF=

1025 则S四边形DEFN=x·4.8（4.8-x）=-12x2+10x 25120 =-12（x2-25x） 25603600 =-12 [（x-25）2-625] 25 =-x（x-2.4）2+12 25 ∵-x（x-2.4）2≤0

25 ∴-x（x-2.4）2+12≤12 且当x=2.4时，取等号

∴当x=2.4时，SDEFN最大．

（3）当SDEFN最大时，x=2.4，此时，F为BC中点，在Rt△FEB中，EF=2.4，BF=3． ∴BE=DE?EF?3?2.4=1.8 ∵BM=1.85，∴BM>EB，即大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案． ∵当x=2.4时，DE=5 ∴AD=3.2，

由圆的对称性知满足条件的另一设计方案，如图所示:

CGAFB DEwww.czsx.com.c此时，?AC=6，BC=8，AD=1.8，BE=3.2，这样设计既满足条件，又避开大树．

练习1如图所示，?已知⊙O?的周长等于6?cm，?求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积．

2．若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，?则这段弧所对的圆心角为（） A．18° B．36° C．72° D．144° 答案

1.设正六边形边长为a，则圆O半径为a，由题意得：2?a=6?，∴a=3．

如右图，设AB为正六边形的一边，O为它的中心，过O作OD⊥AB，垂足为D，

O180?13则OD=r6，?则∠DOA=6=30°，AD=2AB=2，

ADB www.czsx.com.c33在Rt△ABC中，OD=r6=2cm， 112733∴S=6·2ar6=2×3×2×6=23cm2．

2.D

知识点八、弧长和扇形、圆锥侧面积面积

n?Rn?R2重点：n°的圆心角所对的弧长L=180，扇形面积S扇=360、圆锥侧面积面积及其它们的应用．

难点：公式的应用．

n?R1．n°的圆心角所对的弧长L=180

n?R22．圆心角为n°的扇形面积是S扇形=360

3.全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的，所以全面积=?rL+r2．

例1．操作与证明：如图所示，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处，并将纸板绕O点旋转，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．

解题思路：如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB、AD?分别交于点M、N，连结OA、OD．

∵四边形ABCD是正方形

∴OA=OD，∠AOD=90°，∠MAO=∠NDO，又∠MON=90°，∠AOM=∠DON ∴△AMO≌△DNO ∴AM=DN

∴AM+AN=DN+AN=AD=a

特别地，当点M与点A（点B）重合时，点N必与点D（点A）重合，此时AM+AN仍为定值a．故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．例2．已知扇形的圆心角为120°，面积为300?cm2．（1）求扇形的弧长；

（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？

n?Rn?R2 解题思路：（1）由S扇形=360求出R，再代入L=180求得．（2）若将此扇形卷成一个圆锥，

?扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长，就可求圆的半径，其截面是一个以底是直径，?圆锥母线为腰的等腰三角形．[来源:21世纪教育网] 解：（1）如图所示：

120?R2 ∵300?=360

∴R=30

120???30180 ∴弧长L==20?（cm）

（2）如图所示：

∵20?=20?r ∴r=10，R=30

AD=900?100=202 1 ∴S轴截面=2×BC×AD

1 =2×2×10×202=2002（cm2）

因此，扇形的弧长是20?cm卷成圆锥的轴截面是2002cm2．

解题思路：如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB、AD?分别交于点M、N，连结OA、OD．

∵四边形ABCD是正方形

∴OA=OD，∠AOD=90°，∠MAO=∠NDO，又∠MON=90°，∠AOM=∠DON ∴△AMO≌△DNO ∴AM=DN

∴AM+AN=DN+AN=AD=a

（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？

n?Rn?R2 解题思路：（1）由S扇形=360求出R，再代入L=180求得．（2）若将此扇形卷成一个圆锥，

120?R2 ∵300?=360

∴R=30

120???30180 ∴弧长L==20?（cm）

（2）如图所示：

∵20?=20?r ∴r=10，R=30

AD=900?100=202 1 ∴S轴截面=2×BC×AD

1 =2×2×10×202=2002（cm2）

因此，扇形的弧长是20?cm卷成圆锥的轴截面是2002cm2．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/bwnr.html

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