第一章 第四讲 n元线性方程组求解

第四讲 n元线性方程组求解（3节）

上一讲我们介绍了当n元一次线性方程组的系数矩阵A可逆时，可求出方程组解

X?A?1b，实际上这也是方程组的唯一解。如果方程组系数矩阵A不可逆或A不是方阵时，

该如何来讨论方程组的解？这一讲将通过矩阵的初等变换来研究n元一次线性方程组（齐次、非齐次）在什么条件下有解、如何求解以及各种解的表达形式等.

n元一次线性方程组是指形如

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2 ? ... ...（4.1）

???????????????am1x1?am2x2???amnxn?bm令

?a11a12?a21a22?A????am1am2a1n??x1??b1??????xb2?a2n?2???，X?，b? ??????????xamn??n??bm?则方程组的矩阵方程形式AX?b.其中：A称为方程组（4.1）的系数矩阵，A??Ab?称为方程组（4.1）的增广矩阵。

当b?O时，称（4.1）式为一元线性非齐次线性方程组;

当b?O时，称 (4.2 ) 式为一元线性齐次线性方程组，其矩阵形式AX?O.

?a11x1?a12x2??ax?ax??211222????am1x1?am2x2?显然X?O是（4.2）式的当然解。

?a1nxn?0?a2nxn?0?amnxn?0 ... ...(4.2)

把非齐次线性方程组（4.1）式的每个方程右边的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组。（即：（4.2）是（4.1）的导出组）

在第二讲的例2.12中，非齐次方程组的解是通过对方程组的增广矩阵实施初等行变换得到的. 那么，这种求解方法是不是对任意的线性方程组都适用？答案是肯定的。下面我们先给出理论证明.

定理4.1 若将非齐次线性方程组AX?b的增广矩阵A??Ab?用初等行变换化为

?U

V?，则方程组AX?b与UX?V同解。

1

证 由第二讲的性质3.2及定理3.1知，当对增广矩阵A??Ab?用初等行变换化为

?UV?时，一定存在初等矩阵P1,P2,?,Pk，使得

PkPk?1PV? 成立 1?Ab???U记PkPk?1?P1?P，由初等矩阵的可逆性知P可逆。若设X1为AX?b的解，即

AX1?b，两边同时左乘矩阵P，有

PAX1?Pb?(PA)X1?Pb?UX1?V

于是X1是方程组UX?V的解。反之，若X2为UX?V的解，即

UX2?V?P?1UX2?P?1V?(P?1U)X2?P?1V?AX2?b

X2亦为AX?b的解。综上所述，AX?b与UX?V所表示的是同解方程组.

定理4.1给出了利用矩阵初等行变换求解方程组的思路，具体方法如下：

将方程组的增广矩阵A??Ab?实施初等行变换化为行的最简形，此时该最简形作为增广矩阵对应的方程组与原方程组同解，这样通过解简化的阶梯形矩阵所对应的方程组就求出原方程组的解，这种方法就是高斯消元法。

4.1.1非齐次线性方程组的相容性

先写出方程组（4.1）的增广矩阵A，然后利用初等行变换将A化为行最简形。

?a11a12?aa22A??Ab?=?21???am1am2a1na2namnb1??b2? ??bm?m?nA的行最简形有下面三种情形（为方便讨论，假设A的行最简形中构成的单位阵正好

在左上角）。

2

?a11a12?a21a22?（1）???am1am2a1na2namnb1??b2???bm?m?n?1??0??行变换?????0?0???0?001000000c1??0c2???...... (4.3) 1cn?00???00??m?(n?1)注意到A的行最简形矩阵不为零的行数正好等于变量个数n，其对应的方程组如下

?x1?x?2?????c1?c2xn?cn

?c1???c2此时原方程组的唯一解已经得到： X???；

?????cn??a11a12?a21a22（2）????am1am2?1??0???0?0???0?010000000a1na2namnb1??b2?行变换???? ??bm?m?n0d1(r?1)d2(r?2)0d2(r?1)d(r?2)10dr(r?1)00dr(r?2)00d1(r?n)c1d2(r?n)c2dr(r?n)0?????cr?... ... (4.4) 0???0??m?(n?1)0 注意到A的行最简形中不为零的行数为r（r

?x1???x2? ?????b1(r?1)xr?1?b1(r?2)xr?2??b2(r?1)xr?1?b2(r?2)x2?2?xr?br(r?1)xr?1?br(r?2)xr?2??b1nxn?c1?b2nxn?c2?brnxn?cr

此时还不能完全求出原方程的解，但可以看出原方程有无数个解，这是因为方程组可

3

以改写如下

??b1(r?1)xr?1?b1(r?2)xr?2??b1nxn?c1?x1???b2(r?1)xr?1?b2(r?2)x2?2??b2nxn?c2?x2 ?

??xr??br(r?1)xr?1?br(r?2)xr?2??brnxn?cr?如果把后面n?r个变量xr?1,xr?2,xn赋予数值后，前面r个变量x1,x2,xr的值就

被唯一确定，从而得到方程组解X=｛x1,x2,xr，xr?1,xr?2,xn｝T.

?a11a12??a21a22（3）???am1am2a1na2namnb1??b2???bm?m?n?1??0??行变换?????0?0???0?001000000c1??0c2???.....（4.5） 1ck?0ck+1???00??m?(n?1)注意到A的行最简形中不为零的行数是k+1，但第k+1行中只有ck?1?0，其余元素全为零。这就是说A的行最简形对应的方程组中最后一个方程是“0?ck?1”（ck?1?0），这显然是一个矛盾方程，因而原方程组无解。

根据上面讨论的方程组（4.1）解的3种情况，先给出非齐次方程组的相关定义定理后再详细讨论（4.1）的解。

定义4.1 如果一个n元线性方程组它存在解，则称方程组是相容的，否则就称方程组是不相容组或矛盾方程组。

比如（4.3）式和（4.4）式所表示的方程组都是相容方程组，而（4.5）所表示的方程组是不相容方程组。

定义4.2 n元线性方程组经过化简后，方程组中被保留的方程称为有效方程，消去的方程称为多余方程.

比如（4.3）式的有效方程个数正好有n个（相容的有效方程组）；（4.4）式的有效方程个数有r个，多余方程个数有n?r个（相容的有效方程组）.（4.5）式有效方程有r?1个，多余方程n?r?1个（不相容的有效方程组）.

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定理4.2

（1）方程组（4.1）有唯一解的充要条件是，有效方程的个数等于变量个数； （2）方程组（4.1）有无穷多解的充要条件是，有效方程的个数小于变量个数； （3）方程组（4.1）无解的充要条件是，存在着矛盾的有效方程。 证明（略）

定理4.2更加明确了利用高斯消元法如何判断非齐次方程组的解的情况.

?x1?x2?x3?x4?0?例4.1 求解线性方程组?2x1?x2?3x3?2x4??1

?3x?2x?x?2x?4234?1解：将方程组的增广矩阵用初等行变换化为行最简形

?1?11?10?r?2r?1?11?10???r32?3r11????0110?1? A??Ab?=?2?13?2?1?????3?2?124??01?454??????1?1?r3?r2?????01?00??1?1r1?r3?r2?r3?????01?00?1?10??11?r3??510?1??????0?0?555???001??1?r1?r2?010??????0?01?1?1????11?10??110?1?01?1?1??

0011??1010?01?1?1??这时行最简形所对应的方程组为

?x1?????x4x2x3?x4?x4?1?0 ??1 注意到方程组的有效方程个数为3小于方程变量个数4，所以原方程有无穷多解，求解方法如下：

?x1?1?x4?先将x4移到等号右端得?x2?0?x4，称x1,x2,x3是方程组的保留变量，称x4是方

?x??1?x4?3程组的自由变量（可任意取值）。

?x1?1?k?x?0?k?2再令x4取任意常数k?R，则得 ? ， ... ... （4.6）

?x3??1?k??x4?k

5

?x1??1???1???????x20?1或写成 ??????k?? ... .. .(4.7)

?x3???1??1????????x4??0??1?称k为方程组的自由未知数或自由元，(4.6) 式称为方程组的通解或一般解；（4.7）称为方程组的向量解.

?x1?x2?2x3?1?3x?x?2x?3?123例4.2求线性方程组的解 ?

?x1?2x2?x3??1??2x1?2x2?3x3??5解 将方程组的增广矩阵用初等行变换化为行最简形

1?1??1?12?1?12r2?3r1??r3?r1??312304?40r4?2r1????? ??A??Ab?=??1?2?0?1?1?2?1?1?????2?2?3?500?7?7?????1?12?01?1??????011??001?1?0??????0??0r1?r4r2?r4r3?2r41r24(?1)r31(?)r47010000011??101?1?r2?0?r01?1r3?r2??????0022???1??0010??1000????1?r3?r4?0101???????0011?0???1?0000??1??0?2??1?

从增广矩阵行的最简形可看出，方程组有效方程数是3，方程组的第3个方程是多余方程，但由于方程组变量的个数是也是3，所以原方程组有唯一解：

?x1?0? ?x2?1

?x?1?3 本例说明当有解方程组中方程的个数多于变量个数时，方程组一定有多余方程.

例4.3 求解线性方程组

?x1?2x2?3x3?2x4?1??3x1?x2?5x3?x4??1 ?2x?x?2x?3x?3234?1

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解 将方程组的增广矩阵用初等行变换化为行阶梯形

321??1?2321?r?3r?1?221??r3?2r1??A??3?15?1?1??????05?4?7?4??2?05?4?712?33?1?????1??1?232??， r3?r2?????05?4?7?4??00005????x1?2x2?3x3?2x4?1?行阶梯形所对应的方程组是 ?5x2?4x3?7x4??4， 虽说方程组有效方程有3个，

?0?x4?5?但最后一个方程是矛盾方程，故原方程组无解.

?kx1?x2?x3?5?例4.4 设方程组 ?3x1?2x2?kx3?18?5k

?x?2x?23?2问：k取何值时方程组有唯一解?无穷多解?无解?在有无穷多解时求出通解。

解 先将方程组的增广矩阵用初等行变换化为行阶梯形，然后再利用定理4.2的结论来判断方程组解的所有可能情形：

3?5?r?r?k0?1?k1113??r2?2r3??30k?414?5k?A??32k18?5k??????

?01?01222?2???????00k?r?r3???? ?30?01??12415214?k?k2?1k?k?3?3333?k?414?5k?

?22????k?414?5k?22??4125214k?k?1k?k?3?3333???30r1?r2?r2?r3?????01??00?

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??101r1?3????01??00?43k?414?5k??33?22? ... ... （4.8）

?4125214k?k?1k?k?3?3333?12k?1?0，此时方程组的有效方程个数与变量个数相3(1) 当k?1且k?3时，k?等，故原方程组有唯一解；

(2) 当k?1时，k?5321441k?3?0，k?k2?1?0 ，此时有效方程个数是2，小333于变量个数，故方程组有无穷多解。将k?1代入（4.8），得到增广矩阵的行最简形

?10?11??? ?0122?

?0000????x1?x3?3其对应的方程组 ? , 再将x3做为自由变量移到等号右边，并令x3=cx?2x?23?2（c?R），得原方程通解

?x1?3?c? ?x2?2?2c ?x?c?3?x1??3??1???????或向量解 ?x2???2??c??2?；

?x??0??1??3???????10? (3) 当k?3时，增广矩阵的行最简形?01?00??原方程组无解.

?1320?1?3??2?，出现矛盾的有效方程，故4???1.4.2齐次线性方程组的相容性

显然，齐次线性方程组总是相容的，因为它至少有一个零解X?(0,0,?,0)。除此之外它可能还存在非零解.

定理4.3

（1）齐次线性方程组 (4.2) 有无穷多解的充要条件是，方程组有效方程的个数小于变

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T量个数，且自由变量的个数等于变量总数减去有效方程的个数

（2）齐次线性方程组 (4.2)只有零解的充要条件是，方程组有效方程的个数等于变量个数.

证明 （略）

注意：非齐次方程组的解有3种情况，唯一解、无穷多解、无解；而齐次方程组的解只有2种情况，唯一零解或无穷多非零解。

例4.5求下列齐次线性方程组的解

?x1?3x2??5x?x2?1???x1?11x2??3x1?5x2?x3?2x3?2x3?2x4?3x4?5x4?x4?0?0 ?0?0解 由于齐次线性方程组的增广矩阵的最后一列都是零，所以其增广矩阵行的最简形与系数矩阵行的最简形是一致的。这就是说，求解齐次线性方程只要对系数矩阵实施行变换即可。

1?2??1?3?1?31?2?r2?5r1??r3?r1???51?230?143?7r4?3r1?????A??????1?112?5??0?143?7?????3501014?37????1?2??1?3?1?31?2???31????1r?r3?r20?143?7?14201?r4?r2??????????142??0000??0000?????000??00?000???51??10??142???31??1?3r2?r????01?142???0000?? ?00?00??行最简形对应的方程组

??x1????x25x3143?x3141x421?x42??0

?0 注意到方程组的有效方程数是2，变量个数是4，而A的行最简形里x1,x2的系数构

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成一个2阶单位矩阵，因此可将方程组改写如下

51?x??x?x43?1142

?31?x2?x3?x4142?同样称x1,x2是保留变量， x3,x4为自由变量，再令x3?k1,x4?k2，(k1,k2为任意常数)，则原方程组的通解

51?x??k?k21?1142??x?3k?1k ?212

142??x3?t1?x?t?42?5??1???14??2??x1???????x31???k???2或向量解 ???k1?14?2?2?。 ?x3???????10?????x4??0??1?????1.4.3 学生自主学习内容

本讲的主要内容就是：希望同学们会熟练利用矩阵的初等行变换，来判断齐次与非齐次线性方程组解的情况，并求出方程组解。由于求解过程不需要更深的理论支撑，所以只要能按要求把增广矩阵化为行最简形即可。

针对本讲例题，特提出下面问题请同学思考与解答。 （1） 求解方程组能否用列变换？

（2）请观察例（4.1）：为什么要令x4为自由变量？让x1,x2,x3中的一个作为自由变量是否也可以，比如x3？当非齐次方程组有无数解时，保留变量和自由变量是如何确定的？

（3）请观察例（4.2）：当方程组有多余方程时，如何找出多余方程？本例中如果把第4个方程作为有效方程，那么方程组中前3个方程哪一个是多余的方程？

（4）请观察例（4.3）当非齐次方程组无解时，其导出组是否也无非零解？

（5）请观察例（4.4）：当方程组中变量前的系数有未知参数时，最好把方程组的增广矩阵利用初等行变换化到什么形式，才开始讨论系数取值的情况？

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?2x1?x2?x3?x4?1? （6） 用相同的初等行变换求非齐次方程组?3x1?2x2?x3?3x4?4及其导出组

?x?4x?3x?5x??2234?1?2x1?x2?x3?x4?0??3x1?2x2?x3?3x4?0的通解，请观察非齐次方程组通解与其导出组通解之间的关系??x1?4x2?3x3?5x4?0是什么？

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