【100所名校】江苏省无锡市2022届高三上学期期中考试数学试题Wor
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江苏省无锡市2020届高三上学期期中考试
数学试题
一、填空题
1.已知全集,集合则
2.函数的定义域为_______.
3.已知则实数
4.设函数若则
5.已知向量的夹角为,则的值为________.
6.若实数满足条件则的最大值为________.
7.已知定义在区间上的函数的最大值为4,最小值为,则
8.已知函数在上单调递增,则实数的取值范围为________.
9.已知则的值为_________.
10.《九章算术》中研究盈不足问题时,有一道题是“今有垣厚五尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢?”题意即为“有厚墙五尺,两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也进一尺,以后每天减半,问几天后两鼠相遇?”荆州古城墙某处厚33尺,两硕鼠按上述方式打洞,相遇时是第____天.(用整数作答)
11.在中,点是线段上任意一点,是线段的中点,且,则
12.设为正实数,且,则的最小值为________.
13.定义为个正数的“均倒数”.若已知数列的前项的“均倒数”为又
,则
14.已知函数在上的零点为,函数在上的零点为则的范围为_________.
二、解答题
15.已知
(1)若与垂直,求实数的值;
(2)三点构成三角形,求实数的取值范围.
16.在四棱锥中,已知分别是的中点,若是平行四边形,
(1)求证:平面
(2)若平面,求证:
17.已知的三个内角的对边分别为,且
(1)求角的值;
(2)若边上的中线的长为,求面积的最大值.
18.有一块圆心角为120度,半径为的扇形钢板(为弧的中点),现要将其裁剪成一个五边形磨具
,其下部为等腰三角形,上部为矩形.设五边形的面积为.
(1)写出关于的函数表达式,并写出的取值范围;
(2)当取得最大值时,求的值.
19.已知数列满足为正常数.
(1)求证:对于一切恒成立;
(2)若数列为等差数列,求的取值范围.
20.已知函数
(1)若求曲线在处的切线方程;
(2)若求函数的单调区间;
(3)若求证:
江苏省无锡市2020届高三上学期期中考试
数学试题参考答案
一、填空题
1.已知全集,集合则
【答案】{0,2,4}
【解析】
【分析】
根据集合补集与并集的定义求结果.
【详解】.
【点睛】本题考查集合补集与并集概念,考查基本求解能力,属基础题.
2.函数的定义域为_______.
【答案】(-∞,2)
【解析】
【分析】
根据分母不为零以及偶次根式下被开方数非负列不等式,解得结果.
【详解】由题意得,即定义域为(-∞,2).
【点睛】本题考查函数定义域,考查基本求解能力,属基础题.
3.已知则实数
【答案】
【解析】
【分析】
根据指数与对数运算法则求解
【详解】因为所以
由得
【点睛】本题考查指数与对数方程,考查基本求解能力,属基础题.
4.设函数若则
【答案】2
【解析】
【分析】
根据关系求结果.
【详解】因为,,所以,
因为则
【点睛】本题考查函数解析式,考查基本求解能力,属基础题.
5.已知向量的夹角为,则的值为________.
【答案】7
【解析】
【分析】
根据向量数量积定义以及向量模的定义求结果.
【详解】因为向量的夹角为,所以,
因此
【点睛】本题考查向量数量积以及向量模,考查基本求解能力,属基础题.
6.若实数满足条件则的最大值为________.
【答案】4
【解析】
【分析】
先作可行域,再根据目标函数所表示的直线,结合图象确定最大值取法,即得结果. 【详解】先作可行域,如图,则直线过点A(1,2)时取最大值4.
【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
7.已知定义在区间上的函数的最大值为4,最小值为,则
【答案】-
【解析】
【分析】
根据正弦函数性质确定最值取法,再解方程组得a,b,即得结果.
【详解】因为,,
所以,,
从而
【点睛】本题考查正弦函数性质,考查基本求解能力,属基础题.
8.已知函数在上单调递增,则实数的取值范围为________.
【答案】(0,1]
【解析】
【分析】
根据分段函数单调性列不等式,解得结果.
【详解】因为函数在上单调递增,所以
【点睛】分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.
9.已知则的值为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据诱导公式以及二倍角公式化简求值.
【详解】令,则,
【点睛】本题考查诱导公式以及二倍角余弦公式,考查基本求解能力,属基础题.
10.《九章算术》中研究盈不足问题时,有一道题是“今有垣厚五尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢?”题意即为“有厚墙五尺,两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也进一尺,以后每天减半,问几天后两鼠相遇?”荆州古城墙某处厚33尺,两硕鼠按上述方式打洞,相遇时是第____天.(用整数作答)
【答案】6
【解析】
由题意得
11.在中,点是线段上任意一点,是线段的中点,且,则
【答案】-
【解析】
【分析】
根据向量表示得,再根据向量分解唯一性得,即得结果.
【详解】因为是线段的中点,所以,
因为点是线段上任意一点,所以可设,
从而
因为,所以-
【点睛】本题考查向量表示,考查基本求解能力,属基础题.
12.设为正实数,且,则的最小值为________.
【答案】27
【解析】
【分析】
先根据条件解得x,再化简,最后利用基本不等式求最值.
【详解】因为,所以
因此
当且仅当时取等号,即的最小值为27.
【点睛】本题考查基本不等式求最值,考查基本分析求解能力,属中档题.
13.定义为个正数的“均倒数”.若已知数列的前项的“均倒数”为又
,则
【答案】
【解析】
【分析】
先根据定义得数列的前项的和,再根据和项与通项关系得,即得,最后根据裂项相减法求结果. 【详解】因为数列的前项的“均倒数”为,
所以,
当时,
作差得,因为,所以,
,
+=
【点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式,然后通过累加抵消中间若干项的方法,裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列,c为常数)的数列. 裂项相消法求和,常见的有相邻两项的裂项求和(如本例),还有一类隔一项的裂项求和,如或.
14.已知函数在上的零点为,函数在上的零点为则的范围为_________.
【答案】(1,)
【解析】
【分析】
先求,并确定范围,进而确定,最后利用导数求单调性,根据单调性确定取值范围.
【详解】由得,因为,所以,
因此,因为从而,
因此,令,,
则,所以(1,).
【点睛】求范围或值域问题,一般利用条件转化为对应一元函数问题,即通过题意将多元问题转化为一元问题,再根据函数形式,选用方法求值域,如二次型利用对称轴与定义区间位置关系,分式型可以利用基
本不等式,复杂性或复合型可以利用导数先研究单调性,再根据单调性确定值域.
二、解答题
15.已知
(1)若与垂直,求实数的值;
(2)三点构成三角形,求实数的取值范围.
【答案】(1) k=-7 (2) (-∞,5)U(5,+∞)
【解析】
【分析】
(1)根据向量垂直坐标表示列式,解得结果,(2)根据与不共线,列不等式,解得结果.
【详解】(1)因为与垂直,所以,?=0,
即(5,-5)?(-6,k+1)=0
即:-30-5(k+1)=0,解得:k=-7
(2)依题意,得A,B,C三点不共线,即与不共线,
即5(k+1)≠30,解得:k≠5
所以,实数的取值范围(-∞,5)U(5,+∞)
【点睛】本题考查向量垂直与平行,考查基本求解能力,属基础题.
16.在四棱锥中,已知分别是的中点,若是平行四边形,
(1)求证:平面
(2)若平面,求证:
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】
【分析】
(1) 取PA中点E,根据平几知识可得四边形BMNE为平行四边形,再根据线面平行判定定理得结论,(2)先
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