概率论第七章 习题解答

第七章 假设检验

I 教学基本要求

1、了解假设检验的相关概念及基本思想，掌握假设检验的基本步骤，知道犯两类错误的概率的含义；

2、掌握单正态总体均值和方差的假设检验；

3、掌握两个正态总体均值差与方差比的假设检验； 4、了解分布的假设检验.

II 习题解答

A组

1、某企业生产铜丝，而折断力的大小是铜丝的主要质量指标.从过去的资料来看，可认为折断力X?N(570,82)(单位：千克力)，现更换了一批原材料，测得10个样品的折断力如下：

578 572 570 568 572 570 570 572 596 584 从性能上看，折断力的方差不会有什么变化，试问折断力的大小与原先有无差异

(??0.05)？

解：若折断力的大小与原先无差异，则总体均值?应为570，因此，提出假设如下：

H0：??570 vs H1：??570

由??0.05，查附表得临界值u0.975?1.96，根据样本观测值求得

x?575.2

于是，检验统计量U的值

U?575.2?5708102?2.055

由于|U|?u0.975，所以，在显著性水平??0.05下拒绝原假设H0，即认为折断力与原先有差异.

2、某工厂生产的电子元件平均使用寿命X?N(?,?)，现抽测15个元件，得到

2x?18000、s?5200(单位：小时)，试问该工厂生产的电子元件的平均使用寿命是否为

20000(??0.05)？

解：若该工厂生产的电子元件的平均使用寿命为20000，则总体均值?应为20000，因此，提出假设如下：

H0：??20000 vs H1：??20000

1

由??0.05，查附表得临界值t0.975(14)?2.145，由已知数据求得检验统计量T的值

T?18000?20000??0.149

520015由于|T|?t0.975(14)，所以，在显著性水平??0.05下接受原假设H0，即认为该工厂生产的电子元件的平均使用寿命是20000小时.

3、用热敏电阻测温仪间接测量地热勘探井底温度，重复测量6次，测得温度(C)为：

111.0

112.4

110.2

111.0

113.5

??111.9

假定测量的温度服从正态分布，且井底温度的真实值为111.6C，试问用热敏电阻测温仪间接测温是否准确(??0.05)？

解：若用热敏电阻测温仪间接测温是准确的，则总体均值?应为111.6，因此，提出假设如下：

H0：??111.6 vs H1：??111.6

由??0.05，查附表得临界值t0.975(5)?2.571，根据样本观测值求得

x?111.67、s2?1.399

于是，检验统计量T的值

T?111.67?111.6?0.145

1.3996由于|T|?t0.975(5)，所以，在显著性水平??0.05下接受原假设H0，即认为用热敏电阻测温仪间接测温是准确的.

4、设考生在某次考试中的成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，得到平均成绩为66.5分、标准差为15分，问是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分(??0.05)？

解：若这次考试全体考生的平均成绩为70分，则总体均值?应为70，因此，提出假设如下：

H0：??70 vs H1：??70

由??0.05，查附表得临界值t0.975(35)?2.0301，由已知数据求得检验统计量T的值

T?66.5?70??1.4

1536由于|T|?t0.975(35)，所以，在显著性水平??0.05下接受原假设H0，即认为这次考

2

试全体考生的平均成绩为70分.

5、某化肥厂用自动包装机包装化肥，每包质量服从正态分布N(50,?2)，某日开工后，随机抽取8包化肥，测得质量(单位：kg)如下：

49.2

49.8

50.3

50.8

49.7

49.6

50.5

50.1

问该天包装的化肥质量的方差是否为1.3(??0.05)？

解：若该天包装的化肥质量的方差是1.3，则??1.3，因此，提出假设如下：

2H0：?2?1.3 vs H1：?2?1.3

22由??0.05，查附表得临界值?0.025(8)?2.1797、?0.975(8)?17.5345，根据样本观

测值求得

?(x??)ii?1n2?2.192

于是，检验统计量?2的值

?2?2.192?1.686 1.32由于?2??0.025(8)，所以，在显著性水平??0.05下拒绝原假设H0，即认为该天包

装的化肥质量的方差不是1.3.

6、设某化纤厂生产的维尼纶的纤度在正常情况下服从方差为0.05的正态分布，现随机抽取6根，测得其纤度为

1.33 1.35

1.54

1.45

1.37

1.53

2问维尼纶纤度的方差是否正常(??0.10)？

解：若维尼纶纤度的方差正常，则??0.05，因此，提出假设如下：

22H0：?2?0.052 vs H1：?2?0.052

22由??0.10，查附表得临界值?0.05(5)?1.146、?0.95(5)?11.07，根据样本观测值求

得

x?1.43、s2?0.0085

于是，检验统计量?的值

2?2?(6?1)?0.0085?1.7 20.053

22由于?0.05(5)??2??0.95(5)，所以，在显著性水平??0.10下接受原假设H0，即认

为维尼纶纤度的方差是正常的.

7、生产某种产品可用两种操作方法.用第一种操作方法生产的产品抗折强度

X?N(?1,72)；用第二种操作方法生产的产品抗折强度Y?N(?2,92)(单位：千克)，现

从第一种操作方法生产的产品中随机抽取13件，得到x?42，从第二种操作方法生产的产品中随机抽取17件，测得y?36，问这两种操作方法生产的产品的平均抗折强度是否有显著差异(??0.05)？

解：若这两种操作方法生产的产品的平均抗折强度无显著差异，则?1??2，因此，提出假设如下：

H0：?1??2 vs H1：?1??2

由??0.05，查附表得临界值u0.975?1.96，由已知数据求得检验统计量U的值

U?42?3679?131722?2.054

由于|U|?u0.975，所以，在显著性水平??0.05下拒绝原假设H0，即认为这两种操作方法生产的产品的平均抗折强度有显著差异.

8、某种物品在处理前与处理后分别抽样分析其含脂率，测得数据如下：

处理前xi 处理后yj 0.18 0.14 0.17 0.12 0.20 0.26 0.29 0.23 0.40 0.28 0.11 0.05 0.28 0.18 0.10 假设处理前后的含脂率都服从正态分布，且方差不变，问该物品处理前后含脂率的均值是否有显著差异(??0.01)？

解：若该物品处理前后含脂率的均值无显著差异，则?1??2，因此，提出假设如下：

H0：?1??2 vs H1：?1??2

由??0.01，查附表得临界值t0.995(13)?3.012，根据样本观测值求得

22x?0.23、y?0.18、sx?0.0045、sw?0.0822 ?0.0094、sy于是，检验统计量T的值

4

T?0.23?0.18?2.273 110.0822??78由于|T|?t0.995(13)，所以，在显著性水平??0.01下接受原假设H0，即认为该物品处理前后含脂率的均值无显著差异.

9、有甲、乙两台机床加工同样的产品，现从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干产品，测得产品直径(单位：mm)为：

甲机床 乙机床 19.5 18.7 18.8 19.8 18.7 19.5 19.4 18.8 19.1 18.4 19.0 19.6 18.6 18.2 18.9 问甲乙两台机床加工的精度是否有显著差异(??0.05)？

解：若甲乙两台机床加工的精度无显著差异，则它们的方差相同，因此，提出假设如下：

22 vs H1：?12??2 H0：?12??2由??0.05，查附表得临界值F0.025(7,6)?11??0.1953、

F0.975(6,7)5.12F0.975(7,6)?5.70，根据样本观测值求得

22x?19、y?19、sx?0.3967 ?0.1029、sy于是，检验统计量F的值

F?0.1029?0.2594

0.3967由于F0.025(7,6)?F?F0.975(7,6)，所以，在显著性水平??0.05下接受原假设H0，即认为甲乙两台机床加工的精度无显著差异.

10、某车床生产滚珠，现随机抽取了50个产品，测得它们的直径(单位：mm)为： 15.0 15.8 15.2 15.1 15.9 14.7 14.8 15.5 15.6 15.3 15.1 15.3 15.0 15.6 15.7 14.8 14.5 14.2 14.9 14.9 15.2 15.0 15.3 15.6 15.1 14.9 14.2 14.6 15.8 15.2 15.9 15.2 15.0 14.9 14.8 14.5 15.1 15.5 15.5 15.1 15.1 15.0 15.3 14.7 14.5 15.5 15.0 14.7 14.6 14.2 问滚珠直径是否服从正态分布(??0.05)？

解：若滚珠直径服从正态分布，则X?N(?,?)，因此，提出假设如下：

2H0：X?N(?,?2)

??s?0.4325代??x?15.1、?由于?、?未知，因而用它们的最大似然估计值?替得到分布N(15.1,0.4325)，为了求统计量?的值，取a0?14.05、ak?16.15，将

5

222222

[a0,ak]等分为7个小区间，列表计算得：

区间 1 2 3 4 5 6 7 总和 ni 3 5 10 16 8 6 2 50 ?i p0.032 0.091 0.2 0.286 0.233 0.124 0.053 1 ?i np1.6 4.55 10 13.4 11.65 6.2 2.6 50 ?i)2 (ni?np1.96 0.203 0 6.76 13.323 0.04 0.36 22.645 ?i)2np?i (ni?np1.225 0.045 0 0.504 1.144 0.006 0.138 3.062 于是，检验统计量?2的值

(ni?npi)2????3.062

npii?12k22再由??0.05，查附表得临界值?0.95(4)?9.488，由于?2??0.95(4)，所以，在显著

性水平??0.05下接受原假设H0，即认为滚珠直径服从正态分布.

B组

1、随机地从一批直径服从正态分布的滚珠中抽取7个，测得其直径(单位：mm)为： 13.70 14.21 13.90 13.91 14.32 14.32 14.10

假设滚珠直径总体分布的方差为0.05，问这批滚珠的平均直径是否小于等于14.25(??0.05)？

解：若这批滚珠的平均直径是小于等于14.25，则??14.25，因此，提出假设如下：

H0：??14.25 vs H1：??14.25

由??0.05，查附表得临界值u0.95?1.65，根据样本观测值求得

x?14.07

于是，检验统计量U的值

U?14.07?14.25??2.118

0.057由于U?u0.95，所以，在显著性水平??0.05下接受原假设H0，即认为这批滚珠的平均直径小于等于14.25.

1n2、设x1、x2、…、xn是取自正态总体N(?,?)的样本，记x??xi、

ni?12 6

Q??(xi?x)2，试在此记号下求检验假设H0：??0的检验统计量？

2i?1n解：该问题是单正态总体方差未知时关于期望?的假设检验问题，检验统计量应选为

T?x??0s2n

11n122由于s?，即s?Q，从而检验统计量为 (x?x)?Q?in?1i?1n?1n?1T?x??0sn?n(n?1)x. Q3、某种导线要求其电阻的标准差不超过0.004欧姆，现从生产的一批导线中随机抽取8根，得到s?0.006，若该导线的电阻服从正态分布，问能否认为这批导线的标准差偏小(??0.05)？

解：若这批导线的标准差偏小，则??0.004，因此，提出假设如下：

2222H0：?2?0.0042 vs H1：?2?0.0042

2由??0.05，查附表得临界值?0.95(7)?14.067，由已知数据求得检验统计量?2的值

(8?1)?0.0062???15.75 20.00422由于?2??0.95(7)，所以，在显著性水平??0.05下拒绝原假设H0，即认为这批导线

的标准差偏大.

4、下面是某两种型号的电器充电后所能使用的时间(单位：小时)的观测值 型号A 5.5 5.6 6.3 4.6 5.3 5.0 6.2 5.8 5.1 5.2 5.9 型号B 3.8 4.3 4.2 4.0 4.9 4.5 5.2 4.8 4.5 3.9 3.7 4.6

设两样本独立且抽样的两个正态总体方差相等，试问能否认为型号A比型号B平均使用的时间更短(??0.01)？

解：若型号A比型号B平均使用的时间更短，则?1??2，因此，提出假设如下：

H0：?1??2 vs H1：?1??2

由??0.01，查附表得临界值t0.99(21)?2.5176，根据样本观测值求得

22x?5.5、y?4.3667、sx?0.2188、sw?0.4951 ?0.274、sy 7

于是，检验统计量T的值

T?5.5?4.3667?5.4837

110.4951??1112由于T?t0.99(21)，所以，在显著性水平??0.01下拒绝原假设H0，即认为型号A比型号B平均使用的时间更长.

5、某药厂生产一种新的止痛片，厂方希望验证服用新药片后到开始起作用的时间间隔较原有止痛片至少缩短一半，因此厂方提出检验假设

H0：?1?2?2 vs H1：?1?2?2

其中?1、?2分别是服用原有止痛片和服用新止痛片后到开始起作用的时间间隔的总体均

2值，若这两个总体均服从正态分布，且方差?12、?2已知，现分别从两个总体中抽取两个独

立样本x1、x2、…、xm和y1、y2、…、yn，试给出上述假设检验问题的检验统计量及拒绝域？

解：设X为服用原有止痛片后到开始起作用的时间间隔，Y为服用新止痛片后到开始

2起作用的时间间隔，则X?N(?1,?12)、Y?N(?2,?2)，于是

24?2x?2y?N(?1?2?2,?)

mn?12?U?(x?2y)?(?1?2?2)?21m当H0成立，有

?4?n22~N(0,1)

U?x?2y?21m?4?n22~N(0,1)

所以，可选取检验统计量

U?x?2y?21m?4?n22

对于给定的显著性水平?，检验的拒绝域为W?{U|U?u1??}.

6、有两箱来自不同厂家的功能相同的金属部件，从第一箱中抽取60个，从第二箱中抽

2取40个，得到部件重量(mg)的样本方差分别为sx?15.46、sy?9.66.若两样本相互独

2 8

立且服从正态分布，试问第一箱重量的总体方差是否比第二箱重量的总体方差小

(??0.05)？

2解：若第一箱重量的总体方差比第二箱重量的总体方差小，则?12??2，因此，提出假

设如下：

22 vs H1：?12??2 H0：?12??2由??0.05，查附表得临界值F0.95(59,39)?1.64，根据已知数据求得检验统计量F的值

F?15.46?1.60 9.66由于F?F0.95(59,39)，所以，在显著性水平??0.05下接受原假设H0，即认为第一箱重量的总体方差比第二箱重量的总体方差小.

7、测得A、B两批电子器件的电阻为 A B 0.140 0.135 0.138 0.140 0.143 0.142 0.142 0.136 0.144 0.138 0.137 0.140 2设两批电子器件的电阻分别服从N(?1,?12)、N(?2,?2)，试问能否认为两个总体服从相同

的正态分布(??0.05)？

解：(1) 先检验两个总体方差相同.

2若两个总体方差相同，则?12??2，因此，提出假设如下： 22 vs H1：?12??2 H0：?12??2由??0.05，查附表得临界值F0.025(5,5)?11??0.140、

F0.975(5,5)7.15F0.975(5,5)?7.15，根据样本观测值求得

22x?0.141、y?0.139、sx?0.0000071 ?0.0000078、sy于是，检验统计量F的值

F?0.0000078?1.1

0.0000071由于F0.025(5,5)?F?F0.975(5,5)，所以，在显著性水平??0.05下接受原假设H0，即认为两个总体方差相同；

(2) 在(1)的基础上检验两个总体均值相同.

若两个总体均值相同，则?1??2，因此，提出假设如下：

9

H0：?1??2 vs H1：?1??2

由??0.05，查附表得临界值t0.975(10)?2.2281，根据样本观测值求得

2sw?0.0000074

于是，检验统计量T的值

T?0.141?0.139?1.267

110.0000074?(?)66由于|T|?t0.975(10)，因而在显著性水平??0.05下接受原假设H0，即认为两个总体均值相同；

所以，可认为两个总体服从相同的正态分布.

8、在一批灯泡中抽取300只进行寿命测试，试验结果如下：

寿命t(小时) 灯泡数 0?t?100 121 100?t?200 200?t?300 t?300 78 43 58 ?0.005e?0.005t试检验假设：H0：灯泡寿命服从指数分布f(t)??0?解：根据题意提出假设

t?0t?0(??0.05)？

H0：X?E(0.005)

为了求统计量?2的值，将(0,??)分为4个小区间(0,100]、(100,200]、(200,300]、

(300,??)，列表计算得：

区间 ni 121 78 43 58 300 2pi 0.3935 0.2387 0.1447 0.2231 1 npi 118.05 71.61 43.41 66.93 300 (ni?npi)2 8.7025 40.8321 0.1681 79.7449 129.4476 ?i (ni?npi)2np0.0737 0.5702 0.0039 1.1915 1.8393 (0,100] (100,200] (200,300] (300,??) 总和 于是，检验统计量?的值

(ni?npi)2????1.8393

npi?1i2k22再由??0.05，查附表得临界值?0.95(3)?7.8147，由于?2??0.95(3)，所以，在显

著性水平??0.05下接受原假设H0，即认为该批灯泡寿命服从参数为0.005的指数分布.

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