概率论与数理统计(魏宗舒)答案

第七章 假设检验

7.1 设总体 N( , 2)，其中参数 ， 2为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设：

（1）H0: 0, 1； （2）H0: 0, 1； （3）H0: 3, 1； （4）H0:0 3； （5）H0: 0.

解：（1）是简单假设，其余位复合假设

7.2 设 1, 2, , 25取自正态总体N( ,9)，其中参数 未知，是子样均值，如对检验问题

H0: 0,H1: 0

取检验的拒绝域：

c {(x1,x2, ,x25):| 0| c}，试决定常数c，使检验的显著性水平为0.05 解：因为 N( ,9)，故 N( ,在H0成立的条件下，

P0(| 0| c) P(| 0

35c

| )53

5c

2 1 () 0.05

3 9

) 25

(

5c5c

) 0.975, 1.96，所以c=1.176。 33

227.3 设子样 1, 2, , 25取自正态总体N( , 0已知，对假设检验)， 0

H0: 0,H1: ，取临界域c {(x1,x2, ,xn):| c0}， 0

（1）求此检验犯第一类错误概率为 时，犯第二类错误的概率 ，并讨论它们之间的关系；

2

（2）设 0=0.05， 0=0.004， =0.05，n=9，求 =0.65时不犯第二类错误

的概率。

解：（1）在H0成立的条件下， N( 0,

2

0

n

)，此时

P0( c0) P0

000

1 ，由此式解出c0

1 0

在H1成立的条件下， N( ,

02

n

)，此时

P1( c0) P10

0

0

( 1

由此可知，当 增加时， 1 减小，从而 减小；反之当 减少时，则 增加。 （2）不犯第二类错误的概率为

1 1 ( 1

0.65 0.50

3)

0.2

1 ( 0.605) (0.605) 0.7274 1 ( 0.95

7.6 设一个单一观测的 子样取自分布密度函数为f(x)的母体，对f(x)考虑统计假设：

10 x 1

H0:f0(x)

0其他 2x0 x 1

H1:f1(x)

0其他

试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足 2 min，并求其最小值。 解 设检验函数为

(x)

1x c

（c为检验的拒绝域）

0其他

2 P0(x c) 2P1(x )

P0(x c) 2[1 P1(x c)] E0 (x) 2[1 E1 (x)]

1

1

(x)dx 2(1 2x (x)dx)

1

2 (1 4x) (x)dx

要使 2 min，当1 4x 0时， (x) 0 当1 4x 0时， (x) 1

1

1x 1 7 4

所以检验函数应取 (x) ，此时， 2 2 (1 4x)dx 。

80 0x 1

4

7.7 设某产品指标服从正态分布，它的根方差 已知为150小时。今由一批产品中随机抽取了26个，测得指标的平均值为1637小时，问在5%的显著性水平下，能否认为该批产品指标为1600小时?

解 总体 N( ,1502)，对假设，H0: 1600，采用U检验法，在H0为真时，检验统计量

u

1.2578

临界值u1 /2 u0.975 1.96

|u| u1 /2，故接受H0。

7.8 某电器零件的平均电阻一直保持在2.64 ，根方差保持在0.06 ，改变加工工艺后，测得100个零件，其平均电阻为2.62 ，根方差不变，问新工艺对此零件的电阻有无显著差异？去显著性水平 =0.01。

解 设改变工艺后电器的电阻为随机变量 ，则E 未知，D (0.06)2， 假设为 H0: 2.64，统计量

u

3.33 由于u1- /2 u0.995 2.10 |u|，故拒绝原假设。即新工艺对电阻有显著差异。 7.9（1）假设新旧安眠药的睡眠时间都服从正态分布，旧安眠剂的睡眠时间

2

,新安眠剂的睡眠时间 N( ， 2)，为检验假设 N(20.8，1.8)

H0: 23.8H1: 23.8

从母体 取得的容量为7的子样观察值计算得

24.2 s*2 5.27 xn

由于 的方差 2未知，可用t检验。

t

0.461 n取a 0.10 t0,10(7 1) 1.4398 t

所以不能否定新安眠药已达到新的疗效的说法。

（2）可以先检验新的安眠剂睡眠时间 的方差是否与旧的安眠剂睡眠时间 的方差一致，即检验假设

H0: 2 (1.8)2。

2 用-检验，

2

*2

(n 1)sn

2

6 5.27

9.76。 2

(1.8)

22

=0.10， (6)=1.635， 取0.060.05(6)=12.592

22 0.06(6) 2 0.05(6)

所以接受H0,不能否认 和 方差相同。如认为 的方差

2

u

0.18

取 =0.10，u0.10

1.27,u u0.10，所以接受H0。

7.11有甲乙两个检验员，对同样的试样进行分析，各人实验分析的结果如下：

试问甲乙两人的实验分析之间有无显著差异？

解 此问题可以归结为判断 x1 x2是否服从正态分布N(0,

2)，其中 2未知，即要检验假设H0

: 0。 由t检验的统计量 t

n

0.389

取 =0.10，又由于，t0.95(7) 1.8946 |t|，故接受H0

7.12 某纺织厂在正常工作条件下，平均每台布机每小时经纱断头率为0.973根，每台布机的平均断头率的根方差为0.162根，该厂作轻浆试验，将轻纱上浆率减低20%，在200台布机上进行实验，结果平均每台每小时轻纱断头次数为0.994根，根方差为0.16，问新的上浆率能否推广？取显著性水平0.05。

解 设减低上浆率后的每台布机断头率为随机变量 ，有子样试验可得其均值和方差的无偏估计为0.994及s*2n 0.16 ，问新上浆率能否推广就要分析每台布机的平均断头率是否增大，即要检验

2

H0:E 0.973 H1:E 0.973

由于D 未知，且n较大，用t检验，统计量为

t

n

1.856

查表知t0.95(199) 1.645，故拒绝原假设，不能推广。

7.13在十块土地上试种甲乙两种作物，所得产量分别为(x1,x2, ,x10)，

(y1,y2, ,y10)，假设作物产量服从正态分布，并计算得 30.97， 21.79，

*

问是否可认为两个品种的产量没有显著s*x 26.7，sy 12.1取显著性水平0.01，

性差别？

2

解 甲作物产量 N( 1, 12)，乙作物产量 N( 2, 2)，即要检验

H0: 1 2

2'2

由于 12， 2未知，要用两子样t检验来检验假设H0，由F检验，: 12 2

统计量为

*2*2F s1s2 26.7

2

2

4.869 F0.995(9,9) 6.54（取显著性水平0.01）

'2

故接受假设H0，于是对于要检验的假设H0: 1 2取统计量

: 12 2

t

0.99

又 0.01时，t0.995(18) 2.878 |t|，所以接受原假设，即两品种的产量没有显著性差别。

7.14有甲、乙两台机床，加工同样产品，从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干产品，测得产品直径为（单位：mm）：

甲 20.5 ，19.8 ，19.7 ，20.4 ，20.1 ，20.0 。19.6 ，19.9 乙 19.7 ，20.8 ，20.5 ，19.8 ，19.4 ，20.6 ，19.2 。

试比较甲乙两台机床加工的精度有无显著差异？显著性水平为 0.05。 解：假定甲产品直径服从N( 1, 12)，由子样观察值计算得x 20.00，

*2sn (0.3207)2 0.1029。 1

*22乙产品直径服从N( 2, 2 0.3967。 )，由子样观察值计算得y 20.00，sn

2

要比较两台机床加工的精度，既要检验

2

H0: 12 2

由 F-检验

s F sn

*2

*2

1

0.1029

0.2594

0.3967

2

0.05时查表得：F0.975(7.6) 5.70， F0.025(7.6)

11

0.1953

F0.975(6.7)5.12

由于F0.025(7.6) F F0.975(7.6)，所以接受H0，即不能认为两台机床的加工精度有显著差异。

7.16 随机从一批钉子中抽取16枚，测得其长度为（cm） 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11

设钉长服从正态分布，分别对下面两个情况求出总体均值 的90%的置信区间 （1） 0.01cm； （2） 未知

解 （1

）由子样函数U 区间 置信下限

2.121

N(0,1)，p(|U| u0.95) 0.90，可求 的置信置信上限

2.129

（2）在

未知时，由子样函数t 求得 置信区间为

n

t(n 1)，p(|t| t0.95(n 1)) 0.90可

*

置信下限

2.1175

*

置信上限

2.1325

7.17 包糖机某日开工包糖，抽取12包糖，称得重量为

9.9 10.1 10.3 10.4 10.5 10.2 9.7 9.8 10.1 10.0 9.8 10.3 假定重量服从正态分布，试由此数据对该机器所包糖的平均重量 求置信水平为95%的区间估计。

解 由于

未知，用统计量t

n

t(n 1)，计算各数据值后可以得到均值

**

的置信区间，

置信上限为 10.2556，

下限为 9.9284

2*2

7.19 随机取9发炮弹做实验，得炮口速度的方差的无偏估计sn 11（米/秒），

设炮口速度服从正态分布，分别求出炮口速度的标准差 和方差 2的置信水平为90%的置信区间。 解 选取统计量

*2

(n 1)sn

2

2(n 1)， 可得 2的置信区间为：

*2*2

(n 1)sn(n 1)sn(2,2) (5.6749,32.199) 1 /2(n 1) /2(n 1)

因为

*2*2

(n 1)sn(n 1)sn2

p(2 2) p

1 /2(n 1) /2(n 1)

1

故，标准差的置信区间取方差的根方即可。 7.20解：用子样函数

t

必须要求 1

2

2 2，所以先应检验假设

2

H0： 12 2

由样子观察值计算得

*2 1=81.625sn=145.696

*2

2=75.875 sn=102.125

12

F=

*2

sn1

s

*2n2

=1.4266

取 =0.10，F0.95(7.7) 3.79,由于F0.05(7.7) F F0.95(7.7),

所以接受原假设H0，可以用两子样t统计量求 1- 2的置信水平为95%的置信区间。 置信下限

1- 2 1 2

2.145 81.625 75.875 6.1885

置信上限

1- 2 81.625 75.875

17.1885

7.21解：由于F=

*22sn/ A1*22sn/ B2

服从F(n1 1,n2

1)分布，由

*22

sn/ A1

p F0.05(n1 1,n2 1) *22 F0.95(n1 1,n2 1) sn2/ B 222 sA AsA p 2 2 2

SF(n 1,n 1) SF(n 1,n 1)2BB0.0512 B0.951 0.90

2 A

所以2的置信区间为

B

s*20.5419A

0.2810 置信下限=*2

SBF0.95(n1 1,n2 1)0.6065 3.18

s*20.5419 3.18A

2.8413 置信上限=*2

SBF0.05(n1 1,n2 1)0.6065

7.22解：由于 未知， 的置信区间为

**

t1 /2(n 1), t1 /2(n 1) *L 2t1 /2(n 1)

*2sn2

L 4t21 /2(n 1)

n

*2 s22n

E(L) 4E t1 /2(n 1)

n *2

(n 1)s2n

4t1 /2(n 1)E

n(n 1) 2

4t21 /2(n 1) 2

n

2

4242

(i)E(L) t0.975(4) (2.7764)2 2 6.1667 2

5542422

(ii)E(L) t0.975(9) (2.2622)2 2 2.0470 2

1010424

(iii)E(L2) t0.975(29) 2 (2.0452)2 2 2.5577 2

303042422

(iv)E(L) t0.975(7) (1.8946)2 2 1.7948 2

8842422

(v)E(L) t0.975(7) (2.3646)2 2 2.7957 2

88424

(vi)E(L2) t0.975(7) 2 (3.4995)2 2 6.1233 2

88

2

7.23 假设六个整数1，2，3，4，5，6被随机地选择，重复60次独立实验中出现1，2，3，4，5，6的次数分别为13，19，11，8，5，4。问在5%的显著性水平下是否可以认为下列假设成立：

H0:p( 1) p( 2) p( 6)

1

。 6

解：用 2 拟合优度检验，如果H0成立

(ni npi)2

2(5)

npii 1

2

6

列表计算 2的观察值：

2

2 15.6， 0.95(5)=11.07

2

由于 2 0.95(5)，所以拒绝H0。即等概率的假设不成立。

7.24 对某型号电缆进行耐压测试实验，记录43根电缆的最低击穿电压，数据列表如下：

测试电压 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 击穿频数 1 1 1 2 7 8 8 4 6 4 1

试对电缆耐压数据作分析检验（用概率图纸法和 2 拟合优度检验）。 解：用正态概率纸检验出数据基本上服从正态分布，下面 2 拟合优度检验假设

, 2) H0: N(

, 2为 和 2的极大似然估计，其观察值 其中

1n

s (xi x)2 0.04842 4.3744

ni 1

2

2n

所以要检验的假设

H0: N(4.3744,0.04842) 分组列表计算 2 统计量的观察值。

(npi ni)2

2.4852

npi 1i

2

n

222

用 0.1查表 0.9(6 2 1) 0.9(3) 6.251由于 2 0.9(3)，所以不能否定正态

分布的假设。

7.25 用手枪对100个靶各打10发，只记录命中或不命中，射击结果列表如下 命中数xi：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 频 数fi： 0 2 4 10 22 26 18 12 4 2 0

在显著水平 0.05下用 2拟合优度检验法检验射击结果所服从的分布。 解 对每一靶打一发，只记录命中或不命中可用二点分布描述，而对一个靶打十发，其射击结果可用二项分布b(K;10,p)来描述，其中p未知，可求其极大似然估计为

110

p fixi 0.5

100i 0

设 是十发射击中射中靶的个数，建立假设

10

H0:p( k) (0.5)K(0.5)10 K,K 0,1, ,10

K

用 2拟合优度检验法列表如下：

(npi ni)2

3.171

npii 0

2

10

22

取 0.05， 0.95(11 1 1)= 0.95(9) 16.919 2由于 2 0.95(9)，所以接受H0。

7.26解：离散型随机变量的均匀分布是指等概率地取各个值，即要检验

H0:p(

0) p( 1) p( 9)

1

10

由于母体 是离散型随机变量，所以不能用柯尔莫哥洛夫检验H0，应用 2-拟合优度检验法。列表计算 2值。

10

2

(np n)

2 ii 5.124

npii 1

2(np n)

2 ii 5.124

npii 1

10

22

取 =0.10。 0.90(10-1)= 0.90(9)=14.684。2由于 2 0.90(9),所以接受H0。

7.27解：设25个数据来自母体 ，检验假设

H0： N(0,1)

柯尔莫哥洛夫检验法检验H0的统计量为

Dn sup|Fn(x) F(x)| max i

x

i 1i 其中 i=max (x(i)) , (x(i)) 。

nn

列表计算Dn的观察值

取

0.10，查柯尔莫哥洛夫检验的临界值(Dn, )表，D25,0.10 0.2376由

Dn, ，所以接受H0。

于Dn

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