《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学北师大版选修2-2

§4 数学归纳法(二)

一、基础过关

?n＋3??n＋4?

1． 用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝ (n∈N*)，验证n＝1时，左

2

边应取的项是 A．1

( )

B．1＋2 D．1＋2＋3＋4

C．1＋2＋3

2． 用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始

值n0应取 A．2 C．5

( )

B．3 D．6

111n＋

3． 已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，证明不等式f(2n)>时，f(2k1)比f(2k)多的项数是

23n2

A．2k

－1

项

B．2k

＋1

项

C．2k项

D．以上都不对

4． 用数学归纳法证明不等式

11111

＋＋…＋>(n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k

2n24n＋1n＋2

( )

＋1时，下列说法正确的是 1

A．增加了一项 2?k＋1?11

B．增加了两项和

2k＋12?k＋1?

1

C．增加了B中的两项，但又减少了一项 k＋11

D．增加了A中的一项，但又减少了一项

k＋1

5． 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an (n∈N*)．依次计算出S1，S2，S3，S4

后，可猜想Sn的表达式为________________． 二、能力提升

6． 用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k

＋1时的情况，只需展开 A．(k＋3)3 C．(k＋1)3

( )

B．(k＋2)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3

( )

7． k(k≥3，k∈N*)棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为

A．f(k)＋k－1

B．f(k)＋k＋1

第 1 页

C．f(k)＋k D．f(k)＋k－2

8． 对于不等式n2＋n≤n＋1 (n∈N*)，某学生的证明过程如下：①当n＝1时，12＋1≤1

＋1，不等式成立．

②假设n＝k (n∈N*)时，不等式成立，即k2＋k≤k＋1，则n＝k＋1时，?k＋1?2＋?k＋1?＝k2＋3k＋2

D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确

111119． 用数学归纳法证明2＋2＋…＋.假设n＝k时，不等式成立．则当n＝k2>－23?n＋1?2n＋2

＋1时，应推证的目标不等式是_______． 10．证明：62n1＋1能被7整除(n∈N*)．

－

( )

111511．求证：＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)．

3n6n＋1n＋2

21

12．已知数列{an}中，a1＝－，其前n项和Sn满足an＝Sn＋＋2(n≥2)，计算S1，S2，S3，

3Sn

S4，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明． 三、探究与拓展

13．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．

第 2 页

答案

2n

1．D 2.C 3.C 4.C 5.Sn＝ 6．A 7.A 8.D

n＋19.

1111111

2＋2＋…＋2＋2＋2>－23k?k＋1??k＋2?2k＋3

10．证明 (1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．

(2)假设当n＝k(k∈N*)时，62k－1＋1能被7整除． 那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1 ＝36(62k－1＋1)－35.

∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除， ∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除． 由(1)，(2)知命题成立．

11115

11．证明 (1)当n＝2时，左边＝＋＋＋>，不等式成立．

34566

(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立， 即

115＋＋…＋>. 3k6k＋1k＋21

则当n＝k＋1时，

111111111

＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋(

3k3k＋13k＋23?k＋1?k＋1k＋23k3k＋1?k＋1?＋1?k＋1?＋2＋

11511115115

＋－)>＋(＋＋－)>＋(3×－)＝， 3k＋23k＋3k＋163k＋13k＋23k＋3k＋163k＋3k＋1611

所以当n＝k＋1时不等式也成立．

由(1)和(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立． 1

12．解 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Sn＋＋2.

Sn

1

∴Sn＝－(n≥2)．

Sn－1＋22

则有：S1＝a1＝－，

313

S2＝－＝－，

4S1＋2

第 3 页

14

S3＝－＝－，

5S2＋215

S4＝－＝－，

6S3＋2

n＋1

由此猜想：Sn＝－(n∈N*)．

n＋2用数学归纳法证明：

2

(1)当n＝1时，S1＝－＝a1，猜想成立．

3(2)假设n＝k(k∈N*)时猜想成立， k＋1

即Sk＝－成立，

k＋2那么当n＝k＋1时， 11

Sk＋1＝－＝－

Sk＋2k＋1

－＋2k＋2k＋2?k＋1?＋1＝－＝－.

k＋3?k＋1?＋2即n＝k＋1时猜想成立．

由(1)(2)可知，对任意正整数n，猜想结论均成立． 13．证明 当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1， 当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4， 当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9， 当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16， 由此可以猜想，2n＋2>n2(n∈N*)成立． 下面用数学归纳法证明： (1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4， 右边＝1，

所以左边>右边，所以原不等式成立．

第 4 页

当n＝2时，左边＝22＋2＝6， 右边＝22＝4， 所以左边>右边；

当n＝3时，左边＝23＋2＝10， 右边＝32＝9，所以左边>右边． (2)假设n＝k(k≥3且k∈N*)时， 不等式成立， 即2k＋2>k2. 那么当n＝k＋1时，

2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.

又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0， 即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立． 根据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N*都成立．

第 5 页

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/bvua.html