广东省肇庆市高三数学毕业班第一次模拟考试试题 理(肇庆一模)新人教A版

数学（理科）

本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟.

注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡上.

2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；

如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上.

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目

指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的

答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

参考公式：锥体的体积公式

1

3

V Sh

=，其中S为锥体的底面积，

h为锥体的高.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1．已知全集U={-2，-1，0，1，2，3，4，5，6}，集合M={大于1

-且小于4的整数}，则=

M

C

U A．φ B．{-2，-1，5，6} C．{0，1，2，3，4} D．{-2，-1，4，5，6} 2．定义域为R的四个函数21

y x

=+，3x

y=，|1|

y x

=+，2cos

y x

=中，偶函数的个数是

A．4 B．3 C．2 D．1

3．设i是虚数单位，1

z i

=+，z为复数z的共轭复数，则1

z z z

?+-= A．21

+ B．23

+ C．221

- D．221

+

4．二项式

9

1

x

x

??

-

?

??

的展开式中3x的系数是

A．84 B．-84 C．126 D．-126

5．某四棱锥的三视图如图1所示（单位：cm），

则该四棱锥的体积是

A．273

cm

B．93

cm

C．323

cm

1

2 D ．

3 3cm

6．若如图2所示的程序框图输出的S 是30，

则在判断框中M 表示的“条件”应该是

A ．3n ≥

B ．4n ≥

C ．5n ≥

D ．6n ≥

7．下列命题中，真命题是

A ．R x ∈?0，00≤x e ；

B ．R x ∈?，22x x >；

C ．“1,1a b >>”是“1ab >”的充分不必要条件；

D ．设a ，b 为向量，则“||||||=?”是“b a //”的必要不充分条件

8．设向量),(21a a a =，),(21b b b =，定义一种向量积：

),(),(),(22112121b a b a b b a a =?=?．已知向量)4,21(=，)0,6

(π=，点P 在cos y x =的图象上运动，

点Q 在()y f x =的图象上运动，且满足+?=（其中O 为坐标原点），则()y f x =在区间]3

,6[ππ上的最大值是 A ．4 B ．2 C ．22．3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.

（一）必做题（9～13题）

9．函数232+-=x x y 的定义域为 ▲ .

10．曲线1

)(-=x e x f x

在0x =处的切线方程为 ▲ . 11．已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则5a = ▲ .

12．在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组??

???≤--≥-+≤-0206303y x y x y 所表示的平面区域内一动点，

则线段|OP |的最小值等于 ▲ .

13．已知集合A ={4}，B ={1，2}，C ={1，3，5}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直

角坐标系中的点的坐标，则确定的不同点的个数为 ▲ .

3

（ ） ▲

14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2ρ=（0,02ρθπ>≤< ），

曲线C 在点（2，4

π）处的切线为l ，以极点为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则l 的直角坐标方程为 ▲ .

15．（几何证明选讲选做题）如图3，△ABC 的外角平分线AD

交外接圆于D ，若3DB =DC = ▲ .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16．（本小题满分12分） 已知向量)0),6(cos(π

-=x ，)0,2(=，x R ∈，函数x f ?=)(.

（1）求函数()f x 的表达式；

（2）求()f π的值；

（3）若56)32(=+παf ，)0,2

(πα-∈，求(2)f α的值. 17．（本小题满分13分）

随机抽取某中学高一级学生的一次数学统测成绩得到一样本，其分组区间和频数是： [)60,50，2；[)70,60，7；[)80,70，10；[)90,80，x ；[90，100]，2. 其频率分布直方图受到破坏，可见部分如下图4所示，据此解答如下

问题.

（1）求样本的人数及x 的值；

（2）估计样本的众数，并计算频率分布直

方图中[80,90)的矩形的高；

（3）从成绩不低于80分的样本中随机选

取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）

的人数记为ξ，求ξ的数学期望.

18．（本小题满分13分）

4 如图5，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 分别

是BC 和1CC 的中点，已知AB =AC =AA 1=4，∠BAC =90?.

（1）求证：1B D ⊥平面AED ；

（2）求二面角1B AE D --的余弦值；

（3）求三棱锥1A B DE -的体积.

19．（本小题满分14分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21=a ，)1(1++=+n n S na n n .

（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；

（2）设n T 为数列{n n a 2

}的前n 项和，求n T ； （3）设211

++=n n n n a a a b ，证明：32

1321<++++n b b b b . 20．（本小题满分14分）

设双曲线C ：122

22=-b

y a x （a >0，b >0）的一个焦点坐标为（3，0），

离心率e = A 、B 是双曲线上的两点，AB 的中点M （1，2）.

（1）求双曲线C 的方程；

（2）求直线AB 方程；

（3）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？

21．（本小题满分14分） 设函数3211()(0)32

a f x x x ax a a -=+-->. （1）若函数)(x f 在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a 的取值范围；

（2）当a =1时，求函数)(x f 在区间[t ，t +3]上的最大值.

5

肇庆市2014届高中毕业班第一次模拟考试

数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题

二、填空题

9．(][)+∞∞-,21, 10．012=++y x 11．16 12．5

10

3 13．33 14．022

=-+y x 15．3

三、解答题

16．（本小题满分12分）

解：（1）∵)0),6(cos(π-=x ，)0,2(=，x R ∈，

∴)6cos(2)(π

-=?=x n m x f ，即函数)6cos(2)(π

-=x x f . （3分）

（2）()2cos 2cos 66f ππ

ππ??=-=-= ?

??（6分）

（3）∵απ

απ

π

απ

αsin 2)2cos(2)632cos(2)32(-=+=-+=+f ，

又56

)32(=+π

αf ，∴56

sin 2=-α，即3

sin 5α=-. （7分）

∵)0,2(πα-∈，∴4

cos 5α===. （8分）

6 ∴3424sin 22sin cos 25525ααα??==?-?

=- ???， （9分） 2247cos 22cos 121525αα??=-=?-= ???

. （10分） ∴(2)2cos 22cos 2cos 2sin 2sin 666f πππ

αααα?

?=-=+ ??? （11分）

2412422222

255275??=?

?+?-?= ???. （12分） 17．（本小题满分13分）

解：（1）由题意得，分数在[50,60)之间的频数为2， 频率为0.008100.08?=，（1分） 所以样本人数为2250.08

n ==（人） （2分） x 的值为25(27102)4x =-+++=（人）. （4分）

（2）从分组区间和频数可知，样本众数的估计值为75. （6分） 由（1）知分数在[80,90)之间的频数为4，频率为

40.1625= （7分） 所以频率分布直方图中[80,90)的矩形的高为0.160.01610

= （8分） （3）成绩不低于80分的样本人数为4+2=6（人），成绩在90分以上(含90分)的人数为2人，所以ξ的取值为0，1，2. （9分）

15

6)0(2624===C C P ξ，1142268(1)15C C P C ξ===，22261(2)15C P C ξ===，（10分） 所以ξ的分布列为：

（11分）

所以ξ的数学期望为68120121515153E ξ=?

+?+?= （13分）

7

18．（本小题满分13分）

方法一：

依题意，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz .

因为1AB AC AA ==＝4，所以A （0，0，0），

B （4，0，0），E （0，4，2），D （2，2，0），

B 1（4，0，4）. （1分）

（1）)4,2,2(1--=B ，)0,2,2(=，)2,4,0(=. （2分） 因为00441=++-=?AD D B ，所以1B D AD ⊥，即1B D AD ⊥. （3分） 因为08801=-+=?B ，所以B ⊥1，即AE D B ⊥1. （4分） 又AD 、AE ?平面AED ，且AD ∩AE =A ，故1B D ⊥平面AED . （5分）

（2）由（1）知)4,2,2(1--=B 为平面AED 的一个法向量. （6分） 设平面 B 1AE 的法向量为),,(z y x =，因为)2,4,0(=，)4,0,4(1=AB ， 所以由?????=?=?0

01AB AE n ，得???=+=+044024z x z y ，令y =1，得x =2，z =-2.即)2,1,2(-=.（7分） ∴6

62496

,cos 111=?=>=

（9分） （3）由)0,2,2(=，)2,2,2(-=，得0=?DE AD ，所以AD ⊥DE . （10分） 由22||=，32||=，得6232222

1=??=?ADE S . （11分） 由（1）得B 1D 为三棱锥B 1-ADE 的高，且62||1=D B ， （12分） 所以862623111=??=

=--ADE B DE B A V V . （13分）

方法二：

依题意得，1AA ⊥平面ABC ，242211=+==AC AB BC C B ，

22===CD BD AD ，

8 411==CC BB ，21==EC EC .

（1）∵AB AC =，D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC . ∵B 1B ⊥平面ABC ，AD ?平面ABC ，∴AD ⊥B 1B . BC 、B 1B ?平面B 1BCC 1，且BC ∩B 1B =B ，所以AD ⊥平面B 1BCC 1. 又B 1D ?平面B 1BCC 1，故B 1D ⊥AD . （2分）

由362121121=+=EC C B E B ，242

2121=+=BD B B D B ，12222=+=EC DC DE ， 得2

2121DE D B E B +=，所以DE D B ⊥1. （4分） 又AD 、DE ?平面AED ，且AD ∩DE =E ，故1B D ⊥平面AED . （5分）

（2）过D 做DM ⊥AE 于点M ，连接B 1M . 由B 1D ⊥平面AED ，AE ?平面AED ，得AE ⊥B 1D . 又B 1D 、DM ?平面B 1DM ，且B 1D ∩DM =D ，故AE ⊥平面B 1DM . 因为B 1M ?平面B 1DM ，所以B 1M ⊥AE .

故∠B 1MD 为二面角B 1—AE —D 的平面角. （7分） 由（1）得，AD ⊥平面B 1BCC 1，又DE ?平面B 1BCC 1，所以AD ⊥DE . 在Rt △AED 中，530

2=?=AE DE

AD DM ， （8分）

在Rt △B 1DM 中，55

1222

11=+=DM D B M B ， 所以66

cos 11==∠M B DM MD B ，即二面角B 1—AE —D

的余弦值为6.

（9分）

（3）由（1）得，AD ⊥平面B 1BCC 1，

所以AD 为三棱锥A -B 1DE 的高，且22=AD . （10分） 由（1）得26326221

21

11=??=?=?DE D B S DE B . （11分） 故8222631

31

11=??=?=?-AD S V DE B DE B A . （13分）

19．（本小题满分14分）

解：（1）由题意，当2n ≥时，有???-+=-++=-+n

n S a n n n S na n n n n )1()1()

1(11， （1分） 两式相减得1(1)2,n n n na n a a n +--=+ 即12n n a a +-=. （2分）

9 由?????=+==11

12122a S S a a ，得212=-a a .

所以对一切正整数n ，有12n n a a +-=， （3分）

故n n a a n 2)1(21=-+=，即)(2*N n n a n ∈=. （4分）

（2）由（1），得1

2222-==n n n n n n a ， 所以122

23221-++++

=n n n T ① （5分） ①两边同乘以12，得21112122222

n n n n n T --=++++ ② （6分） ①-②，得n n n n T 2

21212112112-++++=- ， （7分） 所以n n n n T 22

1121121---=， （8分） 故1242n n n T -+=-. （9分） （3）由（1），得])

2)(1(1)1(1[161)2(2)1(221++-+=+?+?=n n n n n n n b n （12分） ))

2)(1(1)1(1431321321211(161321++-+++?-?+?-?=++++n n n n b b b b n ))2)(1(121(161++-=n n （13分） 321)2)(1(161321<++-=

n n . （14分）

20．（本小题满分14分）

解：（1）依题意得??

???===33a c e c ，解得a =1. （1分） 所以222

312b c a =-=-=， （2分）

10 故双曲线C 的方程为2

2

12y x -=. （3分） （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2211

22221212y x y x ?-=????-=??

. 两式相减得：121212121()()()()2

x x x x y y y y -+=-+ ， （4分） 由题意得12x x ≠，221=+x x ，421=+y y ， （5分） 所以1)(22

1212121=++=--y y x x x x y y ，即1=AB k . （6分） 故直线AB 的方程为1y x =+. （7分）

（3）假设A 、B 、C 、D 四点共圆，且圆心为P. 因为AB 为圆P 的弦，所以圆心P 在AB 垂直平分线CD 上；又CD 为圆P 的弦且垂直平分AB ，故圆心P 为CD 中点M . （8分） 下面只需证CD 的中点M 满足|MA |=|MB |=|MC |=|MD |即可. 由2

2112

y x y x =+???-=??得：A （-1，0），B （3，4）. （9分） 由（1）得直线CD 方程：3y x =-+， （10分） 由2

2312

y x y x =-+???-=??得：C （-3+52，6-52），D （-3-52，6+52）， （11分） 所以CD 的中点M （-3，6）. （12分） 因为102364||=+=MA ，102436||=+=MB ，

1022020||=+=MC ，1022020||=+=MD ， （13分） 所以||||||||MD MC MB MA ===，

即 A 、B 、C 、D 四点在以点M （-3，6）为圆心，102为半径的圆上. （14分）

21．（本小题满分14分）

解：（1）∵3211()(0)32

a f x x x ax a a -=+-->

11 ∴()2()1(1)()f x x a x a x x a '=+--=+-， （1分） 令()0f x '=，解得121,0x x a =-=> （2分） 当x 变化时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下表：

故函数)(x f 的单调递增区间为（-∞，-1），（a ，+∞）；单调递减区间为（-1，a ）；（4分） 因此)(x f 在区间（-2，-1）内单调递增，在区间（-1，0）内单调递减，要使函数)(x f 在

区间(2,0)-内恰有两个零点，当且仅当??

???<>-<-0)0(0)1(0)2(f f f ， （5分）

解得103

a <<

， 所以a 的取值范围是（0，31）. （6分） （2）当a =1时，13

1)(3--=x x x f . 由（1）可知，函数)(x f 的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞）；单调递减区间为（-1，1）；31)1()(-=-=f x f 极大值. （7分） ①当t +3<-1，即t <-4时，

因为)(x f 在区间[t ，t +3]上单调递增，所以)(x f 在区间[t ，t +3]上的最大值为

5833

11)3()3(31)3()(233max +++=-+-+=+=t t t t t t f x f ； （9分） ②当231≤+≤-t ，即14-≤≤-t 时，

因为)(x f 在区间(]1,-∞-上单调递增，在区间[-1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，且3

1)1()2(-=-=f f ，所以)(x f 在区间(]2,∞-上的最大值为3

1)1()2(-=-=f f . （10分）

由231≤+≤-t ，即14-≤≤-t 时，有[t ，t +3]? (]2,∞-，-1∈[t ，t +3]，所以)(x f 在

[,3]t t +上的最大值为3

1)1()(max -=-=f x f ； （11分）

12 ③当t +3>2，即t >-1时，

由②得)(x f 在区间(]2,∞-上的最大值为3

1)1()2(-=-=f f . 因为)(x f 在区间（1，+∞）上单调递增，所以)2()3(f t f >+，故)(x f 在[],3t t +上的最大值为

5833

1)3()(23max +++=+=t t t t f x f . （13分） 综上所述，当a =1时，

)(x f 在[t ，t +3]上的最大值???????-≤≤--->

-<+++=)

14(31

)

14(58331)(23max t t t t t t x f 或.

（14分）