第四讲 对数函数与指数函数经典难题复习巩固

DSE金牌化学专题系列 精典专题系列第4讲 指数函数与对数函数 一、导入：名叫抛弃的水池 一个人得了难治之症，终日为疾病所苦。为了能早日痊愈，他看过了不少医生，都不见效果。他又听人说远处有一个小镇，镇上有一种包治百病的水，于是就急急忙忙赶过去，跳到水里去洗澡。但洗过澡后，他的病不但没好，反而加重了。这使他更加困苦不堪。 有一天晚上，他在梦里梦见一个精灵向他走来，很关切地询问他：“所有的方法你都试过了吗？” 他答道：“试过了。” “不，”精灵摇头说，“过来，我带你去洗一种你从来没有洗过的澡。” 精灵将这个人带到一个清澈的水池边对他说：“进水里泡一泡，你很快就会康复。”说完，就不见了。 这病人跳进了水池，泡在水中。等他从水中出来时，所有的病痛竟然真地消失了。他欣喜若狂，猛地一抬头，发现水池旁的墙上写着“抛弃”两个字。 这时他也醒了，梦中的情景让他猛然醒悟：原来自己一直以来任意放纵，受害已深。于是他就此发誓，要戒除一切恶习。他履行自己的誓言，先是苦恼从他的心中消失，没过多久，他的身体也康复了。 大道理：抛弃是治疗百病的万灵之药，人之所以有很多难缠的情感，就是因为在大多数情况下，舍不得放弃。把消极扔掉，让积极代替，就没有什么可抱怨的了。 二、知识点回顾： 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 如果 ，那么x叫做a的n次方根 当n是奇数时，正数的n次方根是一个 ，负数的n次方根是一个 当n是偶数时，正数的n次方根有 ，这两个数互为 nnnnn(2)两个重要公式．①a＝ ②(a)＝ (注意a必须使a有意义)． 2. 幂的有关概念 ①正分数指数幂： ＝ (a＞0，m、n∈N*，且n＞1)；

②负分数指数幂： ＝ ＝ (a＞0，m、n∈N*，且n＞1)． ③0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 ．

y＝ax 图象 a＞1 0＜a＜1 n符号表示 a 备注 n＞1且n∈N* 零的n次方根是零 负数没有偶次方根 n±a(a>0) 1 戴氏教育集团 努力+勤奋+信心=成功

定义域 值域 R (0，＋∞) 3．指数函数的图象与性质 y＝ax 性 质 a＞1 (1)过定点 (2)当x＞0时， ；x＜0时， (3)在R上是 (3)在R上是 0＜a＜1 (2)当x＞0时， ；x＜0时， 4．对数的概念 (1)对数的定义 如果 ，那么数x叫做以a为底N的对数， 记作 ，其中 叫做对数的底数， 叫做真数． (2)两种常见对数 对数形式 常用对数 自然对数 5．对数的性质、换底公式与运算法则 性质 ①loga1＝ ，②logaa＝ ， ③ ＝ 。 换底公式 logab＝ (a，b，c均大于零且不等于1) 运算法则 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(M·N)＝ ， ②loga ＝ ， ③logaMn＝nlogaM(n∈R). 2 戴氏教育集团 努力+勤奋+信心=成功 特点 底数为 底数为 记法 lgx lnx

6.对数函数的定义、图象与性质

定义 图 象 性 质 (1)定义域： (2)值域： (3)当x＝1时，y＝0，即过定点 (4)当01时， 当x>1时， y∈ y∈ ； (5)在(0，＋∞)上为 7．反函数 (5)在(0，＋∞)上为 函数 (a>0，且a≠1)叫做对数函数 a>1 00且a≠1)与对数函数 (a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 对称． 考点一 有理指数幂的化简与求值 三、专题训练： 计算下列各式 (1)

70

3?1×(－)＋86()32a35b23·54b3a314×42＋(32×3)6－2(?)33；

2 (2)；

3 戴氏教育集团 努力+勤奋+信心=成功

4313(3)

23a?8aba?23ab?4b233b3

÷(1－2 )×a.

a

[自主解答] 1(1)原式＝3?3×1＋2()2?31114×4＋(3×2)6－2323?1()3＝2＋4×27＝110. 2(2)

a35b23· 54b3＝a3a3233??212·1510＝ba54＝a4a. (3)令a13＝m，b13＝n， m4－8mn32n则原式＝2(1－)·m 2÷mm＋2mn＋4nm?m3－8n3?m2＝2· m＋2mn＋4n2m－2nm3?m－2n??m2＋2mn＋4n2?＝＝m3＝a. 22?m＋2mn＋4n??m－2n?

变式训练：计算下列各式 (1)708?1－(－)＋[(－2)3]38()1253?43?＋1643＋|－1|10012； (2) a92a?23?3÷3a－73a13； 3(3)(－3)81＋()500?12－10(5－2)1＋(2－3)0. －21

解：(1)原式＝()－1－1＋(－2)－4＋2－3＋ 5105111143

＝－1＋＋＋＝. 21681080

963?6136(2)原式＝

aa?76＝

a97313???6666＝a0＝1.

aa4 戴氏教育集团 努力+勤奋+信心=成功

?(3)(3)原式＝(－1)

233×(3)

8

?231＋()500

?12－

10

＋1 5－2

27＝()8?23＋(500)12－10(5＋2)＋1 4＝＋105－105－20＋1 9167＝－. 9考点二 画出函数y＝|3x－1|的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？ [自主解答] 函数y＝|3x－1|的图象是 由函数y＝3x的图象向下平移一个单位 后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折 到x轴上方得到的，函数图象如图所示． 当k<0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象无交点，即方程无解；当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解； 当0

|x＋1|. (3)由图象指出当x取什么值时有最值，并求出最值． 解：(1)法一：由函数解析式可得 1x＋1???，x≥－1?1|x＋1|3

y＝()＝?，

3x1??3＋，x＜－1.

5 戴氏教育集团 努力+勤奋+信心=成功

其图象由两部分组成：

向左平移1x1x＋1

一部分是：y＝()(x≥0)1―――→y＝()(x≥－1)； 个单位33向左平移x＋1另一部分是：y＝3(x＜0)1―――→y＝3(x＜－1)． 个单位x如图所示： 11法二：①由y＝()|x|可知函数是偶函数，其图象关于y轴对称，故先作出y＝()x的图象，保留x≥0的3311部分，当x<0时，其图象是将y＝()x(x≥0)图象关于y轴对折，从而得出y＝()|x|的图象． 3311②将y＝()|x|向左移动1个单位，即可得y＝()|x＋1|的图象，如图所示． 33(2)由图象知函数在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是减函数． (3)由图象知当x＝－1时，有最大值1，无最小值． 考点三 已知函数f(x)＝指数函数的性质 1ax2?4x?3. ()3(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a的值；

(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的取值范围． [自主解答] (1)当a＝－1时，f(x)＝

1?x2?4x?3， ()3令g(x)＝－x2－4x＋3，

6 戴氏教育集团 努力+勤奋+信心=成功

由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减， 1

而y＝()t在R上单调递减，

3

所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增， 即函数f(x)的递增区间是(－2，＋∞)， 递减区间是(－∞，－2)． 1(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝()h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有 3a>0???12a－16，解得a＝1 ??4a＝－1即当f(x)有最大值3时，a的值等于1. 1(3)由指数函数的性质知，要使y＝()h(x)的值域为(0，＋∞)．应使h(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，因此只3 能有a＝0.因为若a≠0，则h(x)为二次函数，其值域不可能为R.故a的取值范围是a＝0. 1变式训练：已知g(x)＝－(1)＋4()＋5，求该函数的定义域、值域和单调区间． 42xx1111解：由g(x)＝－()x＋4()x＋5＝－()2x＋4()x＋5. 42221∴函数的定义域为R，令t＝()x(t>0)． 2∴g(t)＝－t2＋4t＋5＝－(t－2)2＋9. ∵t>0，∴g(t)＝－(t－2)2＋9≤9， 等号成立条件是t＝2，

1

即g(x)≤9，等号成立条件是()x＝2，

2

即x＝－1.

∴g(x)的值域是(－∞，9]． 由g(t)＝－(t－2)2＋9(t>0)，

7 戴氏教育集团 努力+勤奋+信心=成功

1

而t＝()x是减函数，

2

∴要求g(x)的增区间实际上是求g(t)的减区间． 求g(x)的减区间实际上是求g(t)的增区间． ∵g(t)在(0,2]上递增， 在[2，＋∞)上递减， 1由0

(2)原式＝(log327－1)·log5(10－3－2) 31＝(－1)log55＝－. 44

(3)∵lgx＋lgy＝2lg(2x－3y) ∴xy＝(2x－3y)2＝4x2＋9y2－12xy 即4x2－13xy＋9y2＝0

8 戴氏教育集团 努力+勤奋+信心=成功

∴(4x－9y)(x－y)＝0，即4x＝9y，x＝y(舍去)， ∴

log32x＝y

log9＝2. 432

变式训练：计算：(1)(log2＋log2)·(log3＋log3)； 39481111(2)(lg32＋log416＋6lg)＋lg. 5255111解：(1)原式＝(log32＋log32)(log23＋log23) 2233＝(log32＋log32)(log23＋log23) 3＝log322·log2(3·3) ＝log32·log23 355＝·log32··log23＝. 264

111(2)原式＝[lg32＋2＋lg()6＋lg ] 52511111＝[2＋lg(32××)]＝(2＋lg) 564551011＝[2＋(－1)]＝. 55考点五

对数值的大小比较 3256【例5】比较下列各组数的大小． 26(1)log3与log5；

35(2)log1.10.7与log1.20.7； (3)已知

log1b

b,a,c

22226

[自主解答] (1)∵log3log51＝0，

3526

∴log3

(2)法一：∵0<0.7<1,1.1<1.2，

9 戴氏教育集团 努力+勤奋+信心=成功

∴0>log0.71.1>log0.71.2. 11∴<， log0.71.1log0.71.2

由换底公式可得log1.10.7

法二：作出y＝log1.1x与y＝log1.2x的图象，如图所示，两图象与x＝0.7相交可知 log1.10.7

(3)∵y＝log1x为减函数， 2且

ba>c. 而y＝2x是增函数， ∴2b>2a>2c.

变式训练：设a、b、c均为正数，且2＝loga1211a，()b＝b，()c＝log2c，则 ( ) 22log12A．a解析：如图：

10 戴氏教育集团 努力+勤奋+信心=成功

∴a0且a≠1)，如果对于任意的x∈[3，2]都有|f(x)|≤1成立，试求a的取值范围． 1 [自主解答] ∵f(x)＝logax， 111则y＝|f(x)|的图象如右图．由图示，要使x∈[，2]时恒有|f(x)|≤1，只需|f()|≤1，即－1≤loga ≤1， 3331即logaa－1≤loga≤logaa， 31亦当a>1时，得a－1≤≤a，即a≥3； 311当0

综上所述，a的取值范围是(0，]∪[3，＋∞)．

3

变式训练：(2010·山东潍坊二模)已知函数f(x)＝log2(x＋1)，将y＝f(x)的图象向左平移1个单位，

再将图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝g(x)的图象． (1)求g(x)的定义域；

(2)令F(x)＝f(x－1)－g(x)，求F(x)的最大值．

向左平移1个单位纵坐标伸长

解：(1)f(x)＝log2(x＋1)―――――――→y＝log2(x＋2)到原来的―――――― ―2→倍y＝2log2(x＋2)，

11 戴氏教育集团 努力+勤奋+信心=成功

即g(x)＝2log2(x＋2)，∴x＋2>0. ∴x>－2.∴定义域为(－2，＋∞)．

(2)∵F(x)＝f(x－1)－g(x)＝log2x－2log2(x＋2) ＝log2xx

(x>0)＝log 222?x＋2?x＋4x＋411≤log2＝－3， 48x＋＋4x＝log2∴当x＝2时，F(x)max＝－3. 考点七 与对数函数有关的综合问题 1－ax为奇函数，a<0. x－1【例7】(2011·成都模拟)设f(x)＝log (1)求a的值； 121(2)若对于区间[3,4]上的每一个x的值，不等式f(x)>()x＋m恒成立，求实数m的取值范围． 2 [自主解答] (1)∵f(－x)＝－f(x)， ∴log1－1－x＝－log21＋ax1－ax＝x－112log11－ax， 2x－11＋axx－1∴＝，即(1＋ax)(1－ax)＝－(x＋1)(x－1)， －x－11－ax∴a＝－1或a＝1(舍去)． (2)由(1)可知f(x)＝

x＋1

＝

log1x－1

2log12(1＋

)， x－1

2

1

∵f(x)>()x＋m恒成立，x∈[3,4]，

21

∴m

21

令g(x)＝f(x)－()x＝

2

log12(1＋

21

)－()x，x∈[3,4]．

2x－1

12 戴氏教育集团 努力+勤奋+信心=成功

∵函数f(x)＝

21(1＋)与y＝－()x在x∈[3,4]上均为增函数，∴g(x)在[3,4]上为增函数，

2log1x－1

299

∴g(x)min＝g(3)＝－，∴m<－.

88

思考： 若f(x)的值域为[1，＋∞)，求x的取值范围．

解：由例题知， x＋1f(x)＝log1x－1 2又∵f(x)的值域为[1，＋∞) x＋11∴0<≤ x－12∴－3≤x<－1. 即x的取值范围为[－3，－1)． 变式训练：已知函数y＝loga2(x2－2ax－3)在(－∞，－2)上是增函数，求a的取值范围．

解：因为μ(x)＝x2－2ax－3在(－∞，a]上是减函数， 在[a，＋∞)上是增函数， 要使y＝loga2(x2－2ax－3)在(－∞，－2)上是增函数， 首先必有0

即0

4

?a≥－2，?

1

综上，得－≤a<0或0

4

五、巩固练习：

一、选择题

??a ?a≤b?

1．(2011·济南模拟)定义运算a?b＝?，则函数f(x)＝1?2x的图象大致为( )

??b?a>b?

13 戴氏教育集团 努力+勤奋+信心=成功

??2x ?x≤0?，?a ?a≤b?x

解析：由a?b＝?得f(x)＝1?2＝?

?b?a>b???1 ?x>0?.

答案：A 112．(2010·辽宁高考)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝( ) abA.10 B．10 C．20 D．100 解析：a＝log2m，b＝log5m，代入已知得logm2＋logm5＝2， 即logm10＝2，所以m＝10. 答案：A

3．(2010·全国卷Ⅰ)设a＝log32，b＝ln2，c＝5，则( ) A．a＜b＜c C．c＜a＜b B．b＜c＜a D．c＜b＜a ?121ln 2111?解析：a＝log32＝＜ln 2＝b，又c＝52＝＜，a＝log32＞log33＝，因此c＜a＜b. ln 32524．若函数f(x)＝loga(x＋b)的大致图象如图所示，其中a，b(a>0且a≠1)为常数，则函数g(x)＝ax＋b的大致图象是( )

解析：由图可知，函数f(x)＝loga(x＋b)是单调递减函数，所以0

答案：B

5．(2011·石家庄模拟)已知函数f(x)＝log2(a－2x)＋x－2，若f(x)＝0有解，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，－4]∪[4，＋∞) C．[2，＋∞)

B．[1，＋∞) D．[4，＋∞)

14 戴氏教育集团 努力+勤奋+信心=成功

4

解析：法一：f(x)＝log2(a－2x)＋x－2＝0，得a－2x＝22－x，即a－2x＝x，令t＝2x

2

a?>0，?222

(t>0)，则t－at＋4＝0在t∈(0，＋∞)上有解，令g(t)＝t－at＋4，g(0)＝4>0，故满足?

2??Δ＝a－16≥0，得a≥4.

4法二：f(x)＝log2(a－2x)＋x－2＝0，得a－2x＝22－x，a＝2x＋x≥4. 2二、填空题 6．2723－

2log231×log2＋2lg(3＋5＋3－5)的结果为________． 83＋5＋3－5)2＝18＋lg 10＝19. 解析：原式＝9－3×(－3)＋lg(答案：19 a7．函数y＝ax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值是________． 2a3解析：当a>1时，y＝ax在[1,2]上单调递增，故a2－a＝，得a＝.当0

三、解答题

9．已知函数f(x)＝3x，f(a＋2)＝18，g(x)＝λ·3ax－4x的定义域为[0,1]． (1)求a的值；

(2)若函数g(x)在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围． 解：法一：(1)由已知得3a＋2＝18?3a＝2?a＝log32.

15 戴氏教育集团 努力+勤奋+信心=成功

(2)此时g(x)＝λ·2x－4x， 设0≤x1

因为g(x)在区间[0,1]上是单调减函数，

所以g(x1)－g(x2)＝(2x1－2x2)(λ－2x2－2x1)>0恒成立，即λ<2x2＋2x1恒成立． 由于2x2＋2x1>20＋20＝2， 所以实数λ的取值范围是λ≤2. 10．(1)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2mx－y(2)已知2lg＝lg x＋lg y，求 2＋n的值； x的值． y解：(1)由loga2＝m，loga3＝n得am＝2，an＝3， ∴a2m＋n＝a2m·an＝22×3＝12. x－y2(2)由已知得lg()＝lg(xy)， 2x－y2∴()＝xy，即x2－6xy＋y2＝0， 2xx∴(y)2－6·y＋1＝0， x∴y＝3±22. ??x－y>0，∵? ??x>0，y>0，xx∴y>1，从而y＝3＋22， x＝1＋2. y

六、拓展训练:

31、(2010·安徽高考)设a＝

()5A．a＞c＞b C．c＞a＞b

25，b＝

2()535，c＝

225()，则a，b，c的大小关系是 ( 5 )

B．a＞b＞c D．b＞c＞a

16 戴氏教育集团 努力+勤奋+信心=成功

22

[规范解答] 构造指数函数y＝()x(x∈R)，由该函数在定义域内单调递减可得b＜c；又y＝()x(x∈R)与y＝

55332

()x(x∈R)之间有如下结论：当x＞0时，有()x＞()x，故35＞555()25225()，∴a＞c，故a＞c＞b. 52、(2010·天津高考)设函数f(x)＝

?log??log1(?x),?2?2x,则实数a的取值范围是( )

x?0,若f(a)>f(－a)，

x?0.A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1) [规范解答] 由题意可得 或?a?0 ?a?0???log2a?log1a?log(?a)?loga,12??2??2解之得a>1或－1

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当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功！） 1．(2011·桐乡模拟)函数y＝ax＋2012＋2012(a>0，a≠1)的图象恒过定点________． 解析：令x＋2012＝0，则x＝－2012，此时y＝a0＋2012＝1＋2012＝2013 ∴恒过定点(－2012,2013)． 答案：(－2012,2013) 2．若a>0，a≠1，x>y>0，n∈N，则下列各式： ①(logax)n＝nlogax；②(logax)n＝logaxn； 11n③logax＝－loga；④logax＝logax； xnx－yx＋ylogaxn⑤＝logax；⑥loga＝－loga. nx＋yx－y其中正确的个数有 ( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

3．如图所示的曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图象，则a，b，c，d的

大小关系是 ( )

A．a

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1

解析：由指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的单调性及函数y＝ax与y＝()x间的关系可知b

a4．函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是( )

A．f(bx)≤f(cx) B．f(bx)≥f(cx) C．f(bx)>f(cx) D．大小关系随x的不同而不同 解析：∵f(1＋x)＝f(1－x)， ∴f(x)的对称轴为直线x＝1， 由此得b＝2. 又f(0)＝3，∴c＝3. ∴f(x)在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增． 若x≥0，则3x≥2x≥1， ∴f(3x)≥f(2x)． 若x<0，则3x<2x<1， ∴f(3x)>f(2x)． ∴f(3x)≥f(2x)． 5．设m为常数，如果函数y＝lg(mx2－4x＋m－3)的值域为R，则m的取值范围是________． 解析：因为函数值域为R，所以mx2－4x＋m－3能取到所有大于0的数，即满足??m>0，?或m＝0.解得0≤m≤4. 2??Δ＝?－4?－4m?m－3?≥0答案：[0,4] 16．已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝()x；当x<4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)＝________. 2解析：∵3<2＋log23<4，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝(2)3?log3 2 111log311log11113＝×(2)＝×(2)＝×＝. 888324

2121

答案：

24

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