非线性有限元报告

适合非线性有限元学习及作业~

非线性有限元分析报告

1 非线性问题的类型

1. 1 线性分析的含义

在有限元分析中的线性假设包含下列含义：即结点位移为无限小量，材料为线弹性，加载时边界条件的性质保持不变。于是，静力平衡方程可以表示为：

K U R (1.1)

其中， K 为刚度矩阵， R 为荷载矢量。由于 K 和 R 的元素为常数，故位移响应 U 是荷载矢量 R 的线性函数。也就是说，如果 R 变为 R ，则 U 变为 U ，其中，

为常数。这就是所谓的线性有限元分析。如果上述假设中的任何一条不能得到满足，

那么就属于非线性有限元分析。 1.2 非线性问题的类型

通常，把非线性问题分为两大类，即分为几何非线性和材料非线性。但从建立基本方程和程序设计的方便出发，又可分为三种类型：

1．材料非线性：非线性效应仅由应力应变关系的非线性引起，位移分量仍假设为无限小量，故仍可采用工程应力和工程应变来描述，即仅材料为非线性。非线性的应力应变关系是结构非线性的常见原因，许多因素都可以影响材料的应力应变性质，包括加载历史（如在弹塑性响应状况下），环境状况（如温度），加载的时间总量（如在蠕变响应状况下）等。

2．几何非线性：如果结构经受大变形，则变化了的几何形状可能会引起结构的非线性响应，这又可以分为两种情形：

第一种情形，大位移小应变。只是物体经历了大的刚体平动和转动，固连于物体坐标系中的应变分量仍假设为无限小。此时的应力应变关系则根据实际材料和实际问题可以是线性的也可以是非线性的。

第二种情形，大位移大应变。也即最一般的的情况，此时结构的平动位移，转动位移和应变都不再是无限小量，本构关系也是非线性的。

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3．状态非线性：除以上两种非线性问题之外，还有一种非线性问题，即由于系统刚度和边界条件的性质随物体的运动发生变化所引起的非线性响应。例如，一根只能拉伸的钢索可能是松散的,也可能是绷紧的；轴承套可能是接触的,也可能是不接触的； 冻土可能是冻结的,也可能是融化的。这些系统的刚度和边界条件由于系统状态的改变在不同的值之间突然变化。状态改变也许和载荷直接有关，也可能由某种外部原因引起。最为典型的就是接触问题，接触是状态非线性类型中一个特殊而重要的子集。通常情况下，状态非线性问题可以在上述材料非线性和几何非线性类型中的每一种同时出现，从而使得问题的分析变得更为复杂。

2 非线性问题的求解特点

2. 1 非线性分析的基本问题

非线性分析的基本问题是求出在当前荷载作用下的平衡状态。如果作用的荷载被描述成时间的函数，则物体有限元离散系统的平衡方程可以表示为：

t

R t F 0 (2.1)

t

t

R 其中，矢量由t时刻外荷载的结点力分量所构成，而矢量 F 则表示t时刻

的单元应力所引起的结点力分量。平衡方程(2.2)应针对t时刻的几何位形建立，并应计入所有的非线性效应。如果是动力分析，矢量 R 中还应当包括惯性力和阻尼力。

t

在求解非线性问题时，(2.2)式应在全部加载历史中成立。变量t的引入并不意味着一定是动力问题。在静力分析中，t不具有真实“时间”的含义，它的不同取值只是表示相应于不同位形的不同的荷载水平。但是，在动力分析或具有时间效应的静力分析中，变量t就有了它本来的“时间”的含义。 2. 2 非线性方程组的增量逐步解法

对于许多工程结构，我们所关心的常常是在特定的荷载水平下，或相应的时间物体中的应力和变形。实际问题根据其解法可以分为两大类型。第一类问题无需计算中间变形过程，可直接求解在给定荷载下的平衡位形。但是，如果问题的几何性质或材料性质与路径相关或与时间相关，即该问题依赖于变形历史，则中间变形过程的计算是不可缺少的，这就是第二类问题。从本质上来说，非线性问题是第二类问题。此时，

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往往采用增量分析的方法。

增量逐步解法的基本思想是：假定t时刻的解为已知，要求t＋Δt时刻的解，其中，Δt是适当选择的时间增量。在t＋Δt时刻，式(2.2)写成为：

t t

R t t F 0 (2.2)

这里，左上标表示为t＋Δt时刻的量。由于t时刻的解为已知，因此，可以写为：

t t

F t F F (2.3)

式中， F 表示t到t＋Δt时间间隔内，由于单元内应力增量所引起的结点力增量矢量。这一矢量可以近似表示为：

F t K U (2.4)

式中， K 为相应于t时刻材料和几何条件的切线刚度矩阵。 U 为Δt时间间隔

t

中的结点位移增量，现在它还是未知的。将式(2.4)和(2.5)代入式(2.3)中，得到：

t

K U t t R t F (2.5)

上式中只有位移增量 U 为未知，一旦解出，即可算得t＋Δt时刻的位移：

t t

U t U U (2.6)

t t

根据

U ，就容易算出t＋Δt时刻的应力及t t F ，t t K ，于是马上可以着

手下一步的计算。但要指出的是，式(2.5)是一个近似表达式，因此t＋Δt时刻的解也是近似的，如果急于求成的作下去，最终结果可能出现不可忽视的重大误差以致于达到荒谬的地步。解决这一困难的办法是以花费计算时间为代价，即在t到t＋Δt时步中进行足够次数的迭代，以保证最终的解获得足够的精度。 2. 3 引入修正Newton－Raphson迭代格式的增量逐步解法

现在更多采用的方法是在每一个荷载增量步中，使用Newton－Raphson迭代法或修正的Newton－Raphson迭代法。由于后者不需要每次迭代时都计算切线刚度矩阵，因此在实际中具有更广泛的应用。现对该方法做简单的介绍。

在t时刻到t＋Δt时刻的时步中，修正Newton－Raphson法的迭代公式可以表示

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为：

t

K U i t t R t t F i 1 (2.7) U i t t U i 1 U i (2.8)

t t

其中，i表示迭代步数，依次取1，2，3， ，其迭代所用的初始值正是t时刻的解，即：

t t

U 0 t U ,

t t

F 0 t F (2.9)

式(2.8)的右端项：程中，

t+Δt

t t

R t t F i 1 称为第i步迭代前的不平衡荷载。在迭代过

t t

{F}

(i1)

随i的增加而逐步接近

R 。因此，我们可事先对不平衡荷载的模

给定一个精度指标，每次迭代后检查不平衡荷载是否小于该指标。若满足精度，则在求出

t t

U 之后转入下一时步的计算，否则继续迭代，直到满足精度要求为止。

3 材料非线性

3.1 材料弹塑性行为的描述

弹塑性材料进入塑性的特征是当载荷卸去以后存在不可恢复的永久变形，因而在涉及卸载的情况下，应力应变之间不再存在唯一的对应关系，这是区别于非线性弹性材料的基本属性。只是加载时应力应变呈非线性关系，还不足以判定材料是非线性弹性还是弹塑性。但是一经卸载立即发生两者的区别。非线性弹性材料将沿原路径返回，而弹塑性材料将依据不同的加载历史卸载后产生不同的永久变形。

（1） 初始屈服条件 应力不变量：

I1 x y z 1 2 3

2

2

2

I2 x y y z z x xy yz zx ( 1 2 2 3 3 1)

x

I3 yx

xy y yz

xz yz z

1

2

3

1 2 3

xz

偏应力不变量：

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J1 sx sy sz 0

2

2

2

J2 sxsy sysz szsx xy yz zx 16

12

sijsij

16

[( 1 2) ( 2 3) ( 3 1)]

222

[( x y) ( y z) ( z x) 6 xy 6 yz 6 zx]

222222

J3 sij

1

推导

J2

时，用到下列关系：3

(sx sy sz) 0

。

对于屈服条件，每种材料都不一样。 金属材料：V.Mise条件

F( ij,k0) 0

12

sijsij

2

3

0

12

sijsij

2

3

J2

其中 是材料的初始屈服应力，可由单向拉伸实验确定。k0为常数。 在三维主应力空间，V.Mise屈服条件可以表示为：

F( ij,k0)

16

[( 1 2) ( 2 3) ( 3 1)

222

2

3

0

岩土材料：(体积变形也会导致塑性)Drucker-Prager：

F( ij,k0) 0 I1

k0 0

（2） 流动法则

初始屈服面：弹性 塑性的判据。

流动法则：它是解决进入塑性以后的问题。定义Q为塑性势。

d ij d

P

Q ij

F

d ij d

P

F ij

进一步假定：Q于岩土材料：Q

F

，则，称为相关联的流动法则(正交流动法则)，对

，称为不相关联的流动法则。

（3） 硬化法则 后继屈服面：

F( ij,k) 0

，k：硬化参数，可以是变量，与进入塑性的深度有关。

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等效塑性应变：理想弹塑性：

d i

p

3

d 1 d 2) (d 2 d 3) (d 3 d 1)]

pp2pp2pp2

。

F( ij,k0) 0

各向同性硬化准则：

1

Mises准则：2

sijsij k 0

，

k

13

s( p)

13

s( d i)

p

三个变形模量： 弹性模量

E

d d

e

1 d d

d

p

切线模量塑性模量

ET

d d

d

e

，ET

d

1Ep

1E

Ep

ETEE ET

运动硬化：F(

12

ij

, ij,k0) 013

，

ij

是加载曲面的中心在应力空间的移动张量

(sij ij)(sij ij) s

2

。

（4）加卸载准则

作用：判断从一个塑性状态出发，是继续塑性加载，还是弹性卸载。

f

d ij 0

若应力状态已达到塑性，F

0

，

ij

，则继续塑性加载；

d ij 0

f

若应力状态已达到塑性，F

0

，

ij

，则由塑性按弹性卸载；

d ij 0

f

若应力状态已达到塑性，F

0

，

ij

，则应区分：对于理想弹塑性材料，

次情况是塑性加载，因为在次条件下可以继续塑性流动；对于硬化材料，次情况是中性变载，即仍保持在塑性状态，但不发生新的塑性流动（d 3.2 增量形式的应力应变关系

归纳：

（1）在小应变的情况下，应变增量可以分为弹性和塑性两部分，即

d ij d ij d ij

p

e

p

0

）。

；

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（2）时刻判断单元是否进入塑性，用某一屈服准则来判断； 若未进入塑性，则维持若进入塑性，则

d ij 0

p

d ij 0

p

，

d ij Dijkld ij

ee

；

p

，

d ij Dijkld ij Dijkl(d ij d ij)

eeee

（3）已进入塑性的单元，其塑性应变增量

d ij d

P

d ij

p

的大小与比例均根据流动法则来确

f ij

定（正交流动法则）：

（4）

d ij

P

，

d ij

P

与屈服面正交；

遵循硬化法则：各向同性硬化；

（5）时刻判断每个单元是塑性加载还是弹性卸载； （6）遵循一致性条件，使新的应力点 一个限制：

F F( ij,k) F( ij,k( ))

F ij

p

ij

d ij

仍然保持在屈服面或后继屈服面的

F k k

p

dF

d ij

d

p

全微分：

对Mises准则而言：

F f k

12

sijsij k 0

k

13

，

s

2

13

s( )

2

p

k

，所以

p

23

s

s

p

F

F

， k

1

，

ij

f ij

sij

定义：

d

p

(

23

1

d d ) d (

2

p

ijpij

2 f3

ij2222

) d (sijsij) d ( s)2 d s

ij3333

2

2

f

1

2

11

dF

F ij

e

d ij

23

s

d sd

p

d

23

s 0

f ij

p

d ij

e

49

sd

e

2

d sd

p

Qd ij d ij d ij

ep

d ij Dijkld kl Dijkl(d kl d kl) Dijkld kl Dijkld kl Dijkld kl Dijkld

eepee

f ij

f

f ij

f kl

49

d sd

p

(Dijkld kl Dijkld

ee

)

sd

2

49

d

ij

f ij

Dijkl

e

Dijkld kl f kl

49

e

sd Ep

2

sEp

2

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d ij Dijkld kl Dijkld

ee

f kl

(Dijkl Dijkl)d kl Dijkld kl

epep

矩阵形式

[D]{

[D]

{

p

e

f [ ]

T

}{

e

f [ ]49

[D]

Te

f [ ]

[D]

sEp

2

3.3 弹塑性增量方程的预分析

变量的符号规定： 假定t时刻的位移

t

ui

，应变

t

ij

，应力 ij已知；

t

t时刻与t t时刻的荷载和边界条件已知；

tt tt

体力：Fi，Fi Fi Fi,Vn

tt tt

面力：T，T Ti Ti,S n ii

tt tt已知位移：u，u ui ui,Sun ii

已知t时刻的计算结果和t、t+ t时刻的荷载，求t+ t时刻的结果。 写出它的框架：

t tui tui ui t tt

i i i

t t t

ijijij

t+ t时刻的各个量必须满足的方程： 必须满足平衡方程与应力边界条件

t t

ij,j

t t

Fi 0

t

Ti Ti

i

t

ij,j ij,j Fi Fi 0

Ti Ti

t t

t

Ti

t t

Ti Ti T

t t

t

t

Ti ijnj

t t

ijnj Ti ijnj ijnj Ti T

t

几何协调方程和位移边界条件： 由弹性力学：

ij

12

(ui,j uj,i)

t t

ij

12

(

t t

ui,j

t t

uj,i)

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t

ij ij

12

(ui,j uj,i)

tt

12

( ui,j uj,i)

t

位移边界条件：物理方程

ij Dijkl kl

ep

t

ui ui ui ui

， 为 t内的一点，t

t t

方程状态分析：小变形状态

只有物理方程是非线性的，其余方程都是线性方程。物理方程从整体上看是非线性的，但具体到每一迭代步时是线性的。

理论上讲，

t

ui

，

t

ij

， ij已“精确”满足t时刻的方程，实际上不可能精确满足，

t

需要平衡迭代，不断校正。 3.4 增量有限元方程的建立

微分方程 能量形式 离散化

平衡方程+几何方程 最小势能原理 虚功方程 从t t+ t内，内力虚功 外力虚功：

V

t t

ij ( ij)dV

ep

V

t t

F ( ui)dV

S

t t

Ti ( ui)dS

V

Dijkl kl ( ij)dV ij ( ij)dV

V

t

V

t

F ( ui)dV

T

S

t

Ti ( ui)dS

T

F ( u)dV

i

V

T

t

T

S

i

( ui)dS

写成矩阵形式：

T

t

V

V

[ ][D][ ]dV [ u][ F]dV

V

Tep

[ u]

S

[ T]dS [ ][ ]dV

V

[ u][F]dV

S

[ u][T]dS

T

t

离散化： 令

u [N][ a] [ u] [ a][N]

e

T

e

T

，

[B][ a] [ ] [ a][B]

eTeT

代入上式可得：

V

e

ep

[B][D][B]dV[ a] [N][ F]dV

V

e

t t

t

TepeT

S

[N][ T]dS [B][ ]dV [N][F]dV

V

V

TTtT

t

S

[N][T]dS

T

t

[K][ a] [ Q] [

Ql] [Qi]

[K

e

ep

]

由上式可以得到单元的切线刚度矩阵：

V

[B][D

Tep

][B]dV

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3.5 方程求解

写成本增量步内的迭代格式：

[Kep][ a

(n)

(n)(n)

] [ Q

(n)

]

] [

t t

[ Q] [

t t

Ql] [Qi

t(n)

Ql] [B][

e

T

t(n)

]dV

前一部分表示外荷载，后一部分表示弹性反力。在本增量步的第一次迭代的第一次迭代中取

[

t

(0)

] [ ]

t

为上一增量步的结果。

(n) 1

(n)

解方程：

[

t t

[ a

(n)

] [Kep][ Q

]

得：

a

(n 1)

a

(n 1)

] [a

t(n)

] [ a

(n)

]

，用

[

t t

]

去修改D，

ep

[ [

(n)

] [B][ a

(n 1)

(n)

] [ a

(n)

(n)

] [D][ ]

ep(n)

]

t t

] [

t t

] [

(n)

然后判断是否收敛： 三种方法： 位移收敛准则：平衡收敛准则：

a

(n)

] eDa]

t

；

(0)

Q

(n)

] eF Q

]

；

(n)T

能量收敛准则：[ a

(n)T

][ Q

(n)

] eE[ a

][ Q

(0)

]

；

若不满足要求，则继续迭代，把次迭代步下的不平衡力：

[

t t

(n 1)

]

带入

[B][

e

T

t(n)

]dV

去计算内力，得出本

( [N]

V

T

[

t t

F]dV

S

[N][

Tt t

T]dS)

[B]

V

T

[

t t

(n 1)

]dV [K

ep

][ a] [ Q]

4 结语

结构力学问题，从本质上讲都是非线性的，线性假设只是实际工程问题的一种简化。当然，任何实际工程问题的求解都避免不了适当地简化，简化是否合理主要应根据求解效果和实际经验来判断。对于目前工程实际中的很多问题，如地震作用下结构的弹塑性动力响应，高层建筑抗风，大跨度网壳结构动力稳定性，索膜结构找形荷载

适合非线性有限元学习及作业~

与裁减分析，大型桥梁风致振动等问题的研究，仅仅假设为线性问题是很不够的，常常需要进一步考虑为非线性问题。因此，对各种工程结构的非线性分析就是必不可少且日趋重要了。对于结构力学的非线性问题来说，有限单元法是最为有效的数值分析方法。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/bv31.html