实变函数历年考试真题汇总

线 号 学 订 名 装 姓 封 级 班 密 系 卷 院 试陇东学院2011—2012学年第一学期实变函数(A)

3.下列关系式中成立的是（ ）

一．填空.（每空2分，共20分）

①?A?B?\\B?A，②?A\\B??B?A，③?A?B???A??B?， 1给出自然数集N?与整数集Z之间的一一对应关系 . ④?A?B?????A?B，⑤?A?B??A?B，其中A,B是二集合.

2设A,B是两集合，A?B是指 .

A.①② B.③④⑤ C.③⑤ D.①②③④⑤

??1?x,y)y???x?,在R内求E? ,E?? ，

4. 设E?Rn3E???(?sin,x?0?2,mE???,?fn(x)?在E上几乎处处收敛于f(x).则( ).

????0,x?0?? A．?fn(x)?在E上处处收敛于f(x);

4.设f(x)???x,x?P,其中P是Cantor集,则?ex,x?[0,1]\\P.??0,1?f(x)dx?________. B．存在?fn(x)?的子列?fni(x)?,使得?fni(x)?在E上一致收敛于f(x).

5.设E?Rn,则称E是L可测的是指: . C. ?fn(x)?在E上一致收敛于f(x); 6.设f(x)?sinx,x?[0,2?],则f?(x)? ; D. ?fn(x)?在E上依测度收敛于f(x);

f?(x)? . 5.设E?Rq为可测集，?fn(x)?是E上的一列非负可测函数，则（ ）

7.称f(x)为可测集E上的简单函数是指 A ?Elimfn??n(x)dx?lim?fn(x)dx Bn??E?Elimfn??n(x)dx?lim?fn(x)dx

n??E8.设⑴mE??;⑵

?fn(x)?是

E上一列几乎处处有限的可测函数;⑶

C?Elimfx)dx?limn??n(?fn(x)dx Dn??E?Elimn??fn(x)dx?nlim???Efn(x)dx

lim三．判断题(每题2分，共10分)

n??fn(x)?f(x)a.e.于E,且f(x)??a.e.于E.则???0,?E??E,使得

1. mE?0?E是有限集或可数集. （ ）

mE???,而?fn(x)?在 上一致收敛于f(x).

2. 若开集G1是开集G2的真子集,则mG1?mG2 （ ） 二.选择（每题2分，共10分）

3. 直线上的开集至多是可数多个互不相交的开区间的并 （ ） 1.若A是有限集或可数集,B是不可数集,则以下不对的是（ ）.

4. 设f(x),g(x)是可测集E上的可测函数,则f(x)g(x)也是E上的可测函数

A.AB是可数； B.AB是不可数； C.AB?c； D.AB?B

（ ）

2.设E是任一可测集,则( )．

5.可测函数f(x)在E上L可积?f(x)在E上L可积 （ ）

四．证明题(每题8分，共40分)

A.E是开集; B.???0,存在开集G?E,使得m(G\\E)??;

C.E是闭集; D.E是F 设f(x)是(??,??)上的实值连续函数,则?a?R,E??xf(x)?a?是

?型集或G?型集.

1.证明：第 1 页 共 6 页

一开集.

q**2.设E?R,证明存在G?型集G?E,使得mG?mE

1给出(?1,1)与(??,??)之间的一一对应关系 . 2设A,B是两集合，A?B是指 . 3E?(x,y)x?y?1,在R内求E? ,E?? ， 4.设f(x)??pp?1,x?,p,q为自然数，且为既约分数，?qq3．证明：黎曼函数R(x)??q

?0,x为0，1及?0,1?中的无理数，? 是?0,1?上的可测函数 4.设函数列?fn(x)?(n?1,2,?22?2?x?P,?x,其中P是Cantor集,则?f(x)dx?________. x?0,1??e,x?[0,1]\\P.)在有界集E上“基本上”一致收敛于f(x)（即

5.设E?R,则称E是L可测的是指: . ?6.设f(x)?cosx,x?[0,2?],则f(x)? ; n???0,?E??E,使得?fn(x)?在E?上一致收敛于f(x)且m(E?E?)??.）证

明:?fn? 在E上a.e.收敛于f.

5.设mE?0,f(x)在E上可积,如果对于任何有界可测函数?(x),都有

f?(x)? . 7.称f(x)为可测集E上的简单函数是指 8.设⑴mE??;⑵

?Ef(x)?(x)dx?0,则f(x)?0a.e.于E.

五．计算题(每题10分，共20分)

3??x,x?Q[0,1],1． 设f(x)?? 问f(x)在[0,1]上黎曼可积吗？勒贝格可积吗？

??1,x?Q[0,1].?fn(x)?是

E上一列几乎处处有限的可测函数;⑶

limfn(x)?f(x)a.e.于E,且f(x)??a.e.于E.则???0,?E??E,使得

n??若可积,则计算其积分值. 2．lim

mE???,而?fn(x)?在 上一致收敛于f(x).

二.选择.每题2分，共10分）

1.若A是有限集或可数集,B是不可数集,则以下不对的是（ ）.

A.AB是可数； B.AB是不可数； C.AB?c； D.A设E是任一可测集,则( )．

nxsin5xdx 22?n??01?nx1B?B2.

A.E是开集; B.???0,存在开集G?E,使得m(G\\E)??;

C.E是闭集; D.E是F?型集或G?型集.

3.下列关系式中成立的是（ ）

①?A?B?\\B?A，②?A\\B??B?A，③?A?B??A??B?，

陇东学院2011—2012学年第一学期实变函数论期末试题(B)

一．填空.（每空2分，共20分）

线 ?第 2 页 共 6 页

④?A?B??A?B，⑤?A?B??A?B，其中A,B是二集合.

???2. 证明:若E可测,则???0,存在开集G,使E?G,而m(G?E)??

A.①② B.③④⑤ C.③⑤ D.①②③④⑤

4. 设E?R,mE???,?fn(x)?在E上几乎处处收敛于f(x).则( ). npp?1,x?,p,q为自然数，且为既约分数，?qqq3．证明：黎曼函数R(x)?? ?0,x为0，1及?0,1?中的无理数，? 是?0,1?上的可测函数

A．?fn(x)?在E上处处收敛于f(x);

B．存在?fn(x)?的子列fni(x),使得fni(x)在E上一致收敛于f(x).

????4. 设mA?0，B为任一点集，则有m*(A?B)?m*B.

5.设mE?0,f(x)在E上可积,如果对于任何有界可测函数?(x),都有

C. ?fn(x)?在E上一致收敛于f(x); D. ?fn(x)?在E上依测度收敛于f(x);

5.设E?R为可测集，?fn(x)?是E上的一列非负可测函数，则（ ）

q?Ef(x)?(x)dx?0,则f(x)?0a.e.于E.

五．计算题(每题10分，共20分)

??x,x?Q?0,1?,2． 设f(x)?? 问f(x)在[0,1]上黎曼可积吗？勒贝格可积吗？若

1,x?Q??0,1?.?可积,则计算其积分值. 2．lim

A?limfEn??n(x)dx?lim?fn(x)dx Bn??E?limfEn??n(x)dx?lim?fn(x)dx

n??En??EC?limfEn??n(x)dx?lim?fn(x)dx D

n??E?limfEn??n(x)dx?lim?fn(x)dx

三．判断题(每题2分，共10分)

1. mE?0?E是有限集或可数集. （ ）

2. 若开集G1是开集G2的真子集,则mG1?mG2 （ ） 3. 直线上的开集至多是可数多个互不相交的开区间的并 （ ） 4. 设f(x),g(x)是可测集E上的可测函数,则f(x)g(x)也是E上的可测函数

（ ）

25.可测函数f(x)在E上L可积?f在E上L可积 （ ）

nxdx

01?n2x2n???1四．证明题(每题8分，共40分)

1.证明： 设f(x)是(??,??)上的实值连续函数,则?a?R,E?xf(x)?a?是一闭集.

?陇东学院2012—2013学年第二学期实变函数论期末试题(A)

一．填空.（每空2分，共20分）

线 第 3 页 共 6 页

????A.E是开集 B.???0,存在开集G?E,使得m(G\\E)?? 1.给出0,1与0,10之间的一一对应关系 . C.E是闭集 D.E是F?型集或G?型集

2. 设A?1?n???0,1?n??,n?1,2,.则limn??An? . 3. 设?En?是一列可测集合,且E1?E2??En?,则有 ( ). 3. 设E是平面上单位正方形[0,1]?[0,1]中坐标都是有理数的点组成的集合,则

A.m???E?mE???nmE???limn; B. m?En??limmEn;

__________.

?n?1?n???n?1?n??4. 设E1是[0,1]中的全部有理点,则E1在R1内的E1?? ,E1? C. m???E????n???limn??mEn; D. m??En??limmEn.

?n?1n?1?n?? E? .

4. 设?fn(x)?在E上依测度收敛于f(x).则 ( ). 5. 举出一个在[0,1]上Lebesgue可积但不Riemann可积的函数

A．?fn(x)?在E上处处收敛于f(x)

f(x)?_____ _. B．?fn(x)?在E上几乎处处收敛于f(x)

6.设E?Rn,则称E是L可测的是指: . C. ?fn(x)?在E上一致收敛于f(x);

7. 设f(x)是定义在可测集E?Rn上的广义实值函数,则称f(x)在E上是可测的是指: . D.存在?fn(x)?的子列?fni(x)?,使得?fni(x)?在E上几乎处处收敛于f(x)

8. 设f(x)是可测集E?Rn上的可测函数,若?Ef?(x)dx与?Ef?(x)dx中至少有

5.设E?Rq为可测集，?fn(x)?是E上的一列非负可测函数，则( )

一个是有限数,则f(x)在E上的L积分定义为

A?Elimf(x)dx?limdx B)dx?limn??nn???Efn(x)?Elimfn??n(x?fn(x)dx

?n??EEf(x)dx? .

Cx)dx

?Elimfx)dx?lim Dn??n(n???Efn(x)dx?Elimn??fn(x)dx?nlim???Efn(二.选择.每题2分，共10分）

三．判断题(每题2分，共10分)

1.设E1

1. 不是A的聚点必不是A的内点 （ ） 1是(0,1)中的无理点集,E2是R中的有理点集, E3是(0,1),P是康托集,其2.mE?0则E是至多可数集. （ ） 中基数最小的是 ( ).

3. 设E是可测集, A是可数集,则m(E?A)?mE （ ） A.E1 B.E2 C.P D.E3

4. 设f(x)是可测集E上的可测函数,则f(x)也是E上的可测函数 （ ） 2.设E是任一可测集,则 ( )．

5.设f(x)是E上的有界可测函数,则f(x)在E上L可积 （ ）

第 4 页 共 6 页

四．证明题(每题8分，共40分)

1.证明： A\\?B?C???A\\B???A\\C?

2. 设f(x)是???,???上的实值连续函数,则对于任意常数a,E?xf(x)?a?总是一闭集.

3. 设mA?0，B为任一点集，则有m*(A?B)?m*B

q4. 设E?R为可测集,f(x)为E上的非负可测函数.若

1.给出?0,1?与??????,?之间的一一对应关系 . ?22??2.设A,B是两集合，A?B是指 . 3.E?(x,y)x?y?1,在R内求E? ,E?? ， 4. 设E?R,则称点集E是L可测的是指:

n?22?2??Ef(x)dx?0,则

. 5. 设f(x)是定义在可测集E上的广义实值函数,则称f(x)在E上是可测的是指:

.

f(x)?0a.e.于E

5. 设函数列?fn(x)?(n?1,2,)在有界集E上“基本上”一致收敛于f(x),即

6. 称f(x)为可测集E上的简单函数是指:

7. 设E?Rq为可测集，f(x)为E上的可测函数，若一个有限，则称f(x)在E上 ；若

f(x)在E上 . ???0,?E??E,使得?fn(x)?在E?上一致收敛于f(x)且m(E?E?)??.证

明:?fn? 在E上a.e.收敛于f.

?Ef?(x)dx与

?Ef?(x)dx中至少

五．计算题(每题10分，共20分)

?x2,x?Q??0,1?,1.设f(x)?? 问f(x)在[0,1]上黎曼可积吗？勒贝格可积

.?1,x??0,1??Q，吗？若可积,则计算其积分值. 2．lim

?Ef?(x)dx与

?Ef?(x)dx都有限，则称

8. 设E?Rq为可测集，?(x)为E上的非负可测简单函数，即

nxcosnxdx

01?n2x2n???1?(x)??c?ii?1kEi且E?(x)，E1,E2,?,Ek为互不相交的可测集，

?Ei?1ki，?Ei(x)是Ei上

的特征函数，则

??(x)dx? . E二.选择（.每题2分，共10分）

1.若A是有限集或可数集,B是不可数集,则以下不对的是. （ ）

A.AB是可数； B.AB是不可数； C.AB?c； D.AB?B

陇东学院2014—2015学年第二学期变函数论期末试题(A)

一．填空.（每空2分，共20分）

线 2.设E是任一可测集,则 ( )

A.E是开集; B.???0,存在开集G?E,使得m(G\\E)??; C.E是闭集; D.E是F?型集或G?型集.

第 5 页 共 6 页

3.设A,B是二集合.下列关系式中成立的是 （ ）

3．设S1,S2为可测点集，S1?S2,且mS1???，则m?S2\\S1??mS2?mS1. 4. 设f(x)是E上的可测函数，并且f(x)?g(x)a.e.于E，则g?x?也是E上的可测函数.

5.设mE?0,f(x)在E上可积,如果对于任何有界可测函数?(x),都有

A.?A?B?\\B?A B.?A\\B??B?A

C. ?A?B??A??B? D.?A?B??A?B

????4.设?En?是一列可测集合,单调递减, 且mE1???,则有 ( ).

?Ef(x)?(x)dx?0,则f(x)?0a.e.于E.

A.m???E?; B. ???n??lim??mEnm??En??limmEn;

?五．计算题(每题10分，共20分)

n?1?nn?1?n??3． 设f(x)??x,x?P,????1,x??0,1?\\P，其中P为cantor集， E???C. m??n??limmEn; D. m?En??limmEn.

?勒贝格可积吗？若可积,则计算其积分值. n?1?n???n?1?n??2．lim1nxn???01?n2x2dx

5.设E?Rq为可测集，?fn(x)?是E上的一列非负可测函数，当x?E时对于任一

自然数n，有fn(x)?fn?1(x)，令nlim??fn(x)?f(x),x?E，则 （ ）

A?Elimfx)dx?limn??n(?Efn(x)dx B(x)dx?limn???Elimfn??n?Efn(x)dx

n??C?Elimf)dx?lim)dx

n??n(x)dx?lim???Efn(x)dx D

n?Ef(xn???Efn(x三．判断题(×”每题2分，共10分)

1. 任何无限集合必有可数真子集.. （ ）

2. 设E为R1

的可测子集,若mE?0,则mE?0. （ ）

3. 直线上的开集至多是可数多个互不相交的开区间的并 （ ）

4. 若f(x)是可测集E上的L可积函数,则f(x)是E上的有界函数.

（ ）

5.可测函数f(x)在E上L可积?f在E上L可积 （ ）

四．证明题(每题8分，共40分)

1. 证明:???A????B?(A??B).

???????2. 设f(x)是(??,??)上的实值连续函数,则?a?R,则E??xf(x)?a?是一开集.

第 6 页 共 6 页

问f(x)在[0,1]上黎曼可积吗？

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