2012年中考数学复习方案(苏科版)第25课时 解直角三角形及其应用

│ 解直角三角形及其应用

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│ 考点聚焦 考点聚焦考点1 解直角三角形在直角三角形中，除直角外，共有 5 个元素，即 3 条边和 2 个锐角. 由这些元素中的一些已知元素， 求出所有未知元素的过程 叫做解直角三角形. [点拨] 在 Rt△ABC 中，∠C=90° ,则 (1)三边关系：a2+b2=________; c2 (2)两锐角关系：∠A+∠B=________; 90° a (3) 边 与 角 关 系 ： sinA = cosB = ________ , cosA = sinB = c a b ________,tanA=________. b c

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│ 考点聚焦考点2 解直角三角形的类型1.已知斜边和一个锐角； 2.已知一直角边和一个锐角； 3.已知斜边和一直角边(如 c 和 a); 4.已知两条直角边 a、b.

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│ 考点聚焦考点3 运用三角函数解实际问题在实际问题中，通过构造直角三角形模型，利用解直角三角 形知识进行求解.在解直角三角形时常用词语： (1)仰角和俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做 仰角 俯角 ________,视线在水平线下方的叫做________. (2)坡度和坡角 坡度 通常把坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 之比叫________,用 h 字母 i 表示，即 i= ________,把坡面与水平面的夹角叫做 l h ________,记作 α,于是 i=________=tanα,显然，坡度越大， 坡角 l α 角越大，坡面就越陡.·江苏科技版

│ 考点聚焦

(3)方向角 指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于 90° 的角 叫做方向角. 如图 25-1:

图 25-1

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归类示例 类型之一 利用直角三角形解决和高度有关的问题命题角度： 1.计算某些大型建筑物的高度 2.将实际问题转化为直角三角形问题

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例 1 [2011· 淮安] 图 25-2(1)为平地上一幢建筑物与铁塔图， 图 25-2(2)为其示意图.建筑物 AB 与铁塔 CD 都垂直于底面，BD =30 m,在 A 点测得 D 点的俯角为 45° ,测得 C 点的仰角为 60° . 求铁塔 CD 的高度.

图 25-2·江苏科技版

[解析] 设过点 A 的水平线与 CD 交于点 E, 分别在两个直角 三角形中利用三角函数求解. 解：设过点 A 的水平线与 CD 交于点 E,由题意得∠AEC= ∠AED=90° ,∠CAE=60° ,∠DAE=45° ,AE=BD=30 m, 故 CD=CE+DE=AE· tan60° +AE· tan45° =(30 3+30)(m). 答：铁塔 CD 的高度为(30 3+30)m.

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在生活实际中，特别在勘探、测量工作中，常需了解或确定 某种大型建筑物的高度或不能用尺子直接测量的两地之间的距离 等，而这些问题一般都要通过严密的计算才可能得到答案，并且 需要先想方设法利用一些简单的测量工具，如：皮尺、测角仪、 木尺等测量出一些重要的数据，方可计算得到.有关设计的原理

就是来源于太阳光或灯光与影子的关系和解直角三角形的有关知 识.

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类型之二

利用直角三角形解决平面图形有关的距离问题

命题角度： 1.计算不能用尺子直接测量出的两地之间的距离 2.将实际问题转化为直角三角形问题例 2 [2011· 无锡] 如图 25-3, 一架飞机 由 A 处向 B 处沿水平直线方向飞行，在航线 AB 的正下方有两个山头 C、 D.飞机在 A 处时， 测得山头 C、D 在飞机前方，俯角分别为 60° 和 30° .飞机飞行了 6 千米到达 B 处时， 往后测 得山头 C 的俯角为 30° 而山头 D 恰好在飞机 ， 的正下方.求山头 C、D 之间的距离.

图 25-3

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[解析] 据题目中的俯角可以求出∠BAC=60° ,∠ABC=30° , ∠BAD=30° ,进而得到∠ACB=90° ,利用 AB=6 千米求得 BC 的 长， 然后求得 C、D 两点间的水平距离，进而求得 C、 之间的距离. D 3 解： Rt△ABD 中， 在 ∵∠BAD=30° ∴BD=AB· , tan30° =6× 3 =2 3. ∵∠BAC=60° ,∠ABC=30° ,∴∠ACB=90° , 3 ∴BC=AB· cos30° =6× =3 3. 2 过点 C 作 CE⊥BD 于点 E, 9 则∠CBE = 60° ,CE=BC· sin60° . = 2 3 3 ∴BE=BC· cos60° = , 2 3 3 3 DE=BD-BE=2 3- = . 2 2·江苏科技版

∴在 Rt△CDE 中，CD= CE +DE = 21(千米). 答：山头 C、D 之间的距离为 21(千米).

2

2

9 2 + 2

3 2 = 2

解决此类题目的关键是正确的将仰俯角转化为直角三角 形的内角并用解直角三角形的知识解答即可.

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类型之三

利用直角三角形解决航海问题

命题角度： 1.利用直角三角形解决方位角问题 2.将实际问题转化为直角三角形问题例 3 [2011· 济宁] 日本福岛出现核电站事故后，我国国家海 洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海 域进行现场检测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋环 境的影响及时开展分析评估.如图 25-4,上午 9 时，海检船位 于 A 处， 观测到某港口城市 P 位于海检船的北偏西 67.5° 海检船 ， 以 21 海里/时的速度向正北方向行驶， 下午 2 时海检船到达 B 处，

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这时观测到城市 P 位于海检船的南偏西 36.9° 方向，求 此时海检船所在 B 处与城市 P 的距离？ 3 3 参考数据：sin36.9° ,tan36.9° ,sin67.5° ≈ ≈ ≈ 5 4 12 12 ,tan67.5° ≈ 13 5

图 25-4·江苏科技版

解：过点 P 作 PC⊥AB,垂足为点 C,设 PC=x 海里. 在 Rt△APC 中， PC PC 5x ∵tanA= ,∴AC= = . AC tan67.5° 12 在 Rt△PCB 中， PC x 4x ∵tanB= ,∴BC= = . BC tan36.9° 3 ∵AC+BC=AB=21×5, 5x 4x ∴ + =21×5,解得 x=60. 12 3 PC PC 60 5 ∵sinB= ,∴PB

= = =60× =100(海里). PB sinB sin36.9° 3 ∴海检船所在 B 处与城市 P 的距离为 100 海里.·江苏科技版

类型之四命题角度：

利用直角三角形解决坡度问题

1.利用直角三角形解决坡度和坡角问题 2.将实际问题转化为直角三角形问题例 4 庞亮和李强相约周六去登山，庞亮 从北坡山脚 C 处出发，以 24 米/分钟的速度攀 登，同时，李强从南坡山脚 B 处出发.如图 25-5,已知小山北坡的坡度 i=1∶ 3,北坡 坡长为 240 米，南坡的坡角是 45° .问李强以什 么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶 A?(将 山路 AB、AC 看成线段，结果保留根号)·江苏科技版

图 25-5

[解析] 由题意通过作辅助线构造两个有公共边的直角三角形， 再 由解直角三角形的知识可求得山坡 AB 的长，要使得李强和庞亮同时 到达山项，只要将庞亮登到山顶的时间算出即可得李强的速度. 解：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D,

1 3 在 Rt△ADC 中，tanC= = , 3 3 1 1 ∴∠C=30° ∴AD= AC= ×240=120(米). 2 2 在 Rt△ABD 中，∠B=45° ∴AB= 2AD=120 2(米), 120 2÷ (240÷ 24)=120 2÷ 10=12 2(米/分钟). 答：李强以 12 2米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶 A.·江苏科技版

转化是解直角三角形的关键，解斜三角形一般要通过辅助 线把斜三角形转化为几个直角三角形，再解直角三角形.

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回归教材教材母题 [江苏科技版九下 P55 问题 2] 为了测量停留在空中的气球 的高度，小明先站在地面上某点处观测气球，测得仰角为 27° , 然后他向气球方向前进了 50 m, 此时观测气球， 测得仰角为 40° . 若小明的眼睛离地面 1.6 m, 小明如何计算气球的高度呢(精确到 0.1 m)?

图 25-6·江苏科技版

[解析] 如图 25-6,点 C 表示气球的位置，点 A、B 表示 小明两次观测气球的位置.点 A、B、D 在一条直线上. CD⊥ AD.CD 的长与小明的眼睛离地面的高度的和即为所求的气球 的高度.要计算 CD.可以利用 Rt△ACD 及 Rt△BCD,先找出 BD、CD 与已知量的数量关系，再计算 CD. 解：如图 25-6,由题意知，∠CAD=27° ,∠CBD=40° , AB=50 m, A、 D 在一条直线上， 点 B、 CD⊥AD.设 BD=x m, CD=h m, h 在 Rt△ACD 中，tan27° = , 50+x h=(50+x)· tan27° . h 在 Rt△BCD 中，tan40° ,h=x tan40° = . x·江苏科技版

得(50+x)· tan27° =tan40° x, 50tan27° 所以 x= , tan40° -tan27° 50tan27° h= ×tan40° , tan40° -tan27° 利用计算器得 h+1.6≈66.5(m). 答：气球的高度为 66.5 m.

[点析] 通过作垂线将实际问题转化为解直角三角形 的问题，然后利用解直角三角形的知识来解决，这是解此 类问题的常规思路.

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