第二讲 因数，倍数，质数，合数 - 图文

因数，倍数，质数，合数

板块一 因数与倍数之最大公因数与最小公倍数

【例 1】(2005年全国华罗庚金杯少年数学邀请赛)将两个不同的自然数中较大的数换成这两个数之差，

称为一次操作。例如：对18和42连续进行这样的操作，则有：18，42→18，24→18，6→12，6→6，6。试给出和最小的两个五位数，按照以上操作，直到两数相同为止，如果最后得到的相同的数是15，这两个五位数是 与 。

【巩固】两个三位数的最大公约数是12，那么这两个数的和最大是多少？

【例 2】(第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛培训题)五年级甲班的学生不超过60人，在一次数学测

111验中，分数不低于90分的人数占，得80～89分的人数占，得70～79分的人数占，那么，

723得70分以下的有多少人？

111【巩固】一次考试，参加的学生中有得优，得良，得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满

743100人，那么得差的学生有 人。

【例 3】一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10，那么此数为几？

【巩固】如果你写出12的所有约数，1和12除外，你会发现最大的约数是最小约数的3倍。现有一个整

数n，除掉它的约数1和n外，剩下的约数中，最大约数是最小约数的15倍，那么满足条件的整数n有哪些？

【例 4】大雪后的一天，小明和爸爸同时步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和步行方向完全相同，小

明每步长54厘米，爸爸每步长72厘米。由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后，雪地上留下60个脚印。求圆形花圃的周长。

【巩固】在一根60厘米的长木棍上，先每隔2厘米画一条刻度线，再每隔3厘米画一条刻度线，然后沿

着每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？

【例 5】甲数是36，甲、乙两数最大公约数是4，最小公倍数是288，那么乙数是多少？

【巩固】甲数和乙数的最大公约数是6，最小公倍数是90。如果甲数是18，那么乙数是多少？

【例 6】已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。

【巩固】已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？

〖答案〗 【巩固】60或135 【例 1】10005与10020 【例 4】2160厘米

【巩固】1980 【巩固】40 【例 2】1

【例 5】32

【巩固】23 【巩固】30 【例 3】98 【例 6】4和60或12和20

【巩固】147或105

版块二 因数与倍数之综合应用

【例 1】筐里共有96个苹果，如果不一次全拿出，也不一个一个地拿；要求每次拿出的个数同样多，拿

完时又正好不多不少，有 种不同的拿法。

【巩固】筐里有300个桃子，如果不是一次全部拿出，也不一个一个地拿，要求每次的个数同样多，拿到

最后正好不多不少，问共有多少种不同的拿法？

【例 2】现有三个正整数，它们的和是1111，这样的三个正整数的公约数中，最大的可以是多少？

【巩固】9个非零自然数的和是848，它们的最大公约数的最大值是多少？

【例 3】恰有8个约数的两位数有 个。

【巩固】在1到100中，恰好有6个约数的数有多少个？

【例 4】一个数的平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？

【巩固】一个数的立方有28个约数，求这个数的约数个数可能是几？

【例 5】把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数依不同的次序排列，可以得到362880个

不同的九位数，则所有这些九位数的最大公约数为 。

【巩固】把1，2，3，4，5，6这六个数依不同的次序排列，可以得到720个不同的六位数，则所有这些

六位数的最大公约数为 。

【例 6】有3599只甲虫，依次编号为1，2，3，?，3599，开始时头都朝东。第1秒钟，编号为1的倍

数的甲虫向右转90度；第2秒钟，编号为2的倍数的甲虫向右转90度；第3秒钟，编号为3的倍数的甲虫向右转90度，?，如此进行。那么，1小时后，第3599号甲虫头朝哪个方向？

【巩固】200名同学编为1至200号面向南站成一排。第1次全体同学向右转(转后所有的同学面朝西）；

第2次编号为2的倍数的同学向右转；第3次编号为3的倍数的同学向右转；?；第200次编号为200的倍数的同学向右转；这时，面向东的同学有 名。

〖答案〗

【例 1】 10

【巩固】 16

【例 2】 101 【巩固】 53 【例 3】 10 【巩固】 16

【例 4】 20或14 【巩固】 10或6 【例 5】 9 【巩固】 3

【例 6】头朝东 【巩固】 8

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