2019届江苏省苏州市高三上学期期初调研考试数学（文）试题（word

2019届江苏省苏州市高三上学期期初调研考试数学(文)试

题（正卷）

2018．9

注 意 事 项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试

卷满分160分，考试时间120分钟． 2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的指定位置． 3．答题时，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效． 4．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．

5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔． 方差公式：s2?[(x1?x)2?(x2?x)2?1n1?(xn?x)2]，其中x?(x1?x2?n?xn).

1锥体体积公式：V锥体=Sh(S为锥体底面面积，h为锥体的高).

3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．

n?7 S?0 2．若复数z1?2?i，z2?a?2i(i为虚数单位)，且z1z2为实数，则实数a? ▲ ． While S<18 S?S+n 3．一组数据1，2，3，4，a的平均数为2，则该组数据的方差等于 ▲ ． n?n?1 1．已知集合A?{?1,0,1}，集合B?{x|x?0}，则AB? ▲ ．

4．如图是某一算法的伪代码，则输出值n等于 ▲ ．

5．一只口袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次 摸出2只球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于 ▲ ．

2End While Print n (第4题)

?x?2x(x≥0)?6．已知函数f(x)??2为奇函数，则实数a的值等于 ▲ ．

?x?ax(x?0)??57．已知函数f(x)?sin(2x??)(0≤???)的一条对称轴是x???，则?? ▲ ．

12a?a48．已知等比数列{an}的前 项和为Sn，若S2,S6,S4成等差数列，则2的值为 ▲ ．

a69．已知△ABC的三边上高的长度分别为2，3，4，则△ABC最大内角的余弦值等于 ▲ ． 10．将一张半径为3?1(cm)的圆形纸片按如图所示的实线裁剪，并按虚线折叠为各棱长均相等的

四棱锥，则折叠所成的四棱锥的体积为 ▲ cm3．

11．如图，已知AC与BD交于点E，AB∥CD，AC?310，AB?2CD?6，则当tanA?3时，

ABE?CD? ▲ ．

(第10题) 高三数学正卷 第1页（共4页）

EB(第11题)

DC

12．已知函数f (x)＝|x2－6|，若a?b?0，且f (a)＝f (b)，则a2b的最大值是 ▲ ． 13．在斜三角形ABC中，已知

11??tanC?0，则tanC的最大值等于 ▲ ． tanAtanB14．已知⊙C的方程为：(x?3)2?(y?2)2?r2(r?0)，若直线3x?y?3上存在一点P，在⊙C总存

在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，则⊙C的半径r的取值范围是 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文．．．．．．．字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）

已知cos??43π,??(0,)． 72π（1）求sin(??)的值；

4（2）若cos??????11π,??(0,)，求?的值． 142

16．（本题满分14分）

如图，已知矩形CDEF和直角梯形ABCD，AB∥CD，?ADC?90?，DE=DA， M为AE的中点．

(1)求证：AC∥平面DMF； (2)求证：BE⊥DM．

AMDB(第16题)

EFC高三数学正卷 第2页（共4页）

17．（本题满分14分）

如图，有一块半圆形的空地，政府计划在空地上建一个矩形的市民活动广场ABCD及矩形的停车场EFGH，剩余的地方进行绿化．其中半圆的圆心为O，半径为r，矩形的一边AB在直径上，点C，D，G，H在圆周上，E，F在边CD上，且∠BOG=60?，设?BOC??．

(1)记市民活动广场及停车场的占地总面积为f(?)，求f(?)的表达式； (2)当cos?为何值时，可使市民活动广场及停车场的占地总面积最大．

18．（本题满分16分）

AO(第17题)

HDEGCFBx2y213已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为，点P(1,)为椭圆

ab22上一点．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)如图，过点C(0,1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，若k1?2k2，求直线l斜率的值．

AN(第18题) ylMCOBx高三数学正卷 第3页（共4页）

19．（本小题满分16分）

已知数列?an?的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，数列?an?前n项和为Sn，且满足S3?a4，a5?a2?a3．

(1)求数列?an?的通项公式；

(2)若amam?1?am?2，求正整数m的值； (3)是否存在正整数m，使得值，若不存在，说明理由.

20．（本小题满分16分）

若对任意的实数k，b，函数y?f(x)?kx?b与直线y?kx?b总相切，则称函数f(x)为“恒切函数”．

(1)判断函数f(x)?x2是否为“恒切函数”；

(2)若函数f(x)?mlnx?nx(m?0)是“恒切函数”，求实数m，n满足的关系式； 1 (3)若函数f(x)?(ex?x?1)ex?m是“恒切函数”，求证：??m≤0．

4

S2m恰好为数列?an?中的一项？若存在，求出所有满足条件的mS2m?12018~2019学年第一学期期初教学质量调研卷 高三数学（正卷）参考解答与评分标准

一、填空题：（每题5分，满分70分） 1．{1}

2．4

3．2

4．4

35．

5高三数学正卷 第4页（共4页）

6．?2 11．12

7．

? 38．2 13．?22 12．16

1142 10．

324410,??) 14．[159．?二、解答题（共6小题，满分90分） 15．（本题满分14分） 解：(1)由cos??43π,??(0,)， 72得sin??1?cos2??1?(4321············································ 2分 )?，·

77πππ所以sin(??)?sincos??cossin? ·············································· 4分

444?2432146?2????． ································ 6分 272714π(2)因为?,??(0,)，所以????(0,π)．

2又cos??????111153，则sin??????1?cos2(???)?1?()2?． 8分

141414所以sin??sin????????sin?????cos??cos?????sin? ·············· 10分

?53431111????． ············································· 12分 1471472ππ因为??(0,)，所以??． ······················································ 14分

2616．（本题满分14分）

证明：(1)连接EC交DE于N，连接MN．

∵矩形CDEF，∴EC，DF相互平分，∴N为EC中点． ·· 2分 又∵M为EA中点，∴MN∥AC． ··································· 4分 又∵AC?平面DMF，且MN?平面DMF．

∴AC∥平面DMF． ·················································· 7分 (2)∵矩形CDEF，∴CD⊥DE．

又∵AB∥CD，∴AB⊥DE． ·························································· 8分 又∵直角梯形ABCD，AB∥CD且?ADC?90?，∴AB⊥AD． ∵DE

AD=D，∴AB⊥平面ADE． ··············································· 10分

ANMDBCEF又∵DM?平面ADE，∴AB⊥DM．

∵AD?DE，M为AE的中点，∴AE⊥DM． ·································· 11分 又∵ABAE?A，∴MD⊥平面ABE． ·········································· 13分

高三数学正卷 第5页（共4页）

∵BE?平面ABE，∴BE⊥MD． ··················································· 14分 17．（本题满分14分）

解：(1)∵半圆的半径为r，?BOC??，∠OBC=90°．

∴在直角三角形OBC中，

OB?rcos?，BC?rsin?，∴AB?2rcos?．

AOBDHEGCF∴S矩形ABCD?AB?BC?2r2sin?cos?． ················································ 2分 又∵∠BOG=60?，由半圆的对称性可知，∠HOA=60?，∴∠HOG=60?． ∴△HOG为等边三角形，∴HG=r，HE=∴S矩形EFGH?EF?EH?(33r?rsin?=(?sin?)r． 223?sin?)r2． ·············································· 4分 232?)r，其中??(0,)． 23 ································································································· 7分

∴f(?)?S矩形ABCD?S矩形EFGH?(2sin?cos??sin??(2) ∵f?(?)?r2(2cos2??2sin2??cos?)=r2(4cos2??cos??2)． ··········· 9分 令f?(?)?0，即4cos2??cos??2?0， 解得：cos??令cos?0?1?331?33或cos??(舍去)． ·································· 11分 881?33?，?0?(0,)． 831?当??(0,?0)时，f?(?)?0，f(?)单调递增；

?2?当??(?0,)时，f?(?)?0，f(?)单调递减．

3∴当???0时，f(?)取得最大值． ···················································· 13分 答：当cos??

18．（本题满分16分）

1解：(1)∵椭圆的离心率为，∴a?2c．

2ylMCANOBx1?33时，可使市民活动广场和停车场的面积总和最大． · 14分 8又∵a2?b2?c2，∴b?3c．

x2y2∴椭圆的标准方程为：2?2?1． ··············· 3分

4c3c高三数学正卷 第6页（共4页）

913又∵点P(1,)为椭圆上一点，∴2?42?1，解得：c?1． ··············· 5分

4c3c2x2y2∴椭圆的标准方程为：?················································ 6分 ?1． ·

43(2)由椭圆的对称性可知直线l的斜率一定存在，设其方程为y?kx?1． 设M(x1,y1),N(x2,y2)．

?x2y2?1??联列方程组：?4，消去y可得：(3?4k2)x2?8kx?8?0． 3?y?kx?1?∴由韦达定理可知：x1?x2??∵k1?8k8，． ····················· 8分 xx??123?4k23?4k2y2y2y1y，k2?2，且k1?2k2，∴1?． ·················· 10分

x1?2x2?2x1?2x1?2y124y22?即．①

(x1?2)2(x2?2)2又∵M(x1,y1),N(x2,y2)在椭圆上， 33∴y12?(4?x12)，y22?(4?x22)．②

44将②代入①可得：∴3(?2?x14(2?x2)?，即3x1x2?10(x1?x2)?12?0． ······· 12分 2?x12?x288k2················ 14分 )?10(?)?12?0，即12k?20k?3?0． ·223?4k3?4k解得：k?133或k?．又∵k>1，∴k?． ······································ 16分 62219．（本小题满分16分）

解：(1)设奇数项的等差数列公差为d，偶数项的等比数列公比为q． ∴数列?an?的前5项依次为：1，2，1+d，2q，1+2d．

?S3?a4?4?d?2q?d?2∵?，∴?，解得：?． ···························· 2分

a?a?a1?2d?3?dq?3??23?5(n为奇数)?n?∴an??． ······························································ 4分 n?12??2?3(n为偶数)(2) ∵amam?1?am?2．

1?若m?2k(k?N*)

则a2ka2k?1?a2k?2，∴2?3k?1?(2k?1)?2?3k，即2k?1?3，∴k?1，即m?2． ································································································· 6分

高三数学正卷 第7页（共4页）

2?若m?2k?1(k?N*)

则a2k?1a2k?a2k?1，∴(2k?1)?2?3k?1?2k?1，∴2?3k?1?∵2?3k?1为整数，∴

2k?12． ?1?2k?12k?12必为整数，∴2k?1?1，∴k?1，此时2?30?3． 2k?1 不合题意． ················································································· 8分 综上可知：m=2． ········································································ 9分 (3)∵S2m?(a1?a3?????a2m?1)?(a2?a4?????a2m)

m(1?2m?1)2(1?3m) =+=3m?m2?1． ································· 10分

21?3S2m?1?S2m?a2m?3m?m2?1?2?3m?1?3m?1?m2?1． ··························· 11分

S2m3m?m2?12(m2?1)∴==3?m?1····································· 12分 ≤3． ·2S2m?13m?1?m2?13?m?1若

S2m为数列?an?中的项，则只能为a1,a2,a3． S2m?1S2m2(m2?1)m?1?1，则3?m?1·················· 13分 1??1，∴3?0，m无解． ·2S2m?13?m?1S2m2(m2?1)m?12?2，则3?m?12??2，∴3?1?m?0． 2S2m?13?m?1当m?1时，等式不成立； 当m?2时，等式成立；

1当m≥3时，令f(x)?3x?1?1?x2??3x?1?x2．

3ln23xln3x∴f?(x)??3?2． ?3?2x，f??(x)?33当x≥3时，f??(x)?0，∴f?(x)在[3,??)上单调递增． 又∵f?(3)?9ln3?6?0，∴f?(x)?0在[3,??)上恒成立， ∴f(x)在[3,??)上单调递增．

∵f(3)?1?0，∴当m≥3时，方程3m?1?1?m2?0无解． ···················· 14分

3?

S2m2(m2?1)2?3，则3?m?1············· 15分 ?3，∴m?1?0，即m?1． ·2S2m?13?m?1综上可知：m?1或m?2． ···························································· 16分 20．（本小题满分16分）

解：(1)函数f(x)为“恒切函数”，设切点为(x0,y0)．

高三数学正卷 第8页（共4页）

?f(x0)?kx0?b?kx0?b?f(x0)?0则?，∴?． ······································· 2分

??f(x)?k?kf(x)?000?? 对于函数f(x)?x2，f?(x)?2x．

2??x0?0设切点为(x0,y0)，∴?， ······················································· 3分

2x?0??0解得：x0?0．∴f(x)?x2是“恒切函数”． ······································· 4分 (2)若函数f(x)?mlnx?nx(m?0)是“恒切函数”，设切点为(x0,y0)．

?mlnx0?nx0?0?m ∵f?(x)??n，∴?m， ·············································· 5分

?n?0x?x?0 解得：lnx0?1，即x0?e． ···························································· 7分 ∴实数m，n满足的关系式为：m?ne?0． ······································· 8分 (3) 函数f(x)?(ex?x?1)ex?m是“恒切函数”，设切点为(x0,y0)． ?(ex0?x0?1)ex0?m?0? ∵f?(x)?(2e?x?2)e，∴?x， x00(2e?x?2)e?0?0?xxx0x0??m??(e?x0?1)e ∴?x． ······························································· 10分

0??2e?x0?2 考查方程2ex?x?2的解，设g(x)?2ex?x?2． ∵g?(x)?2ex?1，令g?(x)?0，解得：x??ln2． ∴当x?(??,?ln2)时，g?(x)?0，g(x)单调递减； 当x?(?ln2,??)时，g?(x)?0，g(x)单调递增．

∴g(x)min?g(?ln2)?ln2?1?0． ··················································· 12分

1?当x?(??,?ln2)时

∵g(?2)?42?0，g(?1)??1?0． 2ee∴g(x)?2ex?x?2在(??,?ln2)上有唯一零点x0?(?2,?1)．

11又∵m??(ex0?x?1)ex0=x0(x0?2)，∴m?(?,0)． ························ 14分

442?当x?(?ln2,??)时

∵g(0)?0，∴g(x)?2ex?x?2在(?ln2,??)上有唯一零点0，∴m?0．

高三数学正卷 第9页（共4页）

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