物理竞赛试题与解答（光学）

几何光学

7．证明：光线相继经过几个平行分介面的多层介质时，出射光线的方向只与入射方向及两边的折射率有关，与中间各层介质无关。

证：因为界面都是平行的，所以光线在同一层介质中上界面的折射角相等。如图所示，由折射定律有

i1i2i2'i3i3'n1n2n3ik-1ik-1'iknk-1nk

n1sini1 sini2?n2n2n1sini3?sini2?sini1

n3n3?????..

nk?1n1sinik?sinik?1?sini1

nknk由此可见，最后出射光线的方向只与当初入射方向及两边介质的折射率有关。

8．顶角α很小的棱镜称为光楔。证明光楔使垂直入射的光线产生偏向角???n?1??，其

αi2i2'δ中是光楔的折射率。

证明：由于光线垂直入射，帮光线在第一个界面不发生折射。仅在第二个界面有折射如图，根据折射定律

nsini2?sini'2

??，故

以及几何关系i2 当α很小时，有

则上式可写成

nsin??sini'2

sin???,sini'2?i'2

1

所以偏向角为

n??i'2

。?BCD?900）

22这个近似公式，在干涉、衍射、偏振中经常要用到。 9.如图1所示，两个顶角分别为?1折射率有下式给出： n1??i'?i?n?????n?1??

?600和?2?300的b2b1?a1??2 n25?a2?2?2

其中 a1?1.1 b1?10nm a2?1.3 b2?5?104nm2

(1)确定使得从任何方向入射的光线在经过AC面时不发生折射的波长?0，并求出此情形下的折射率n1和n2

（2）画出入射角相同的波长为?红、?0和?蓝的三种不同光线的路径； （3）确定组合棱镜的最小偏向角（对于满足（1）中条件的波长）；

（4）计算平行于DC入射且在离开组合棱镜时仍平行于DC的光线的波长。

BAφ1φ2Dn1C图1D图2n2BAλ红λ0λ蓝C

解：（1）如果满足n1(?0)?n2(?0) ，则波长为?0的光线从任何方向入射在AC面上将不发生折射，所以?0满足关系式：

a1?解得 ?0b1?02?a2?b2?02

b2?b1?500nm

a1?a2在此情形下折射率为 n1(?0)?n2(?0)?1.5

? （2）对波长比?0长的红光，n1和n2均小于1.5。对波长比?0短的蓝光，n1和n2均大于1.5。所以入射角相同的、波长为?红、?0和?蓝的三种不同光线经AD面折射后在介质中的折射光线如图2中所示，?蓝折射角最小，?红折射角最大。 再讨论一下光线抵达AC面的折射。对于波长?0的光，有 n1(?0)?n2(?0) 即 a1?0对于波长?红的光

2?b1?a2?02?b2

2

因

n1?红??红2?a1?红2?b1?a1?02?b1?a1?红2??02n2??红??红2?a2?红2?b1?a2?02222红2??红0?0,a2?a1,所以

n2??红??n1??红? 同理，对于波长?蓝的光

n2(?蓝)?n1(?蓝)

因此，在图2中，?红经AC面的折射角小于入射角，波长?红的光经AC面将向上偏。同理，?蓝经AC面的折射角大于入射角，波长?蓝的光经AC面将向下偏。 三种不同波长的光经BC面再次发生偏折，如图2中所示，波长?红的光进一步向上偏，波长?蓝的光进一步向下偏。

0

（3）对波长为?0的光，组合棱镜可看作顶角为30、折射率n=1.5的单一棱镜。我们知道，最小偏向在对称折射时发生；即图3中的?1??2时发生。偏向角?满足

sin??nsin??1.5sin1500 ???1??2???1??2??2??2??2??30

??2??

?b?a?????20??2arcsin(1.5sin150)?300?15.690?15041'BA300??1?1?2?2?300CD图 4600??

（4）利用图4中的数据，依题意有关系 sin30联立消去?后得

0图3?n1sin?,n1sin(600??)?n2sin300

2 3n1 (3a12?n22?n2?1

再代入题给的n1、n2表达式，写成波长?的方程

?a22?a2?1)?4??6a1b1?b2?2a2b2??2?3b12?b22?0

2这是?的二次方程，代入题中所给a1、b1、a2、b2的值，求解得到 ??1.18?m

11、苏格兰球反射器是一个折射率为n的球，其半球面为反射面。选择适当的折射率可使前半球表面的后焦点正好落在后半球面的顶点，从而使光线反向返回。（如图所示） （1）计算它的折射率；

（2）试讨论与其反射效率有关的问题

3

O1O2 解：（1）在空气中（n0=1）单球面折射焦距公式为

f?nr?2r n?1得 n=2

（2）与四面直角体不同，苏格兰反射器并没用到全反射原理，而是利用球面反射镜，因而损失部分能量，当光束口径较大时，还产生球差。忽略对光的吸收，光进入苏格兰球又返回空气，经过两次折射、一次反射。设折射面的能量投射率为T，反射面的能量反射率为R，则返回空气的能量效率为

??T2R

4n反射率R随镀层材料及厚度变化，若为足够厚的银膜，R可达0.95。?0.89，2(n?1)这时有??0.892?0.95?0.75.

其中T?12、如图1所示，一条光线进入折射率为n的球状水滴

（1）在后表面上光线的入射角为多少？这条光线是全反射还是部分反射？ （2）找出偏向角δ的表达式；

（3）求出对应最小偏向角δ时的入射角度?.（提示：

d(arcsinx)1?.）

2dx1?xφ-- ααφαδ图１φOxδ图2 ?sin?，即

解：（1）?,?,???,x,?如图2所示。??(???)?x,x?2???. nsin?111sin??sin??，这条光线是部分反射。因入射角?小于全反射；临界角??arcsin。

nnn（2）????2x???4??2?.

d?d?d?1??4?2?0,?. （3）d?d?d?21又 ??arcsin(sin?)，

n 4

111.cos??n2121?2sin?n1422所以 1?2sin??2cos?

nn141?2sin2??2cos2?nn最终得 cos2??(n2?1)/3

13.(1)一个凹反射镜将垂直于其光轴的平行光会聚在20远处。（2）将凹面镜灌满水，（n?43）。如图1，图2，若光通过一张白卡片上的一个针孔射向反射镜，卡片到镜多远才能在卡片上开成针孔清晰的像？

d??d?聚焦在20cm卡片x=?图1解 由（1），该凹面镜的焦距

图2f0'

，设装水后该镜焦距为?20cm（在空气中）

fb，一束傍轴

光线在平面折射，物距y与像距y'关系为 式中n?n'y?y

n4',n?1. 3而如题意y?f0?20cm，所以y'?15cm。由几何光学知，物距等于二倍焦距时，像距也等于二倍焦距，且物、像大小相等。所以，只有x?2fb?30cm时，卡片上的孔成

像也在卡片上。

14、 半径为R的实心球内有一小气泡S，当观察者的视线通过气泡和球心时，气泡似距球面R/2.玻璃折射率为n=1.5.求此气泡沿此方向到球面的真实距离。

yBADrSα’βiSθORx

解： 设眼睛、球顶部、球心位置分别为A、B和O，如图所示。设D是非常靠近B点的球面上的一个点，气泡S所发的光经D点折射后能进入眼睛，为表明几何关系，只能夸大

5

地作图。因此图中所标各角度是非常小。D点坐标为x、y。泡的视在位置为S’，S'B?折射定律可写为 ni?r

R。 2x2x?R/2Rxx ??,h?SB,??

hRr????,i??????联立得

2xx?r???1/R?RR? n?? xxi???1/h?1/R?hR解之得 h?nR3?R n?1516、 一个半导体砷化镓发光二极管，它的发光区为直径d=3mm的圆盘，发光面上覆盖一折射率n=3.4的半球形介质，如图1。试问：要使发光盘区域内的全部光线在球面上都不发生全反射，介质半球的半径R至少应多大？

(?1)maxRAOB图1AOB1rBd图2?1?1P1(?1)max?maxAO图3B

解： 由球对称性，我们可只考虑一个通过球心的平面截面。设AB是此截面内发光盘的一条直径，该直径上离圆心相距为r的一个发光点B1（图2）所发光线B1P1，入射角为?1，考虑图2中的?P1OB1，按正弦定理

sin?1sin?1?rR

rsin?1?sin?1R此式告诉我们，对于离圆心O相距为r的B1点发出的光中，只有?2??2时，对应的入射角

?1达到最大，记作(?1)max.

比较AB上不同发光点的最大入射角，从图3中可见，由B点发出的垂直于AB的那条光线BP具有最大的入射角，由

sin(?1)max?sin?max若不发生全反射，应有

rd,r?R2 d/2d??R2R6

sin?max?sin?c

d1?2Rn有 1R?nd?5.1mm2所以，半球形介质的半径必须大于5.1mm，发光盘所发的光彩不会发生全反射。

17．如图所示，池边一人观察池底一石头，水深h?1m。若视线与水面法线的角度为60o，水折射率为1.33，问石块像的视觉h'是多少？

Bhh’θ??d?Fr?drrA解：光线AB在水面折射，已知??60，有 nsinr?sin? 眼睛视线张角d?，对应有

ncosr?dr?cos??d? 图中

?

BF?h?tan?r?dr??tanr?

?tan???d???tan?? tan?r?dr??tanrd?tanr?cos2?dr?h?h所以 h'?h

tan???d???tan?d?tan??cos2rd? ?h' ?hcos3??sin??n??1?n2????232?0.25m

18、如图1所示，在y=0的点，光线垂直射入折射率与变量y有关的介质中。试问n(y)必

须是什么样的函数形式，才能使光线在介质内部沿抛物线传播？已知n(0)=n0以及数学关系

?(x2)?2x?x.

An1O?1?(y)xx?2n2?(y)y?3yn(y)图1

Bn3?4

n4y?ax2图3

图27

解：当光线穿过几个互相平行的、折射系数不同的平板时，如图2所示，根据折射定律 n1sin?1?n2sin?2?n3sin?3?...... 即 nisin?i?常数

这个结论与板的数目和板的厚度无关，因此，我们可以把这个结论用到折射系数沿一个方向（本题是y方向）连续变化的情况，即

n(y)sin?(y)?常数

其中?(y)表示与y方向的夹角，如图3所示.

由图3可以看出，在x=0点，抛物线必须与x轴相切，所以在所选坐标系中，抛物线方程可以写成

y?ax2 其中a为某一常数。

利用A、B两点，可以写出方程（2）中的常量。 n(y)sin?(y)?n(0)sin?(0)?n0 所以 sin?(y)?n0 n(y)从图3中知，抛物线方程（3）在B点切线的倾角为??y?(ax2)a?x2?? tan??y?? ?x?x?x利用题中告知的数学关系 ?x2?2x?x

???y?，B点切线斜率为

??得到

tan?(y)?2ax?2a再利用

y?2ay atan?(y)?cot?(y)11

sin?(y)??1?4ay1?cot2??y?代入式（4）得到 n?y??n01?4ay

讨论：（i）式（6）表示，如果介质的折射率按此y的函数变化，则在x=0处垂直射入

的光线必沿抛物线传播。不同的a值，将得到不同的抛物线。

（ii）光线从x=0处垂直入射，而介质折射率与y有关，与x无关，似乎此入射光线不会沿着弯曲的路线传播，而是沿x直线传播。事实上，在几何光学中研究的光线，已经被理想化了，在自然界是没有的。光线代表一束很窄的光束，近似于平面波上的一个小片断，当这样的平面波垂直射入光学不均匀介质中，n小处走得快，n大处走得慢，光束向折射率大的一边偏折，于是光束的方向就弯曲了，而不会沿直线传播。

19、 一半径为R1的不透明黑球外面包着一个半径为R2的同心透明介质球层，

R12?，球R23层介质的材料折射率n=1.35。球形外表面的右半部分（图1中ABC球面）为磨砂面。现用平行光从左向右沿图中所示的方向照到球层上。（已知，在题给条件下，在图面内能到达ABC面上的各光线，随着入射角的增大，其折射线与ABC面的交点是朝一个方向变动的，即没有往返的变动。）

（1）试求ABC球面上被照到的范围是什么图形；

（2）若其他条件仍如题述，但介质球层的折射率依次取出年n=1.35逐渐增加到n≥3/2的各值，试定性地说出ABC球面上被照到的范围是如何变化的。

解：图2所示为图纸平面内平行光入射的情况。其中DB为球直径，平行于入射光。AC

8

垂直DB，垂直入射光。设入射光线QM的折射光线QM’刚刚不被黑球挡住，QM’与黑球相切。图中PA以上的入射光显然照不到ABC面上。入射光线PA的折射线为AP’。因题给的已知条件，折射线与ABC面上交点随入射角的增大只朝一个方向变动，所以射至MD之间的入射光线皆被黑球所挡（这里只讨论上半球截面照射情况，下半球可依对称条件得到。），照不到ABC面上。图内所有能照到ABC面上（实际只讨论AB面部分）都落在P’Q’之间。由于轴对称性可知，ABC面上被照射到的范围为球面上一圆环形带或圆盘。下面具体作出计算：

AR1OR2PQBiMiAArMDrAOQ'?P'M?A （1）图2中P’和Q’位置用?A所以

C图1

??P'OB和?M

??Q'OB表示。对于光线PA，iA图2?900，

11sinrA?,rA?arcsin?47.80 （1） nn ?A1?2rA?900?2arcsin?900?5.60 （2）

n对于光线QM，因折射光线与黑球相切，所以

R1R,rM?arcsin(1)?41.80 （3） R2R2?nR1?0?nsinrM)?arcsin??64.2 siniM?nsinrM,iM?arcsin( （4） ?R??2? sinrM??M?所以

?2??AOQ'??2?(?MOQ'??MOA)?????????(??2rM)???iM?? 2??2?? ?M?R1??nR1?0????2rM?iM?2arcsin??arcsin?19.5 （5） ?R??R??2??2?由式（2）、（5），得

?M??A

所以ABC上被照到区为球面上以DB为对称轴球面上一个圆环形带，其边界由?A和?M确定 （2）随n的增大，由式（2）和（5）可知，?A和?M都将变小（代数值）。当?A?0时，

n?2，此时?M为

?M22?2arcsin?arcsin2?13.10?0

33所以此时ABC上被照区变为以DB为对称轴球面上一圆盘。

而当?M?0时，由式（5）可得到n的值，再代回式（2），可以判定，?A?0。即ABC上被照区仍为球面上一圆盘。

当n再大时，又变为球面上一圆环。

9

2时，由式（2）和（5）可知，?M??A，ABC上圆环趋于一圆线。这种情3况，即QM光线?PA光线，入射光线只有一条光线PA才能经折射再与黑球相切射抵ABC球

2面，当n?时，所有光线都照不到ABC球面上。

3当n?20、内半径为r、外半径为R的柱形玻璃管中装满一种液体，它在伦琴射线照射下发绿光。已知对绿光，玻璃的折射率为n1，液体的折射率为n1，从旁边看玻璃管，管壁厚度像是零，那么此时

r必须满足什么条件？ R解：如图所示，当从柱形玻璃管出来的、到达人眼的光线是沿玻璃外表面相切的方向传播时，人才会产生玻璃管壁的厚度等于零的感觉。根据对称性，我们只需研究一条由液体传出的和玻璃管相切的光线。

BAαrβ?maxORn2n1 从液体方向射向管内壁上A点的光线，设这些光线在等于2?max为顶角的光锥中，并在玻璃管壁处折射后散开，其中折射角? sin???max的光线以入射角?射向管外壁B点，经外

壁折射沿管表面切线方向射出，因此，关系式

?1 n1再对三角形ABO应用正弦定理，得到

rR ?0sin?sin(180??)rsin?即 ?

Rsin? 很容易判定，只有当

1/n1r? Rsin?max?n1时，有sinamax?时，题给条件才能得到满足。

式（3）中?max的值取决于折射率n1和n2的比值。当n2此时

n2，n1r1? Rn20当n2?n1时，有?max?90，此时

r1 ?

Rn1

10

?1,当n2?n1?r?n1统一写成 ??

R?1,当n2?n1??n221、在折射率为1的介质中，有一个光学均匀的、透明的球，其折射率n>1.球半径为R。有

两束相距d<2R的光线对称地（对球的中心）射到球上。如图所示。 （1）d和n必须满足什么条件，才能使两束光在球内部相交？

（2）必须满足什么条件，才能使两束光对任意的d<2R都在球外相交？ （3）必须满足什么条件，才能使两束光对任意的d<2R都不能在球外相交？

1d2

CDOβαβBαA 解：从图中可以看出，当折射角?等于射角??边）

从图中几何关系，有 sin??2或???时，光线1和2将分别交于球外（图中B点右边）和球内（图中B点左2d/2d? （1） R2R?时，光线1和2将相交于球面上的B点，当折2 ?若光线1和2在球外相交，有条件?? sin??sin根据折射定律，又有 sin???22，考虑到?和?都是锐角，此条件写成

（2）

1?sin? （3） n?2cos2联立式（2）、（3），再利用关系式1?cos??2，得

1?1?sin2? n?2cos?2

22?代入式（1），得到光线在球外相交的条件；

?d? n?2?4??? （4）

?R?（1） 为了使光线1和2在球内相交，其条件相反，为

2?d? n?2?4??? (5)

?R?（2） 式（4）右边的表达式，随d的增大单调减小，当d取作2R时，有 n?2 (6)

此时，不管d取何值，式（4）均成立。因此，不等式(6）就是光线1和2都在球外相交的

11

2条件，不管d取何值。

（3）式（5）右边的表达式，随d的减小而增大，当取d=0时，有 n>2 (7)

此时，管d取何值，式（5）均成立。因此，不等式(7）就是光线1和2都在球外相交的条件，不管d取何值。

注意：根据以上讨论可以看出，当n满足 2?n?2

时，两条光线可以在球内，也可以在球外相交，它取决于n满足式(4），还是满足式（5）来决定。此题同时还说明，，当点物从无限远处发出的光线，经球状透镜，将不会会聚于一点，而会产生像差（这里的像差称为球面像差）。 22、飞机场跑道上空气折射率随高度变化规律为 n?n01??y

??式中??1.5?10?6m?1,n0为地面出空气折射率。站在跑道的人，眼距地面h=1.7m，求他能

看到的跑道的长度。

yhOd图1xθdx图2nθdy

解：如图1所示，由于折射率随高度而增加，地面物体发光（或反射光）随着传播会向上偏折。将空气按高度为dy的许多薄层，则按折射定律，从地面发出光线经各薄层时有 n0?n1sin?1?n2sin?2?......?nsin?.....

式中?是光线在折射率为n，高度为y，厚度为dy的任意薄层中传播时，光线与界面法线的夹角。题设

n?n01??y

??由以上两式，得

n0?nsin?由几何关系(见图2) 得

sin??n0(1??y)sin?

dy?cot? dx?1?1?cot2?1?dx?1???dy????22

把上式代入式（1），得

?dx? 1??y?1???dy??

??即

?dx?22 1???dy???1?2?y??y

??22因?很小，y有限，故?y项可略，得

12

2 或

dx?2?y dydx?2?dx y这就是光线轨迹遵循的微分方程。积分得 2 y?y?2?x?C x2

因x=0处，y=0，故积分常量C=0。代入，得出光线的轨迹为

?2这是抛物线。当y=h时，有 d?2h??1.5?103m

即高度为1.7m的人眼所能看到的跑道最远处与他相距1500m，再远就看不见了。

23、如图1所示，等腰玻璃三棱镜的折射率n?1.50，顶部截去，底部浸在水中，水的折射率n水?1.33，入射的平行光与底面平行。试问：

（1） 角?至少应多大才能使光线在棱镜底面上发生全反射？

（2） 透过上述棱镜观察远处的物体，并使棱镜以入射光线为轴以角速度ω旋

转，将观察到什么现象？

ABθnθθθ'???'B’A’B’A’AB图2n水图1 解：（1）如图2所示，入射为

sin90????nsin?'

即 cos??nsin?'

折射光线要在底面上发生全反射，必须满足 nsin???'?n水

???90???，设折射角为?'?

，由折射定律，有

??即 sin?cos?'?sin?'cos?由式（1）得 sin?'??cos? n122n?cos2? cos?'?1?sin?'?n2222代入式（2），得 1?cos?n?cos??n水?cos?

或

n水 n?n2?2n水?1cos2??n2?n水2

2?n2?n水2 cos??2

n?2n水?1?故 ??25.4

13

即?角至少应为25.4?才能使光线在棱镜底面上产生全反射。

（2）如图2所示，当棱镜以入射光线为轴以角速度ω旋转时，像A'B'相应地旋转。当棱镜转过180o角时，偈转了360o角，因此像旋转的角速度为2ω，是棱镜角速度的两倍。 24 、如图1所示，平板玻璃的折射率n随x变化的规律为 n(x)?n0x1?r式中n0?1.2,e?13cm。光线从x?0处沿y轴入射，经平板玻璃后从A点以??300角射

出。

试求：（1）光线在平板玻璃中的轨迹； （2）A点处平板的折射率； （3）平板的厚度d.

yαAnθθdxxx+dx图2图3αdn(x)dyx?AnAo入射光图1x

解:与上题类似，因n随x增大而增大，光线在平板中传播时将逐渐向右弯曲（如图1所示）。克将平板分成许多与y轴平行的薄层，各层的折射率可视为常数。由光线在各层传播时遵循的折射定律及几何关系，可得出光线在平板中传播的轨迹。进而再得出A点处的折射率nA以及平板的厚度d?y(xA)。

（1）把平板分成许多与y轴平行的薄层，其中在x处，厚为dx的任一薄层的折射率为n，如图2所示。光线在该薄层两界面上的折射角和入射角均为?（见图2），则由折射定律和几何关系，有

n0?n1sin?1?n2sin?2?.....?nsin??..... 由题设

n(x)?故

n(x)?又，如图2， 由以上两式，得

n0x1?r

n0sin? x1?rdysin??tan??

2dx1?sin? 14

x(1?)dxr dy?

2?x?1??1???r?积分，得

?x? y??r1??1???C

?r?因在x?o处，y?0，故积分常量C=0。代入，得出光线在平板玻璃中传播的轨迹方程为 ?x? y??r1??1??

?r?平方，得

22?2xx2?222?1?1???2rx?x??(x?r)?r y?r? ??rr??22即

x?r?y?r

因此，光线在平板中的轨迹是以（r,0）为圆心，以r为半径的圆 （2）如图3所示，把折射率定律用于A点处的平板界面，得 nAsin(900??A)?sin? 又

n0?nAsin?A 由以上两式，得 nA??222?sin?sin???2cos?A1?sin?Asin??n2?1???n???A?2?nAnA?n022

即

nA?n02?sin2??1.3

（3）由光线的轨迹方程 y2平板的厚度d是x?因

nA故

xA代入，得

d?25?5cm

25、 白天沙漠上空的气温随高度y增加而递减，下层空气温度较高，密度和折射率较小，上层空气则相反。这种折射率的不均匀分布造成了所谓海市蜃楼现象。比较符合实际的折射

15

?2rx?x2

xA处的y值，即

d?y(xA)?xA(2r?xA)

?n0x1?r

?nA?n0r?1cm nA

率随高度变化的规律为 n2?y??n02?nP2(1?e??y)

式中n0是y=0处的折射率，nP和?是两个常数，由温度分布确定。

今在x=0,y=H(x为水平轴）处有一物点，考虑该物点发出的某条与地面法线夹角为?1的光线。试求该光线在空气中传播的轨迹方程，作图，并由此解释海市蜃楼现象。

yPH?1??n1n2nn0x图1 On?dx?dy

yPHOP’图2BCAx

解：如图1所示，取Oxy坐标，并将空气分成许多平行地面的薄层。物点P所在薄层的折射率为n1，光线与地面法线的夹角为?1；以下各层依次为n2,?2;n3,?3; ?..。任一薄层为n,?，其厚度为dy。由折射定律与几何关系，有

n1sin?1?n2sin?2?.....?nsin??.....

及

sin??dx?dx???dy?22?1?dy?1????dx?2

故

1n2?dy? ????1?22?1 （1） 2n1sin?1?dx?sin?dydy?0，上式开方后取负值。由题设， 因dxdx222??y n?y??n0?nP(1?e)

代入，得

2 16

dyn21??22?1??n02?nP2(1?e??y)?n12sin2?1??12dxn1sin?1n1sin?1 ??1?n20?n2P?n22??yn1sin2?1?nPe?121sin?1????nPe2y?n20?n2212P?n1sin?1?2nsin??2?1?11??n??yPe??令

22212221???22?n?n?0?nP?n1sin2?1??n0?nP1sin2?1????n2e??y???????n2?e2y?ke2yPP??式中 22212 k??2?n0?nP?n1sin?1???n2? P??于是方程变为

dxn??p2y1dy??ensin???2?1?2

11?dy??ny

1sin?1e2np??2?1?1dy2由式（2），有

d??k??2y2edy 代入dx表达式，得 dx??2n1d?

k?nsin?1p??2?1?12积分，得

x??2n1

k?nsin?1arch??Cp

arch???k?np2n?x?C?1sin?1与式（2）联立得 ??cosh??k?np??y ??2n?x?C???ke21sin?1?故

17

（2）3） （??k?np????cosh?x?C??2nsin???2?11???

y?ln????k?????这就是光线的轨迹方程。式中k由式（3）给出，n1是y=H处的折射率，积分常量C由x=0

处y=H确定，为

H???2n1sin?12?arch?ke? C?? k?np?? 由光线的轨迹方程，从P点以下不同的角?1发出的各条光线的轨迹大致如图2所示。由

于y减小，n增大，相应的角?亦增大，会出现全反射。人在A处观看，以为光线来自P’

（P’是物点P的倒影），却看不到物点P本身。人在B处，既可以看到物点P，又可以看到倒影P’。人在C处，物点P和倒影P’都看不到。因此，随着人的移动，影像时有时无，不断变化，这正是海市蜃楼的特点。

26、在湿冷的海水上空，空气折射率随高度增加而递减，由于光线向下弯曲，会出现蜃景。空气折射率包括一常数项和另一随高度y变化的项，为

n2?n02?np2e??

式中n0为常数，在一定的温度梯度下np和?也是常数。设物体离海平面的高度为y0，试求光线的轨迹方程，并解释上现蜃景现象。

P’yPy0

解：把空气分成许多水平薄层，考虑在y=y0处以?1为入射角的光线，其轨迹方程可由下列方程解出（参看上题）。

Oxdyn2??22?1 （1） dxn1sin?1式中n1是y=yo处的折射率，式中n(y)为 n2?n02?np2e??y （2）

dy1??np2e??y?n12sin2?1?n02dxn1sin?1代入试（1），得

????12

?n1sin?1?n0?y?npe??e??1?2n1sin?1?np???222?y2?12 （3）

令

?yn12sin2?1?n022 k?,??ke 2np 18

则

1npe2dy22??1?? （4） dxn1sin?1????yk??e2dy （5） d??222因n1?n0,对于不太小的?1角，总有n1sin2??n0?0。把（4）式改写为

dx??n1sin?1npe?y2?2n1sin?1dy??2k?np1??1??2dy

积分，得

?y2n1sin?1arcsin(ke2)?C x??k?np或

k?nparcsin(ke)??(x?C)2n1sin?1?2yy???2??1?k?np?ln?sin??(x?C)???????k?2n1sin?1?

式中积分常量C由x=0处y=y0决定，为

?y2n1sin?1arcsin(ke2) C??k?np从P点发出的不同?1的光线的轨迹如图所示，结果出现了上现蜃景。

27、 已知光学纤维的折射率n沿径向的分布为 n2式中n0为中心的折射率，?为比1小得多的正数。试求光线在纤维中传播的轨迹。

?n02(1??2r2)

yyoyxo??图2x2?3?o?0x图1??

解：取坐标如图1所示，纤维轴线为x轴，其横截面的径向为r轴。考察光线在xr 平面内的传播，把平面分成许多平行于x轴的窄条，每一窄条对应薄圆筒的厚度。设光线从r=0处以?0的掠入角入射到光纤端面?0也即光线与光纤层的入射角，则由折射定律和几何关系（见上两题）。

n2dn2dr?dr? ??? 2n0sin?0drdx?dx?其中

19

2 n2代入，得

?n02(1??2r2)

d2r1dn2?2 2???2r 2dxn0sin?0drsin?0即

d2r?2 2?r?0

dxsin2?0解出

????x??0? r?Asin?? sin?0??式中的常量A和?0可由入射光的方向和入射点的位置确定。因

x=0处r=0

故

Asin?0因x=0处，

?0

dr?|x?0?Acos?0?cot?0 dxsin?0故

A?cos?0由以上两式，解出 ?0?cos?0

cos?0

?cos?0?0或?，A?当入射光向右上入射时，cos?0?0,故cos?0?0,?0?0,A?cos?0cos?0?0,故cos?0?0,?0??,A??cos?0cos?0?；当入射光向下入射时，

?

因此，入射光从O点入射时，光线的轨迹方程为

????r?sin?x??，向右上方入射 ?sin?0???cos?0???sin?x?? r????，向右下方入射 ?sin?0??2?sin?0.显然，可见，光线的轨迹为正弦波形，其空间周期为T?从不同方向入射的光线，

?其?0不同，T也不同。但对小角度入射到光纤层的光线，?0同的空间周期T??2,sin?0?1，具有近似相

?2??，它们的轨迹如图2所示。故小角度入射的光线在纤维内有自聚焦的

作用。

28．试解释光学系统的实物、虚物、实像和虚像。

解：入射孔液到该系统的同心光束若是会聚的，其会聚中心（也可能是光线延长线会聚）为虚物：若入射的同心光束是发散的，则发散光束的会聚中心为实物。

若离开系统的光是会聚光，它（或其延长线）的中心为实像：相反，离开系统的光是发散的，该光束的中心为虚像。

20

29、计算2?,3?,5?,10?放大镜或目镜的焦深。

解: 放大镜（或目镜）的工作距离是要使得物体处在第一焦距附近稍靠里一些的小范围内，这样才能形成一个明视距离s0以远的放大虚像供人眼观察。所谓“焦深’就是指的上述小范围的纵向间隔?x，此值也正是与明视距离相对应的物距。令相距x'??(s0?f)，由牛顿公式得

f2f2 x? ??x's0?f可知视角放大率M?s0/f，替换上式中的焦距f得

s0 x??

M(M?1)焦深为

?x?由此算出

x?s0

M(M?1)MM

MM?2?,?x?4.17cm?3?,?x?2.08cm

?5?,?x?0.83cm?10?,?x?0.23cm由此可见，高倍放大镜或目镜的焦距很短，焦深也随之缩短，要求实验调节更要精细。 30．显微镜的孔径光阑和入射光瞳通常是其物镜的边缘，求出实验调节更要精细，明在傍轴近似下出射光瞳的直径与入射孔径角的关系是

2s0nu0D'?|m|式中s0 s'???1?

?25cm是明视距离，M是显微镜的视角放大率，n是物方折射率。

??fe??fe?fe ???fe? ?f'0???解：（1）出射光瞳为物镜（孔径光阑）对目镜所成的像，由高斯公式得出射光瞳离目镜的距

离（像距）。

式中为显微镜的光学筒长。

（2）以物镜为物，目镜的横向放大率为 Ve??fe f'0???D??feD

f'0??故出射光瞳的直径为 D'?Ve式中D为物镜直径，在傍轴条件下 D?2f0u0 改写D'为 D'??f0fe2u0 f'0??考虑到显微镜总的（角）放大率

21

M再改写D'为

??s0? f'0fe D'?考虑到 最后得

D'?f0?2s0u0

f'0f'0??Mf0??n，?1 （??f'0） f'0f'0??2ns0u0 M凡是显微镜中的问题，应注意到它的特点是短焦距，筒长远远大于焦距值；它工作于齐明点时，对物镜来说满足阿贝正弦条件。

31．试作两个薄透镜组装一台简易的望远镜，要求：

（1）该望远镜能分辨100m远物面上1mm间隔的两条刻线； （2）镜筒长度（指物镜与目镜之间的距离）为62cm。 试求：

（1） 物镜的口径应选多大？

（2） 物镜焦距与目镜集中应选多长？ （3） 指明这台望远镜的出射光瞳的位置；

（4） 当目镜口径选为3cm时，这台望远镜的入射视场角为多少？ 解：简易望远镜光路哪图所示：

L0D1LeF0'Fef0dDeD2Fe'fe

（1） 按题意应要求此望远镜的最小分辨角为 ??m?1mm?5?10rad 510mm根据望远镜分辨角公式 ??m?1.22?D

物镜口径应不小于 D1?1.22?0.55?m?1.22?6.7cm ??m10?5?1'?3?10?4rad

（2） 考虑到眼睛的最小分辨角为 ??e M应使望远镜的视角放大率满足

???e?30倍 ??m此为正常放大率值，而放大率与焦距的关系为

22

fo?30 fe又 fo?fe?62cm 联立解出 fo?60cm fe?2cm

M?（3） 望远镜的孔径交阑就是物镜口径本身，它对目镜（短焦距）来说为远物，

报以物镜在像方的像位于目镜后焦点F'e附近，此为了出射光瞳位置所在。于是目镜口径便是视场光阑，也是出射窗。

（4） 它对物镜中心所张的角u0就是入射视场角，

u0角由下式定：

u0?arctanD231?arctan()?arctan?0.024rad?1?23' 2d2?624132、试推际单球面系统中近轴物体与成偈的亥姆霍兹不变式

ny??n'y'?'

带撇的指像方折射率、像长和成像光线与光轴的夹角，见图1.V1为球面顶点，C为折射球面的曲率中心，F1、F＇1为焦点。A、A＇为物点和像点．令轴ＡＡ＇绕固定点Ｃ旋转小角度得新的轴ＢＢ＇．球面顶点、焦点、物点、像点也随之位移到新的位置V2、F2、F'2、Ｂ及Ｂ＇．它们之间的位置关系屯在ＡＡ＇轴上的位置关系完全相同，所以Ｂ和Ｂ＇也是一对共扼点，而且物距、像距及焦距与原来相同。当旋转角度不大时，弧有AB?AB及A'B'可以用弦AB及弦A'B'代替。而且近似地

n'C??AA'，A'B'?AA'。意指：垂直于光轴的近轴小物体AB的像为A'B'。

F2nαF1SByAV2V1RF1'-αF2'S’A’?y'B’

解 由图1可知，单一折射球面的横向放大率为 My由近轴成像公式

图1

?y'R?S'? yR?Sn'nn'?n?? S'SR得到R并代入放大率公式有My??nS' n'S由图1，折射面对共轭物像点的角放大率为 M?比较上述两式有 M???'S?? ?S'?My?nn'

即ny??n'y'?'

此为亥姆霍兹不变式，对于多球面系统也适用。式中各量物理意义参见图2。

23

yAn?n’??A’?y'图2

33、有两个完全相同的胶合在一起的表壳薄玻璃片，后者镀银，利用息准直法，如图所示，在L?20cm处得到明锐的焦点，求出当两块表壳玻璃之间充满的水时，L为何值可以得到明锐的焦点。

L充满水白屏灯泡 解 如图所示，当表玻璃之间充满空气时，第一个表壳玻璃对光线无会聚或发散作用，所以只有镀银的表壳玻璃使光线改变行进方向，起反射会聚成像作用。由近轴球面折射公式（采用新笛卡儿符号规则）。有

n'nn'?n?? l'lr其中 n'??n??1

l'?l??L??20cm

解之得表壳球面的曲率半径r??20cm。

当表壳玻璃之间充满水时，入射光线经两次折射和一次反射自准直成偈，应用近轴球面折射公式得到

n1'n1n1'?n1?? l1l1r1112 ??

l2'l2r2n'nn'?n3 3?3?3

l3'l3r1其中n1?n3'?1,n1'?n2?n3?43 r1??r2?20cm l1'?l2,l2'?l3,l1?l3'

将以上数据代入方程组可求得

l1?l2?l2'?r2??20cm(中间像点与第二面球心重合）

?l3'??L??12cm

所以，当两表壳玻璃之间充满水时，在L?12cm处可得到明锐的焦点。

34、一个物体被放在焦距长为10cm的会聚透镜前10cm处，在会聚透镜后5cm处放置一个焦距为?15cm的发散透镜，见图1。试求出最后像的位置、大小和虚实倒正。

l1 24

f?10cmf??15cm10cm图15cm

f1?10cmf2??15cmFF1FF2'10cm10cm5cm22.5cm图2

解 根据题意，会聚透镜的前焦点F1和发散透镜的后焦点F2'重合于会聚透镜前并且物点位于此点。设F,F'为这两爱镜组合成的组合系统的前焦点和后焦点（如10cm处，

图2所示）。

首先求像的位置（用 逐个成像法）。对于第一个透镜（会聚透镜）。

物距s1??10cm,f1??f1?10cm，像距s1'??。 对于第二个透镜（ 发散透镜）， 物距s2??,f2'??f2?15cm。 由高斯公式

f2'f2??1,s2'?f2'??15cm s2's2所以像的位置与物的位置重合。 再求像的大小和特征，因为

ff2' ，??d?f?f2'，d?5cm ? f1'?10cm， f2'??15cm f'?15cm

f'??所以

f1f1'??10cm

d?f1'?f2'f2f2'?22.5cm F2'F'??d?f2'?f1则x?10cm。由牛顿公式xx'?ff'，得

ff'??22.5cm x'?x F1F? 25

x'f???1.5(倍)，像为正立放大1.5倍的虚像。 f'x35、薄正透镜在很远处形成一物体的实像如图1所示.像高h,像距4l;一负透镜L2,焦距l,放于离L1距离2l处.另一正透镜L3,焦距为2l,放在离L1距离为3l处,如图2所示. (1) 求最后成像位置离L1的距离.

垂轴放大率???(2) 求像高.

L1h01234d/lL2L334d/l012d1图1d2图2 解 (1)由已知条件可知与及与之间的间隔分别为,如图1和图2所示,利用透镜成像公式,

111?? uvf参见图3

L1hL1L2L3S1?4l(a)图3 对L1:v1d1?2ld2?l(b)

?4l,

对L2:f??l,u2??(4?2)l??2l,所以v2??2l, 对L3:f3?2l,u3?2l?l?3l,所以v3?6l 从L1到最终像的距离为3l?6l?9l.

(2)横向放大率 M?v2v3??2 u2u3所以最终像高为

h'?Mh?2h 36、如图所示的一个棱镜和两个透镜所组成的光学系统，求图中物体所成像的位置和大小（物体长度为1cm）。

26

4506cm10cm6cm5cmn=1.5450

f1?20cmf2??10cm解：直角棱镜n?1.5，全反射角?1?arcsin?42??45?，故物体之像在棱镜的斜面上

n

被全反射，即物体将首先在棱镜左侧成虚像。又考虑到直角棱镜等直角棱镜等价于厚d?6cm的平板，会产生像的平移。即

1??1???L?d?1???6??1???2?cm?

?n??1.5?故等效物距为

u1?10?6??6?2??20?cm?

u1与f1相等，故v1??.。

对第二个透镜，有

u2??,f2??10cm 可见

v2?f2??10cm

即位于第二个透镜左侧处，是倒立虚像，像的大小为 l2?f2l1?0.5cm f137、一组合显微镜物镜焦距为0.5cm，目镜焦距2cm，如果透镜间距为22cm，都看到的像在?处，那么物体到物镜的距离应是多少？放大倍数是多少？误差在?10%之内，由透镜公式

111??，推出所以有必要的公式。眼睛的正常近点是15cm。 pqf解 以下标1代表物镜，2代表目镜，物距为p，像距q和焦距f均取正值。由q2??知，p2?f2?2cm，即经物镜所成的像在目镜的前焦面上，所以 q1?d?p2?20cm，（d为两透镜间距）。代入

111 ??

p1q1f1得

p1?0.51cm

cm处。 即物体应放在物镜前0.51 设物体高为，则经物镜所成像的高度为 y'?所以经显微镜所成像的视角为 ?'?q1y p1y'q1y? p2p1f2 无显微镜时，人眼近点观察物体，视角为

27

??y 15所以显微镜的放大倍数为 M??'15q1??2.9?102 ?p1f138、照相机镜头L前2.28m处的物体被清晰地成像在镜头后面12.0cm处的照相胶片P上，今将一折射率为1.50、厚AB=0.90、两面平行的玻璃平板插入镜头与胶片之间，与光轴垂直，如图1所示。设照相机镜头可看作一个简单薄凸透镜，光线为近轴光线。 （1）求插入玻璃板后，像的新位置。 （2）如果保持镜头、玻璃板、胶片三者间距离不变，并要求物体仍然清晰得成像于胶片上，则物体应放在何处？

0.90cmLPCiDrFEb8.0cm12.0cm图1dP1P2图2 解：（1）设未插玻璃板前，由C进入的近轴光束会聚于像点P1。当插入玻璃板后，由于光线的折射作用，像点位置的变化如图2所示。旁轴光线CP1，经平行玻璃板折射的光路变为CDEP2。光线在平板左侧表面的入射角i和折射角r均为小角度。反向延长EP2交D点处的法线于点F,因DF P2P1为平行四边形，所以

P1P2?DF?利用小角度近似

bbtanr??d?d. tanrtanitanitanrsinr1?? tanisinin所以

P1P2?1??d?1??

?n?这个结论对任何会聚于p1点的旁轴光线均成立。因此，向轴上p1点会聚的旁轴光束经平面玻璃板折射后会聚于轴上p2点。即像点由p1移至p2，移动距离为 P1P21???0.90??1???0.30(cm)

1.50??像的新位置在镜头后面12.0+0.30=12.3cm处。

（2）如果镜头、玻璃板、胶片三者距离不变，只是调整物距才能重新成像于胶片上。此时相距应修正为

v?12.0?0.30?11.7(cm) 利用未插玻璃板时成像条件，求出照相机镜头焦距f

111?? 28812f

f?11.4cm

28

由v、f，求解u

111?? u11.711.4解得

u?4.45m

即，物距为4.45m时，插入玻璃平板后，仍可在胶片上得到清晰的像。

39、有一薄凸透镜，凸面曲率半径R=30cm .已知在利用近轴光线成像时，若将此透镜的平面镀银，其作用等同于一个焦距是30cm的凹面镜。若将此透镜的凹面镀银。其作用也等同于一个凹面镜，求在这种情况下的等效凹面镜的焦距。

iu60cmi'RhC1BAhii'h’C2oR=30cm图2图1 解：解法一 透镜的平面镀银，其光路如图1所示。它等同于一个焦距为30cm的凹面镜，即等效于一个曲率半径是60cm的球面反射镜。这是因为对于平面镀银的透镜，当物点置于等效曲率中心C1处时，发出的任一近轴光线经凸面折射、再往平面的反射后将沿原路返回，然后再经凸面折射后，光线还通过C1点，物像重合。由此可知，光线在透镜内的方向必垂直于平面，即平行主光轴。

利用折射定律在近轴条件下的表示式：

i?ni',i?u?i' （1） 所以得到

u?i'?ni' 即

n?1?再利用图中几何关系 uu （2） i'?hh,i'? 6030得到

n=1.5 （3）

透镜的凸面镀银，其光路如图2所示。根据前面的分析，在此只需找到等效曲率中心即可求出焦距f。

通过凸面上近轴的任一点A作一垂直于球面指向曲率中心C1的光线，此光线经平面上B点折射后交主光轴于C2。

令C2O=r,根据近轴条件下的折射定律

ni?i' （4） 对于薄透镜

i代入上式，得到

r?hh,i'? Rr?R （5） n根据光路可逆性，在图2中由C2发出的光线经平面折射、球面反射，沿原路再经平面折射，

29

回到C2点，则C2就是等效凹面镜的曲率中心。所以可以得到等效凹面镜的焦距

f1?rR??10cm （6） 22n解法二 题中所给条件：“若将此透镜的平面镀银，其作用等同于一个焦距是30cm的凹面镜。”我们在前面已经提到，这等于指出，这个平面镀银的透镜等效于一个曲率半径为60cm的球面反射镜。利用图1，设想在C1点发出一条近轴光线，经球面折射后必成为平行主光轴向前发出。由C1发出的别的近轴光线也一样。因此，若平面不镀银。则由C1发出的近轴光线经薄透镜变成平行光。C1就是焦点，焦距

f=60cm （7）

综上所述，题中所给的那个条件，等价于给出了薄透镜的焦距。

把如下条件，R=30cm,f=60cm。用于凸面镀银的透镜。利用图2，设想从主轴上C2发出一条近轴光线C2B，经平面折射后恰好沿着球半径行进，此光线经球面反射沿原路返回，再经平面折射又回到C2点，C2是等效曲率中心，有关系

C2O?2f1 （8）

若凸面不镀银，仍由C2发出一条近轴光线C2B，经平面折射后沿球半径行进，经球面不发生折射继续直线行进。此时反向延长线所交点C1为虚像，像距v??R，因此有成像公式 解得

111?? （9） 2fRfRf?10cm （10）

2?R?f?f1?此结果与式（6）相同。

40、长度为5.0mm的线状物体垂直于光轴置于照相机前50cm处，在试片上成像，像长1.0cm，若底片上成像后移1.0cm，像弥散斑宽度为1.0mm，求相机的F数。

s

解 相机的F数为相对孔径的倒数Fs’? ?1 DfD为相机孔径，f为镜头焦距。由物像公式有

111 ??

s'sfy's'???

ys s?50cm,y?5.0cm,y'?1.0cm

解之得

s'?10cm,f?50?8.33cm 6 由图中几何关系知 故

30

D0.100.100.10?,D?s'??10?1.0?cm? s'??1.0

F?1?8.33 Df

41、如图所示，照相机镜头将一物点聚焦成一像点，若物点移动一段距离?q，度片上形成半径为l的弥散圆，?q称为景深，试推导景深作为物距q、透镜焦距及弥散圆半径l的函数表达式，你可以认为物距远大于焦距。

f和相对孔径Df以

Dl?qq

解 如图，由高斯公式 有

q’?q'

111?? qq'fdq'q'??()2 dqq2当物偏听偏离一个小量?q时，有

?q'? ?q'??q??q??

??由几何关系知

?q'?q'??q'?q'?? lDD当q?f时，q'?f。我们得到

lq'?q?lf?q?l?q??????? ?q? ????????D?q'?D?f?F?f?式中相对孔径F?Df。

cm到300cm内的物体，把眼睛简化为离视网膜2.0cm的一个简42、有一老人能看清从100单透镜。求

（1）看远点?300cm?时，透镜的焦距是多少？ （2）看近点

222?100cm?时，透镜焦距是多少？

（3）为看清25cm远的物体，须配多少焦距的透镜？

111 ??u远vf远 代入u远?300cm，v?2.0cm，得f远?1.99cm。 （2）上式中若u近?100cm，有f近?1.96cm。 （3）为看清u?25cm物体，则有

1111??54 （屈光度） ????uv0.250.02解 （1）由

31

1 f近1?3（屈光度） ?镜????眼?54?0.019611?m?33cm 或f镜??镜3而 ???眼??镜，?眼?43、在直立的平面镜前放置一个半径为R的球形玻璃鱼缸，缸壁很薄，其中心距镜面3R，缸中充满水，远处一观察者通过球心，并以镜面垂直的方向注视鱼缸。一条小鱼在离镜面最近处以速度v沿缸壁游动。求观察者看到的鱼的两个像的相对速度，水的折射率n=4/3。如图1所示。

n=1G3RQn=4/3R图1 G1Q12RRG'Q'RGCQQ''7R/3Q2G216RG''图2

解：设鱼在图1中Q处，紧靠鱼缸，观察者在适当距离可以看到鱼的两个像。一个像是由鱼经右侧球面折射形成的像Q’，如图2所示；另一个像是这样形成的；从鱼向左射去的光经平面镜反射在平面镜左侧形成一个虚像Q1，与平面镜的距离为2R；Q1对球形鱼缸而言是实物，经过左侧球面折射形成像Q2；Q2对右侧球面而言又是物，再经右侧球面折射形成像Q’’。Q’和Q’’就是观察者看到的鱼的两个像。球面折射成像公式为

nn'n'?n?? （1） uvr如果在?t时间内，鱼游至图1中G点，QG?v?t，其中v为鱼游动的速度。而G也

将有一系列像G’、 G1 、G2、G’’。观察到的速度之比。也就是Q’G’与Q”G”之比。如果将QC看作在Q处的小物体，这一比值即位放大率之比。有了这个放大率，相对速度就迎刃而解了。

（1）求Q’：此处方程（1）中各参量分别为

n?则像距v’为

4,n'?1,u?2r,r??R 3?1?n'?nn? v'?n'?????3R

u??r放大率为

32

K'??v''n?2 （2） un'即Q’在Q点左方，相距R处，是一个放大的正立虚像。

（2）求Q1和Q2：Q往左侧平面镜成虚像于Q1，Q1在平面镜左边与Q对称位置，为正立虚像，放大率

K'?1 （3）

Q1作为物在左侧球面折射将成像于Q2。此处方程（1）中各参量分别为 n?1,n'?则像距v2为

4,u?4R,r?R 3?1?n'?nn? v2?n'????16R （4）

u??r放大率为

K2??v2n??3 （5） un'即Q2在左侧球面顶点的右方，相距16R处，是一个放大的倒立实像。

（3）求Q”： Q2作为像在右侧球面折射将成像于Q”。此处方程（1）中各参量分别为

n?则像距v’’为

4,n'?1,u?4R,r??R 3?17?n'?nn? v''?n'????R （6）

u?3?r放大率为

K3??v''n2? （7） un'922?1?(?3)??? （8）

93即Q”在右侧球面顶点的右方，相距7R/3处，是一个放大的，与Q2均在主光轴同侧的实像。

由Q最后成像于Q”的总放大率K”为 K''?K1K2K3所以是一个缩小的倒立实像。

综合起来，由方程（2）和（8）可以知道，右侧观察者将看到鱼的两个像，其中一个像向上运动，由Q'?G'，另一个像向下运动，由Q''?G''，其速度大小分别为2v和2v/3，两者的相对速度为8v/3。如果在Q附近的鱼缸壁上刻有刻度，我们将看到鱼的两个像在相同的时间内游到同一刻度处，而事实上两个像在空间以不同的速度运动。

当然，在用肉眼观察时，因为Q’和Q”相距16R/3,观察者必须在离鱼缸较远处才能同时看清这两个像。

3的水。观察者沿直径方向看沿直径从远端逐渐移近的物体。设4球半径r?5cm，移动速率为v?1cms。试分析像的位置如何变化，并计算物体开始时以及移动了2.5cm,5.0cm时像的速率。

44．薄壁玻璃球内充满n?解 利用近轴条件下单球面的阿贝不变量公式

n0n1n0?n1 ??ss'r式中s,n0属物空间，n1,s'属像空间。

33

n0COn1 如图，右侧球面与光轴交点为坐标轴的原点，沿光线方向取正号，在本题情况s?0,r?0.

srn1

n0r??n0?n1?s开始时s?2r,s'?3r??15cm

3s?r??7.5cm,s'?1.8r??9cm而 2s?r??5cm,s'?r??5cm所以有s'?又对阿贝不变量方程两端对时间求导，有

?

n0dsn1ds'?2?0s2dts'dtn0?s'???vn1?s?2

v'?可见像的速度与物速度同方向，都是从左到右，向着观察者运动。 物开始运动时，像的运动速率为2cm率为1.3cm3s；s?r时，像速率为1.6cms；s?r时，像速

2s。即起来，物体运动好像越来越慢。

45、望远镜物镜的直径为75mm，求放大率为（1）20倍、（2）25倍、（3）50倍时，望远镜中月亮的像观的主观亮度与天然主观亮度之比。设眼瞳的直径为3.0mm。

解 天然主观亮度是无仪器时视网膜上像的照度，计算公式为

k?B?De??? H0???4?f?有仪器时的视网膜上偈的照度称为主观亮度，计算公式为

2k?B?D'e???H?? 4?f??式中B为物的亮度，D'e为有效眼瞳直径。当望远镜出瞳直径D'然主观亮度，两者之比为

2?De时，应取

D'e?De，此时主观亮度与天然亮度相等，当D'?De时，应取D'e?D'，主观亮度小于天

H0?De??DeM??????? H?D??D?讨论De?3.0mm,D?75mm时的情况：

D?3.75mm?De?3.0mm （1） 当M?20时，则D'?MH此时 0?1

HD?3.0mm?De （2） 当M=25时，则D'?M

34

22 此时

D?1.5mm?De M22H0?DeM??3.0?50???此时 ?????4.0 H?D??75?46、一天文望远镜的物镜直径等于18cm，透光系数为0.50，已知肉眼可直接观察到六

（3） 当M=50时，则D'?等星。求

（1）用此望远镜所能看到的最高星等； （2）最适宜观察星的放大率（正常放大率）；

（3）当放大率为10倍时可见昨的等次。设眼睛的瞳孔直径可取。

（注：星等增加一等，其亮度减少到15100?12.5t）

解 （1）此题应将星体当作点光源处理，视网膜上像点的亮度直接取决于进入眼睛的全部光通量。无望远镜时，进入眼瞳的光通量为 ??e?D有望远镜时，进入物光的光通量为???D

考虑系统的透光系数k，从出瞳通过的光通量减为

??'?k???kD

为D'?De时，显然从望远镜出瞳通过的光通量全部进入眼瞳，故此时

2?D???'180????k??0.50????1800 ????e?3.0??De?22H0?1 H2e

2按天文学上关于星等划分标准，此时所能看到的最高星等（弱星）为 N?N0?log2.51800?6?8?14（等） 式中N0是裸眼可见的最高星等，为6等。

（2）为满足D'?De条件，合理的设计应是望远镜的放大率M满足 D'?算出 MD?De MD180??60(倍) De3.0（3）若放大率过小，以致D'?De，显然从望远镜出瞳通过的光通量只有部分进入眼瞳，

?按比例应为

?D?2 ??\?k?e?D

?D'???\故 ?kM2

??e当该远镜的放大率M?10时，D'?D10?18mm?De，故按上式算出

此时可见到的星等为

2N'?N0?log2.550?6?4.3?10（等）

47、求数值孔径NA?1.5的显微镜的正常放大率，设瞳孔直径为3.0解显微镜的数值孔径、放大率、出瞳孔径之间的关系为

D'?2S0。

NA M式中S0为明视距离250mm，D'为显微镜出瞳孔径。合理地设计出瞳孔径等于人的瞳孔大小，此时放大率M为

35

M?2S0NA2?250?1.5??250（倍） De3.0f2。

f1?3.00cm，P与L1之间距离

48、一个光学系统结构如图所示，一个薄凸透镜L1焦距f1，另一薄凹透镜L2焦距为?成像面P除放有照相底片，L1与P的位置固定不动。现给定

l?4.50cm。L1和L2之间距离d是可调的。要求通过调节d使无穷远处的物或近处的物都

能在底片上成实像，问：

（1）如果f2?3.00cm，物体从无穷远处移到u1?100.0cm处，则L2移动的距离应为多少？

（2）是否只要f2和d取值适当，不管物体在什么地方都能在P上成实像？如不能，则对物距有何限制？

（3）如果要求采用一个焦距确定的L2，通过调节d的数值使物距满足上面（2）中要求的物体都能在P上成实像，则L2的焦距f2应满足什么条件及相应的d的调节范围。

物L1O1u1dL2O2l 解：（1）设物体经L1后所成的像距为v1，最后成像于P时，L1和L2之间的距离为d，则由透镜成像公式有：

111?? （1） u1v1f1111 ??? （2）

d?v1l?df2当u1??时，由式（1）有

v1?f1 （3）

代入上式得

111???

d?f1l?df2代入题中所给数据，f1?f2?3.00cm,l?4.50cm，得

d2?7.5d?9?0 7.5?4.5d?2本系统要求d?l?4.50cm，取合理解

d=1.50cm （4）

当u1=100.0cm时，设相距为v1’, L1和L2相距d’，成像于P面，则成像公式重新写出

111??100v1'3

111???d'?v1'4.5?d'3联立两方程，消去v1’，得

36

d'2?7.59d'?9.68?0

7.59?7.592?4?9.687.59?4.35 d'??22联合理解

d’=1.62cm （5）

因此，物体从无穷远处移到u1=100.0cm处时，为使物都在底片上成像，L2应向P移动距离为

?d?d'?d?0.12cm （6）

（2）考察能在P上成实像的条件。从L2成像开始讨论。设物距为v2，有成像公式

改写为

111??? u2v2f2111??? v2u2f2 此处f2为焦距绝对值。要求经L2成像于P上，即要求

v2?0 （7） 因而必须有

u2?0 ， u2?v2而且

?即

u2?f2 （9）

式（8）第一式u2?0表明，实物经L1所成的像（即L2的物）必须位于L2右侧，更在L1的右侧，且是一个倒立实像，必有

v1?f1 （10） 由式（9），此像应位于L2的中心和焦点之间，再由式（8）的第二式有 v1?l?d （8）

11? u2f2?u2?d?l （11）

综合式（10）、（11），有结论：要在P上成实像，L1所成的像，用相距表示其位置，满足不等式

3.00cm?f1?v1?l?4.5cm （12）

在此条件下，就可以在L1和L1的像之间放，并适当选取f2，即可实现在P上成实像的目的，f2可由成像公式得到。

v1是由u1决定的，对v1的限制可以改写为对u1的限制。利用成像公式，写出u1和v1

的关系：

f1 （13）

1?f1/v1此式中v1增大时，u1减小，当u1??时，v1?3.00cm?4.50cm。设v1取值时，u1的值为

u1?uc，则

uc?f11?f1?9.00cm (14) l （3）上面在（2）中的结论告诉我们，在满足式（12）或式（15）条件下，可以在选定d后再选择适当的f2就可实现在P上成实像的目的。

由L2的成像公式（2）知

37

整理得

111??? d?v1l?df2 d2?v1?ld?f2l?v1?lv1?0 （16）

设式中v1满足式（12）的要求，上式就是f2和d的函数关系。显然，依题意对d有要求 0?d?v1 （17） 在此条件下，我们来确定f2，由式（16）解得 d因

?????v1?l1?22?v1?l?2?4?lv1?f2?l?v1?? （18）

v1?lv1?v1??v1，所以依v1?d的要求式（18）综合理解为 22v?l1 d?1??v1?l?2?4?lv1?f2?l?v1?? （19）

22又要求d>0，因而有

即

?v1?l?2??v1?l?2?4?lv1?f2?l?v1??

lv1l? （20） l?v2l/v1?1?lv1?f2?l?v1???0,f2?此式应满足（12）的所有v1均成立。当v1取最小值时，式（20）右边的值也最小，若发 f2小于此最小值，式（20）将成为能够在P上成实像的合理选择。式（12）中v1的最小值等于f1，即最小值为3.00cm，所以f2应满足的条件为

f2?l?9cm (21)

l/f1?1只要f2满足此条件，就可以由式（19）求得与任一v1相应的d以实现在P上成实像。 27、有两个用相同材料制成的薄透镜，试证明：若两透镜的距离l?f1?f22，则它们构杨消焦距色差系统。

证 设两透镜都在空气中，系统光焦度为???1??2?l?1?2

??1111 ???lff1f2f1f2但???n?1?k，k为一个依赖于透镜几何形状的常数，则

1 ??n1?1?k1??n2?1?k2?l?n1?1??n2?1?k1k2

f由于n1?n2，所以

12 ??n?1??k1?k2??l?n?1?k1k2

f?f?0，导致如下关系式： 消色差条件???n?n?lk1k2?2?n?1??0 ?k1?k2?????或 k1?k2?2l?n?1?k1k2

k?k21?11?111l???????所以 ??n?1?1 ??f22?f1f2?f1f2f1f2即

38

即 l?1?f?f? 212与两密接透镜系统不同，消焦距色差不意味着消焦面色差。这种消色差方法常应用于目镜，因为目镜常被置于主焦点附近。

28、物质的折射率取决于波长，n?n?，这种现旬象叫色散，透镜焦距与波长有关：

???11?1??n?1???R?R?? f2??1R1、R2分别为透镜两表面的曲率半径。由于f?n?1??常数，所以

量

?ff??nn?1?0

?nn?1??称为透镜物质的相对色散。试求两个密接透镜消色差的条件。

解对于两透镜密接系统有由此

111?? ff2f1?ff2??f1f12??f2f22

对于透镜Ⅰ和Ⅱ，有

?f1f1??1?0

?f2f2??2?0

如果系统焦距与波长无关，，则消色差条件可写成

?1?2??0 f1f2由式（1）、（4）得

11??2?11??1?????和f?f??????? f1f????1?21??2?2由（4）知，f1和f2在符号上永远是相反的，即一个发散，另一个会聚，为校正色差，一个要用火石玻璃（?1?130），另一个用冕牌玻璃（?2?160）。如果系统是会聚的，具有较短焦距的透镜应会聚（f1?0,f1?f2），且应用冕牌玻璃造，以便??2??1??0。

49、有两个薄透镜，其一为双凸透镜。两透镜分别用冕牌玻璃

,v1?1?1?60.2）和火石玻璃（n2?1.6202,v2?1?2?36.2）制成。现（n1?1.5179将它们粘合成一平凸消色差物镜，焦距为1米，试求各球面曲率半径。

解 由上题知，系统中双凸透镜应用冕牌玻璃制成，且焦距较短。设f1?f2，利用消色差条

件

（

4

）

和

焦

距

公

式

（

5

）

来

确

定

f1和f2：

?2v?v60.2?36.2?f12??100?38.6cm

?2??1v160.2v?v2??66.4cm 同样有f2??f1v2?11?1??n1?1??但?r?r?? f1?12?f1?f?111????n2?1??? ??f2?r'1r'2? 由于系统是平凸透镜，有r'1?r2,r'2??。所以有

r1?39cm,r2??41.1cm

39

即第一个透镜由半径分别为r1和r2的球面包围而成，而第二个透镜由半径为（?r）球面和r??的平面包围而成。

50、试推导对于任何光谱段，空气中厚透镜消焦距色差的条件。已知厚度为d，曲率半径分

??11?dn?1?别为R1和R2的厚透镜的光焦度公式为 ???n?1????R?R???nRR?

2?12???1解 将光焦度写成焦距形式有

??11?dn?1? f?n?1????R?R???nRR??1

2?12???1或

有

d??f?n?1???R1?R2???n?1???R1R2

n????d2?n?1???n?1?2???f?n?1???R1?R2???n?1???f??n?R1?R2??d?n??0 2nn????对于所有光谱段，消色差要求?f?0，则有

n2?1?0 ?R1?R2??d2nR?R或 d?n2122

n?151、两个光学元件共轴放置，位置固定，每个元件都可能是薄透镜或平面反射镜，一小物垂直于光轴。已知当小物体位于两元件之间的任何位置时，由这光学系统成的像是有限多个，且两个最后的像大小相等。请对各种可能做出分析，论证什么样的光学系统能满足上述要求，什么样的不能满足要求。

解：分别考虑一下几种情况：

（1）两个平面反射镜相向放置。这时，对于两个平面镜之间的实物，系统可以形成无限多个像，不合题意。

DdA’M图1dALDu1AL2图2L1

（2）焦距为f的透镜L与平面反射镜M相距为L，如图1所示： 物A向右发光经L成像由 可得像的位置v1。 u1111?? vuf?D?d， v1??D?d?f?D?d??f40

式中v1，表示L向右的距离，v1?0表示在L的右方，v1?0表示像在L的左方。

由物A向左发光经M成像在A'（如图）。反射光再向右经L成像，其像距v2为

u2?D?d， v2?两个像的放大率分别为

?D?d?f?D?d??f

v1v2和，由题意，两像大小相等，故 u1u2vv 1??2

u1u2即

D?d?f??D?d?f （1）

式中若取“+”号，则2d=0，即d=0。这要求物体位于一个特殊位置，不合题意。若式中取“—”号，则D?d?f??D?d?f,即D=f。这要求两元件距离等于透镜焦距。又，元件距离D>0，所以f>0，L为凸透镜。这种系统满足题目的条件：一反射镜和凸透镜，间距为焦距。透镜对物成虚像，反射镜不在成像，谓之“最后的像”；二反射镜中的物体像位于透镜2倍焦距以内，透镜成实像于系统之外，也成了“最后的像”。 （3）焦距分别为f1和f1的两透镜L1和L2见图2. 物A向右的光经L1成像：

?? v1物A向右的光经L2成像： u2?u1f1

u1?f1?D?u1 ，v2??D?u1?f2 ?D?u1??f2v2表示从L2向左的距离，v2?0表示像在L2右方，两个像大小相等： 即

v1v??2 u1u2f1f2?? （2）

u1?f1D?u1?f2若式中取“+”号，则有

f1(D?u1?f2)?f2(u1?f1) f1(D?u1)?f2u1

f?fD?12u1f1这表示只有特殊的位置才满足要求，不合题意。

若式（2）中取“—”号，则

f1f2??u1?f1D?u1?f2f1(D?u1?f2)??f2(u1?f1)

f1D?(f1?f2)u1?2f1f2f?fD?12u1?2f2f1按题意，上式应对所有值均成立，必须有，从而D=2f，由D>0,可知f>0，为焦距相同的两凸透镜，相距2f。这时可保证物体放在其间的任何位置均能得到两个大小相等的像，且一个为虚像（物距小于焦距），在物的同侧，为实际光线的反向延长线汇聚而成，不可能

41

再次被另一个透镜成像，谓之“最后的像”；另一个为实像，位置在两透镜的外侧，也不可能再次被成像，也为“最后的像”。

52、两共轴的凸透镜L1和L2组成一光学系统，它们相距为d，焦距记为f1和f2。

（1）若要求入射光线和与之对应的出射光线相互平行，该入射光线应满足什么条件？ （2）根据所得结果，分别画出各种可能的光路示意图。 解 （1）设入射光AB与光轴的夹角为?，经L1折射后沿BC射向L2，经L2折射后沿CD出射，如图1：

L1BpAαhO1βp’L2Du1v1d图1u2O2Ch'p''α'v2

光线与光轴的交点分别为p、p’和p’’点。以p’为p经L1所成的像，p’’为p’经L2所成的像。图1中相应的物、像距关系如下：

111?? （1） u1v1f1111 ?? （2）

u2v2f2 d?u2?v1 （3）

当出射光线CD与入射光线AB平行时，有?'??。利用相似三角形关系

h'vh'u ?2 ，?2

hu1hv1 得到

v2u2? （4） u1v1f1d （5）

d?(f1?f2)式中h和h’分别为光线入射到透镜L1和L2的位置到光轴的距离，如图1。

联立（1）、（2）、（3）、（4）消去v1、u2和v2 和得到

u1代入（3）得到

??f2?f1d??d?1?v,即v? （6） 1??1ff?f1?12?将式（6）代入式（1）得

f1v1f12df1d?? u1? （7）

v1?f1f1d?f12?f1f2d?(f1?f2)由于d、f1、f2均已给定，所以必为一确定值。这表明：若出射光与入射光平行，入射光必通过光轴上确定的点，它在L1的左方，相距u?f1d/(d?f1?f2)处。又由于u1与夹角?无关，凡是通过该店射向L1的光线都与对应的出射光线平行。

（2）由式（7）可知，当d?f1?f2时,u1?0，即如图1所示。

42

当d?f1?f2时，u1??，此时入射光和出射光平行于光轴，如图2。

L1O1d?f1?f2p'pL2O2p''d?f1?f2图2 由u2当d图3

?0。这表明点p在L1右侧，是L1的虚物。由式（1）知，这时v1?f1?f2时,u1?0，

?f2vuv1知，u2?0。又由1?2?0可知，v2?0。光路图如图3。 f1u1v2 43

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