湖北省黄冈中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科） Word版含解析

湖北省黄冈中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的． 1．（5分）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（） A． 35 B． 25 C． 15 D．7 2．（5分）下列各数中最小的数为（） A． 33（4） B． 1110（2） C． 122（3） 3．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）

D．21（5）

A． 2π C． 4π D．5π 4．（5分）下列说法中正确的是（） A． 频率是概率的近似值，随着试验次数增加，频率会越来越接近概率 B． 要从1002名学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2名学生，这样对被剔除者不公平 C． 根据样本估计总体，其误差与所选取的样本容量无关 D． 数据2，3，4，5的方差是数据4，6，8，10的方差的一半 5．（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表 广告费用x（万元）4 2 3 5 销售额y（万元） 49 263954 根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（） A． 63.6万元 B． 65.5万元 C． 67.7万元 D．72.0万元 6．（5分）设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，有以下四个命题： ①若m⊥α，n⊥α，则m∥n； ②若α⊥β，m∥α，则m⊥β； ③若m⊥α，m⊥n，则n∥α； ④若n⊥α，n⊥β，则β∥α．

B． 3π

其中，真命题的序号是（） A． ①③ B． ①④ C． ②③ D．②④ 7．（5分）从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（） A． 至少有一个红球与都是红球 B． 至少有一个红球与都是白球 C． 至少有一个红球与至少有一个白球 D． 恰有一个红球与恰有二个红球 8．（5分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是27，则判断框①处应填入的条件是（）

A． n＞5 B． n＞4 C． n＞3 D．n＞2 9．（5分）动点P到点A（8，0）的距离是到点B（2，0）的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为（）

22222222 A． x+y=32 B． x+y=16 C． （x﹣1）+y=16 D．x+（y﹣1）=16 10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为（）

A．

B．

C．

D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上． 11．（5分）空间直角坐标系中与点P（2，3，5）关于yoz平面对称的点的坐标为．

12．（5分）已知一组数据1，2，m，4的平均数是3，则这组数据的方差为． 13．（5分）根据如图算法语句，当输出y的值为31时，输入的x值为．

14．（5分）若曲线x+y+2x﹣4y+1=0上的任意一点关于直线2ax﹣by+2=0（a，b∈R）的对称点仍在曲线上，则

15．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，若正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是2，则F的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段长是．

的最小值是．

2

2

+

三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（12分）如图所示：下列程序框图的输出结果构成了数列{an}的前10项． （1）求数列的第3项a3、第4项a4以及数列的递推公式；

（2）证明：数列{an+1}为等比数列；并求数列{an}的通项公式．

17．（12分）2014-2015学年高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

（1）若成绩在区间

湖北省黄冈中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的． 1．（5分）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（） A． 35 B． 25 C． 15 D．7

考点： 分层抽样方法．

专题： 计算题；概率与统计．

分析： 先计算青年职工所占的比例，再根据青年职工抽取的人数计算样本容量即可． 解答： 解：青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7：5：3，

所以样本容量为 =15．

故选C．

点评： 本题考查分层抽样的定义和方法，求出每个个体被抽到的概率，用个体的总数乘以每个个体被抽到的概率，就得到样本容量n的值． 2．（5分）下列各数中最小的数为（） A． 33（4） B． 1110（2） C．

考点： 进位制． 专题： 计算题．

分析： 把各数都转化为十进制数即可比较大小．

122（3） D． 21（5）

解答： 解：33（4）=15，1110（2）=14，122（3）=17，21（5）=11 故选：D．

点评： 本题考查的知识点是不同进制数之间的转换，解答的关键是熟练掌握不同进制之间数的转化规则． 3．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）

A． 2π C． 4π D．5π

考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 计算题．

分析： 根据三视图判断几何体的形状，利用三视图的数据和公式求解几何体的表面积即可． 解答： 解：综合三视图可知，几何体是一个半径r=1的半个球体． 且表面积是底面积与半球面积的和，

B． 3π

其表面积S==3π．

故选B．

点评： 本题考查三视图与几何体的直观图的关系，几何体的表面积的求法，考查计算能力与空间想象能力． 4．（5分）下列说法中正确的是（） A． 频率是概率的近似值，随着试验次数增加，频率会越来越接近概率 B． 要从1002名学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2名学生，这样对被剔除者不公平 C． 根据样本估计总体，其误差与所选取的样本容量无关 D． 数据2，3，4，5的方差是数据4，6，8，10的方差的一半

考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 概率与统计．

分析： 通过频率与概率的关系，系统抽样当剔除几个个体时的公平性，样本估计总体与样本容量的关系，以及方差的计算即可判断每个选项的正误，并找出正确选项． 解答： 解：A．正确，这可通过实验得到该结论． B．错误，系统抽样对每个学生而言被抽到概率相等； C．错误，样本容量越大，误差越小；

D．错误，数据2，3，4，5的方差为，数据4，6，8，10的方差为5； ∴数据2，3，4，5的方差是数据4，6，8，10的方差的．

故选A．

点评： 考查频率与概率的关系，系统抽样的过程及公平性，样本估计总体与样本容量的关系，以及方差的概念及计算公式． 5．（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表

广告费用x（万元）4 2 3 5 销售额y（万元） 49 263954

根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（） A． 63.6万元 B． 65.5万元 C． 67.7万元 D．72.0万元

考点： 线性回归方程． 专题： 概率与统计．

分析： 首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为6代入，预报出结果．

解答： 解：∵

=42，

=3.5，

∵数据的样本中心点在线性回归直线上， 回归方程∴42=9.4×3.5+a， ∴=9.1，

∴线性回归方程是y=9.4x+9.1，

∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5， 故选：B．

点评： 本题考查线性回归方程．考查预报变量的值，考查样本中心点的应用，本题是一个基础题，这个原题在2011年山东卷第八题出现． 6．（5分）设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，有以下四个命题： ①若m⊥α，n⊥α，则m∥n； ②若α⊥β，m∥α，则m⊥β； ③若m⊥α，m⊥n，则n∥α； ④若n⊥α，n⊥β，则β∥α． 其中，真命题的序号是（） A． ①③ B． ①④ C． ②③ D．②④

考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 计算题．

分析： 根据线线平行、线面垂直和面面垂直的判定定理，对四个选项进行一一判断；

解答： 解：①若m⊥α，n⊥α，则m∥n，也即垂直于同一平面的两条直线平行，故①正确； ②若α⊥β，m∥α，也可以推出m?β，故②错误； ③若m上α，m⊥n，也可以推出n?α，故③错误；

④若n⊥α，n⊥β，则β∥α，一条直线同时垂直于两个平面，故④正确； 故选B；

点评： 此题主要考查命题的真假判断与应用，空间立体几何也是高考必考的内容，此题是一道基础题；

中的为9.4，

7．（5分）从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（） A． 至少有一个红球与都是红球 B． 至少有一个红球与都是白球 C． 至少有一个红球与至少有一个白球 D． 恰有一个红球与恰有二个红球

考点： 互斥事件与对立事件． 专题： 探究型．

分析： 分析出从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球的所有不同的情况，然后利用互斥事件和对立事件的概念逐一核对四个选项即可得到答案．

解答： 解：从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：

3个球全是红球；2个红球1个白球；1个红球2个白球；3个球全是白球． 选项A中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件； 选项B中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件； 选项C中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的交事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；

选项D中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有二个红球”互斥不对立． 故选：D．

点评： 本题考查了互斥事件和对立事件，关键是对概念的理解，是基础的概念题． 8．（5分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是27，则判断框①处应填入的条件是（）

A． n＞5 B． n＞4 C． n＞3 D．n＞2

考点： 程序框图． 专题： 计算题．

分析： 分别计算n=1，2，3时的s的值，进而即可得出判定框①中的条件． 解答： 解：由s=0，n=1得出s←（0+1）×1； 由s=1，n=2得出s←（1+2）×2；

由s=6，n=3得出s←（6+3）×3．

此时s=27，为输出结果，应终止循环，而n←4，因此判定框①中应为n＞3． 故选C．

点评： 正确理解循环结构和判断框的功能是解题的关键． 9．（5分）动点P到点A（8，0）的距离是到点B（2，0）的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为（）

A． x+y=32 B． x+y=16 C． （x﹣1）+y=16 D．x+（y﹣1）=16

考点： 轨迹方程．

专题： 计算题；直线与圆． 分析： 设P为（x，y），依据题中条件动点P到点A（8，0）的距离是到点B（2，0）的距离的2倍，列关于x，y的方程式，化简即可得点P的轨迹方程．

22222222

解答： 解：设P（x，y），则由题意可得

2

2

，

化简整理得x+y=16． 故选：B

点评： 求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程． 10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为（）

A．

B．

C．

D．

考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 计算题．

分析： 几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一条直角边为1，斜边为b的直角三角形，另

一条直角边是，三棱锥的一条侧棱与底面垂直，由勾股定理可知这条边是，

表示出体积，根据不等式基本定理，得到最值． 解答： 解：由三视图知，几何体是一个三棱锥，

三棱锥的底面是一条直角边为1，斜边为b的直角三角形， ∴另一条直角边是

，

，

三棱锥的一条侧棱与底面垂直，由勾股定理可知这条边是

∴几何体的体积是V=

∵在侧面三角形上有a﹣1+b﹣1=6， ∴V

=，

2

2

当且仅当侧面的三角形是一个等腰直角三角形， 故选D．

点评： 本题考查由三视图求几何体的体积，考查基本不等式的应用，本题是一个比较综合的题目，注意创造基本不等式的使用条件，得到结果．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上． 11．（5分）空间直角坐标系中与点P（2，3，5）关于yoz平面对称的点的坐标为（﹣2，3，5）．

考点： 空间中的点的坐标． 专题： 空间位置关系与距离．

分析： 根据关于yOz平面对称，x值变为相反数，其它不变这一结论直接写结论即可． 解答： 解：根据关于坐标平面yOz的对称点的坐标的特点， 可得点P（2，3，5）关于坐标平面yOz的对称点的坐标为：（﹣2，3，5）． 故答案为：（﹣2，3，5）．

点评： 本题考查空间向量的坐标的概念，考查空间点的对称点的坐标的求法，属于基础题． 12．（5分）已知一组数据1，2，m，4的平均数是3，则这组数据的方差为2.5．

考点： 极差、方差与标准差． 专题： 概率与统计．

分析： 根据平均数与方差的概念，进行计算即可． 解答： 解：∵数据1，2，m，4的平均数是3，

∴==3，

解得m=5；

∴这组数据的方差为 s=

2

．

故答案为：2.5．

点评： 本题考查了平均数与方差的应用问题，解题时应根据平均数与方差的公式进行计算，是基础题． 13．（5分）根据如图算法语句，当输出y的值为31时，输入的x值为60．

考点： 选择结构．

专题： 算法和程序框图．

分析： 分析算法语句可知其功能是求分段函数的值，其解析式为

，故可求x的值．

解答： 解：执行算法语句知程序的功能是求分段函数的值，其解析式为

，

故解得当y的值为31时，x的值为60． 故答案为：60．

点评： 本题主要考察了程序框图和算法，根据语句写出函数的解析式是关键，属于基础题．

14．（5分）若曲线x+y+2x﹣4y+1=0上的任意一点关于直线2ax﹣by+2=0（a，b∈R）的对称点仍在曲线上，则

的最小值是4．

2

2

+

考点： 基本不等式在最值问题中的应用． 专题： 计算题；不等式的解法及应用．

22

分析： 由题意，曲线x+y+2x﹣4y+1=0表示的是以（﹣1，2）为圆心的圆，则直线2ax﹣

++

by+2=0（a，b∈R）过圆心，从而可得a+b=1（a，b∈R），利用利用不等式即可．

22

解答： 解：曲线x+y+2x﹣4y+1=0表示的是以（﹣1，2）为圆心的圆，

22+

故由曲线x+y+2x﹣4y+1=0上的任意一点关于直线2ax﹣by+2=0（a，b∈R）的对称点仍在曲线上可得，

+

直线2ax﹣by+2=0（a，b∈R）过点（﹣1，2）， 则﹣2a﹣2b+2=0，

即a+b=1（a，b∈R）， 则

=

+

=2++≥4．

+

（当且仅当a=b=时，等号成立）

故答案为：4．

点评： 本题考查了恒成立问题及圆的结构特征，同时考查了基本不等式的应用，属于中档题．

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