矩阵的秩例题教学浅析 - 图文

２０１１年５月湖北成人教育学院学报Ｍａｙ，２０１１第１７卷第３期ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｕＢｅｉＡｄｕｌｔＥｄｕｃａｔｉｏｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅＶ０１．１７ＮＯ．３矩阵的秩例题教学浅析陈洪１，陶燕芳２（１．华中农业大学理学院，湖北武汉，４３００７０；２．长江职业学院公共课部，湖北武汉，４３００７４）［摘要】本文从矩阵的秩的定义和定理出发，对三个矩阵的秩的典型例题进行分析讲解。加深学生对抽象概念的理解和掌握。［关键词】矩阵的秩；不等式；教学方法［中图分类号］０１５１．２１［文献标识码］Ａ［文章编号］１６７３－－３８７８（２０１１）０３—０１２２—＿０１矩阵的秩是线性代数的重要内容，它不仅是矩阵的一分析：引导学生注意最关键的条件ＡＢ＝０。这是一个个本质属性，而且在解线性方程组、判断向量组的线性相矩阵方程，如何将其与矩阵的秩联系起来是解题的关键。关性、求矩阵的特征值等方面有广泛的应用。因此，涉及由于矩阵方程可以通过分块的方法最终转为线性方程组。到此知识点的题目类型较多，且多需要综合运用各种知故通过线性方程组解的讨论将有助于找到条件与结论的识。由于教学中此内容课时较紧，学生往往在解抽象矩阵联系。基本思路如下：ＡＢ＝ＤｊＡ（ｂ１，ｂ：，…，ｂ，）＝ＤｊＡ６１的秩的习题有一定困难。本文从例题讲解的角度出发。着＝Ａｂ２＝…＝Ａｂ．＝０７解向量ｂ１，ｂ２，…，６ｌ的秩与基础解重探讨了基本定义和定理在求解中的运用。通过分析例系的关系ｊ系数矩阵的秩与基础解系的关系。题的求解．加深学生对矩阵的秩的理解，引导学生养成分具体证明过程如下：析问题的习惯。证明：通过将Ｂ分为ｓ个列向量，可得ＡＢ＝Ａ（ｂ，，ｂ：，一、矩阵的秩的定义与定理（详见…）…，ｂ。）＝（Ａｂｌ，Ａｂ２，…，Ａ６。）＝０．所以Ａｂｌ＝Ａｂ２＝…＝Ａｂ。定义１．在ｍ×ｔｌ，矩阵Ａ中，任取ｋ行与＿｜｝列（１≤ｋ≤＝０，即ｂ，．ｂ：，…，ｂ．是Ａｘ＝０的Ｊ个解。设ｒ（Ａ）＝ｒ，则ｍｉｎ｝ｍ，ｎ｝），位于这ｋ行与ｋ列交叉处的ｋ２个元素，按照ｂ。，ｂ：，…，ｂ。可由１１．一ｒ个基础解向量线性表示，故ｒ（Ｂ）≤原来的顺序构成的一个七阶行列式称为矩阵Ａ的一个Ｊ｝ｎ—ｒ。所以ｒ（Ａ）＋ｒ（口）≤ｒ＋（ｎ—ｒ）＝ｎ。阶子式。上例表明线性方程组的解理论是求解矩阵的秩综合定义２．矩阵＾中非零子式的最高阶数叫做矩阵＾的题的有效工具，同时该例结论也应用广泛。秩，记作ｒ（Ａ）。例２．设Ａ为ｎ阶方阵，求ｒ（Ａ’）。定义３．矩阵Ａ的行（列）向量组的秩称为矩阵Ａ的分析：注意从特殊到一般的解题思路，矩阵中重要等行（列）秩。式和不等式的应用。由基于Ａ条件探讨其转置伴随阵Ａ’定理１．矩阵Ａ的秩为ｒ的充分必要条件是Ａ的行的性质，Ａ‘的定义和等式ＡＡ’＝Ａ’Ａ＝ＩＡｌ，是两矩阵之（列）秩为ｒ。间最重要的联系。进一步，由于对方阵Ａ未作任何限制。定理２．初等变换不改变矩阵的秩。我们不妨从特殊情形（Ａ为满秩矩阵）出发，对ｒ（Ａ’）进行二、矩阵的秩的例题教学讨论。基本讨论思路如下：通过对数字矩阵进行初等变换，学生往往能够较好掌ｒＩＡＩ≠Ｏ钳（Ａ）＝ｎ握利用矩阵的行秩或列秩来判断矩阵的秩。但是，对于矩阵秩的综合题，往往已知条件和结论之间的联系不是十分ｎ阶方阵Ａｊ｛ｌＡＩ－ｏ号ｆｒｌ０：＜ｒｔ－１ＬＬｒ（Ａ）＝ｎ明显。学生往往不知如何下手。对此类问题，以三个例题具体解题过程如下：的讲解为例。强调分析条件与结论之间的联系的重要性。解：若ｒ（ａ）＝ｎ。则ｌＡＩ≠Ｏ，利用等式ＡＡ‘＝Ｉ以ｌ，有ｌ例１．设＾是ｍ×ｎ矩阵，口是ｔ／，×ｊ矩阵，且ＡＢ＝０，证Ａ‘ｌ＝ＩＡＩ４。１≠０，所以ｒ（Ａ）＝ｎ。若ｒ（Ａ）＜／７，一１，贝０由定明：ｒ（Ａ）＋ｒ（曰）≤７１，ｏ义２知Ａ的ｎ一１阶子式全为０。根据转（下转第１４１页）［收稿日期］２０１０—０８－２０【基金项目］本文属湖北省高等学校教学研究项目《基于农林专业群的高等数学教学内容的优化与实践＞研究成果。?１２２?万方数据说明在大学生耐久跑运动中呼吸控制能力成为影响其运动成绩的重要因素。表３显示的数据也表明，随着学生呼吸控制能力的提高，其运动疲劳程度明显下降。表６呼吸控制能力与运动疲劳的偏相关分析除这个矛盾，在研究中可以通过样本之间的相互抵消来减小误差。４．结论当前学生对耐久跑课程普遍持厌恶和排斥的态度，过度疲劳是导致这种现状的原因之一；不正确的呼吸方法是造成大学生耐久跑运动疲劳重要原因之一；大学耐久跑训练中提高呼吸控制能力对于提高运动成绩、缓解运动疲劳具有明显作用；随着呼吸控制能力的提高。在相同运动强度上学生疲劳程度大大下降．将有效提高学生对该项目的兴趣和练习的自觉性和积极性。一Ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎｉｓｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔａｔｔｈｅ０．Ｏｌｌｅｖｅｌ（２一ｔａｉｌｏａ）．参考文献：３．４．３表６数据显示在运动程度一定的情况下，也就是说在运动强度相同的情况下，呼吸控制能力与运动疲劳程度存在显著负相关，相关系数达到一０．７０９，在相同的运动强度下。良好的呼吸控制能力对于缓解运动疲劳、消除运动厌恶感具有明显的作用。在控制运动强度进行分析上存在一定的不科学性，相同的运动强度对于不同的个体的刺激是不同的，因而，个体对这个强度的反应也是不同的。在研究中没有办法消［１］王步标，华明，邓树勋等．运动生理学［Ｍ］．高等教育出版社．１９９２．５１７．［２］风笑天．社会学研究方法［Ｍ］．中国人民大学出版社，２００３．９９．［３］运动性疲劳概速［Ｊ］．四川体育科学，２００４，（０６）．［４］杨建营．运动性疲劳的心理初探［Ｊ］．浙江体育科学，２００４．（０６）．（责任编辑：胡炼）七－４－＂电－Ｏｒ＇电★七弋七★电电七电七电女电电电电－ｏｒ＇女电电七≮弋电’弋’电电－４＂七★弋弋．１－电电电－ｏｒ＂电ｒ（（三三））＝ｒ的方法。（孑Ｚ）和（三１耋）可逆，因此眙ＤＤＤ＝０ｋＤ０Ｄｎ＋■矩阵的初等变换是求解和证明矩阵的秩的最基本和重要例３．ｔ正明：ｒ（（｛；：））＝ｒｃ以，＋ｒｃＢ，。三、小结矩阵的秩是线性代数中矩阵理论的重要组成部分，其教学方法一直被广泛探讨（见‘２】【３１）。本文基于这些研究和自身的教学实践，探讨以知识点为基础的例题教学，引导学生养成分析问题的能力，加深对抽象知识的理解和把Ｐ。，Ｐ：，Ｑ，，Ｑ：使得Ａ＝Ｐ（≥了）Ｑ，，曰＝Ｂ（≥？）Ｑ：。握。参考文献：（三三））＝［Ｐ１（三１Ｄ了）Ｑ１Ｐ：（孑。了）Ｑ：］＝（三１万方数据ｚ）［１］邓泽清．线性代数及其应用［Ｍ］．高等教育出版社，２００８．［２］罗雪梅，孟艳双，郑艳琳．浅析矩阵的秩［Ｊ］．高等数学研究。２００３，６（０２）：３３—３５．［（≥了）ｉ≥了）］（三１耋）由分块对角阵性质知?１４１?［３］戴红霞．关于矩阵的秩的例题教学［Ｊ］．南京审计学院学报，２００５，２（０２）：７６－７８．（责任编辑：胡炼）

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