重庆市西南大学附属中学11-12学年高二数学上学期期末考 文

西南大学附中2011—2012学年度上期期末考试

高二数学试题（文科） （总分：150分 考试时间：120分钟）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，

只有一项是符合题目要求的．

1． 直线3x?y?1?0的倾斜角是（ ）

A．?6

B．?3

C．2?3

D．5?6

2． 抛物线x2?14y的焦点坐标是（ ） A．（0，1）

B．（0，

1C．（1，0）

D．（

116） 16，0） 3． 已知命题p：?x?R，sinx?1，则（ ） A．?p：?x?R，sinx?1 B．?p：?x?R，sinx?1 C．?p：?x?R，sinx?1

D．?p：?x?R，sinx?1

4． 直线a∥平面?的一个充分条件是（ ）

A．存在一条直线b，b∥?，a∥b B．存在一个平面?，a??，?∥? C．存在一个平面?，a∥?，?∥? D．存在一条直线b，b??，a∥b

5． 已知函数y?f(x)在点P（1，m）处的切线方程为y?2x?1，则f(1)?f'(1)?（ ）

A．3

B．2

C．1

D．0

6． 若双曲线x2?ky2?1的离心率是2，则实数k的值是（ ）

A．– 3

B．?13

C．3

D．13

7． 若P（2，–1）为圆(x?1)2?y2?25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（ ）

A．x?y?3?0 B．2x?y?3?0 C．x?y?1?0

D．2x?y?5?0

椭圆x2y28．a2?b2?1(a?b?0)的中心、右焦点、右顶点及在准线与x轴的交点依次为O、F、G、H，则FGOH的最大值为（ ）

A．

1 B．1123

C．

4 D．不确定

9． 已知F是抛物线y2?x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|?|BF|?3，则线段AB的中点到y轴的距离为（ ）

A．

34 B．1 C．

54 D．

74 10． 若函数f(x)?1?(x?2)2?2，对任意x1，x2，且2?x1?x2?3，那么有（ ）

A．x1f(x2)?x2f(x1) B．x1f(x2)?x2f(x1) C．x1f(x2)?x2f(x1) D．x1f(x1)?x2f(x2)

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．

11． 若双曲线x2y2a2?9?1(a?0)的一条渐近线方程为3x?2y?0，则a = ________________．

12． f(x)?113x3?2x2在区间 [– 1，1] 上的最大值是_________________．

13． 若点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，PF2⊥F1F2，tan?PF31F2?4，则椭圆离心率为__________________．

14． 已知动点P在曲线2x2?y?0上移动，则点A（0，– 1）与点P连线中点的轨迹方程是

__________________．

?by?c?0与曲线x2y215． 已知非零实数a、b、c成等差数列，直线axm2?9?1(m?0)恒有公

共点，则实数m的取值范围为___________________．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16． (本小题满分13分)

直线l经过点P（– 1，1），且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l的方程．

17． (本小题满分13分)

已知函数f(x)?x3?3ax2?2bx在点x = 1处有极小值 – 1，试求出a、b的值，并求出f(x)的单调递增区间．

18． (本小题满分13分)

如图，SD⊥正方形ABCD所在平面，AB = 1，SB?3． S

(1) 求证：BC⊥SC；

(2) 设棱SA中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小． M D

C

A

B

19． (本小题满分12分)

设f(x)?ax3?32(2a?1)x2?6x．

(1) 当a = 1时，求曲线y?f(x)在点（– 1，f(?1)）处的切线方程； (2) 当a?13时，求f(x)的极大值和极小值．

20． (本小题满分12分)

如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1、F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|= 2∶1． l (1) 求椭圆的方程；

y P (2) 若点P在直线l上运动，求?F1PF2的最大值． M A1 F1 O F2 A2 x

21． (本小题满分12分)

已知两定点F1（?2，0），F2（2，0）满足条件|PF2|?|PF1|?2的点P的轨迹方程是曲线C，直线y?kx?2与曲线C交于A、B两点，且|AB|?253． (1) 求曲线C的方程；

(2) 若曲线C上存在一点D，使OA?OB?mOD，求m的值及点D到直线AB的距离．

（命题人：张珍俊 审题人：梁雅峰）

西南大学附中2011—2012学年度上期期末考试

高二数学试题参考答案（文科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

1．C 2．B 3．C 4．B 5．A 6．B 7．A 8．C 9．C 10．C 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．2 12．0 13．12 14．8x2?2y?1?0 15． m?355 三、解答题：本大题共6小题，共75分．

16．解：(1) 设直线l的方程为y?kx ∵ 过点P（– 1，1）

∴ 1?k?(?1) ∴ k??1 ∴ y = – x 即x + y = 0

(2) 设直线l的方程为xa?y?a?1 ∵ 过点P（– 1，1）

∴ ?1a?1?a?1 ∴ a = – 2 ∴x?2?y2?1即x?y?2?0

综上，直线l的方程为x?y?0或x?y?2?0 17．解：f'(x)?3x2?6ax?2b

?由已知得??f(1)??1即??a?1?f'(1)?0?1?3a?2b??1?3?3?6a?2b?0 ∴ ?

???b??12∴ f'(x)?3x2?2x?1?(x?1)(3x?1)

由f'(x)?0得x??13或x?1

S

∴ f(x)的单调增区间为(??，?13)，(1，+?)

18．解：(1) ∵ BC⊥CD，BC⊥SD，CDSD?D

∴ BC⊥平面SCD ∴ BC⊥SC

M D C

(2) 取AB中点N，连结MN，DN，

MN?1SB?352A N

B

22，DN?2，DM?2 ∵ DM2?MN2?DN2 ∴ ?DMN?90?

∴ 异面直线DM与SB所成角的大小为90?

19．解：(1) 当a = 1时，f(x)?x3?3x2?6x，f'(x)?3x22?3x?6

切线斜率k?f'(?1)??6，f(?1)?13132 ∴ 切点为（– 1，2）

∴ 切线为y?132?(?6)[x?(?1)]即12x?2y?1?0

(2) 当a?13时， f(x)?113x3?2x2?6x，f'(x)?x2?x?6?(x?3)(x?2)

x??2时，f'(x)?0；?2?x?3时，f'(x)?0；x > 3时，f'(x)?0

∴ x= – 2时，f(x)的极大值为8，x = 3时，f(x)的极小值为?272 20．解：(1) 由已知得2a = 4，∴ a = 2

|MA|?a2c?a|Aa211F1|?a?c ∴ (c?a)?2(a?c) 又∵ a = 2

（舍去） ∴ b?a?c?3 ∴ 椭圆方程为x2y2∴ c = 1或c = 22224?3?1

(2) 设P（– 4，y）（y > 0） ∵ F1（– 1，0），F2（1，0）

∴KyyPF1??3KPF2??5

(?y∴tan?F1PF2?5)?(?y3)?2y?21?(?yyy2?15?2?15 5)(?y?15215153)y∴ tan?F1PF2的最大值为1515 21．解：(1) 由已知得2a = 2，∴ a = 1， 又 ∵ c?2，∴ b2?c2?a2?1

∴ 曲线C的方程为x2?y2?1(x??1)

(2) 由??y?kx?22y?1得(1?k2)x2?4kx?5?0， 设A（x1，y，B（x2，y2） ?x?21）??1?k2?0???20?4k2?0则???x1?x2??4k?0解之得：?5?k??1 ?1?k2??x?51x2?1?k2?0|AB|?1?k2|xx220?4k2252

1?2|?1?k|1?k2|?3 解之得k = 4 又 ∵?5?k??1 ∴ k = – 2 ∴ x81?x2??3

y?2x41?y2?(?2x1?2)?(2?2)??2(x1?x2)?4?3

由OA?OB?mOD，得D（1m(x1841?x2)，m(y1?y2)），即D（?3m，3m） ∵ D在x2?y2?1(x??1)上，∴(?83m)2?(43m)2?1(m?0)

∴ m?433 ∴ D（?233，33） 直线AB：2x?y?2?0 |2?(?233)?3∴ d?3?2|2?325?1522?12?5?5

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