吉林长春南关区2016中考一模试卷--数学(解析版)
更新时间:2024-04-12 14:49:01 阅读量: 综合文库 文档下载
吉林省长春市南关区2016年中考数学一模试卷(解析版)
一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分) 1.﹣6的绝对值等于( ) A.﹣6 B.6
C.﹣ D.
2.“十二五”期间,某市义务教育阶段在校学生人数达到654000人.654000这个数用科学记数法表示为( ) A.0.654×106
B.6.54×106 C.6.54×105 D.65.4×104
3.下列运算中,正确的是( ) A.a2?a3=a5 B.a8÷a4=a2 C.(a5)2=a7
D.2a+3b=5ab
4.右图是由六个完全相同的小正方体组合而成的立体图形,它的主视图是( )
A. B. C. D.
5.如图,直线a∥b.若∠1=30°,∠2=45°,则∠3的大小为( )
A.75° B.80° C.85° D.105°
6.如图,四边形ABCD内接于⊙O.若⊙O的半径为4,∠D=135°,则
的长为( )
A.π B.2π C.4π D.8π
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7.如图,在△ABC中,分别以点A、C为圆心,以大于长为半径作圆弧,两弧分别相交于点E、F,连结EF
并延长交边BC于点D,连结AD.若AB=6,BC=8,则△ABD的周长为( )
A.8 B.10 C.12 D.14
8.如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的边BC在x轴的正半轴上,点B在点C的左侧,直线y=kx经过点A(3,3)和点P,且OP=6部,则b的取值范围是( )
.将直线y=kx沿y轴向下平移得到直线y=kx+b,若点P落在矩形ABCD的内
A.0<b<3 B.﹣3<b<0
C.﹣6<b<﹣3 D.﹣3<b<3
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分) 9.比较大小:
2 (填“<“,“=“或“>“).
10.不等式2(x+3)﹣4≤0的解集为 .
11.一元二次方程x2﹣5x+3=0根的判别式的值为 .
12.如图,AB为⊙O的直径,点C、D在⊙O上.若∠CAB=40°,则∠D的大小为 度.
13.如图,在平面直角坐标系中,点A在函数y=(x>0)的图象上,过点A作AC⊥y轴于点C,点B在x轴上,连结CB、AB.若△ABC的面积为4,则k的值为 .
第2页
14.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=a(x﹣2)2+1(a为常数)的顶点为A,过点A作y轴的平行线与抛 物线y=﹣x2﹣x交于点B.抛物线y=﹣x2﹣x的顶点为C,连结CA、CB,则△ABC的面积为 .
三、解答题(本大题共10小题,共78分)
15.先化简,再求值:a(a﹣4)+(1﹣a)(1+a),其中a=.
16.现有一副扑克牌中的3张牌,牌面数字分别为7、9、9,从中随机抽取一张然后放回,再随机抽取一张.用画树状图(或列表)的方法,求抽取的两张牌面数字相同的概率.
17.某车间计划生产360个零件,由于改进了技术,该车间实际每天生产零件的个数是原计划的1.2倍,结果提前4天完成任务.求该车间原计划每天生产零件的个数.
18.如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC交BC于点D,分别过点A、D作AE∥BC、DE∥AB,AE与DE相交于点E,连结CE.求证:四边形ADCE是矩形.
19.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向,距离灯塔80海里的A处.海轮沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东64°方向上的B处.求海轮所在的B处与灯塔P的距离.(结果精确到0.1海里)(参考数据:sin64°=0.90,cos64°=0.44,tan64°=2.05)
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20.在“世界粮食日”前夕,某校团委随机抽取了n名本校学生,对某日午餐剩饭菜情况进行问卷调查.问卷中的剩饭菜情况包括:
A.饭和菜全部吃完; B.饭有剩余但菜吃完; C.饭吃完但菜有剩余;D.饭和菜都有剩余.
每位学生在问卷调查时都按要求只选择了其中一种情况,该校团委收回全部问卷后,将收集到的数据整理并绘制成如下的条形统计图. (1)求n的值.
(2)饭和菜全部吃完的学生人数占被调查的学生人数的百分比为 . (3)根据统计结果,估计该校2400名学生中菜有剩余的学生人数.
21.甲、乙两个工程队同时开始维修某一段路面,一段时间后,甲队被调往别处,乙队又用了2小时完成了剩余的维修任务.已知乙队每小时维修路面的长度保持不变,甲队每小时维修路面30米.甲、乙两队在此路段维修路面的总长度y(米)与维修时间x(时)之间的函数图象如图所示. (1)甲队调离时,甲、乙两队已维修路面的总长度为 米. (2)求此次维修路面的总长度a.
(3)求甲队调离后y与x之间的函数关系式.
22.在菱形ABCD中,∠B=60°,AC为对角线.点E、F分别在边AB、DA或其延长线上,连结CE、CF,且∠ECF=60°.
感知:如图①,当点E、F分别在边AB、DA上时,易证:AF=BE.(不要求证明)
探究:如图②,当点E、F分别在边AB、DA的延长线上时,CF与边AB交于点G.求证:AF=BE. 应用:如图②,若AB=12,AF=4,求线段GE的长.
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23.(10分)(2016?南关区一模)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6.点P在边AC上运动,过点P作PD⊥AB于点D,以AP、AD为邻边作?PADE.设□PADE与△ABC重叠部分图形的面积为y,线段AP的长为x(0<x≤6).
(1)求线段PE的长(用含x的代数式表示). (2)当点E落在边BC上时,求x的值. (3)求y与x之间的函数关系式.
(4)直接写出点E到△ABC任意两边所在直线距离相等时x的值.
24.(12分)(2016?南关区一模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A(1,0)、B(5,0)两点,点D是抛物线上横坐标为6的点.点P在这条抛物线上,且不与A、D两点重合,过点P作y轴的平行线与射线AD交于点Q,过点Q作QF垂直于y轴,点F在点Q的右侧,且QF=2,以QF、QP为邻边作矩形QPEF.设矩形QPEF的周长为d,点P的横坐标为m. (1)求这条抛物线所对应的函数表达式.
(2)求这条抛物线的对称轴将矩形QPEF的面积分为1:2两部分时m的值. (3)求d与m之间的函数关系式及d随m的增大而减小时d的取值范围. (4)当矩形QPEF的对角线互相垂直时,直接写出其对称中心的横坐标.
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2016年吉林省长春市南关区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分) 1.﹣6的绝对值等于( ) A.﹣6 B.6
C.﹣ D.
【考点】绝对值.
【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数进行解答即可. 【解答】解:|﹣6|=6, 故选:B.
【点评】本题考查的是绝对值的性质:一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.
2.“十二五”期间,某市义务教育阶段在校学生人数达到654000人.654000这个数用科学记数法表示为( ) A.0.654×106
B.6.54×106 C.6.54×105 D.65.4×104
【考点】科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:654000这个数用科学记数法表示为6.54×105. 故选:C.
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
3.下列运算中,正确的是( ) A.a2?a3=a5 B.a8÷a4=a2 C.(a5)2=a7
D.2a+3b=5ab
【考点】同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.
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【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加;同底数幂的除法底数不变指数相减;幂的乘方底数不变指数相乘;合并同类项系数相加字母及指数不变;可得答案.
【解答】解:A、同底数幂的乘法底数不变指数相加,故A正确; B、同底数幂的除法底数不变指数相减,故B错误; C、幂的乘方底数不变指数相乘,故C错误; D、不是同类项不能合并,故D错误; 故选:A.
【点评】本题考查了同底数幂的除法,熟记法则并根据法则计算是解题关键.
4.右图是由六个完全相同的小正方体组合而成的立体图形,它的主视图是( )
A. B. C. D.
【考点】简单组合体的三视图.
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图,可得答案.
【解答】解:从正面看第一层是四个小正方形,从左边数第二个小正方形的上边是两个小正方形, 故选:D.
【点评】本题考查了简单组合体的三视图,从正面看得到的图形是主视图.
5.如图,直线a∥b.若∠1=30°,∠2=45°,则∠3的大小为( )
A.75° B.80° C.85° D.105° 【考点】平行线的性质.
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【分析】直接利用平行线的性质得出∠3=∠4,再利用三角形外角的性质得出答案. 【解答】解:∵a∥b, ∴∠3=∠4,
∵∠1+∠2=∠4=30°+45°=75°, ∴∠3=75°. 故选:A.
【点评】此题主要考查了平行线的性质,得出∠3=∠4是解题关键.
6.如图,四边形ABCD内接于⊙O.若⊙O的半径为4,∠D=135°,则
的长为( )
A.π B.2π C.4π D.8π
【考点】弧长的计算.
【分析】连接AO,OC,根据圆内接四边形的性质得到∠B=45°,由圆周角定理得到∠AOC=90°,根据弧长的公式即可得到结论.
【解答】解:连接AO,OC,
∵四边形ABCD内接于⊙O,∠D=135°, ∴∠B=45°, ∴∠AOC=90°, ∴
的长=
=2π,
故选B.
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【点评】本题考查的是弧长的计算,圆内接四边形的性质和圆周角定理,掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.
7.如图,在△ABC中,分别以点A、C为圆心,以大于
长为半径作圆弧,两弧分别相交于点E、F,连结EF
并延长交边BC于点D,连结AD.若AB=6,BC=8,则△ABD的周长为( )
A.8 B.10 C.12 D.14
【考点】作图—基本作图;线段垂直平分线的性质.
【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD=CD,则可得出△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=6+8=14,即可得解. 【解答】解:∵根据做法可知:EF是AC的垂直平分线, ∴AD=CD,
∵△ABD的周长=AB+BD+AD,
∴AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=6+8=14. 故选D.
【点评】本题考查了基本作图和线段垂直平分线性质的应用,解此题的关键是根据题意得出AD=CD,注意:线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
8.如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的边BC在x轴的正半轴上,点B在点C的左侧,直线y=kx经过点A(3,3)和点P,且OP=6部,则b的取值范围是( )
.将直线y=kx沿y轴向下平移得到直线y=kx+b,若点P落在矩形ABCD的内
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A.0<b<3 B.﹣3<b<0 C.﹣6<b<﹣3 D.﹣3<b<3
【考点】一次函数图象与几何变换;一次函数图象上点的坐标特征.
【分析】作PE⊥AD于E交BC于F,先求出直线y=kx以及点P坐标,再确定点E、F坐标,代入y=x+b中即可解决问题.
【解答】解:如图作PE⊥AD于E交BC于F, ∵直线y=kx经过点A(3,3), ∴k=1,
∴直线为y=x,设点P坐标(a,a), ∵OP=6
,
∴a2+a2=72, ∴a2=36, ∵a>0, ∴a=6.
∴点P坐标(6,6),点E(6,3),点F(6,0),
把点E(6,3),点F(6,0)分别代入y=x+b中,得到b=﹣3或﹣6, ∴点P落在矩形ABCD的内部, ∴﹣6<b<﹣3. 故选C.
【点评】本题考查一次函数有关知识,掌握两条直线平行k值相同,寻找特殊点是解决问题的关键,理解点P在平移过程中与y轴的距离保持不变,属于中考常考题型.
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分) 9.比较大小:
< 2 (填“<“,“=“或“>“).
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【考点】实数大小比较. 【分析】求出2=【解答】解:∵2=∴
<2,
,根据=
>,
即可求出答案.
故答案为:<.
【点评】本题考查了实数的大小比较的应用,关键是求出2=
10.不等式2(x+3)﹣4≤0的解集为 x≤﹣1 . 【考点】解一元一次不等式.
【分析】根据解不等式的方法可以求得不等式2(x+3)﹣4≤0的解集,本题得以解决. 【解答】解:2(x+3)﹣4≤0, 去括号,得 2x+6﹣4≤0, 移项及合并同类项,得 2x≤﹣2, 系数化为1,得 x≤﹣1.
故答案为:x≤﹣1.
【点评】本题考查解一元一次不等式,解题的关键是明确解一元一次不等式的方法.
11.一元二次方程x2﹣5x+3=0根的判别式的值为 13 . 【考点】根的判别式.
【分析】直接利用根的判别式△=b2﹣4ac求出答案.
【解答】解:一元二次方程x2﹣5x+3=0根的判别式的值是:△=(﹣5)2﹣4×3=13. 故答案为:13.
【点评】此题主要考查了根的判别式,正确记忆公式是解题关键.
12.如图,AB为⊙O的直径,点C、D在⊙O上.若∠CAB=40°,则∠D的大小为 50 度.
,题目比较典型,难度不大.
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【考点】圆周角定理.
【分析】连接BC,求出∠ABC的度数,然后根据圆周角定理求出∠D的度数. 【解答】解:连接BC,
∵AB为⊙O的直径, ∴∠ACB=90°, ∵∠CAB=40°, ∴∠ABC=50°, ∴∠B=∠ABC=50°, 故答案为50.
【点评】本题主要考查了圆周角定理,熟练掌握在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等是解题的关键.
13.如图,在平面直角坐标系中,点A在函数y=(x>0)的图象上,过点A作AC⊥y轴于点C,点B在x轴上,连结CB、AB.若△ABC的面积为4,则k的值为 8 .
【考点】反比例函数系数k的几何意义.
【分析】连接OA,由△ABC和△OAC的面积相等可得出关于k的一元一次方程,解方程即可得出结论. 【解答】解:连接OA,如图所示.
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∵△ABC和△OAC的面积相等(同底等高), ∴S△OAC=k=4, ∴k=8. 故答案为8.
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义,解题的关键是找出S△OAC=k=4.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据反比例函数系数k的几何意义找出相对应的三角形的面积是关键.
14.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=a(x﹣2)2+1(a为常数)的顶点为A,过点A作y轴的平行线与抛物线y=﹣x2﹣x交于点B.抛物线y=﹣x2﹣x的顶点为C,连结CA、CB,则△ABC的面积为 10 .
【考点】二次函数的性质.
【分析】由两个抛物线的解析式可以得出顶点A、C的坐标,将x=2代入y=﹣x2﹣x中得出B点的坐标,根 据A、B、C三点的坐标即可得出AB的长以及点C到直线AB的距离h,结合三角形的面积公式即可得出结论.【解答】解:∵抛物线y=a(x﹣2)2+1(a为常数)的顶点为A, ∴点A的坐标为(2,1), ∵抛物线y=﹣x2﹣x=﹣∴点C的坐标为(﹣2,). 令x=2,则有y=﹣×22﹣×2=﹣4, ∴点B的坐标为(2,﹣4),
∴AB=1﹣(﹣4)=5,点C到直线AB的距离h=2﹣(﹣2)=4, △ABC的面积S=AB?h=×5×4=10. 故答案为:10.
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+,
【点评】本题考查了二次函数的性质、三角形的面积公式以及点到直线的距离,解题的关键是找出A、B、C三点的坐标.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,将二次函数解析式变化成顶点式,找出点的坐标是关键.
三、解答题(本大题共10小题,共78分)
15.先化简,再求值:a(a﹣4)+(1﹣a)(1+a),其中a=. 【考点】整式的混合运算—化简求值.
【分析】先算乘法,再算加减,把a的值代入进行计算即可. 【解答】解:原式=a2﹣4a+1﹣a2 =1﹣4a.
当a=时,原式=1﹣4×=﹣2.
【点评】本题考查的是整式的混合运算,化简求值,熟知整式混合运算的法则是解答此题的关键.
16.现有一副扑克牌中的3张牌,牌面数字分别为7、9、9,从中随机抽取一张然后放回,再随机抽取一张.用画树状图(或列表)的方法,求抽取的两张牌面数字相同的概率. 【考点】列表法与树状图法.
【分析】先画树状图展示所有9种9种等可能的结果树,再找出抽取的两张牌面数字相同的结果数,然后根据概率公式求解.
【解答】解:画树状图为:
共有9种等可能的结果树,其中抽取的两张牌面数字相同的结果数为5, 所以抽取的两张牌面数字相同的概率=.
【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,求出概率.
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17.某车间计划生产360个零件,由于改进了技术,该车间实际每天生产零件的个数是原计划的1.2倍,结果提前4天完成任务.求该车间原计划每天生产零件的个数. 【考点】分式方程的应用.
【分析】根据题意表示出生产零件所用的天数,再利用提前4天完成任务得出等式求出答案. 【解答】解:设该车间原计划每天生产零件x个. 根据题意,得解得:x=15
经检验,x=15是原方程的解,且符合题意. 答:该车间原计划每天生产零件15个.
【点评】本题主要考查的是分式方程的应用,根据题意找出正确等量关系是解题的关键.
18.如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC交BC于点D,分别过点A、D作AE∥BC、DE∥AB,AE与DE相交于点E,连结CE.求证:四边形ADCE是矩形.
﹣
=4.
【考点】矩形的判定.
【分析】先证明四边形ABDE是平行四边形,得出AE=BD,由等腰三角形的性质得出BD=CD,AD⊥BC,得出AE=CD,∠ADC=90°,证出四边形ADCE是平行四边形.即可得出结论. 【解答】证明∵AE∥BC、DE∥AB, ∴四边形ABDE是平行四边形. ∴AE=BD,
∵AB=AC,AD平分∠BAC, ∴BD=CD,AD⊥BC, ∴AE=CD,∠ADC=90°, 又∵AE∥BC,
∴四边形ADCE是平行四边形. ∴四边形ADCE是矩形.
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【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形的性质;熟练掌握平行四边形的判定与性质,由等腰三角形的性质得出BD=CD,AD⊥BC是解决问题的关键.
19.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向,距离灯塔80海里的A处.海轮沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东64°方向上的B处.求海轮所在的B处与灯塔P的距离.(结果精确到0.1海里)(参考数据:sin64°=0.90,cos64°=0.44,tan64°=2.05)
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.
【分析】首先过点P作PC⊥AB于点C,然后利用三角函数的性质:PC=AP?sin30°,即可求得PC的值,再由PB=
,即可求得答案.
【解答】解:过点P作PC⊥AB于点C. 由题意可知,AB∥PD, ∴∠A=30°,∠B=64°,
在Rt△APC中,∠ACP=90°,∠A=30°,AP=80, ∴PC=AP?sin30°=80×=40,
在Rt△PBC中,∠BCP=90°,∠B=64°, ∴PB=
=
=44.44≈44.4(海里).
答:海轮所在的B处与灯塔P的距离约为44.4海里.
【点评】此题考查了方向角问题.注意准确构造直角三角形是解此题的关键.
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20.在“世界粮食日”前夕,某校团委随机抽取了n名本校学生,对某日午餐剩饭菜情况进行问卷调查.问卷中的剩饭菜情况包括:
A.饭和菜全部吃完; B.饭有剩余但菜吃完; C.饭吃完但菜有剩余;D.饭和菜都有剩余.
每位学生在问卷调查时都按要求只选择了其中一种情况,该校团委收回全部问卷后,将收集到的数据整理并绘制成如下的条形统计图. (1)求n的值.
(2)饭和菜全部吃完的学生人数占被调查的学生人数的百分比为 60% . (3)根据统计结果,估计该校2400名学生中菜有剩余的学生人数.
【考点】条形统计图;用样本估计总体.
【分析】(1)根据条形图,把A,B,C,D的人数加起来,即可解答; (2)用A的人数÷总人数,即可得到百分比;
(3)用样本中菜有剩余即C、D人数所占比例×2400可得. 【解答】解:(1)n=120+40+20+20=200; (2)
×100%=60%;
=480(人),
(3)2400×
答:估计该校2400名学生中菜有剩余的学生约为480人. 故答案为:(2)60%.
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用.读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.
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21.甲、乙两个工程队同时开始维修某一段路面,一段时间后,甲队被调往别处,乙队又用了2小时完成了剩余的维修任务.已知乙队每小时维修路面的长度保持不变,甲队每小时维修路面30米.甲、乙两队在此路段维修路面的总长度y(米)与维修时间x(时)之间的函数图象如图所示. (1)甲队调离时,甲、乙两队已维修路面的总长度为 150 米. (2)求此次维修路面的总长度a.
(3)求甲队调离后y与x之间的函数关系式.
【考点】一次函数的应用. 【分析】(1)根据图象解答即可;
(2)根据题意得出甲、乙两队每小时维修路面的总长度解答即可; (3)设所求函数关系式y=kx+b,利用待定系数法解答即可.
【解答】解:(1)甲队调离时,甲、乙两队已维修路面的总长度为150米, 故答案为:150.
(2)甲队调离前,甲、乙两队每小时维修路面的总长度为150÷3=50(米). ∴乙队每小时维修路面的长度为50﹣30=20, a=150+20×2=190(米).
(3)设所求函数关系式为y=kx+b. 将点(3,150),(5,190)代入,得
,解得
.
故甲队调离后y与x之间的函数关系式为:y=20x+90(3<x≤5).
【点评】本题考查了一次函数的应用,解决本题的关键是读懂图象,获取相关信息,用待定系数法求函数解析式.
22.在菱形ABCD中,∠B=60°,AC为对角线.点E、F分别在边AB、DA或其延长线上,连结CE、CF,且∠ECF=60°.
感知:如图①,当点E、F分别在边AB、DA上时,易证:AF=BE.(不要求证明)
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探究:如图②,当点E、F分别在边AB、DA的延长线上时,CF与边AB交于点G.求证:AF=BE. 应用:如图②,若AB=12,AF=4,求线段GE的长.
【考点】菱形的性质;全等三角形的判定与性质;相似三角形的判定与性质.
【分析】探究:先由菱形的性质得出AC=BC,∠ACB=∠DAC=∠ABC=60°,则可证∠FAC=∠EBC=120°,∠ACF=∠BCE=60°﹣∠GCB,那么根据ASA可得△ACF≌△BCE,利用全等三角形对应边相等得出AF=BE; 应用:先由菱形的性质得出AD∥CB,那么△AFG∽△BCG,利用相似三角形对应边成比例得出所以GB=3GA.由GA+GB=AB=12,求出GA=3,GB=9,根据GE=GB+BE即可求解. 【解答】探究:证明:如图2,∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°, ∴AC=BC,∠ACB=∠DAC=∠ABC=60°,
∴∠FAC=180°﹣∠DAC=120°,∠EBC=180°﹣∠ABC=120°, ∴∠FAC=∠EBC. 又∵∠ECF=60°,
∴∠ACF=∠ACB﹣∠GCB=60°﹣∠GCB, ∠BCE=∠ECF﹣∠GCB=60°﹣∠GCB, ∴∠ACF=∠BCE. 在△ACF与△BCE中
,
∴△ACF≌△BCE(ASA), ∴AF=BE;
应用:解:∵四边形ABCD是菱形, ∴AD∥CB, ∴△AFG∽△BCG,
第20页
===,
∴===,
∴GB=3GA. 又∵GA+GB=AB=12, ∴GA+3GA=12, ∴GA=3, ∴GB=9, 又∵AF=BE,
∴GE=GB+BE=9+4=13.
【点评】本题考查了菱形的性质,全等三角形、相似三角形的判定与性质,证明出△ACF≌△BCE是解题的关键.
23.(10分)(2016?南关区一模)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6.点P在边AC上运动,过点P作PD⊥AB于点D,以AP、AD为邻边作?PADE.设□PADE与△ABC重叠部分图形的面积为y,线段AP的长为x(0<x≤6).
(1)求线段PE的长(用含x的代数式表示). (2)当点E落在边BC上时,求x的值. (3)求y与x之间的函数关系式.
(4)直接写出点E到△ABC任意两边所在直线距离相等时x的值.
【考点】四边形综合题.
第21页
【分析】(1)先由∠C=90°,AC=BC,得出∠A=45°,再解等腰直角△APD,得出AD=AP?cos∠A=然后根据平行四边形对边相等得出PE=AD=
x;
x=PD,
(2)当点E落在边BC上时,先由平行线的性质得出∠CPE=∠A=45°,再解等腰直角△CPE,得出PC=PE?cos∠CPE=
x?
=x,再根据AP+PC=AC列出方程x+x=6,解方程即可;
(3)分两种情况进行讨论:①当0<x≤4时,y=S?PADE,根据平行四边形面积公式求解即可;②当4<x≤6PE与BC交于F.=x﹣6,时,设DE与BC交于G,求出GE=DE﹣DG=x﹣(6﹣x)再根据y=S?PADE﹣S△GFE计算即可;
(4)由(2)知,x=4时,点E落在边BC上,此时点E到△ABC任意两边所在直线距离均不相等,所以分两种情况进行讨论:①当E在△ABC内部时,0<x<4.过E作EL⊥AC于L,EM⊥AB于M,延长DE交BCEM=于N,则EN⊥BC.求出EL=x,
x,EN=6﹣x.由于x≠
x,即EL≠EM.所以分EL=EN与EM=EN
分别列出方程,求解即可;②当E在△ABC外部时,4<x≤6,过E作EL⊥AC交AC延长线于L,EM⊥AB于M,易知EG⊥BC.求出EL=x,EM=EM=EN分别列出方程,求解即可.
【解答】解:(1)∵在△ABC中,∠C=90°,AC=BC, ∴∠A=45°, ∵PD⊥AB, ∴AD=AP?cos∠A=
x=PD,
x,EG=x﹣6.由于x≠
x,即EL≠EM.所以分EL=EN与
∵四边形PADE是平行四边形, ∴PE=AD=
(2)当点E落在边BC上时,如图1. ∵PE∥AD, ∴∠CPE=∠A=45°, ∵∠C=90°, ∴PC=PE?cos∠CPE=∵AP+PC=AC,
第22页
x;
x?=x.
∴x+x=6, ∴x=4;
(3)①当0<x≤4时,如图2. y=S?PADE=AD?PD=
x?
x=x2,即y=x2;
②当4<x≤6时,如图3,设DE与BC交于G,PE与BC交于F. ∵AD=
x,AB=
AC=6﹣
,
∴DB=AB﹣AD=6x, ﹣
x)?
=6﹣x,
∴DG=DB?sin∠B=(6
∴GE=DE﹣DG=x﹣(6﹣x)=x﹣6,
∴y=S?PADE﹣S△GFE=x2﹣(x﹣6)2=﹣x2+9x﹣18;
(4)①当E在△ABC内部时,0<x<4,如图4,过E作EL⊥AC于L,EM⊥AB于M,延长DE交BC于N,则EN⊥BC. EL=PE?sin∠LPE=
x?
==x, x,
﹣
x)?
﹣x=6﹣x﹣x=6﹣x.
EM=DE?sin∠EDM=x?
EN=DN﹣DE=DB?sin∠B﹣AP=(6∵0<x<4, ∴x≠
x,即EL≠EM.
当EL=EN时,E在∠ACB的平分线上, 有x=6﹣x,解得x=3,符合题意; 当EM=EN时,E在∠ABC的平分线上, 有
x=6﹣x,解得x=
,符合题意;
②当E在△ABC外部时,4<x≤6,过E作EL⊥AC交AC延长线于L,EM⊥AB于M,易知EG⊥BC. EL=GC=AD?sin∠A=
x?
=x,
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EM=DE?sin∠EDM=x?=x,
﹣
x)?
=x﹣(6﹣x)=x﹣6.
EG=DE﹣DG=AP﹣DB?sin∠B=x﹣(6∵4<x≤6, ∴x≠
x,即EL≠EM.
当EL=EG时,E在∠ACB的外角的角平分线上, 有x=x﹣6,解得x=6,符合题意;
当EM=EG时,E在∠ABC的外角的角平分线上, 有
x=x﹣6,解得x=
>6,不合题意舍去.
.
综上所述,点E到△ABC任意两边所在直线距离相等时x的值为3,6,
第24页
【点评】本题是四边形综合题,考查了平行四边形的性质,等腰直角三角形的判定与性质,解直角三角形,平行线的性质,三角形、四边形的面积等知识,综合性较强,有一定难度.利用数形结合、分类讨论以及方程思想是解题的关键.
24.(12分)(2016?南关区一模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A(1,0)、B(5,0)两点,点D是抛物线上横坐标为6的点.点P在这条抛物线上,且不与A、D两点重合,过点P作y轴的平行线与射线AD交于点Q,过点Q作QF垂直于y轴,点F在点Q的右侧,且QF=2,以QF、QP为邻边作矩形QPEF.设矩形QPEF的周长为d,点P的横坐标为m. (1)求这条抛物线所对应的函数表达式.
(2)求这条抛物线的对称轴将矩形QPEF的面积分为1:2两部分时m的值. (3)求d与m之间的函数关系式及d随m的增大而减小时d的取值范围. (4)当矩形QPEF的对角线互相垂直时,直接写出其对称中心的横坐标.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)直接利用待定系数法求出二次函数解析式即可; (2)首先求出函数对称轴进而得出m的值;
(3)分别利用当1<m<6时,d=2(﹣m2+7m﹣6+2),当m>6时,d=2(m2﹣7m+6+2)求出d的取值范围即可;
(4)当矩形QPEF的对角线互相垂直时,则矩形QPEF是正方形,边长为2,进而得出m的值求出答案. 【解答】解:(1)把A(1,0)、B(5,0)代入y=ax2+bx+5,
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,
解得
,
∴y=x2﹣6x+5;
(2)如图所示:∵抛物线y=x2﹣6x+5的对称轴为:x=﹣
=﹣
=3,
∵这条抛物线的对称轴将矩形QPEF的面积分为1:2两部分, 可得PN=3﹣m,PE=2, ∴
=或
=,
解得:m=或m=;
(3)当x=6时,y=x2﹣6x+5=62﹣6×6+5=5, ∴点D的坐标为(6,5).
射线AD所对应的函数表达式为y=x﹣1(x>1). ∴P(m,m2﹣6m+5),Q(m,m﹣1).
当1<m<6时,d=2(﹣m2+7m﹣6+2)=﹣2m2+14m﹣8, 当m>6时,d=2(m2﹣7m+6+2)=2m2﹣14m+16, 又d=﹣2m2+14m﹣8=﹣2(m﹣)2+
,
.
∴d随m的增大而减小时d的取值范围是4<d≤
(4)当矩形QPEF的对角线互相垂直时,则矩形QPEF是正方形,边长为2, 当1<m<6时,m﹣1﹣(m2﹣6m+5)=2, 整理得:m2﹣7m+8=0, 解得:m1=
,m2=
,
当m>6时,m2﹣6m+5﹣(m﹣1)=2, 整理得:m2﹣7m+4=0, 解得:m3=
,m4=
(舍去),
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故P点横坐标为: +1=, +1=, +1=.
【点评】此题主要考查了二次函数综合以及正方形的性质等知识,根据题意表示出矩形QPEF的边长是解题关键.
第27页
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