高考数学二轮复习 解答题题型练习6 解析几何中的探索性问题

用心 爱心 专心 1 题型六 解析几何中的探索性问题

(推荐时间：30分钟)

1．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，上顶点为A ，△AF 1F 2为正三角形，且以AF 2为直径的圆与直线y ＝3x ＋2相切．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)在(1)的条件下，过右焦点F 2作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，在x 轴上是否存在点P (m,0)，使得以PM 、PN 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由．

2．(2010·福建)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2，3)，且点F (2,0)为其右焦点．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．

答 案

1．解 (1)∵△AF 1F 2是正三角形，∴a ＝2c .

由已知F 2(c,0)，A (0，b )，

∴以AF 2为直径的圆的圆心为? ??

??12c ，12b ，半径r ＝12a . 又该圆与直线3x －y ＋2＝0相切，

则有??????32c －b 2＋22＝a 2. 由a ＝2c ，得b ＝3c ，

∴??????32c －32c ＋22＝a 2

. 得a ＝2，∴c ＝1，b ＝ 3.

椭圆C 的方程为x 24＋y 2

3

＝1. (2)由(1)知F 2(1,0)，l ：y ＝k (x －1)， 由????? y ＝k x －1，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2

－12＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，

则x 1＋x 2＝8k 23＋4k

2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)， ∴PM →＋PN →＝(x 1－m ，y 1)＋(x 2－m ，y 2)＝(x 1＋x 2－2m ，y 1＋y 2)．

由菱形对角线垂直，则(PM →＋PN →)·MN →＝0，

∴(x 1＋x 2－2m )(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝0，

用心 爱心 专心 2 得k (y 1＋y 2)＋x 1＋x 2－2m ＝0，

得k 2(x 1＋x 2－2)＋x 1＋x 2－2m ＝0，

k 2? ????8k 23＋4k 2－2＋8k 23＋4k 2

－2m ＝0. 由已知条件k ≠0，且k ∈R ，

∴m ＝k 23＋4k 2＝13

k 2＋4. ∵3k 2>0，∴0

. 故存在满足题意的点P 且m 的取值范围是? ??

??0，14. 2．解 方法一 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)，且可知其左焦点为F ′(－2,0)．

从而有????? c ＝2，2a ＝AF ＋AF ′＝3＋5＝8，

解得????? c ＝2，a ＝4. 又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，

故椭圆C 的方程为x 216＋y 212

＝1. (2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝32

x ＋t . 由????? y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2

－12＝0. 因为直线l 与椭圆C 有公共点，

所以Δ＝(3t )2－4×3×(t 2

－12)≥0，

解得－43≤t ≤4 3.

另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4，得|t |94＋1＝4， 解得t ＝±213.

由于±213?[－43，43]，

所以符合题意的直线l 不存在．

方法二 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)， 且有????? 4a 2＋9b

2＝1，a 2－b 2＝4.

解得b 2＝12，b 2＝－3(舍去)． 从而a 2＝16. 所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212

＝1.

(2)同方法一．

用心爱心专心 3

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