大学物理课后习题答案毛峰第二版

第一章

4．一物体做直线运动，运动方程为x?6t?2t，式中各量均采用国际单位制，求：（1）第二秒内的平均速度（2）第三秒末的速度；（3）第一秒末的加速度；（4）物体运动的类型。

23x(t)?6t2?2t3dx?12t?6t2 解: 由于: v(t)?dtdva(t)??12?12tdt所以:（1）第二秒内的平均速度:

v?x(2)?x(1)?4(ms?1)

2?1（2）第三秒末的速度:

v(3)?12?3?6?32??18(ms?1)

（3）第一秒末的加速度:

a(1)?12?12?1?0(ms?2)

（4）物体运动的类型为变速直线运动。

5．一质点运动方程的表达式为r(t）（1）?10t2i?5tj，式中的r,t分别以m,s为单位，试求；

质点的速度和加速度；（2）质点的轨迹方程。

解: （1）质点的速度:

v?dr?20ti?5j dtdv?20i dt质点的加速度:

a?（2）质点的轨迹方程:

由x?10t,y?5t联立消去参数t得质点的轨迹方程:

2y2?5x 28.质点的运动方程为r(t)?8cos(2t)i?8sin(2t)j(m)，求:(1)质点在任意时刻的速度和

加速度的大小；（2）质点的切向加速度和运动轨迹。 解: (1)质点在任意时刻的速度和加速度的大小:

dr??16sin(2t)i?16cos(2t)j(ms?1)dtd2ra?2??32cos(2t)i?32sin(2t)j(ms?2)dt

v?v?(v?v)?16(ms?1)a?(a?a)?32(ms?2)（2）质点的切向加速度: a??2x2y122x2y12dv?0(ms?2) dt 运动轨迹:

x?8cos(2t)222 由 消去t得x?y?8

y?8sin(2t)9．一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 ?=2+3t，?式中以弧度计，t以秒计，求：(1) t＝2 s其角位移是多少? 解: (1) t＝2 s

；(2)当加速度的方向和半径成45°角时，

3d??9t2dtd????18t dta?t?2s?R?t?2s?18tt?2s?36ms?2??

ant?2s?R?2t?2s?(9t2)2t?2s?1296ms?23 (2)当加速度的方向和半径成45°角时的角位移: 令 a?/an?tg45?1 得到:t? 因此 ??2?3?2 92?6.67Rad 9故 ??????0?2.67?2?0.67Rad

11 一质点沿X轴运动，其加速度a?3?2t，如果初始时刻v0?5ms?1,t?3s时，则质点的速度大小为多少？ 解:

dv?3?2tdtv dv?5??30(3?2t)dt

v?23(ms?1)s)12 在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如图所示．当人以v0(m·

的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．

解： 设人到船之间绳的长度为l，此时绳与水面成?角，由图可知

l?h?s

将上式对时间t求导，得

222?1dlds?2s 2ldtdt根据速度的定义，并注意到l,s是随t减少的，

∴ vdlds绳??dt?v0,v船??dt 即 vds船??dt??ldllvsdt?sv0?0cos? lv0(h2?s2)1/2或 v船?s?v0s 将v船再对t求导，即得船的加速度

sdl?dsa?dvdtl船dt?v0s?lv船dt?s2v0?s2v02 (?s?l)v2?s0h2v20s2?s3 第二章

1．质量为10kg的质点在xOy平面内运动，其运动规律为:

x?5con4t?3(m),y?5sin4t?5(m).求t时刻质点所受的力．解:

x?5con4t?3vdxx?dt??20sin4t

advxx?dt??80cos4ty?5sin4t?5vy?20cos4t ay??80sin4t

Fx?max??800cos4t(N)Fy?may??800sin4t(N) F?(Fx?Fy)?800(N)3．质量为m的质点在合力F?F0?kt(N)（F0,k均为常量）的作用下作直线运动，求： （1）质点的加速度；

（2）质点的速度和位置（设质点开始静止于坐标原点处）. 解:由牛顿第二运动定律

12F?ktdv?F0?kt?a?0(ms?2)dtm1F0t?kt2vtF?kt2dt?v?(ms?1) ?dv??0

mm00121312F0t?ktFt?ktxt0262dt?x?(m)?dx??mm00m4．质量为m的质点最初静止在x0处，在力F??k/x(N)（k是常量）的作用下沿X轴运动，求质点在x处的速度。

解: 由牛顿第二运动定律

2F??k/x2?mvxdvdvdxdv?m?mvdtdxdtdxk2k11?1vdv??dx?v?(?)(ms)??2mxmxx00x0 第三章

2．一颗子弹由枪口射出时速率为v0m?s?1，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为 F =(a?bt)N(a,b为常数)，其中t以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量．

解: (1)由题意，子弹到枪口时，有

F?(a?bt)?0,得t?(2)子弹所受的冲量

a bt1I??(a?bt)dt?at?bt2

02a将t?代入，得

ba2I?

2b(3)由动量定理可求得子弹的质量

m?Ia2v? 02bv04．如图所示，质量为M＝1.5 kg的物体，用一根长为l＝1.25 m的细绳悬挂在天花板上．今有一质量为m＝10 g的子弹以v0＝500 m/s的水平速度射穿物体，刚穿出物体时子弹的速度大小v ＝30 m/s，设穿透时间极短．求： (1) 子弹刚穿出时绳中张力的大小； (2) 子弹在穿透过程中所受的冲量．

解 （1） 由于穿透时间极短,可认为穿透过程在瞬间完成。此过程系统在水平方向满足动量守恒。 l mv0?MV?m v? V?m(v0?v)?10?10?3(500?30)?3.13m/s v0 v? M1.5m 对M进行受力分析有

M T?Mg?MV2l9.8?1.5?3.132?1.5?1.25?26.5N (2) 子弹在穿透过程中所受的冲量：

I??p?mv?mv0?10?10?3(30?500)??4.7Ns

上式中负号表示冲量方向与v?0方向相反。

6．静水中停着两条质量均为M的小船，当第一条船中的一个质量为m的人以水平速度v（相对于地面）跳上第二条船后，两船运动的速度各多大？（忽略水对船的阻力）．

解:该过程满足水平方向的动量守恒：

对第一条船： 0?mv?MV1 V1??mMv 上式中负号表示对第一条船运动方向与v方向相反； 对第二条船： mv?(m?M)V2 Vmv2?m?M

9一个质点在几个力同时作用下位移为?r?4i?5j?6k?SI?，其中一个力为

F??3i?4j?5k?SI?，求此力在该位移过程中所作的功。

解:此为恒力做功，故有

A?F??r?(?3i?4j?5k)(4i?5j?6k)??12?20?30?38J

10 设F合?7i?6jN．(1) 当一质点从原点运动到r??3i?4j?16km时，求F所作的功．(2)如果质点到r处时需0.6s，试求平均功率．(3)如果质点的质量为1kg，试求动能的变化．

解: (1) A?(7i?6j)[(?3i?4j?16k)?0]??21?24??45J

(2) 如果质点到r处时需0.6s，试求平均功率： P??P?45???75W ?t0.6(3)由动能定理，质点动能的变化为： ?Ek?A??45J

12．某弹簧不遵守胡克定律. 设施力F，相应伸长为x，力与伸长的关系为 F＝52.8x＋

38.4x2（SI）求：

(1)将弹簧从伸长x1＝0.50 m拉伸到伸长x2＝1.00 m时，外力所需做的功．

(2)将弹簧横放在水平光滑桌面上，一端固定，另一端系一个质量为2.17 kg的物体，然后将弹簧拉伸到一定伸长x2＝1.00 m，再将物体由静止释放，求当弹簧回到x1＝0.50 m时，物体的速率．

(3)此弹簧的弹力是保守力吗？

38.43x)?31J 解:（1）A??(52.8x?38.4x)dx?(26.4x?30.50.52211(2) 由动能定理

0.5 A?122(52.8x?38.4x)(?dx)?mv?0 ?212A2?31??5.34m/s m2.17 所以 v?(3) 此弹簧的弹力做功与路径无关，故是保守力。

16．一物体与斜面间的摩擦系数? = 0.20，斜面固定，倾角? = 45°．现给予物体以初速率v 0 = 10 m/s，使它沿斜面向上滑，如图所示．求：

(1) 物体能够上升的最大高度h；

(2) 该物体达到最高点后，沿斜面返回到原出发点时的速率v ． 解:（1）设物体能够上升的最大高度h，相应的斜面长度为S。由功能原理： ??mgcos?s?mgh?12mv0 2h s?

sin? 由上两式可得

2v0100 h???4.25m

2g(1??ctg?)2?9.8(1?0.2) ?v0 ??h （2） 该物体达到最高点后，沿斜面返回到原出发点时的速率v 可再由功能原理获

得：

?s? ??mgcos12mv?2m gh v?2gh(1??ctg?)?2?9.8?4.25?0.8?66.64?8.16m/s 20 如图所示，有一门质量为M (含炮弹)的大炮，在一斜面上无摩擦地由静止开始下滑．当

滑下l距离时，从炮内沿水平方向射出一发质量为m的炮弹．欲使炮车在发射炮弹后的瞬时停止滑动，炮弹的初速v（对地）应是多少？(设斜面倾角为? )． 解: 炮车在斜面上滑下l距离时，其速度为（机械能守恒）： V?2glsin? 炮内射出质量为m的炮弹，系统在沿斜面方向满足动量守恒 M2glsin??mvcon??0 由此得到 v?l? M2glsin?

mcos?10

22．哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆．它离太阳最近距离为r1＝8.75×10m 时的速率是v1＝5.46×10

4

m·s，它离太阳最远时的速率是v2＝9.08×10m·s

-1

2

-1

的距离r2多少?(太阳位于椭圆的一个焦点。)

5.26?1012m）

解: 哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有 r1mv1?r2mv2

r1v18.75?1010?5.46?10412∴ r2???5.26?10m 2v29.08?10 第四章

7. 如图所示，一半径为r，质量为m1的匀质圆盘作为定滑轮，绕有轻绳，绳上挂一质量为m2的重物，求重物下落的加速度。

解：设绳中张力为T

对于重物按牛顿第二定律有

m2g?T?m2a (1)

对于滑轮按转动定律有

Tr?由角量线量关系有

12mr? (2) 2a??r （3）

联立以上三式解得

8. 如图所示，两个匀质圆盘同轴地焊在一起，它们的半径分别为r1、r2，质量为m1和m2，可绕过盘心且与盘面垂直的光滑水平轴转动，两轮上绕有轻绳，各挂有质量为m3和m4的重物，求轮的角加速度?。

解：设连接m3的绳子中的张力为T1，连接m4的绳子中的张力为T2。 对重物m3按牛顿第二定律有 m3g?T1?m3a3 (1) 对重物m4按牛顿第二定律有 T2?m4g?m4a4 （2)

对两个园盘，作为一个整体，按转动定律有

1?1?T1r1?T2r2??m1r1?m2r2?? (3)

2?2?由角量线量之间的关系有

a3?r1? (4) a4?r2? (5)

联立以上五式解得

??m3r1?m4r2

11m1r12?m2r22?m3r12?m4r222211. 如图所示，主动轮A半径为r1，转动惯量为I1，绕定轴O1转动；从动轮B半径为r2，转动惯量为I2，绕定轴O2转动；两轮之间无相对滑动。若知主动轮受到的驱动力矩为M，求两个轮的角加速度?1和?2。

解：设两轮之间摩擦力为f

对主动轮按转动定律有:

M?fr1?I1?1 (1)

对从动轮按转动定律有

fr2?I2?2 (2)

由于两个轮边沿速率相同，有

r1?1?r2?2 (3)

联立以上三式解得

Mr22 ?1?I1r22?I2r12

?1?Mr1r2I1r22?I2r12

13. 一质量为m、半径为R的自行车轮，假定质量均匀分布在轮缘上，可绕轴自由转动．另一质量为m0的子弹以速度v0射入轮缘(如题2-31图所示方向)． (1)开始时轮是静止的，在质点打入后的角速度为何值?

(2)用m,m0和? 表示系统(包括轮和质点)最后动能和初始动能之比． 解: (1)射入的过程对O轴的角动量守恒

Rsin?m0v0?(m?m0)R2?

∴

??m0v0sin?

(m?m0)Rmvsin?21[(m?m0)R2][00]Ek2(m?m0)Rm0sin2???(2)

1Ek0m?m02m0v0214. 如图所示，长为l的轻杆，两端各固定质量分别为m和2m的小球，杆可绕水平光滑固定

2l．轻杆原来静止在竖直位置．今有一质3?1?量为m的小球，以水平速度?0与杆下端小球m作对心碰撞，碰后以?0的速度返回，试求

2轴O在竖直面内转动，转轴O距两端分别为l和碰撞后轻杆所获得的角速度．

解：碰撞过程满足角动量守恒：

2m 13212mv0l??mv0?l?I? 323221222 而 I?m(l)?2m(l)?ml

33322所以 mv0l?ml?

33v由此得到：??0

2l

13lO m

12?v023l ?v0m 16. 有一半径为R的均匀球体，绕通过其一直径的光滑固定轴匀速转动，转动周期为T0．如它的半径由R自动收缩为

1R，求球体收缩后的转动周期．(球体对于通过直径的轴的转动惯2量为J＝2mR2 / 5，式中m和R分别为球体的质量和半径)．

解：(1) 球体收缩过程满足角动量守恒：

I0?0?I2?2

2mR2?0I? ?2?00?5?4?0

21I2m(R)252 所以 T?2??2?2?T0? 4?04 第五章

5-5 飞船A中的观察者测得飞船B正以0.4c的速率尾随而来，一地面站测得飞船A的速率为0.5c，求：

（1）地面站测得飞船B的速率； （2）飞船B测得飞船A的速率。 解 选地面为S系，飞船A为S?系。

（1）vx'?0.4c,u?0.5c，vx?vx'?u3?c v1?2vx'4c （2）vBA??vAB??vx'??0.4c

5.6 惯性系S′相对另一惯性系S沿x轴作匀速直线运动，取两坐标原点重合时刻作为计时起点．在S系中测得两事件的时空坐标分别为x1=6×10m,t1=2×10s，以及x2=12×

4

-4

10m,t2=1×10s．已知在S′系中测得该两事件同时发生．试问：

4

-4

(1)S′系相对S系的速度是多少?

(2) S?系中测得的两事件的空间间隔是多少? 解: 设(S?)相对S的速度为v，

???(t1?(1) t1vx) 21cv???(t2?2x2) t2c??t1??0 由题意 t2则 t2?t1?故 v?c2v(x2?x1) 2ct2?t1c????1.5?108m?s?1

x2?x12???(x1?vt1),x2???(x2?vt2) (2)由洛仑兹变换 x1??x1??5.2?10m 代入数值， x25-8 在S系中有一静止的正方形，其面积为100m，观察者S?以0.8c的速度沿正方形

2

4

的对角线运动，S?测得的该面积是多少？

解 设正方形在S系中每边长为L, 其对角线长为2L，因为相对运动，沿着运动方向的对角线缩短，垂直于运动方向的对角线长度不变。固在S?系观测的面积为

S?L?L?L2(1?v2c2)?60m2

5-11 某种介子静止时的寿命是10s。如它在实验室中的速率为2?108ms，在它的一生中能飞行多少米？

解：介子静止时的寿命是固有时间，由于它相对于实验室运动，从而实验室观测的寿命是非固有时间。

在实验室观测的介子寿命为：

?83?10?8 ?????1.342s

2825u(2?10)1?21?c(3?108)2?010?8 所以介子一生中能飞行距离为：

?s?c??2.68m

5-12 两个惯性系中的观察者O和O?以0.6c(c表示真空中光速)的相对速度相互接近，如果O测得两者的初始距离是20m，则O?测得两者经过多少时间相遇?

解 O?测得的是固有时间?t?，O测得相遇时间为?t，又

?t?所以O? 测得的固有时间?t?为

L020? v0.6cL01??2∴ ?t?? ??v?t20?0.8?8.89?10?8s，

0.6c此题也可用长度收缩效应来解。O测得长度为固有长度，O?测得长度为非固有长度，设用L表示，则

?L?L01??2?L01?0.62?0.8L0,

由?t??L 有 v?t??0.8L00.8?20??8.89?10?8s 80.6c0.6?3.0?10

5-13 一米尺静止在S'系中，长度为l0，并与X'轴成30角。若在S系中测得该米尺与X轴成45角，则S'相对于S系的速度为多大？S系中测得该米尺的长度是多少？

解：在S中观察，米尺在运动方向（X轴方向）长度收缩，在Y轴方向长度不变，因此 lx?l0xu2u201?2?l0cos301?2 cc ly?l0y?l0sin300 由题意：

lylx?tg450

tg3001?uc22 所以 tg45＝0

解之得S'相对于S系的速度为： u=0.816cu?0.816c(m/s) S系中测得该米尺的长度为： l?lx?ly?0.707l0m

5-19 甲相对乙以0.6c的速率运动，求：

（1）甲携带质量为1kg的物体，乙测得该物体的质量是多少？ （2）甲、乙测得该物体的总能量各是多少？ 解：（1） m?22m01?uc22?1.25kg

（2）甲测得该物体的总能量： E0?m0c2?9?1016J； 乙测得该物体的总能量：E?mc?1.13?10J

5-21 实验室测得一质子的速率为0.995c，求该质子的质量、总能量、动量和动能。（质子的静质量为1.673?10解： 质子的质量：m??27217kg）

?1.673?10?26kg；

m0u21?2c2 质子的总能量：E?mc?1.51?10J； 质子的动量： p?mu?4.9?910k?g?m；s 质子的动能：Ek?mc?m0c?1.36?10J

22?9?18?1?9 第六章

4. 一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为?。求： （1）圆心处O点的场强；

（2）将此带电半圆环弯成一个整圆后，圆心处O点场强。

解：（1）在半圆环上取dq??dl??Rd?，它在O点产生场强大小为

dE?dq??d? ，方向沿半径向外 24π?0R4π?0R根据电荷分布的对称性知，Ey?0

dEx?dEsin???sin?d?

4π?0REx??故 E?Ex??0??sin?d??

4π?0R2π?0R?，方向沿x轴正向。

2π?0R（2）当将此带电半圆环弯成一个整圆后，由电荷分布的对称性可知，圆心处电场强度为零。

5．如图所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电量为q，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d的P点的电场强度。

解：建立图示坐标系。在均匀带电细直杆上取dq??dx?强大小为

qdx，dq在P点产生的场LdE?dq?dx，方向沿x轴负方向。 ?4??0x24??0x2 d?Ld故 P点场强大小为 EP?dE????dx 24??0x q L P d x O ?q

4??0d?d?L?方向沿x轴负方向。

9. 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为

?1和?2，试求空间各处场强。

解：如图所示，电荷面密度为?1的平面产生的场强大小为

?1 ?E1 ?E2 ?2

E??1，方向垂直于该平面指向外侧 2?0电荷面密度为?2的平面产生的场强大小为

E?由场强叠加原理得

?2，方向垂直于该平面指向外侧 2?01(?1??2)，方向垂直于平面向右 2?01(?1??2)，方向垂直于平面向左 2?01(?1??2)，方向垂直于平面向右 2?0两面之间，E?E1?E2??1面左侧，E?E1?E2??2面右侧，E?E1?E2?10. 如图所示，一球壳体的内外半径分别为R1和R2，电荷均匀地分布在壳体内，电荷体密度为?（??0）。试求各区域的电场强度分布。

解：电场具有球对称分布，以r为半径作同心球面为高斯面。由高斯定理

??1?E?dS?S?0?qi得

E?4?r?21?0?qi

当r?R1时，?qi?0，所以 E?0

当R1?r?R2时，?qi??(?r?4334?R13)，所以 3

?(r3?R13) E?

3?0r2当r?R2时，?qi??(?R2?4334?R13)，所以 3?(R23?R13) E?

3?0r211. 有两个均匀带电的同心带电球面，半径分别为R1和R2（R2?R1），若大球面的

面电荷密度为?，且大球面外的电场强度为零。求：（1）小球面上的面电荷密度；（2）大球面内各点的电场强度。

解:（1）电场具有球对称分布，以r为半径作同心球面为高斯面。由高斯定理

??1?E?dS?S?0?qi得

E?4?r?21?0?qi

22当r?R2时，E?0，?qi???4?R2????4?R1?0，所以

????（R22)? R1（2）当r?R1时，?qi?0，所以 E?0

当R1?r?R2时，?qi????4?R1??4??R2，所以

22E??（R22? )r?0负号表示场强方向沿径向指向球心。

13. 半径为R的无限长直圆柱体均匀带电，体电荷密度为?，求其场强分布。 解：电场分布具有轴对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面高为l，底面圆半径为r，应用高斯定理求解。

??1 ?E?dS?E?2πrl??qi

S?0(1) 当r?R时，

?qi????r2l，所以

E?(2) 当r?R时，

?r 2?0i?q????R2l，所以

?R2 E?

2?0r14.一半径为R的均匀带电圆盘，电荷面密度为?，设无穷远处为电势零点，求圆盘中心O点的电势。

解：取半径为r、dr的细圆环dq??dS???2?rdr，则dq在O点产生的电势为

dV?圆盘中心O点的电势为 V?dV?dq4??0r??dr 2?0??R0?dr 2?016. 真空中一半径为R的球形区域内均匀分布着体电荷密度为?的正电荷，该区域内

12a点离球心的距离为R，b点离球心的距离为R。求a、b两点间的电势差Uab

33解：电场分布具有轴对称性，以O为球心、作半径为r的同心球面为高斯面。由高斯定??1理?E?dS?qi得 ?S?02当r?R时，E?4?r?1?0???r3 ，所以

43E??r 3?0??2R/3?r?R2 E?dr??dr?R/33?018?0a、b两点间的电势差为

Uab??ba18. 如图所示，在A，B两点处放有电量分别为+q,-q的点电荷，AB间距离为2R，现将另一正试验点电荷q0从O点经过半圆弧移到C点，求移动过程中电场力作的功。

解：O点的电势为

VO?C点的电势为

q4π?0R??q?0

4π?0RVC?电场力作的功为

q4π?0?3R??qq??

4π?0R6π?0R

A?q0(VO?VC)?qoq

6π?0R 第七章

2. 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。

证明: 如图所示，设两导体A、B的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为?1，?2，

?3，?4

（1）取与平面垂直且底面分别在A、B内部的闭合圆柱面为高斯面，由高斯定理得

??1 ?E?dS?0?(?2??3)?S

S?0故 ?2??3?0

上式说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反。

（2）在A内部任取一点P，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即

?1?2?3?4????0 2?02?02?02?0又 ?2??3?0 故 ?1??4

3. 半径为R的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为d?3R处有一点电荷+q，试求：金属球上的感应电荷的电量。

解：如图所示，设金属球表面感应电荷为q?，金属球接地时电势V?0 由电势叠加原理，球心电势为

VO?14π?0R?dq?q4π?03R

?故 q???q?q??0

4π?0R4π?03Rq 34．半径为R1的导体球，带有电量q，球外有内外半径分别为R2、R3的同心导体球壳，球壳带有电量Q。

（1）求导体球和球壳的电势V1和V2； （2）如果将球壳接地，求V1和V2；

（3）若导体球接地（设球壳离地面很远），求V1和V2。

解：（1）应用均匀带电球面产生的电势公式和电势叠加原理求解。

半径为R、带电量为q的均匀带电球面产生的电势分布为

?q (r?R)?4??R ?0 V???q (r?R)??4??0r导体球外表面均匀带电q；导体球壳内表面均匀带电?q，外表面均匀带电q?Q，由电势叠加原理知，空间任一点的电势等于导体球外表面、导体球壳内表面和外表面电荷在该

点产生的电势的代数和。

导体球是等势体，其上任一点电势为

V1?14??0(qqq?Q??) R1R2R3球壳是等势体，其上任一点电势为

V2?q4??0r??q4??0r

?q?Qq?Q ?4??0R34??0R3（2）球壳接地V2?q?Q?0，表明球壳外表面电荷q?Q入地，球壳外表面不带

4π?0R3电，导体球外表面、球壳内表面电量不变，所以

V1?q4??0(11?) R1R2（3）导体球接地V1?0，设导体球表面的感应电荷为q?，则球壳内表面均匀带电?q?、外表面均匀带电q??Q，所以

q?q?q??QV1?(??)?0

4??0R1R2R31解得 q???R1R2Q

R2R3?R1R3?R1R2V2?(R2?R1)Qq??Q ?4??0R34??0(R2R3?R1R3?R1R2)6. 设一半径为R的各向同性均匀电介质球体均匀带电，其自由电荷体密度为?，球体内的介电常数为?1，球体外充满介电常数为?2的各向同性均匀电介质。求球内外任一点的场强大小和电势(设无穷远处为电势零点)。

解：电场具有球对称分布，以r为半径作同心球面为高斯面。由介质中的高斯定理得

?? ?D?dS?D?4?r2??qi

S43?rD?rD?，E1? ?3?13?143当r?R时，?qi????R，所以

3?R3D?R3D?2，E2? ?23r?23?2r球内（r?R）电势为

3??R?r??R?V1??E?dr??dr??dr

r3?rR3?r2123当r?R时，?qi????r，所以

??R222 ?(R?r)?6?13?2球外（r?R）电势为

3????R?R3 V2??E?dr??dr?rr3?r23?2r27. 如图所示，一平行板电容器极板面积为S，两极板相距为d，其中放有一层厚度为

?t的介质，相对介电常数为?r，介质两边都是空气。设极板上面电荷密度分别为+?和??，

求：

（1）极板间各处的电位移和电场强度大小； （2）两极板间的电势差U； （3）电容C。 解：（1）取闭合圆柱面（圆柱面与极板垂直，两底面圆与极板平行，左底面圆在极板导体中，右底面圆在两极板之间）为高斯面，根据介质中的高斯定理，得

???? D?dS?D??S????S

S ∴ D??

??（空气中）?? D?0 E? ???0?r?? （介质内）???0?r??（2）U?? E?dl

A?Bt

?r ???（d?t）?t ?0?0?r????（3）C??SU??0?rS

?rd?(?r?1)t9. 半径为R1的导体球，外套有一同心的导体球壳，壳的内、外半径分别为R2和R3，当内球带电荷Q时，求：

(1)整个电场储存的能量；

(2)将导体壳接地时整个电场储存的能量； (3)此电容器的电容值。

解：如图所示，内球表面均匀带电Q，外球壳内表面均匀带电?Q，外表面均匀带电Q (1)由高斯定理得

当r?R1和R2?r?R3时，E?0 当R1?r?R2时，E1?Q4π?0r2

当r?R3时，E2?Q4π?0r2所以，在R1?r?R2区域

W1??R2R11Q?0()24πr2dr 224π?0r??在r?R3区域

R2R1Q2drQ211?(?)

8π?0r28π?0R1R21QQ2122 W2???0()4πrdr?2R328π?R4π?0r03?总能量为

Q2111W?W1?W2?(??)

8π?0R1R2R3(2)导体壳接地时，只有R1?r?R2时E?Q4π?0r2,其它区域E?0，所以W2?0

Q211W?W1?(?)

8π?0R1R2

(3)电容器电容为 C?2W11?4π?/(?) 0R1R2Q2? 第八章

6. 如图所示，AB、CD为长直导线，BC为圆心在O点的一段圆弧形导线，其半径为R。若通以电流I，求O点的磁感应强度。

?解：O点磁场由AB、BC、CD三部分电流产生，应用磁场叠加原理。 AB在O点产生的磁感应强度为

B1?0

?BC在O点产生的磁感应强度大小为

B2??0I?I??I??0??0，方向垂直纸面向里 4?R4?R312RCD在O点产生的磁感应强度大小为

B3??0I(cos?1?cos?2) 4?r0?0I4?Rcos600(cos150??cos180?)

???0I3(1?)，方向垂直纸面向里 2?R2故 B0?B1?B2?B3??0I3?(1??)，方向垂直纸面向里 2?R268. 如图所示，一无限长载流平板宽度为a，沿长度方向通过均匀电流I，求与平板共

面且距平板一边为b的任意点P的磁感应强度。

解：将载流平板看成许多无限长的载流直导线，应用叠加原理求解。

以P点为坐标原点，垂直载流平板向左为x轴正方向建立坐标系。在载流平板上取dI?强度大小为

Idx，dI在P点产生的磁感应adB??0dI?I?0dx，方向垂直纸面向里 2?x2?axP点的磁感应强度大小为

?0Ib?adx?0Ib?aB??dB??ln

2?a?bx2?ab方向垂直纸面向里。

9. 如图所示，真空中有两个点电荷A,B,分别带有电量?q和?q，相距为d。它们都以角速度?绕轴OO'转动，轴OO'与AB连线相互垂直，其交点为C，距A点为

d。求C点的磁感应强度。 3解：?q电荷运动形成电流大小为

I1?qq?? T2?I1在C点产生的磁感应强度大小为

B1??0I12R??0I12?d/3?3?0q? 4?d

方向沿O??O方向

同理，?q电荷运动形成电流的电流I2在C点产生的磁感应强度大小为

B2??0I22?2d/3?3?0q? 8?d方向沿O??O的反方向

所以，C点的磁感应强度大小为

B?B1?B2?3?0q? 8?d方向沿O??O方向

10. 已知磁感应强度大小B?2.0Wb·m-2的均匀磁场，方向沿x轴正方向，如图所示。试求：(1)通过图中abcd面的磁通量；(2)通过图中befc面的磁通量；(3)通过图中aefd面的磁通量。

解：(1)通过abcd面积S1的磁通量为

?1?B?S1?2.0?0.3?0.4cos???0.24Wb (2)通过befc面积S2的磁通量为

?????2?B?S2?0

(3)通过aefd面积S3的磁通量为

???3?B?S3?2?0.3?0.5?cos?

?2?0.3?0.5?4?0.24Wb 512. 如图所示，电流I1?I2?I，求沿回路L1、L2以及L3的磁感应强度的环流。 解：由安培环路定理得

??L1??B?dl??0I1??0I ??B?dl???0I2???0I

L2???B?dl??0(I1?I2)?0

L313. 一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱(半径为a)和一同轴的导体圆管(内、外半径分别为b,c)构成，横截面如图所示。使用时，电流I从一导体流去，从另一导体流回，设电流都是均匀地分布在导体的横截面上。求：(1)导体圆柱内(r＜a)；(2)两导体之间(a＜r＜b)；（3）导体圆筒内(b＜r＜c)以及(4)电缆外(r＞c)各点处磁感应强度的大小。

解：磁场分布具有轴对称性，在横截面内取同心圆为回路，应用安培环路定理，有

???B?dl?B?2?r??0?I

i

(1)当r?a时，?Ii?I2??r，所以 ?a2B??0Ir 22?a

(2)当a?r?b时，?Ii?I，所以

B??0I 2?rI22??(r?b)，所以 22?(c?b)(3)当b?r?c时，?Ii?I??0I(c2?r2) B?222?r(c?b)(4)当r?c时，?Ii?0，所以

B?0

17. 在长直导线AB内通以电流I1，在矩形线圈CDEF中通有电流I2，AB与线圈共面，且CD，EF都与AB平行，线圈的尺寸及位置均如图所示。求：导线AB的磁场对矩形线圈每边所作用的力及矩形线圈所受合力。

?解：FCD方向垂直CD向左，大小

FCD?I2b?0I1 2?d?同理，FFE方向垂直FE向右，大小

FFE?I2b?0I12?(d?a)

?FCF方向垂直CF向上，大小为

FCF??d?ad?0I1I2?IId?adr?012ln 2?r2?d?FED方向垂直ED向下，大小为

FED?FCF

????? 线圈所受合力F?FCD?FFE?FCF?FED方向向左，大小为

F?FCD?FFE??0bI1I2a

2?d(d?a)18. 有圆线圈直径8cm，共12匝，通电流5A，将此线圈置于磁感应强度为 0.6T的匀强磁场中。试求：

（1）作用在线圈上的最大磁力矩；

（2）线圈法线方向与磁场方向夹角多大时，力矩是线圈上最大力矩的一半？（取最小角度）

解：(1)Pm?NIS??R2NI

M?PmBsin900??R2NIB?0.18N?m (2) M?PmBsin??1PmB，所以 2???6

?3?20. 电子在B?7.0?10T的匀强磁场中作圆周运动，圆周半径r?3.0cm。已知B垂

?直于纸面向外，某时刻电子在A点，速度?向上，如图所示。

（1）试画出这电子运动的轨道；

?（2）求这电子速度?的大小； （3）求这电子的动能Ek。

解：(1)轨迹如图

(2)由牛顿第二定律得， e?B?m故 ???2r

eBr?3.7?107m?s?1 m12?16(3) EK?m??6.2?10 J

221. 如图所示的三条线表示三种不同磁介质的B?H关系曲

线，虚线是B=?0H关系的曲线，试指出哪一条是表示顺磁质?哪一条是表示抗磁质?哪一条是表示铁磁质?

解：曲线Ⅱ是顺磁质，曲线Ⅲ是抗磁质，曲线Ⅰ是铁磁质。

22. 一长直同轴电缆线由半径为R1的导体和套在它外面的半径为R2的同轴薄导体圆筒组成。已知导体内的相对磁导率为?r1，导体与薄导体圆筒之间的绝缘材料的相对磁导率为

?r2。若电流由导体流入(电流在截面上均匀分布)而从薄导体圆筒流出，求：

（1）磁介质内、外的磁场强度的分布； （2）磁介质内外的磁感应强度的分布。 解：（1）磁场分布具有轴对称性，在横截面内取圆心在轴线上、半径为r的圆周为回路，应用介质中的安培环路定理，有

???H?dl?H?2?r??I

i当r?R1时，?Ii?IrI2，所以 ??rH?1222?R1?R1I2?r

当R1?r?R2时，?Ii?I，所以H2?当r?R2时，?Ii?I?I?0，所以H3?0

（2）B??0?rH，所以 当r?R1时，B1??0?r1Ir

2?R12?0?r2I 2?r当R1?r?R2时，B2?当r?R2时，B3?0

23. 细螺绕环中心周长L?10cm，环上线圈匝数N?200匝，线圈中通有电流I?100mA 。求：

(1)当管内是真空时，管中心的磁场强度H和磁感应强度B0；

(2)若环内充满相对磁导率?r?4200的磁性物质，则管内的B和H各是多少?

??解：(1) 取同心圆周为回路，应用介质中的安培环路定理?H?dl??I，有

lHL?NI

NIH??200A?m?1

LB0??0H?2.5?10?4T

?1(2)H?200 A?m

B??H??r?oH?1.05 T

第九章

2. 长度为l的金属杆ab以速率?在导电轨道abcd上平行移动。已知导轨处于均匀磁

???场B中，B的方向与回路的法线成60°角，如图所示，B的大

小为B=kt(k为正常数)。设t?0时杆位于cd处，求：任一时刻t导线回路中感应电动势的大小和方向。

解：任意时刻通过通过回路面积的磁通量为

??1?m?B?dS?Bl?tcos600?kl?t2

2导线回路中感应电动势为 ???d?m??kl?t dt方向沿abcda方向。

3. 如图所示，一边长为a，总电阻为R的正方形导体框固定于一空间非均匀磁场中，磁场方向垂直于纸面向外，其大小沿x方向变化，且B?k(1?x)，k?0。求： （1）穿过正方形线框的磁通量；

（2）当k随时间t按k(t)?k0t(k0为正值常量)变化时，线框中感生电流的大小和方向。 解：（1）通过正方形线框的磁通量为

??aa1???B?dS??Badx?ak?(1?x)dx?a2k(1?a)

S002（2）当k?k0t时，通过正方形线框的磁通量为

??a2k0t(1?1a) 2正方形线框中感应电动势的大小为

??1d??a2k0(1?a)

2dt正方形线框线框中电流大小为

a2k01I??(1?a)，方向：顺时针方向

RR2?4.如图所示，一矩形线圈与载有电流I?I0cos?t长直导线共面。设线圈的长为b，宽为a；t?0时，线圈的AD边与长直导线重合；线圈以匀速度

??垂直离开导线。求任一时刻线圈中的感应电动势的大小。

解：建立图示坐标系，长直导线在右边产生的磁感应强度大小为

Aa B I?IB?0

2?xt时刻通过线圈平面的磁通量为

???t?a?I?Ib?t?a0????B?dS??bdx?0ln

S?t2?x2??tO

?t b ?? Cx

D??0I0b?t?acos?tln 2??td??0I0bacos?t?t?a?[??sin?tln] dt2?(?t?a)t?t任一时刻线圈中的感应电动势为

?i??8. 如图所示，载有电流I的长直导线附近，放一导体半圆环MeN与长直导线共面，

且端点MN的连线与长直导线垂直。半圆环的半径为b，环心O与导线相距a。设半圆环以速率?平行导线平移。求半圆环内感应电动势的大小和方向及MN两端的电压

UM?UN。

解：作辅助线MN，则在MeNM回路中，沿?方向运动时d?m?0

∴ ?MeNM?0

即 ?MeN??MN

又∵ ?MN???Bcos?dl?a?ba?b??0I?a?bln?0 2?a?b所以?MeN沿NeM方向，大小为

?0I?a?bln 2?a?bM点电势高于N点电势，即

UM?UN??0I?a?bln 2?a?b?l10. 导线ab长为l，绕过O点的垂直轴以匀角速?转动，aO=，磁感应强度B平行

3于转轴，如图所示。试求：

（1）ab两端的电势差；

（2）a,b两端哪一点电势高? 解：(1)在Ob上取r?r?dr一小段 则 ?Ob??2l30?rBdr?2B?2l 9同理 ?Oa??l30?rBdr?1B?l2 18121?)B?l2?B?l2 1896故 ?ab??aO??Ob?(?(2)?ab?0 即Ua?Ub?0，故b点电势高。

13. 磁感应强度为B的均匀磁场充满一半径为R的圆柱形空间，一金属杆放在如图所示位置，杆长为2R，其中一半位于磁场内、另一半在磁场外。当的感应电动势的大小和方向。

解：?AB??AC??CB

?dB＞0时，求：杆两端dt?AC???CBd?1d323RdB ??(?RB)?dtdt44dtd?2dπR2πR2dB????(?B)?

dtdt1212dt故 ?AB3R2πR2dB?(?)

412dtdB?0 dt∵

故 ?AB?0（即?从A?B）

14．一同轴电缆由两个同轴圆筒构成，内筒半径为1.00mm，外筒半径为7.00mm，求每米该同轴电缆的自感系数（两筒的厚度可忽略）。

i??I解：设电流由内筒流出、外筒流回，由安培环路定理?B?dl?B?2?r??0?I得

内、外筒之间，

?Ii?I B??0I 2?r内、外筒之间每米长度所通过的磁通量：

??77?I?I???B?dS??Bdr??0dr?0ln7

12?rS12?每米同轴电缆的自感系数：L???0?ln7 I2?16. 一无限长圆柱形直导线，其截面上电流均匀分布，总电流为I。求：导线内部单位长度上所储存的磁能。

解：在r?R时 B??0Ir2πR2

?0I2r2B2∴ wm? ?242?08πR取 dV?2πrdr(∵导线长l?1) 则 W??R0wm2?rdr??R?0I2r3dr4πR40??0I216π

?t19. 给电容为C的平行板电容器充电，传导电流为i?0.2e ( SI )，t?0时电容器极板上无电荷。求：

(1) 极板间电压U随时间t而变化的关系式；

(2) t时刻极板间总的位移电流Id (忽略边缘效应)。 解：（1）传导电流与极板上电量的关系：i?dq，所以 dt?q0dq??idt??0.2e?tdt

00ttq?0.2(1?e?t)

极板间电压U随时间t而变化的关系式

q0.2?(1?e?t) CCdU?0.2e?t （2）位移电流：Id?CdtU?

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