2020年陕西省西安交大附中中考数学三模试卷 解析版

2020年陕西省西安交大附中中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（3分）36的平方根是（）

A．6B．±6C．﹣6D．4

2．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）

A．B．C．D．

3．（3分）下列运算正确的是（）

A．a2+a3＝a5B．（﹣a﹣b）2＝a2+2ab+b2

C．﹣3a2b÷（ab）＝﹣3ab D．（﹣b2）3＝b6

4．（3分）如图，AB∥CD，∠2＝36°，∠3＝80°，则∠1的度数为（）

A．54°B．34°C．46°D．44°

5．（3分）对于正比例函数y＝kx，当自变量x的值增加3时，对应的函数值y减少6，则k 的值为（）

A．2B．﹣2C．﹣3D．﹣0.5

6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中

线，AD＝2，CE＝5，则CD＝（）

A．2B．3C．4D．2

7．（3分）已知一次函数y＝mx+4与一次函数y＝2x+n关于x轴对称，则m、n分别为（）A．m＝﹣2，n＝4B．m＝﹣2，n＝﹣4C．m＝2，n＝4D．m＝2，n＝﹣4 8．（3分）如图，点O是矩形ABCD的对称中心，点E在AB边上，连接CE．若点B与点O关于CE对称，则CB：AB为（）

A．B．C．D．

9．（3分）如图，四边形ABCD内接于圆O，连接OB，OD，若∠BOD＝∠BCD，则∠BAD 的度数为（）

A．30°B．45°C．60°D．120°

10．（3分）已知二次函数y＝ax2+2ax+2a+5（其中x是自变量）图象上有两点（﹣2，y1），（1，y2），满足y1＞y2．当﹣2≤x≤1时，y的最小值为﹣5，则a的值为（）

A．﹣5B．﹣10C．﹣2D．5

二.填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）

11．（3分）不等式1﹣2x＜4的负整数解是．

12．（3分）某正多边形外接圆的半径为4，边心距为2，则该正多边形的边长为．13．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y

轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）分别与边AB、边BC相交于点E、点F，且点

E、点F分别为AB、BC边的中点，连接EF．若△BEF的面积为3，则k的值是．

14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，以AC为边在△ABC外作等边三角形△ACD，连接BD．则BD的最大值是．

三.解答题（本大题共11小题，共78分，解答应写出过程）

15．（5分）计算：（﹣）﹣2﹣|tan60°﹣2|+÷．

16．（5分）化简并求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．

17．（5分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD交BC于D．请用尺规在AD上找一点P，使得点P到AB的距离等于PD．（保留作图痕迹，不写做法）

18．（5分）如图，点D、C在线段BF上，BD＝CF，∠B＝∠F，且DE∥AC．求证：AC＝DE．

19．（7分）近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查，调查结果显示，支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他．该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图．

请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）补全条形统计图；

（2）在扇形统计图中，A种支付方式所对应的圆心角为度．

（3）若该超市这一周内有1500名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？

20．（7分）小华和同学们想用一些测量工具和所学的几何知识测量学校旗杆的高度P A，检验自己掌握知识和运用知识的能力．如图所示，旗杆直立于旗台上的点P处，他们的测量方法是：首先，在阳光下，小华站在旗杆影子的顶端F处．此时，量的小华的影长FG ＝2m小华身高EF＝1.6m；然后，在旗杆影子上的点D处，安装测频器CD．测得旗杆顶端A的仰角为49°，量得CD＝0.6m，DF＝5m，旗台高BP＝1.2m．已知在测量过程中，点B、D、F、G在同一水平直线上，点A、P、B在同一条直线上，AB、CD、EF均垂直于BG，求旗杆的高度P A（参考数据：sin49°≈0.8，cos49°≈0.7．tan49°≈1.2）．

21．（7分）小蕊骑电动车，小彤骑自行车分别同时从A、B两地出发，匀速相向而行，在45分钟时两人相遇，在行驶的过程中，小蕊到达B地后停留一会，再按原路原速返回A 地，小彤一直匀速骑自行车3h后，与小蕊同时到达A地，如图表示两人距B地的距离y （km）与时间x（h）之间的函数关系．

（1）求小蕊和小彤骑车的速度；

（2）求线段AB的解析式；

（3）如果小蕊不在B地停留，按原路原速直接返回，问在小蕊回到A地之前，小蕊何时能追上小彤？

22．（7分）“新冠肺炎”肆虐，无数抗疫英雄涌现，以下四位抗疫英雄是钟南山、李兰娟、李文亮、张定宇（依次记为A、B、C、D）．为让同学们了解四位的事迹，老师设计如下活动：取四张完全相同的卡片，分别写上A、B、C、D四个标号，然后背面朝上放置，搅匀后每个同学从中随机抽取一张，记下标号后放回，老师要求每位同学依据抽到的卡片上的标号查找相应抗疫英雄的资料，并做成小报．

（1）班长在四种卡片中随机抽到标号为C的概率为．

（2）平平和安安两位同学抽到的卡片是不同英雄的概率是多少？用树状图或列表的方法表示．

23．（8分）如图，点A，点C在以BD为直径的⊙O上过点A作AE∥BC交CD的延长线于点E，且∠DAE＝∠ABD．

（1）求证：AE是⊙O的切线．

（2）若⊙O的半径为5．CD＝6，求AD的长．

24．（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线L：y＝ax2﹣4ax（a＞0）与x轴正半轴交于点A．抛物线L的顶点为M，对称轴与x轴交于点D．

（1）求抛物线L的对称轴．

（2）抛物线L：y＝ax2﹣4ax关于x轴对称的抛物线记为L'，抛物线L'的顶点为M'，若以O、M、A、M'为顶点的四边形是正方形，求L'的表达式．

（3）在（2）的条件下，点P在抛物线L上，且位于第四象限，点Q在抛物线L'上，是否存在点P、点Q使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由．

25．（12分）问题提出：

（1）如图①，已知△ABC中，点D在BC边上，且BD＝2CD．连接AD，则S△ABD：S

＝．

△ACD

问题探究：

（2）如图②，已知AD是△ABC的中线，过点D任意做一条直线交AB于点E，交AC 延长线于点F．请说明S△AEF≥S△ABC．

问题解决：

（3）如图③，有一个菱形花园ABCD，∠B＝60°，AB＝80米．在对角线AC上有一个凉亭P，测得PC＝30米，按规划，过凉亭P要修建一条笔直的小路EF，使得点E在BC 边上，点F在CD边上，连接AE、AF．在四边形AECF中种植花卉，在菱形内其他区域

种植草坪．已知花卉每平米400元，草坪每平米120元若要花园中全部种植草坪和花卉，则所需费用至少为多少元？（小路的宽度忽略不计，结果保留整数，≈1.7）

2020年陕西省西安交大附中中考数学三模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（3分）36的平方根是（）

A．6B．±6C．﹣6D．4

【分析】根据平方根的定义求解即可．

【解答】解：∵（±6）2＝36，

∴36的平方根是±6，

故选：B．

2．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）

A．B．C．D．

【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：由于主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，

由俯视图为四边形，只有C符合条件；

故选：C．

3．（3分）下列运算正确的是（）

A．a2+a3＝a5B．（﹣a﹣b）2＝a2+2ab+b2

C．﹣3a2b÷（ab）＝﹣3ab D．（﹣b2）3＝b6

【分析】直接利用合并同类项法则、乘法公式以及积的乘方运算法则、整式的除法运算法则分别判断得出答案．

【解答】解：A、a2+a3，不是同类项，无法合并，故此选项错误；

B、（﹣a﹣b）2＝a2+2ab+b2，故此选项正确；

C、﹣3a2b÷（ab）＝﹣3a，故此选项错误；

D、（﹣b2）3＝﹣b6，故此选项错误；

故选：B．

4．（3分）如图，AB∥CD，∠2＝36°，∠3＝80°，则∠1的度数为（）

A．54°B．34°C．46°D．44°

【分析】利用平行线的性质三角形的外角的性质解决问题即可．

【解答】解：如图，∵AB∥CD，

∴∠1＝∠4，

∵∠3＝∠4+∠2，∠2＝36°，∠3＝80°，

∴∠4＝44°，

∴∠1＝44°，

故选：D．

5．（3分）对于正比例函数y＝kx，当自变量x的值增加3时，对应的函数值y减少6，则k 的值为（）

A．2B．﹣2C．﹣3D．﹣0.5

【分析】由于自变量x增加3，y的值减小6，则y﹣6＝k（x+3），然后把y＝kx代入可求出k的值．

【解答】解：根据题意得y﹣6＝k（x+3），

即y﹣6＝kx+3k，

而y＝kx，

所以kx﹣6＝kx+3k

3k＝﹣6

解得：k＝﹣2．

故选：B．

6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝（）

A．2B．3C．4D．2

【分析】根据直角三角形的性质得出AE＝CE＝5，进而得出DE＝3，利用勾股定理解答即可．

【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝5，

∴AE＝CE＝5，

∵AD＝2，

∴DE＝3，

∵CD为AB边上的高，

∴在Rt△CDE中，CD＝，

故选：C．

7．（3分）已知一次函数y＝mx+4与一次函数y＝2x+n关于x轴对称，则m、n分别为（）A．m＝﹣2，n＝4B．m＝﹣2，n＝﹣4C．m＝2，n＝4D．m＝2，n＝﹣4【分析】一次函数y＝mx+4与一次函数y＝2x+n关于x轴对称，则两函数相交于x轴上一点，所以令两方程中y＝0，分别解得x，令其相等即可．

【解答】解：根据题意，n＝﹣4，

∴一次函数y＝mx+4与一次函数y＝2x﹣4，

在y＝2x﹣4中，令y＝0，则0＝2x﹣4，解得x＝2，

∴两函数交于点（2，0），

把（2，0）代入y＝mx+4得：0＝2m+4

解得：m＝﹣2，

故选：B．

8．（3分）如图，点O是矩形ABCD的对称中心，点E在AB边上，连接CE．若点B与点O关于CE对称，则CB：AB为（）

A．B．C．D．

【分析】连接DB，利用对称得出OE＝EB，进而利用全等三角形的判定和性质得出OC ＝BC，进而解答即可．

【解答】解：连接DB，AC，OE，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC＝DB，∠ABC＝90°，OC＝OA＝OB＝OD，

∵点B与点O关于CE对称，

∴OE＝EB，∠OEC＝∠BEC，

在△COE与△CBE中，

，

∴△COE≌△CBE（SAS），

∴OC＝CB，

∴AC＝2BC，

∵∠ABC＝90°，

∴AB＝CB，

即CB：AB＝，

故选：C．

9．（3分）如图，四边形ABCD内接于圆O，连接OB，OD，若∠BOD＝∠BCD，则∠BAD 的度数为（）

A．30°B．45°C．60°D．120°

【分析】根据圆内接四边形的性质，构建方程解决问题即可．

【解答】解：设∠BAD＝x，则∠BOD＝2x，

∵∠BCD＝∠BOD＝2x，∠BAD+∠BCD＝180°，

∴3x＝180°，

∴x＝60°，

∴∠BAD＝60°，

故选：C．

10．（3分）已知二次函数y＝ax2+2ax+2a+5（其中x是自变量）图象上有两点（﹣2，y1），（1，y2），满足y1＞y2．当﹣2≤x≤1时，y的最小值为﹣5，则a的值为（）

A．﹣5B．﹣10C．﹣2D．5

【分析】将点的坐标代入解析式，可求a＜0，由取值范围可求当x＝1时，y有最小值，即可求解．

【解答】解：当x＝﹣2时，y1＝4a﹣4a+2a+5＝2a+5，当x＝1时，y2＝a+2a+2a+5＝5a+5，∵y1＞y2，

∴2a+5＞5a+5，

∴a＜0，

∵二次函数y＝ax2+2ax+2a+5的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，

∴当﹣2≤x≤1时，y的最小值为5a+5＝﹣5，

∴a＝﹣2，

故选：C．

二.填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）

11．（3分）不等式1﹣2x＜4的负整数解是﹣1．

【分析】求出不等式的解集，根据不等式的解集求出即可．

【解答】解：1﹣2x＜4，

﹣2x＜3，

x＞﹣，

∴不等式1﹣2x＜4的负整数解是﹣1，

故答案为：﹣1．

12．（3分）某正多边形外接圆的半径为4，边心距为2，则该正多边形的边长为4．【分析】首先利用勾股定理求得边长的一半，然后求得边长即可．

【解答】解：∵正多边形外接圆的半径为4，边心距为2，

∴正多边形的边长的一半为：＝2，

∴边长为2×2＝4，

故答案为：4．

13．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y 轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）分别与边AB、边BC相交于点E、点F，且点

E、点F分别为AB、BC边的中点，连接EF．若△BEF的面积为3，则k的值是12．

【分析】设B点的坐标为（a，b），根据中点求得E、F的坐标，再把E、F坐标代入反比例函数解析式，得k与a、b的关系式，再根据△BEF的面积为3，列出a、b的方程，求得ab，便可求得k．

【解答】解：∵四边形OCBA是矩形，

∴AB＝OC，OA＝BC，

设B点的坐标为（a，b），

∵点E、点F分别为AB、BC边的中点，

∴E（，b），F（a，b），

∵E、F在反比例函数的图象上，

∴＝k，

∵S△BEF＝3，

∴＝3，即＝3，

∴ab＝24，

∴k＝ab＝12

故答案为：12．

14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，以AC为边在△ABC外作等边三角形△ACD，连接BD．则BD的最大值是2+2．

【分析】过点C作CE⊥AB于E，过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于H，由面积法可求AC×BC的最大值为8，由勾股定理可求BD2＝16+BC?AC，即可求解．

【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于H，

∵∠ACB＝90°，

∴点C在AB为直径的圆上，

∵S△ABC＝AC×BC＝×AB×CE，

∴当CE＝AB＝2时，S△ABC有最大值，

∴AC×BC的最大值为8，

∵△ACD是等边三角形，

∴∠ACD＝60°，AC＝CD，

∴∠DCH＝180°﹣90°﹣60°＝30°，

∴DH＝CD，CH＝CD，

∵BD2＝DH2+BH2，AB2＝AC2+BC2＝16，

∴BD2＝CD2+（BC+CD）2＝AC2+BC2+AC2+BC?AC＝16+BC?AC，∴BD2的最大值为16+8，

∴BD的最大值为2+2，

故答案为2+2，

三.解答题（本大题共11小题，共78分，解答应写出过程）

15．（5分）计算：（﹣）﹣2﹣|tan60°﹣2|+÷．

【分析】原式利用负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及二次根式除法法则计算即可求出值．

【解答】解：原式＝4﹣|﹣2|+

＝4﹣（2﹣）+2

＝4﹣2++2

＝2+3．

16．（5分）化简并求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．

【解答】解：原式＝?＝，

当x＝﹣1时，原式＝＝＝．

17．（5分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD交BC于D．请用尺规在AD上找一点P，使得点P到AB的距离等于PD．（保留作图痕迹，不写做法）

【分析】根据三角形的内心定义先找到三角形ABC的内心，即可在AD上找一点P，使得点P到AB的距离等于PD．

【解答】解：如图，

作∠ABC的平分线与AD交于点P，

则点P即为所求．

18．（5分）如图，点D、C在线段BF上，BD＝CF，∠B＝∠F，且DE∥AC．求证：AC＝DE．

【分析】根据平行线的性质得出∠EDF＝∠ACB，求出BC＝DF，根据全等三角形的判定得出△BAC≌△FED，根据全等三角形的性质得出即可．

【解答】证明：∵BD＝CF，

∴BD+CD＝CF+CD，

即BC＝DF，

∵DE∥AC，

∴∠EDF＝∠ACB，

在△BAC和△FED中

∴△BAC≌△FED（ASA），

∴AC＝DE．

19．（7分）近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查，调查结果显示，支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他．该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图．

请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）补全条形统计图；

（2）在扇形统计图中，A种支付方式所对应的圆心角为108度．

（3）若该超市这一周内有1500名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？

【分析】（1）根据B的数量和所占的百分比可以求得本次调查的购买者的人数；根据统计图中的数据可以求得选择A和D的人数，从而可以将条形统计图补充完整，

（2）A种支付方式所对应的圆心角的度数＝360°×所占比例；

（3）利用样本估计总体的方法可得计算出使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名．【解答】解：（1）本次调查人数：56÷28%＝200（人），

D方式支付的有：200×20%＝40（人），

A方式支付的有：200﹣56﹣44﹣40＝60（人），

补全的条形统计图如图所示，

（2）在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为：360°×＝108°，

故答案为：108；

（3）1500×＝928（名），

答：使用A和B两种支付方式的购买者共有928名．

20．（7分）小华和同学们想用一些测量工具和所学的几何知识测量学校旗杆的高度P A，检验自己掌握知识和运用知识的能力．如图所示，旗杆直立于旗台上的点P处，他们的测量方法是：首先，在阳光下，小华站在旗杆影子的顶端F处．此时，量的小华的影长FG ＝2m小华身高EF＝1.6m；然后，在旗杆影子上的点D处，安装测频器CD．测得旗杆顶端A的仰角为49°，量得CD＝0.6m，DF＝5m，旗台高BP＝1.2m．已知在测量过程中，点B、D、F、G在同一水平直线上，点A、P、B在同一条直线上，AB、CD、EF均垂直于BG，求旗杆的高度P A（参考数据：sin49°≈0.8，cos49°≈0.7．tan49°≈1.2）．

【分析】过C作CH⊥AB于H，则四边形BDCH是矩形，根据矩形的性质得到CH＝BD，BH＝CD＝0.6m，设BD＝CH＝x，则BF＝（5+x）m，根据三角函数的定义得到AH＝CH ?tan49°＝1.2x，求得AB＝1.2x+0.6，根据相似三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：过C作CH⊥AB于H，则四边形BDCH是矩形，

∴CH＝BD，BH＝CD＝0.6m，

设BD＝CH＝x，则BF＝（5+x）m，

在Rt△AHC中，tan∠ACH＝，

∴AH＝CH?tan49°＝1.2x，

∴AB＝1.2x+0.6，

连接EG，

∵∠ABF＝∠EFG＝90°，∠AFB＝∠EGF，

∴△ABF∽△EFG，

∴，

∴＝，

解得：x＝8.5，

∴AB＝10.8，

∴AP＝10.8﹣1.2＝9.6（m），

答：旗杆的高度P A为9m．

21．（7分）小蕊骑电动车，小彤骑自行车分别同时从A、B两地出发，匀速相向而行，在45分钟时两人相遇，在行驶的过程中，小蕊到达B地后停留一会，再按原路原速返回A 地，小彤一直匀速骑自行车3h后，与小蕊同时到达A地，如图表示两人距B地的距离y （km）与时间x（h）之间的函数关系．

（1）求小蕊和小彤骑车的速度；

（2）求线段AB的解析式；

（3）如果小蕊不在B地停留，按原路原速直接返回，问在小蕊回到A地之前，小蕊何时能追上小彤？

【分析】（1）根据题意结合图象可得小彤的速度为30÷3＝10（km/h），小蕊的速度为（km/h），解答即可；

（2）求出点A的坐标，再利用待定系数法求出解析式；

（3）根据题意列方程解答即可．

【解答】解：（1）根据题意可得：

小彤的速度为30÷3＝10（km/h），

45分钟＝0.75小时，

小蕊的速度为；（km/h），

答：小彤的速度为10km/h，小蕊的速度为30km/h．

（2）3﹣30÷30＝2，

即点A的坐标为（2，0），

设直线AB的解析式为：y＝kx+b，

把点（2，0）和点（3，30）代入可得：

，解得，

∴线段AB的解析式为y＝30x﹣60．

（3）设x小时后小蕊能追上小彤，根据题意得：30（x﹣1）＝10x，

解得x＝1.5．

答：1.5小时后小蕊能追上小彤．

22．（7分）“新冠肺炎”肆虐，无数抗疫英雄涌现，以下四位抗疫英雄是钟南山、李兰娟、李文亮、张定宇（依次记为A、B、C、D）．为让同学们了解四位的事迹，老师设计如下活动：取四张完全相同的卡片，分别写上A、B、C、D四个标号，然后背面朝上放置，搅匀后每个同学从中随机抽取一张，记下标号后放回，老师要求每位同学依据抽到的卡片上的标号查找相应抗疫英雄的资料，并做成小报．

（1）班长在四种卡片中随机抽到标号为C的概率为．

（2）平平和安安两位同学抽到的卡片是不同英雄的概率是多少？用树状图或列表的方法表示．

【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；

（2）利用树状图展示16种等可能的结果数，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．

【解答】解：（1）∵共有四张卡片，分别是A、B、C、D四个标号，

∴班长在四种卡片中随机抽到标号为C的概率是；

故答案为：；

（2）根据题意画树状图如下：

共有16种等可能的结果数，其中平平和安安两位同学抽到的卡片是不同英雄的有12种结果，

则平平和安安两位同学抽到的卡片是不同英雄的概率为＝．

23．（8分）如图，点A，点C在以BD为直径的⊙O上过点A作AE∥BC交CD的延长线于点E，且∠DAE＝∠ABD．

（1）求证：AE是⊙O的切线．

（2）若⊙O的半径为5．CD＝6，求AD的长．

【分析】（1）连接OA，根据直径所对圆周角是直径以及等腰三角形的性质即可证明OA ⊥AE，进而证明AE是⊙O的切线；

（2）作OF⊥BC于点F，OA⊥AE，AE∥BC，可得点A、O、F在同一条直线上，即可证明四边形AECF是矩形，再根据勾股定理即可求出AD的长．

【解答】解：（1）证明：如图，连接OA，

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