2018-2019学年人教A版高中数学必修5第一章解三角形单元综合测试

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绝密★启用前

2018-2019学年人教A版高中数学必修5第一章解三角形单元

综合测试题

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx 题号 得分 一 二 三 总分 ……○ __○…___…_…___……__…：…号…订考_订_…___……___……___……：级…○班_○…___…_…__…_…___……：名…装姓装_…__…_…___……___……_:校…○学○……………………外内……………………○○……………………注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得分 一、单选题

1．从A处望B处的仰角为 ，从B处望A的俯角为 ，则 与 的关系为（ ） A． ＞ B． = C． + =90° D． + =180° 2．在△ABC中，若

，则cos B＝( )

A．

C． B． D．

3．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是（ ） A． 有一解 B． 有两解 C． 无解 D． 有解但解的个数不确定

4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2

＋b2

－c2

＝ab＝ ，则△ABC的面积为( ) A．

B．

C．

D．

5．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin A cos B＝sin C，，则△ABC的形状为( )

A． 直角三角形 B． 等腰三角形 C． 等腰直角三角形 D． 正三角形 6．在 中，

， ， 为 的中点， 的面积为

，则 等于（ ）

A． B． C． D． 7．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sinA＝223，a＝2，S△ABC试卷第1页，总4页

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＝2，则b的值为( )

A．

3 B．

32 2C． 22 D． 23 8．在△ABC中，若A＝，b＝2acos B，c＝1，则△ABC的面积等于( )

A．

B．

C．

D．

………线…………○………… 9．若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，则△ABC( ) A． 一定是锐角三角形 B． 一定是直角三角形

C． 一定是钝角三角形 D． 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

10．设?ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若b?c?2a,3sinA?5sinB,则角C= （ ）

A．

2?3 B． ?3 C． 3?5?4 D． 6 11．已知?ABC中，c?bc?a?sinAsinC?sinB，则B?（ ） A．?6 B．?4 C．?3?3 D．4 12．如图，在△ABC中，C＝

，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足．若

DE＝ ，则cosA等于( )

A．

B．

C．

D．

试卷第2页，总4页

……○ …※○※……题※……※…答…※…订※内订…※……※线……※…※…订…○※※○…装…※…※……在※……※装要…※装…※不……※……※请……※※…○○……………………内外……………………○○……………………………线…………○………… ………线…………○…………

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题

13．在△ABC中，若cos B＝ ，a＝10，△ABC的面积为42，则b＋ 的值为________． 14．线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始________h后，两车的……○ __○…___…_…___……__…：…号…订考_订_…___……___……___……：级…○班_○…___…_…__…_…___……：名…装姓装_…__…_…___……___……_:校…○学○……………………外内……………………○○……………………距离最小．

15．已知△ABC中，AC＝4，BC＝ ，∠BAC＝60°，AD⊥BC于D，则

的值为____．

16．如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进mkm后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围nkm范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险．

评卷人 得分 三、解答题

17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asin B＝－bsin

.

(1)求A；

(2)若△ABC的面积S＝ 2

c，求sin C的值．

18．在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对边的边长，且满足 a－2bsin A＝0.

(1)求角B的大小；

(2)若a＋c＝5，且a>c，b＝ ，求 ·

的值． 19．已知a,b,c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且 ⑴求 的值

⑵若 ，求△ABC的面积.

20．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对边的边长，且C＝

，a＋b＝λc(其

试卷第3页，总4页

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中λ>1)．

(1)若λ＝ 时，证明：△ABC为直角三角形； · ＝ λ2，且c＝3，求λ的值． (2)若

21．某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°方向相距20( ＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10 海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心在基地东北方向时对基地的影响最强烈且( ＋1)小时后开始影响基地持续2小时，求台风移动的方向．

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……○ …※○※……题※……※…答…※…订※内订…※……※线……※…※…订…○※※○…装…※…※……在※……※装要…※装…※不……※……※请……※※…○○……………………内外……………………○○……………………本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

参考答案

1．B 【解析】 【分析】

根据仰角和俯角的概念，根据平行线的性质得解. 【详解】

因为 与 为两平行线的内错角，所以 = . 故答案为：B 【点睛】

本题主要考查仰角和俯角的概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 2．B 【解析】 【分析】 利用正弦定理化简【详解】 由正弦定理知故答案为：B 【点睛】

本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 3．C

【解析】分析：利用正弦定理列出关系式，将 的值代入求出 的值，即可做出判断. 详解： 在 中， ， 由正弦定理 ， 得

得B＝，即得cos B的值.

，故tan B＝ ，所以B＝，所以cos B＝，

，

则此时三角形无解，故选C.

点睛：本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.

答案第1页，总10页

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4．B 【解析】 【分析】

利用余弦定理化简a＋b－c＝ab＝ 得C＝60°，即得△ABC的面积. 【详解】 依题意得cos C＝

2

2

2

，所以C＝60°，因此△ABC的面积等于absin C＝× ×＝

，

故答案为：B 【点睛】

本题主要考查余弦定理解三角形和三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 5．B 【解析】 【分析】

先利用三角恒等变换化简2sin A cos B＝sin C得A=B. 【详解】

由已知得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin(A－B)＝0，因为－π

(1)本题主要考查三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)三角恒等变换时 ，要“三看”（看角看名看式）“三变”（变角变名变式）. 6．B 【解析】 【分析】

在△BCD中，由面积公式可得BC，再由余弦定理可得结果． 【详解】

由题意可知在△BCD中，B= ，AD=1，

答案第2页，总10页

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∴△BCD的面积S=×BC×BD×sinB=×BC×=

，

解得BC=3，在△ABC中由余弦定理可得： AC2=AB2+BC2﹣2AB?BCcosB=22+32﹣2?2?3?=7，

∴AC= ， 故选：B． 【点睛】

解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：

第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 7．A

【解析】在锐角ABC中， sinA?22， S3ABC?2，∴cosA?1?sin2A?1， 31122bcsinA?bc??2，∴bc?3，①；由余弦定理得a2?b2?c2?2bccosA，∴223?b?c?2?1??a2?2bc?1?cosA??4?6??1???12，∴b?c?23②；由①②得

?3?b?c?3，故选A.

8．B 【解析】 【分析】

先利用正弦定理化简b＝2acos B得B＝ ，所以三角形是正三角形，即得三角形的面积. 【详解】

由正弦定理得sin B＝2sin Acos B，故tan B＝2sin A＝2sin ＝ ，又B∈(0，π)，所以

答案第3页，总10页

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B＝ ，又A＝B＝ ，则△ABC是正三角形，所以S△ABC＝ bcsin A＝ ×1×1× ＝ .

故答案为：B 【点睛】

本题主要考查正弦定理解三角形和三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 9．C 【解析】 【分析】

由正弦定理可以设a＝3x，b＝5x，c＝7x(x>0)，再计算cosC＜0，即得三角形是钝角三角形. 【详解】

由正弦定理 及已知条件sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，可设a＝3x，b＝5x，c＝7x(x>0)．则cos C＝故答案为：C 【点睛】

(1)本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形形状的判定，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)判定三角形的形状，一般先求最大角的余弦再判断三角形的形状. 10．A

，所以C为钝角．所以△ABC为钝角三角形．

37a?a，令a?5,b?3,c?7，则551222C，解得cosC??，由余弦定理c?a?b?2abcosC，得49?25?9?2?3?5cos22?所以C?，故先A.

3【解析】试题分析：由正弦定理3a?5b，而c?2a?考点：1.正弦定理；2.余弦定理. 11．C 【解析】

试题分析：由正弦定理得考点：解三角形. 12．C

c?ba1?222?，化简得a?c?b?ac，即cosB?,B?. c?ac?b23答案第4页，总10页

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【解析】 【分析】

先在△ADE中,得BD＝AD＝ ，再解△BCD, ,即得cosA的值. 【详解】

依题意得，BD＝AD＝得cos A＝. 故答案为：C 【点睛】

本题主要考查解三角形，考查正弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 13． 【解析】 【分析】

先计算出sin B＝ ，再根据面积为42得到c＝14,再利用余弦定理求出b,即得b＋ 的值. 【详解】

依题可得sin B＝，又S△ABC＝acsinB＝42，则c＝14.

故b＝ ＝6 ，所以b＋ ＝b＋ ＝ .

，∠BDC＝2A.在△BCD中，

，即

，解故答案为： 【点睛】

本题主要考查余弦定理解三角形和三角形面积的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 14． 【解析】 【分析】

如图所示，设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，利用余弦定理求出DE2＝12900t2－42000t＋40000.再利用二次函数的性质求出t的值和最小值. 【详解】

答案第5页，总10页

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如图所示，设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD＝80t，BE＝50t.因为AB＝200，所以BD＝200－80t，由余弦定理得，DE＝(200－80t)＋2500t－(200－80t)·50t＝12900t－42000t＋40000.所以当t＝ 时，DE最小． 故答案为：

2

2

2

2

【点睛】

(1)本题主要考查解三角形的应用，考查余弦定理解三角形和二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是利用余弦定理求出DE2＝12900t2－42000t＋40000. 15．6

【解析】设

由余弦定理可得 化为 ，解得 设 ， 于

， 解得

，

点睛：这是一道解三角形的题目，主要考查的知识点是余弦定理和正弦定理的应用。设 ，由余弦定理可解得 的值，设 ， 结合 ， ，即可求出 ， 的值，代入即可求得结果。 16．mcosαcosβ>nsin(α－β)

【解析】∠MAB＝90°－α，∠MBC＝90°－β＝∠MAB＋∠AMB＝90°－α＋∠AMB，∴∠AMB＝α－β.由题可知，在△ABM中，根据正弦定理得BMm＝，解得BM

sin（90?－?）sin（?－?）答案第6页，总10页

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