波动习题11

习题11

1一平面简谐波沿x轴负向传播，波长?=1.0 m，原点处质点的振动频率为?=2. 0 Hz，振幅

A＝0.1m，且在t=0时恰好通过平衡位置向y轴负向运动，求此平面波的波动方程．

解: 由题知t?0时原点处质点的振动状态为y0?0,v0?0，故知原点的振动初相为波动方程为y?Acos[2?(?,取2tx?)??0]则有 T?x?y?0.1cos[2?(2t?)?]

12?0.1cos(4?t?2?x?)m

22 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为y=0.05cos(10?t?4?x)，式中x,y以米计，t以秒计．求：

(1)波的波速、频率和波长；

(2)绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；

(3)求x=0.2m处质点在t=1s时的位相，它是原点在哪一时刻的位相?这一位相所代表的运动状态在t=1.25s时刻到达哪一点? 解: (1)将题给方程与标准式

?y?Acos(2??t??12??x)

?1相比，得振幅A?0.05m，频率??5s，波长??0.5m，波速u????2.5m?s． (2)绳上各点的最大振速，最大加速度分别为

vmax??A?10??0.05?0.5?m?s?1 amax??2A?(10?)2?0.05?5?2m?s?2

(3)x?0.2 m处的振动比原点落后的时间为

x0.2??0.08s u2.5故x?0.2m,t?1s时的位相就是原点(x?0)，在t0?1?0.08?0.92s时的位相， 即 ??9.2π． 设这一位相所代表的运动状态在t?1.25s时刻到达x点，则

x?x1?u(t?t1)?0.2?2.5(1.25?1.0)?0.825m

3 如题图是沿x轴传播的平面余弦波在t时刻的波形曲线．(1)若波沿x轴正向传播，该时刻O，A，B，C各点的振动位相是多少?(2)若波沿x轴负向传播，上述各点的振动 位相又是多少?

解: (1)波沿x轴正向传播，则在t时刻，有

题3图

对于O点：∵yO?0,vO?0，∴?O??2

对于A点：∵yA??A,vA?0，∴?A?0 对于B点：∵yB?0,vB?0，∴?B???23?对于C点：∵yC?0,vC?0，∴?C??

2(取负值：表示A、B、C点位相，应落后于O点的位相) (2)波沿x轴负向传播，则在t时刻，有 ??0,vO??0，∴?O???对于O点：∵yO

?2

??对于A点：∵y?A??A,vA?0，∴?A?0 ?对于B点：∵y?B?0,vB?0，∴?B??23???0,vC??0，∴?C??对于C点：∵yC

2 (此处取正值表示A、B、C点位相超前于O点的位相)

-1

4 一列平面余弦波沿x轴正向传播，波速为5m·s，波长为2m，原点处质点的振动曲线如题5图所示．

(1)写出波动方程；

(2)作出t=0时的波形图及距离波源0.5m处质点的振动曲线．

解: (1)由题5 (a)图知，A?0.1 m，且t?0时，y0?0,v0?0，∴?0?又??

3?， 2u??5?2.5Hz，则??2???5? 2题4图(a)

取 y?Acos[?(t?)??0]， 则波动方程为

xuy?0.1cos[5?(t?(2) t?0时的波形如题5 (b)图

x3??)]m 52

题4图(b) 题4图(c) 将x?0.5m代入波动方程，得该点处的振动方程为

y?0.1cos(5?t?5??0.53??)?0.1cos(5?t??)m 0.52如题5 (c)图所示．

5 如题图所示，已知t=0时和t=0.5s时的波形曲线分别为图中曲线(a)和(b) ，波沿x轴正向传播，试根据图中绘出的条件求： (1)波动方程；

(2)P点的振动方程．

解: (1)由题5-12图可知，A?0.1m，??4m，又，∴?0?t?0时，y0?0,v0?0，而u??2，

?x1u2??2m?s?1，????0.5 Hz，∴??2???? ?t0.5?4x?y?0.1cos[?(t?)?]m

22故波动方程为

(2)将xP?1m代入上式，即得P点振动方程为

y?0.1cos[(?t???)]?0.1cos?t m

22?

题图

-1

6一列机械波沿x轴正向传播，t=0时的波形如题7图所示，已知波速为10 m·s ，波长为2m，求：

(1)波动方程；

(2) P点的振动方程及振动曲线； (3) P点的坐标；

(4) P点回到平衡位置所需的最短时间． 解: 由题5-13图可知A?0.1m，t?0时，y0?A?∴?0?，由题知??2m， ,v0?0，

32

10?5Hz

?2∴ ??2???10?

u?10m?s?1，则??u?(1)波动方程为

y?01.cos[10?(t?x?)?]m 103

题图

(2)由图知，t?0时，yP??取负值)

∴P点振动方程为yp?0.1cos(10?t?(3)∵ 10?(t?A?4? (P点的位相应落后于0点，故,vP?0，∴?P?234?) 3x?4)?|t?0??? 10335∴解得 x??1.67m

3(4)根据(2)的结果可作出旋转矢量图如题7图(a)，则由P点回到平衡位置应经历的位相角

题图(a)

???∴所属最短时间为

?3??5?? 265?/61?s

?10?128 题图中(a)表示t=0时刻的波形图，(b)表示原点(x=0)处质元的振动曲线，试求此波的波动方程，并画出x=2m处质元的振动曲线．

?t??解: 由题8(b)图所示振动曲线可知T?2s,A?0.2m，且t?0时，y0?0,v0?0， 故知?0?????2,再结合题8(a)图所示波动曲线可知，该列波沿x轴负向传播，

且??4m，若取y?Acos[2?(tx?)??0] T?

题8图

则波动方程为

y?0.2cos[2?(?

t2x?)?] 42

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