空间几何体知识点归纳

第一章空间几何体

1.1柱、锥、台、球的结构特征

（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱'

'

'

'

'E

D

C

B

A

ABCDE-或用对角线的端点字母，如五棱柱'

AD

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示：用各顶点字母，如五棱锥'

'

'

'

'E

D

C

B

A

P-

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

表示：用各顶点字母，如五棱台'

'

'

'

'E

D

C

B

A

P-

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点

（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分

几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体

几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

1.2空间几何体的三视图和直观图

1 三视图：

正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下

2 画三视图的原则：

长对齐、高对齐、宽相等

3直观图：斜二测画法

4斜二测画法的步骤：

（1）.在已知图形中取相互垂直的x轴和y轴，两轴相交于O。画直观图时，把它们画成

1 / 1

1 / 1

对应的'x 轴与'y 轴，两轴交于点'O ，且使'

''45(135)x O y ∠=??或，它们确定的平面表示水平面。

（2）.已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于'x 轴或'y 轴的线段；

（3）.已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半。

5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图

1.3 空间几何体的表面积与体积

（一）空间几何体的表面积

1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和

2 圆柱的表面积

3 圆锥的表面积2r rl S ππ+=

4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++=

5 球的表面积24R S π=

（二）空间几何体的体积

1柱体的体积h S V ?=底

2锥体的体积h S V ?=

底31 3台体的体积h S S S S V ?++=)31下下上上（ 4球体的体积

33

4R V π=

基础练习

1选择题

1．如图的组合体的结构特征是()

222r

rl S ππ+=

A．一个棱柱中截去一个棱柱B．一个棱柱中截去一个圆柱

C．一个棱柱中截去一个棱锥D．一个棱柱中截去一个棱台

[答案]C

2．有下列命题：

①圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；

②在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；

③圆柱的任意两条母线所在的直线是平行的．

其中正确的有()

A．0个B．1个

C．2个D．3个

[答案]B

3．(2013～2014·南京模拟)经过旋转可以得到图1中几何体的是图2中的()

[答案]A

4．图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是()

A．(1)(2)B．(1)(3)

C．(1)(4)D．(1)(5)

[答案]D

5．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是() A．3π B．33π C．6π D．9π

1 / 1

1 / 1 解析：设圆锥底面半径为R ，

∴12

·2R ·3R ＝3，∴R ＝1，母线l 长为2， ∴S 全＝πR 2＋πRl ＝π＋2π＝3π.

答案：A

6．长方体三个面的面积分别为2,6和9，则长方体的体积是()

A ．6 3

B ．36

C ．11

D ．12

解析：设长方体长、宽、高分别为a ，b ，c ，不妨设ab ＝2，ac ＝6，bc ＝9，相乘得(abc )2＝108，∴V ＝abc ＝6 3.

答案：A

7．(2013·湖北卷)一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V 1，V 2，V 3，V 4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有()

A ．V 1

B ．V 1

C ．V 2

D ．V 2

答案：C

8．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1∶3，这截面把圆锥母线分成的两段的比是()

A ．1∶3

B ．1∶(3－1)

C ．1∶9 D.3∶2

解析：由题意可知，

截面面积与底面面积之比为1∶3，

∴截面半径与底面半径之比为1∶3，

∴这两段母线长之比为1∶3－1.

答案：B

1 / 1 二、填空题

1．如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是________．

[答案]圆柱

2．已知一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则下图中，截面不可能是________(填序号)．

[答案]④

3．如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1，过BC 和AD 分别作一个平面交底面A1B1C1D1于EF 、PQ ，则长方体被分成的三个几何体中，棱柱的个数是________．

解析：三个几何体都是棱柱．

答案：3

4．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于________．

解析：通过三视图还原三棱柱直观图如图所示，通过正视图可以得出该三棱柱底面边长为2，侧棱长为1，三个侧面为矩形，上下底面为正三角形，

∴S 表＝3×(2×1)＋2×???

?34×2

2

＝6

＋

2 3.

1 / 1 答案：6＋23

5．如图，已知圆柱体底面圆的半径为2π

cm ，高为2 cm ，AB 、CD 分别是两底面的直径，AD 、BC 是母线，若一只小虫从A 点出发，从侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路线的长度是________cm(结果保留根式)．

答案：22

6．圆台的上、下底面半径分别是10 cm 和20 cm ，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，圆台的表面积是（）

分析：由题目可获取以下主要信息：

①求圆台的表面积应考虑上、下底面及侧面积；

②上、下底面面积易得，主要求侧面积．

解答本题可先把空间问题转化为平面问题，即在展开图内求母线的长，再进一步代入侧面积公式求出侧面积，进而求出表面积．

解析：如图所示，设圆台的上底面周长为C ，因为扇环的圆心角是180°，

故C ＝π·SA ＝2π×10，

∴SA ＝20，

同理可得SB ＝40，

∴AB ＝SB －SA ＝20，

∴S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下

＝π(r 1＋r 2)·AB ＋πr 21＋πr 22

＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202

＝1 100π(cm 2)．

故圆台的表面积为1 100π cm 2.

1 / 1 7 .如右图所示，在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，圆柱的表面积为（）

解析：圆锥高h ＝42－22＝23，画轴截面积图(如右图)，则323

＝2－x 2.故圆锥内接圆柱的底半径x ＝1.

则圆柱的表面积

S ＝2π×12＋2π×1×3＝(2＋23)π.

答案：(2＋2 3 )π

强化提升

一选择题

1．在棱柱中()

A ．只有两个面平行

B ．所有的棱都平行

C ．所有的面都是平行四边形

D ．两底面平行，且各侧棱也互相平行

[答案]D

2．下列命题中，正确的是()

A ．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱

B ．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面

C ．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形

D ．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形

[答案]D

3．(2012－2013·

嘉兴高一检测)如下图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是()

A．(1)(2) B．(2)(3)

C．(3)(4) D．(1)(4)

[答案]B

[解析]在图(2)、(3)中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故图(2)、(3)完全一样，而(1)、(4)则不同

[解题提示]让其中一个正方形不动，其余各面沿这个正方形的各边折起，进行想象后判断．4．下列说法不正确的是()

A．圆柱的侧面展开图是一个矩形

B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形

C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥

D．圆台平行于底面的截面是圆面

[答案]C

5．如右图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()

A．一个球体

B．一个球体中间挖出一个圆柱

C．一个圆柱

D．一个球体中间挖去一个长方体

[答案]B

[解析]圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱，所以选B.

6．已知某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体为()

1 / 1

A．圆台B．四棱锥

C．四棱柱D．四棱台

[答案]D

7．下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是()

A．(1)(2) B．(2)(3)

C．(3)(4) D．(1)(4)

[答案]D

8．(2012－2013·安徽淮南高三模拟)下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()

1 / 1

A．①②B．①③C．①④D．②④

[答案]D

[解析]①正方体，三视图均相同；②圆锥，正视图和侧视图相同；③三棱台，三视图各不相同；④圆台，正视图和侧视图相同．

[点评]熟悉常见几何体的三视图特征，对于画几何体的直观图是基本的要求．

下图是最基本的常见几何体的三视图.

①角的水平放置的直观图一定是角．

②相等的角在直观图中仍相等．

③相等的线段在直观图中仍然相等．

④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．

A．0 B．1

C．2 D．3

[答案]C

[解析]由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，∴④对，①对；而线段的长度，角的大小在直观图中都会发生改变，∴②③错．

10．利用斜二测画法得到：

①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．

以上说法正确的是()

1 / 1

A．①B．①②

C．③④D．①②③④

[答案]B

[解析]根据画法规则，平行性保持不变，与y轴平行的线段长度减半．

二填空题

1．如图，在透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器中灌进一些水，将容器底面一边BC置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，以下命题：①水的形状成棱柱形；

②水面EFGH的面积不变；③水面EFGH始终为矩形．其中正确的命题序号是________．

[答案]①③

2．下列图形：①三角形；②直线；③平行四边形；④四面体；⑤球．其中投影不可能是线段的是________．

[答案]②④⑤

[解析]三角形的投影是线段成三角形；直线的投影是点或直线；平行四边形的投影是线段或平行四边形；四面体的投影是三角形或四边形；球的投影是圆．

3．由若干个小正方体组成的几何体的三视图如下图，则组成这个组合体的小正方体的个数是________．

1 / 1

[答案]5

[解析]由三视图可作出直观图，由直观图易知共有5个小正方体．

4．(2012～2013·烟台高一检测)已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有________．

[答案]①②③④

5．(2012－2013·湖南高三“十二校联考”)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，则用________个这样的几何体可以拼成一个棱长为4的正方体．

[答案]3

[解析]该几何体是四棱锥，其底面是边长为4的正方形，高等于4，如图(1)所示的四棱锥A －A1B1C1D1，

1 / 1

如图(2)所示，三个相同的四棱锥A－A1B1C1D1，A－BB1C1C，A－DD1C1C可以拼成一个棱长为4的正方体．

6．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________，点M′的找法是________．

[答案]M′(4,2)在坐标系x′O′y′中，过点(4,0)和y′轴平行的直线与过点(0,2)和x′轴平行的直线的交点即是点M′.

[解析]在x′轴的正方向上取点M1，使O1M1＝4，在y′轴上取点M2，使O′M2＝2，过M1和M2分别作平行于y′轴和x′轴的直线，则交点就是M′.

7．如右图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是________．

[答案]10

[解析]由斜二测画法，可知△ABC是直角三角形，且∠BCA＝90°，AC＝6，BC＝4×2＝8，则AB＝AC2＋BC2＝10.

8．如图，是△AOB用斜二测画法画出的直观图，则△AOB的面积是________．

1 / 1

1 / 1

[答案]16

[解析] 由图易知△AOB 中，底边OB ＝4，

又∵底边OB 的高为8，

∴面积S ＝12

×4×8＝16.

9．如图所示，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________

[答案]8

[解析]原图形为

OABC 为平行四边形，

1 / 1 OA ＝1，AB ＝OA 2＋OB 2＝3，

∴四边形OABC 周长为8.

章节练习

一、选择题

1．右面的三视图所示的几何体是( )．

A ．六棱台

B ．六棱锥

C ．六棱柱

D ．六边形 (第1题) 2．已知两个球的表面积之比为1∶9，则这两个球的半径之比为( )．

A ．1∶3

B ．1∶

C ．1∶9

D ．1∶81

3．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)

视图与侧(左)视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图

为( )．

4．A ，B 为球面上相异两点，则通过A ，B 两点可作球的大圆(圆心与球心重合的截面圆)有

( )．

A ．一个

B ．无穷多个

C ．零个

D ．一个或无穷多个

5．右图是一个几何体的三视图，则此几何体的直观图是( )． )．

A B C D

6．下图为长方体木块堆成的几何体的三视图，堆成这个几何体的木块共有( )．

A ．1块

B ．2块

C ．3块

3正(主)视图 侧(左)视图 (第3题)

正视图 侧视图

俯视图

(第5题)

正视图 俯视图

侧视图 (第6题)

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