2019-2020学年江苏省南通市启东中学高三(上)第一次月考数学试卷1 (含答案解析)

第1页，共14页 2019-2020学年江苏省南通市启东中学高三（上）第一次月考数学试

卷1

一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）

1. 设集合A ={x|x >2}，B ={x|x <4}，则A ∩B =______．

2. 已知f(x)=ln(e 2x +1)+kx 是偶函数，则k =________.

3. “x >1”是“x 2>x ”的__________条件．(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、

“既不充分又不必要”)

4. 幂函数f(x)=(m 2?3m +3)x m 2?2m+1在区间(0,+∞)上是增函数，则m =______．

5. 直线3x +√3y ?6=0的倾斜角为_________

6. 若命题“?x 0∈R ，x 02+x 0+m <0”是假命题，则实数m 的范围是______．

7. 若tanα+1tanα=10

3,α∈(π4,π2)，则sin (2α+π4)+2cos π

4cos 2α的值为 ． 8. 已知函数f(x)={x ?1,x <0log 2x ?3,x >0

，则f(16)+f(?12)=______． 9. 如果直线l ：y =kx ?1(k >0)与双曲线

x 216?y 29=1的一条渐近线平行，那么k = ______ ． 10. 将函数f(x)=sin (ωx ?π6)(ω>0)的图象向左平移π3个单位后，所得图象关于直线x =π对称，

则ω的最小值为 ．

11. 已知函数f(x)={|x +1|,x ≤0|log 2x|,x >0

，若方程f(x)=a(a ∈R)有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1

12. 如图，已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点恰好是椭圆x 2a 2

+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F ，且两条曲线的交点连线也过焦点F ，则该

椭圆的离心率为___________．

13. 已知tanα+2tanα?1=2，则sinα+2cosα

sinα?3cosα=______．

14. 已知函数f (x )={e x ,x ≤01?x 2,x >0，若关于x 方程，f[f(x)]?1=m 有两个不同的根x 1,x 2，则x 1+x 2的取值范围是 ．

二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）

15. 已知p ：函数f(x)=lg(ax 2?x +1

16a)的定义域为R ；q ：a ≥1.如果命题“p ∨q 为真，p ∧q 为假”，求实数a 的取值范围．

16.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b，A?C=π

3

，求sin B的值．

17.椭圆C：x2

a2+y2

b2

=1(a>b>0)的离心率为√2

2

，两个焦点分别为F1(?1,0)，F2(1,0)．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点F2(1,0)的直线l交椭圆C于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为Q(M、Q不重合)，

求证：直线MQ过x轴上一个定点．

18.在水域上建一个演艺广场，演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水

域ABC，及矩形表演台BCDE四个部分构成(如图)，看台Ⅰ，看台

Ⅱ是分别以AB，AC为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是

看台Ⅱ的面积的3倍，矩形表演台BCDE中，CD=10米，三角形

水域ABC的面积为400√3平方米，设∠BAC=θ．

(1)求BC的长(用含θ的式子表示)；

(2)若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．

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19.已知函数f(x)=x2+2x，g(x)=xe x．

(1)求f(x)?g(x)的极值；

(2)当x∈(?2,0)时，f(x)+1≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围．

20.已知函数f(x)=(ax+b)e x?1的极值点为?1．

(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；

(Ⅱ)若x≥0时，f(x)≥2x?1，求a的取值范围．

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-------- 答案与解析 --------

1.答案：(2,4)

解析：解：集合A={x|x>2}=(2,+∞)；

B={x|x<4}=(?∞,4)；

∴A∩B=(2,4)．

故答案为：(2,4)．

根据交集的定义进行求解即可．

本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题目．

2.答案：?1

解析：

【分析】

本题考查了函数的奇偶性问题，是一道基础题．根据函数的奇偶性的定义证明即可．【解答】

解：f(?x)=ln(e?2x+1)?kx

=ln (e2x+1)

e2x

?kx

=ln(e2x+1)?lne2x?kx

=ln(e2x+1)?2x?kx

=ln(e2x+1)+(?k?2)x =ln(e2x+1)+kx，

故?k?2=k，

解得：k=?1，

故答案为?1.

3.答案：充分不必要

解析：

【分析】

本题考查了充分条件与必要条件的判断，为基础题．

此题还需解一元二次不等式．

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【解答】

解：由x2>x得：x>1或x<0，

∴“x>1”是“x2>x”的充分不必要条件．

故答案为：充分不必要．

4.答案：2

解析：解：若幂函数f(x)=(m2?3m+3)x m2?2m+1在区间(0,+∞)上是增函数，

则由m2?3m+3=1解得：m=2或m=1，

m=2时，f(x)=x，是增函数，

m=1时，f(x)=1，是常函数，

故答案为：2．

根据幂函数的定义求出m的值，判断即可．

本题考查了幂函数的定义，考查函数的单调性问题，是一道基础题．

5.答案：120°

解析：

【分析】

本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于基础题，利用直线的倾斜角与斜率之间的关系即可得出．

【解答】

解：解：设倾斜角为θ，

∵直线3x+√3y?6=0，

，

θ=120°，

故答案为120°．

6.答案：

解析：

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【分析】

本题考查了特称命题与全称命题之间的关系，解题时应注意特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，是基础题．写出该命题的否定命题，根据否定命题求出m的取值范围即可．【解答】

解：命题“?x0∈R，x02+x0+m<0”是假命题，

它的否定命题是“?x∈R，有x2+x+m≥0”，是真命题，

即1?4m≤0；

解得m≥1

4

，

∴m的取值范围是[1

4

,

+∞)

．

故答案为[1

4

,+∞)．

7.答案：0

解析：

【分析】

本题考查同角三角函数关系，二倍角公式，考查和角的正弦公式，考查学生的计算能力，正确运用和角的正弦公式是关键，属基础题．

【解答】

解：∵tanα+1

tanα=10

3

，

∴sinα

cosα+cosα

sinα

=10

3

，

∴1

sin2α=5

3

，

∴sin2α=3

5

，

∵α∈(π

4,π

2 )，

∴cos2α=?4

5

，

=3

5×√2

2

+(?4

5

)×√2

2

+√2

2

(1?4

5

)

=0．

故答案为0．

8.答案：?1

解析：

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第7页，共14页 【分析】

本题考查函数值的求法以及分段函数，考查运算求解能力，属于基础题．

推导出f(16)=log 216?3=1，f(?12)=(?12)?1=?2，由此能求出f(16)+f(?12)的值．

【解答】

解：∵函数f(x)={x ?1,x <0log 2x ?3,x >0

, ∴f(16)=log 216?3=1，

f(?12)=(?12)?1=?2，

∴f(16)+f(?12)=1?2=?1．

故答案为?1．

9.答案：34

解析：解：双曲线x 2

16?y 29=1的渐近线方程为y =±34x ，

由直线l ：y =kx ?1(k >0)与双曲线

x 2

16?y 29=1的一条渐近线平行，

可得k =34．

故答案为：34． 求出双曲线的渐近线方程，由两直线平行的条件：斜率相等，即可得到所求k 的值．

本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查两直线平行的条件：斜率相等，考查运算能力，属于基础题．

10.答案：12

解析：

【分析】

本题考查三角函数的图象与性质，考查图象的平移，属于基础题．

依题意，

的图象关于直线x =π对称，得ω=3k+24，k ∈Z ，从而求得结果． 【解答】

解：

的图象向左平移π3个单位后得， 所以

的图象关于直线x =π对称， 所以ωπ+

ωπ3?π6=kπ+π2，k ∈Z ， ω=3k+2

4，k ∈Z ，

又ω>0，

第8页，共14页 所以ω的最小值为12，

故答案为12． 11.答案：[?4,?2)

解析：解：由题意作函数f(x)={|x +1|,x ≤0|log 2x|,x >0

与y =a 的图象如下， ，

结合图象可知，

x 1+x 2=?2，0

故x 1+x 2=?2，1

故?4≤(x 1+x 2)x 4

故答案为：[?4,?2)．

由题意作函数f(x)={|x +1|,x ≤0|log 2x|,x >0

与y =a 的图象，从而可得x 1+x 2=?2，0

本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用．

12.答案：√2?1

解析：

【分析】

本题考查抛物线与椭圆的综合问题．在研究圆锥曲线问题时，用定义来解题是比较常用的方法.先把对应图形画出来，求出对应焦点和点A 的坐标(都用p 写)，利用椭圆定义求出2a 和2c 就可找到椭圆的离心率．

【解答】

解：由题可得图，设椭圆另一焦点为E ，

因为抛物线y2=4px(p>0)的焦点F(p,0)

把x=p代入y2=4px解得y=±2p，

所以A(p,2p)又E(?p,0)．

故|AE|=2√2p，|AF|=2p，|EF|=2p．

所以2a=|AE|+|AF|=(2√2+2)p，2c=2p．椭圆的离心率e=c

a

=√2?1．

故答案为√2?1．

13.答案：6

解析：解：由tanα+2

tanα?1

=2，得tanα=4．

∴sinα+2cosαsinα?3cosα=tanα+2

tanα?3

=4+2

4?3

=6．

故答案为：6．

由已知求得tanα，再由同角三角函数的基本关系式化弦为切求得sinα+2cosα

sinα?3cosα

的值．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．14.答案：[3ln2+1,+∞)

解析：

【分析】

本题考查分段函数，复合函数的运用，再利用分类讨论的思想解题，属于难题．令t=f(x)?1则有t≤0，再分类讨论求出x1+x2的取值范围．

【解答】

解：f(x)的图象如图所示：

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令t=f(x)?1，则有t≤0

(1)当?1

2

≤t≤0时，x只有1个解，设此时的解为x0,则t=f(x0)?1，

易知?ln2≤x0≤0，由图可知f(x)=x0只有一个解，故不成立；

(2)当?1

2

时，x有2个解，不妨设此时的解为x3,x4，且x3

则t=f(x3)?1，t=f(x4)?1，即f(x3)=f(x4)，e x3=1?x4

2，推出x3=ln(1?x4

2

)，

所以有x3

由图象可得，f(x)=x3有且仅有一个解，

而f(x)=x4只有当1

2

≤x4<1才满足只有一个解，此时满足题意，

设x1<0,x2>0，

则e x1=x4,1?x2

2

=x3，所以x1=lnx4,x2=1?2x3，

所以x1+x2=lnx4+1?2x3=lnx4?2ln(1?x4)+2ln2+1，且1

2

≤x4<1，

令g(x)=lnx?2ln(1?x)+2ln2+1，1

2

≤x<1，易知g(x)在定义域上单调增，

g(x)min=g(1

2

)=3ln2+1，无最大值，所以g(x)∈[3ln2+1,+∞)；

(3)当t≤?1时，x只有1个解，设此时的解为x0,则t=f(x0)?1，

易知x0≥1，由图可知f(x)=x0最多只有一个解，故不成立．

综上所述，可知x1+x2的取值范围是[3ln2+1,+∞)．

故答案为[3ln2+1,+∞)．

15.答案：解：由p真，可知{a>0

Δ=1?4a×1

16

a<0，解得a>2，由p∨q为真，p∧q为假，可得：p和q中一个为真、一个为假．若p真q假时a不存在，若p假q真时1≤a≤2．

综上，实数a的取值范围是1≤a≤2．

解析：由p真，可知{a>0

Δ=1?4a×1

16

a<0，解得a，由p∨q为真，p∧q为假，可得：p和q中一个为真、一个为假．即可解出．

本题考查了复合命题真假的判定方法、函数的性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，

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属于中档题．

16.答案：解：△ABC中，由题意利用正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，

∴2sin A+C

2cos A?C

2

=4sin B

2

cos B

2

，

化简可得cos A?C

2=2sin B

2

，

即√3

2=2sin B

2

，解得sin B

2

=√3

4

∴cos B

2

=√13

4

．

∴sinB=2sin B

2cos B

2

=√39

8

．

解析：△ABC中，由题意利用正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，故有2sin A+C

2cos A?C

2

=4sin B

2

cos B

2

，

化简可得sin B

2=√3

4

，故cos B

2

=√13

4

.再根据sinB=2sin B

2

cos B

2

，计算求得结果．

本题主要考查正弦定理的应用，两角和差的三角公式、诱导公式、二倍角公式的应用，属于中档题．

17.答案：解：(1)∵依题意，{c=1

c

a

=√2

2

，

∴c=1,a=√2，

∴b=√a2?c2=1，

∴椭圆的方程为x2

2

+y2=1；

(2)∵设M(x1,y1)，N(x2,y2)，Q(x2,?y2)，l：y=k(x?1)，

代入x2

2

+y2=1(y≠0)，

∴整理得(1+2k2)x2?4k2x+2k2?2=0，

∵由韦达定理可得：x1+x2=4k2

1+2k2，x1x2=2k2?2

1+2k2

，

∴MQ的方程为y?y1=y1+y2

x1?x2

(x?x1)，∵令y=0，

∴得x=x1+y1(x2?x1)

y1+y2=x1+k(x1?1)(x2?x1)

k(x1+x2?2)

=2x1x2?(x1+x2)

x1+x2?2

，

代入x1+x2=4k2

1+2k2，x1x2=2k2?2

1+2k2

，

∴x=2x1x2?(x1+x2)

x1+x2?2=2×

2k2?2

1+2k2

?4k

2

1+2k2

4k2

1+2k2

?2

=2，

即：x=2，

∴直线过x轴上的一个定点，定点坐标为(2,0)．

解析：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．

(1)通过椭圆的离心率与焦距，求出a，c，得到b，即可求出椭圆C的方程；

(2)依题意，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，Q(x2,?y2)，l：y=k(x?1)，代入椭圆方程，利用韦达定理，

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结合MQ的方程为y?y1=y1+y2

x1?x2

(x?x1)，令y=0，化简求解可得x=2，得到直线MQ过x轴上一个定点．

18.答案：解：(1)∵看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，

∴1

2π(AB

2

)2=3×1

2

π(AC

2

)2，∴AB=√3AC，

∵S△ABC=1

2AB?AC?sinθ=√3

2

AC2sinθ=400√3，

∴AC2=800

sinθ，∴AB2=2400

sinθ

，

在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2?2AB?ACcosθ=3200?1600√3cosθ

sinθ

，

∴BC=40√2?√3cosθ

sinθ

．

(2)设表演台的造价为y万元，则y=120√2?√3cosθ

sinθ

，

设f(θ)=2?√3cosθ

sinθ(0<θ<π)，则f′(θ)=√3?2cosθ

sin2θ

，

∴当0<θ<π

6时，f′(θ)<0，当π

6

<θ<π时，f′(θ)>0，

∴f(θ)在(0,π

6)上单调递减，在(π

6

,π)上单调递增，

∴当θ=π

6时，f(θ)取得最小值f(π

6

)=1，

∴y的最小值为120，即表演台的最小造价为120万元．

解析：本题考查了解三角形，函数最值计算，余弦定理，属于中档题．

(1)根据看台的面积比得出AB，AC的关系，代入三角形的面积公式求出AB，AC，再利用余弦定理计算BC；

(2)根据(1)得出造价关于θ的函数，利用导数判断函数的单调性求出最小造价．

19.答案：解：(1)令?(x)=f(x)?g(x)，则?′(x)=(x+1)(2?e x)，

∴?(x)

极小值=?(?1)=1

e

?1，

∴?(x)

极大值

=?(ln2)=ln22；

(2)由已知，当x∈(?2,0)时，x2+2x+1≥axe x恒成立

即a≥x2+2x+1

xe x =x+2+x?1

e x

恒成立，

令t(x)=x+2+x?1

e ，则t′(x)=?(x2+1)(x+1)

x e

，

∴当x∈(?2,?1)时，t′(x)>0，t(x)单调递增，

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当x∈(?1,0)时，t′(x)<0，t(x)单调递减，

故当x∈(?2,0)时，t(x)max=t(?1)=0，∴a≥0．

解析：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查恒成立问题的等价转化能力及计算能力，属于中档题．

(1)令?(x)=f(x)?g(x)，求导数，确定函数的单调性，即可求f(x)?g(x)的极值；

(2)当x∈(?2,0)时，x2+2x+1≥axe x恒成立，即a≥x2+2x+1

xe x =x+2+x?1

e x

恒成立，求出右边的最大

值，即可求实数a的取值范围．

20.答案：解：(Ⅰ)函数f(x)的导数为f′(x)=(ax+b+a)?e x?1，

由题意可得f′(?1)=0，即(?a+a+b)e?2=0，解得b=0；

则f′(x)=ae x?1(x+1)，

当a=0时，函数f(x)=e x?1无极值，不符合题意．

当a>0时，f(x)在(?1,+∞)上递增，在(?∞,?1)上递减；

当a<0时，f(x)在(?1,+∞)上递减，在(?∞,?1)上递增；

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知f(x)=axe x?1，

设g(x)=axe x?1?2x+1，

若x≥0时，f(x)≥2x?1，必有g(1)=a?2+1≥0?a≥1，

故a≥1是命题成立的一个必要条件．

当a≥1，x≥0时，g′(x)=ae x?1(x+1)?2，令?(x)=g′(x)

?′(x)=ae x?1(x+2)>0，故g′(x)在[0,+∞)单调递增，g′(x)min=g′(0)=a

e

?2．

①当a≥2e时，g′(x)min≤0，g(x)在[0,+∞)单调递增，g(x)≥g(0)=1>0，

②当1≤a<2e时，存在x0∈(0,1)，使得g′(x0)=ae x0?1(x0+1)?2=0，

且当x∈(0,x0)时，g′(x)<0，g(x)递减，

x∈(x0,+∞)时，g′(x)>0，g(x)递增，

∴g(x)≥g(x0)=ax0e x0?1?2x0+1=2x0

x0+1?2x0+1=5?2(1

x0+1

+x0+1)．

∵x0∈(0,1)，

∴令t=x0+1，t∈(1,2)．

设函数m(t)=5?2t?2

t

，t∈(1,2)，

又m′(t)=2

t2

?2≤0，

∴m(t)单调递减，

∴m(t)>m(2)=0．

第13页，共14页

∴g(x)≥g(x0)=ax0e x0?1?2x0+1=5?2(1

+x0+1)>0，

x0+1

综上，a的取值范围为[1,+∞)．

解析：本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查不等关系的求解，属于较难题．

(Ⅰ)函数f(x)的导数为f′(x)=(ax+b+a)?e x?1，求出b的值，然后对a分类讨论，利用导数求出函数的单调性与极值即可；

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知f(x)=axe x?1，构造函数g(x)=axe x?1?2x+1，然后利用导数求出函数的单调性与最值，求出a的范围可得答案．

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/bt3q.html