概率论与数理统计2013-2014秋季A卷试卷、答案

中国农业大学

2013 ~2014 学年秋季学期 概率论与数理统计（C） 课程考试试题（A）

题号 得分 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 一、 填空题 （每空3分，满分21分）

1．设N件产品中有D件是不合格品，从这N件产品中任取2件产品。则2件中有1件合格品、1件不合格品的概率为_______________。

P(B)?0.6，2．设随机事件A,B互不相容，且P(A)?0.3，则P(BA)? 。

3.某型号螺丝钉的重量是相互独立同分布的随机变量，其期望是0.1斤，标准差

是0.01斤.则100个该型号螺丝钉重量不超过10.2斤的概率近似为___________（答案用标准正态分布函数表示）。

4．某车间生产的圆盘其直径在区间(a,b)上服从均匀分布, 则圆盘面积的数学期望是_______________。

5. 设D(X)?3，Y??3X?1，则?X,Y= 。

6. 设X1,X2,X3,X4是来自标准正态分布总体N(0,1)的简单样本, 又设

Y?(X1?X2)2?(X3?X4)2，则当常数C?_________，时, CY服从?2分布，自

由度为_________。

二、选择题 （每题3分，满分15分）

1. 设有三个随机事件A,B,C，事件“A,B,C中恰好有两个发生”可以表示成（ ）

（A）AB?AC?BC

（B）ABC?ABC?ABC?ABC （C）ABC?ABC?ABC （D）ABC?ABC?ABC

2．设随机变量X~N?1,2?，Y~N?2,4?，且X与Y相互独立，则下面（ ）正确。

2X?Y~N?0,1?; （A）2X?Y~N?0,1?; （B）

23（C）2X?Y?1~N?1,9?; （D）

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2X?Y?1~N?0,1?.

23考生诚信承诺

1． 本人清楚学校关于考试管理、考场规则、考试作弊处理的规定，并严格遵照执行。 2． 本人承诺在考试过程中没有作弊行为，所做试卷的内容真实可信。

专业： 班级： 学号： 姓名：

3．设X1,X2,,X10是来自总体N(?,?2)的简单随机样本，则

X?X2??X10XXXXXX?2?X1，??1?1?3?1?2?3，??4?1?2?3 ，??23623410中有（ ）个是?的无偏估计量。

（A）4 （B） 2 （C）1 （D） 3

4．在假设检验中，H0表示原假设，H1表示备择假设，则称为犯第二类错误的是（ ）.

（A）H0不真，接受H1； （B）H0不真，接受H0；

（C）H1不真，接受H1； （D）H0为真，接受H1；

5．检验正态均值?时，已知，显著水平为，检验H0：

?是（ ）.

（A）拒绝域为Z??Z? （B）拒绝域为Z?Z? （C）拒绝域为Z??Z? （D）拒绝域为Z?Z?

22??0，则下列结论正确的

三．（10分）已知男人中有5%是色盲，女人中有0.25%是色盲. 今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，此人是色盲患者的概率是多少？若此人恰好是色盲患者，此人是男性的概率是多少？

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四.（10分）设顾客在某银行窗口等待服务的时间（以分钟计）X服从指数分布，其概率密度函数为

x?1?5?ef(x)??5?0?x?0其它

某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开. 他一个月到银行5次.以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求P{Y?1}.

专业： 班级： 学号： 姓名：

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五.（12分）设随机变量X的密度函数为

?ax, 0?x?2?f(x)??bx?c, 2?x?4

?0, 其他?且已知EX?2，P(1?X?3)?（1） 常数a,b,c的值；

（2） 求随机变量Y?eX的期望。

六．（12分）设(X,Y)的联合概率密度为

4 / 10

3，求： 4?1 x2?y2?1?， f(x,y)???

??0, 其他（1）求X,Y的边缘密度函数； （2）X,Y是否独立？是否不相关？ （3）求Z?X2?Y2的密度函数。

七. （10分）设X1,X2,,Xn是来自泊松分布总体P(?)的简单随机样本，分布律为P(X?x)??xx!（1）试求参数?的极大似然估计；

e??, x?0,1,2,，

（2）验证（1）中所求得的估计是否无偏。

专业： 班级： 学号： 姓名：

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八.（10分） 设某机器生产的零件长度（单位：cm）X~N(?,?2)，今抽取容量为16的样本，测得样本均值x?10，样本方差s2?0.16. （1）求?的置信度为0.95的置信区间；

（2）检验假设H0:?2?0.1（显著性水平为0.05）.

（附注）t0.05(16)?1.746,t0.025(16)?2.120,t0.05(15)?1.753,t0.025(15)?2.132,

222 ?0.05(16)?26.296,?0.05(15)?24.996,?0.025(15)?27.488.

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2013 ~2014 学年秋季学期 概率论与数理统计（C） 课程考试试题（A）

题号 得分 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 一、填空题 （每空3分，满分21分） 1．D (N?D)2 CN2．4/7 3. ?(2)

4．(?/12)(b2?ab?a2) 5. -1 6. 1/2，2

二、选择题 （每题3分，满分15分） 1.（C）. 2.(B) 3．(D) 4．(B) 5．(B) 三、（10分）已知男人中有5%是色盲，女人中有0.25%是色盲. 今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，此人是色盲患者的概率是多少？若此人恰好是色盲患者，此人是男性的概率是多少？

解：记A：挑选出的人是男人；B：挑选出的人是色盲. 取{A,A}为样本空间的划分. 由全概率公式：

P(B)?P(B|A)P(A)?P(B|A)P(A)?0.05*0.5?0.0025*0.5?0.02625 ——5分 由贝叶斯公式：

P(A|B)??P(B|A)P(A) ——8分

P(B|A)P(A)?P(B|A)P(A)0.05?0.5?20/21 ——10分

0.05?0.5?0.0025?0.5 四. （10分）设顾客在某银行窗口等待服务的时间（以分计）X服从指数分布，其概率密度函数为

?(1/5)e?x/5f(x)???0x?0 其它某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开. 他一个月到银行5次.以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求P{Y?1}.

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解：某一次在窗口等待时间超过10分钟的概率记为P，

P??(1/5)e(?x/5)dx?e?2 ——4分

10??注意到顾客每月到银行五次也就是进行了五重的贝努利试验，每次试验得不到服务的概率为e. 所以Y~B(5,e?2)，即

P{Y?k}?C5k(e?2)k(1?e?2)5?kk?0,1,,5 ——4分

?2P{Y?1}?1?P{y?0}?1?(1?e?2)5 ——10分

五.（12分）设随机变量X的密度函数为

?ax, 0?x?2?f(x)??bx?c, 2?x?4

?0, 其他?且已知EX?2，P(1?X?3)?（3） 常数a,b,c的值；

（4） 求随机变量Y?eX的期望。

3，求： 4解：（1）由?????f(x)dx?1，可得

?20axdx??(bx?c)dx?2a?6b?2c?1 （1） ------2分

24由EX?2，可得

24856EX??ax2dx??x(bx?c)dx?a?b?6c?2 （2） ------4分

0233由P(1?X?3)?3，得 423353P(1?X?3)??axdx??(bx?c)dx?a?b?c? （3） ------6分

12224联立（1）（2）（3）式，解得

11a?,b??,c?1 ------9分

44（2）EY?EeX?

六．（12分）设(X,Y)的联合概率密度为

?2041x11exdx??ex(?x?1)dx?(e2?1)2 -----12分

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?1 x2?y2?1?， f(x,y)???

??0, 其他（1）求X,Y的边缘密度函数； （2）X,Y是否独立？是否不相关？ （3）求Z?X2?Y2的密度函数。 解：（1）边缘密度为

fX(x)??????x?1,?0,x?1,?0,??f(x,y)dy??1?x21??21?x2 ——2分

, x?1???1?x2dy, x?1;?????同理可得

?0,y?1,???(y,dx)??21?y2 fY(x)??fx ——4分 ??, y?1???（2）显然 f(x,y)?fX(x)?fY(y)，所以X,Y不独立. ——6分 由函数对称性，易得

EXY??EX???????????xyf(x,y)dxdy??11?1?1?x1?x2?1?x21xydxdy?0； 2??????????xf(x,y)dxdy???1?1?x?1xdxdy?0； 2?EY???????????yf(x,y)dxdy??1?1?1?x2?1?x21ydxdy?0

?故有Cov(X,Y)?EXY?EXEY?0，即X,Y不相关。 ——9分

?0, z?0?1?22dxdy, 0?z?1 （3）F(z)?P(Z?z)?P(X?Y?z)??????x2?y2?z?1, z?1??0, z?0???z, 0?z?1 ?1, z?1?故密度函数为

?1, 0?z?1fZ(z)??。 ——12分

?0, 其他

七. （10分）设X1,X2,分布律为P(X?x)?,Xn是来自泊松分布总体P(?)的简单随机样本，总体

，

?xx!e??, x?0,1,2,（1）试求参数?的最大似然估计；

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（2）验证（1）中所求得的估计是否无偏。

解：（1）似然函数

L(?)??i?1n?xixi!e????n?xii?1n?x!ii?1e?n?, xi?0,1,2,， ——3分

对数似然函数

lnL(?)?ln??xi?ln(?xi!)?n?

i?1nnni?1xi1ndlnL(?)?i?1?令??n?0，解得???xi?x， ni?1d??1n??验证可知?确实为似然函数的最大值点，故?的最大似然估计为???Xi?X。

ni?1 ——6分

nn11??EX????，故最大似然估计是无偏的。 （2）由于E??EXi?n?ni?1i?1 ——10分

八.（10分） 设某机器生产的零件长度（单位：cm）X~N(?,?2)，今抽取容量

为16的样本，测得样本均值x?10，样本方差s2?0.16. （1）求?的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设H0:?2?0.1（显著性水平为0.05）. （附注）t0.05(16)?1.746,t0.05(15)?1.753,t0.025(15)?2.132,

222 ?0.05(16)?26.296,?0.05(15)?24.996,?0.025(15)?27.488.

解：（1）?的置信度为1??下的置信区间为 (X?t?/2(n?1)s,nX?t?/2(n?1)s) n X?10,s?0.4,n?16,??0.05,t0.025(15)?2.132

所以?的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132） ——5分

222 （2）H0:??0.1的拒绝域为????(n?1).

15S22(15)?24.996 ?15?1.6?24，?0.05 ??0.122 因为 ??24?24.996??0.05(15)，所以接受H0. ——10分

2

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