挑战中考数学压轴题 - 几何综合题素质训练之正方形

初中几何综合题素质训练之正方形

1．已知：如图，在正方形ABCD中，E、F分别在AD、DC上，且DE＝DF，BM⊥EF于M．求证：ME＝MF．

2．如图，正方形ABCD，E是BC上的一点，延长AB至F使BF?BE，延长AE交CF于G．求证：AG?CF．

0

3．如图，ABCD、BEFG都是正方形，A、B、Ｅ在一条直线上，连结A、G，且延长交CE的连线为H，求证：

AH?CE．

4．如图，某同学参加数学兴趣小组活动，提供了下面3个有联系的问题，请你帮助解决：

（1） 如图1，正方形ABCD中，作AE交BC于E，DF?AE交AB于F，求证：AE?DF； （2） 如图2，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，点G，H分别在AB，CD上，且

EF?GH，求EF:GH的值；

（3） 如图3，矩形ABCD中，AB?a，BC?b，点E，F分别在AD，BC上，且EF?GH，求

EF:GH的值．

AFDB

EC

图1AEDHGBFC DH图2AEGBFC图3

5．已知：如图，正方形ABCD，P是BO上任意一点，DQ⊥AP，垂足是Q，交AC于R， 求证：⑴、DP=CR．

⑵、若P为OB延长线上一点，其它条件不变，那么上述的结论是否仍然成立，画图并证明.

DA

R

Q

O

P

BC RQ

AD

O

BC

P

6．如图，已知ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于O，MN//AB，且分别与AO、BO交于M、N．求证：BM?CN．

7．如图，已知正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CE?AF于E，交AD于M．求：∠MFD的度数．

8．已知：如图，正方形ABCD中，M为DC中点，DF?AM交AC于E，交BC于F．求证：∠DMA=∠EMC．

9．已知：如图，AM为△ABC的中线，四边形ABDE、ACFG均为正方形．求证：AM?

10．已知：如图，正方形ABCD中，CE垂直于?CAD的平分线于E，AE交DC于F．求证：CE?

1EG． 21AF． 2

11．已知：如图，正方形ABCD中，M是CD中点，E是CD上一点，且?BAE?2?DAM．

求证：AE＝BC＋CE．

12．已知：如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，CE、DF交于M．求证：AM=AD．

13、如图正方形ABCD，以CD为边长向正方形内作等边△CDE,连BE交AC于F，连DF，

求证：⑴ △ADF≌△ABF ⑵ 求∠AFD的大小 ⑶ 求证AF+DF=CF

DFEAC

B

14．（利用旋转处理正方形问题）

△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，M、N为斜边AB上两点，如果∠MCN＝45求证 AM＋BN =MN

2

2

2

BNMCA

15、已知M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠MAN=45°

⑴ 如图1求证：MN=DN+BN ⑵ 如图2，若点M、N分别在CB、DC的延长线上，∠MAN=45°，请探究：MN、BM、DN之间的关系

DNCMAB

DCNBAM

如果改∠MAN=45°顶点不在A点，而在正方形的中心O点处，其它的条件不变，请问MC、MB与MN之间的关系

DCMONAB

16、已知M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且MN=DN+BN

⑴ 如图1求∠MAN的度数 ⑵ 如图2，若AM、AN分别和BD交于E、F点，请探究：DE、EF、FB之间的关系

⑶ 若点M、N分别在CB、DC的延长线上，∠MAN=45°MN、DN、BN之间的关系；请探究：DE、EF、 FB之间的关系画图证明

DENCFADCMB

NEBMAF

17、如图正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，点P为正方形ABCD外的一点，且BP⊥CP

⑴ 如图1，求证BP+CP=2OP

⑵ 如图2，当点P在正方形的内部时，问BP、CP、OP三者又存在什么样的关系？请证明

ADOEBPCADPOEB

C

18、正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F。如图1，

当点P与点O重合时，显然有DF＝CF．

⑴如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E。 a) ①求证：DF＝EF；

b) ②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论； ⑵若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E。请完成图3并判断⑴中 的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）

AGDPFBC?E?

AGDFOEPBC

AGDPBFCE

19、如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q． （1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ； （2）当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的

1； 6（3）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P 运动到什么位

置时，△ADQ恰为等腰三角形．

DCQA

PB

20、操作：如图1，把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段

AE的中点M。探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。 说明：

（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求

至少写3步）；

（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成

你的证明。

①、DM的延长线交CE于点N，且AD＝NE；

②、将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°（如图2），其他条件不变； ③、在②的条件下且CF＝2AD。

附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图3），其他条件不变。探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。

FADMBCNEGFE

MADBC图2G

FADBCMHNE图3G

21、正方形ABCD，点P为直线AD上一点，连PC，以PC为腰作等腰Rt?PCE,连AE交CD于M.

⑴ 如图1，当P点在线段AD上时，求DM:PA的值，并证明

⑵ 如图2若P点在线段AD的延长线上，求DM:PA的值，并证明

APDMFBCE

PADMBCFE

22、如图，P为正方形ABCD边BC上一点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG=GE，连接BE、

CE.⑴求证 ：BE?BC ⑵ ∠CBE的平分线交AE于N点，连接DN，求证：BN?DN?

2AN

ABGPD

NCE

23、如图正方形ABCD中，P为CD上一动点，E为CB延长线上一点，且BE=DP，连接PE交AB、AC分

别于Q、N，∠CPE的平分线分别交AC、BC于M、F。 （1）求证：AP=AM； （2）若AP=NE，求证：AD?DP?(2?1)CP

ADNQE

PMC

GFB24、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.

⑴ 求证：△AMB≌△ENB；

⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；

②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；

⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为3?1时，求正方形的边长.

ANEMDBAC

DENMBC

25、M、N是正方形ABCD的边BC上的点，且BM=CN，CH⊥DN于H，CH的延长线交BD于Q，交AB于K，QM

与DN的延长线交于点P. ⑴求证：AK=BN；

⑵当H是DP的中点时，试探究线段CQ+BQ与PD的数量关系并证明，

⑶在⑵的条件下，若正方形的边长为2?3，请直接写出MN的长

AKQBMPHDNC

KQBMPEHNCAD

Km?RKB = 60.00°m?KRB = 30.00°m?KCR = 15.00°m?CKR = 15.00°x2xB3xR2xC

26、如图，四边形ABDM中，AB=BD，AB⊥BD，∠AMD=60°，以AB为边作等边△ABC，BE平分∠ABD交CD

于E，连ME.

⑴ 求∠BEC的度数。

⑵ 探究MD?MA于ME之间的关系，并加以证明

⑶若BD?6，则线段EC的长为

DBMECANDEMBANCGDBEMCFADGEMBAC

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