一元二次方程基本概念

一元二次方程基本概念

1、基本概念：

方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程（等式），叫做一元二次方程．

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．

一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

2、解方程常用方法：

(1). 直接开平方法:

由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=转化为应用直接开平方法解

形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=

(2).配方法：

左边不含有x的完全平方形式、左边是非负数的一元二次方程可化为左边是含有x的完全平方形式、右边是非负数、可以直接降次解方程得方程。

转化过程如下：

x2-64x+768=0

移项→x2-64x=-768

两边加（

64

2

）2使左边配成x2+2bx+b2的形式→ x2-64x+322=-768+1024

左边写成平方形式→（x-32）2=?256 ?

降次→x-32=±16

即x-32=16或x-32=-16

解一次方程→x1=48，x2=16

可以验证：x1=48，x2=16都是方程的根

例1．解下列方程

（1）x2+6x+5=0 （2）2x2+6x-2=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0

分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方．

解：（1）移项，得：x 2+6x=-5

配方：x 2+6x+32=-5+32（x+3）2=4

由此可得：x+3=±2，即x 1=-1，x 2=-5

（2）移项，得：2x 2+6x=-2

二次项系数化为1，得：x 2+3x=-1

配方x 2+3x+（32）2=-1+（32）2（x+32）2=54

由此可得x+32=x 132，x 232

（3）去括号，整理得：x 2+4x-1=0

移项，得x 2+4x=1

配方，得（x+2）2=5

x+2=x 1，x 2 总结用配方法解一元二次方程的步骤．

（1）移项；

（2）化二次项系数为1；

（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；

（4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；

（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．

（3）公式法：

一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，它的两个根

x 1=2b a -+， x 2=2b a

-

解：移项，得：ax 2+bx=-c

二次项系数化为1，得x 2+

b a x=-

c a

配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a ）2 即（x+2b a

）2=2244b ac a - ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0

∴2244b ac a

-≥0

直接开平方，得：x+2b a =±2a

即

∴x1x2

由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac≥0时，?

将a、b、c代入式子

（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．

（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．

（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/bsol.html