大学物理下册复习题

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2013下学期总复习题（康颖教材第10-21章）

第10章 真空中的静电场

一 选择题

3. 如图，电量为Q的点电荷被曲面S所包围，从无穷远处引另一电量为q的点电荷至曲面外一点，则： （ ）

Ａ．曲面S的E通量不变，曲面上各点场强不变 ．q ． Ｂ．曲面S的E通量变化，曲面上各点场强不变 Q

S Ｃ．曲面S的E通量变化，曲面上各点场强变化

Ｄ．曲面S的E通量不变，曲面上各点场强变化 选择题3图 解：根据高斯定理，应选(D)。

4. 两个同心均匀带电球面，半径分别为Ra和Rb（Ra

（ ）

1Qa?Qb1Qa?QbA.. B..24π?04π?rr20

QaQb11QaC.(?2) D. .4π?0r24π?0r2Rb解：外球面上的电荷在其内部产生的场强为零，两球面间的场强仅由内球面电荷产生，故选（D）。

5. 图示为一具有球对称性分布的静电场的E?r关系曲线，请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的。（ ）

A． 半径为R的均匀带电球面 B. 半径为R的均匀带电球体 C. 半径为R、电荷体密度? =Ar（A为常数）的非均匀带电球体 D. 半径为R、电荷体密度? =A/r（A为常数）的非均匀带电球体

解：根据计算可知，该电场为半径为R、电荷体密度? =A/r（A为常数）的非均匀带电球体所产生，故选（D）。

E E=1/r2 O R 选择题5图

C – q ? M q0 ? r O +q ? N 选择题6图

D P 2

6. 如图示，直线MN长为2l，弧OCD是以N点为中心，l为半径圆弧，N点有正电荷+q，M点有负电荷?q，今将一试验电荷+q0从O点出发沿路径OCDP移到无穷远处，设无穷远处电势为零，则电场力作功（ ）

(A) W＜0且为有限常量； （B） W＞0且为有限常量； （C） W=? （D） W = 0

解：O点的电势为零，O点与无穷远处的电势差为零，所以将试验电荷+q0从O点出发沿任意路径移到无穷远处，电场力作功均为零，故本题应选（D）。 7. 在匀强电场中，将一负电荷从A移到B，如图所示，则：（ ）

A. 电场力作正功，负电荷的电势能减少； B. 电场力作正功，负电荷的电势能增加； C. 电场力作负功，负电荷的电势能减少； D. 电场力作负功，负电荷的电势能增加

解：根据图示，A点的电势高于B点的电势，所以负电荷在B点的电势能高于A点的电势能，电场力作负功。应选（D。）

B

R E

A 选择题7图

选择题8图

P q P’

r 8. 在点电荷q的电场中，选取以q为中心、R为半径的球面上一点P处作电势零点，则与点电荷q距离为r的P’点的电势为 （ ）

qq11qq11A. B.(?) C . D.(?) 4π?0r4π?0rR4π?0(r?R)4π?0Rrq11解：根据电势的定义可计算出P点的电势应为。 (?)，故选（B）

4π?0rR

二 填空题

4. 半径为R的半球面置于场强为E均匀电场中，其对称轴与场强方向一致，

S +q

? ?q ?

S

q ? 1

? q2 q4 ?

填空题6图

R E ? q3

填空题4图 填空题5图

3

如图所示，则通过该半球面的E通量为 。

解：πR 2 E

5. 如图，点电荷q和?q被包围在高斯面S内，则通过该高斯面的E通量

??E?dS= ，式中E为 S的场强。

解：0；高斯面S上面积元dS处。

6. 点电荷q1，q2，q3和q4在真空中的分布如图所示，图中S为高斯面，则通过该高斯的E通量

??E?dS= 。式中的E是高斯面上任一点

S的场强，它等于点电荷 单独存在时在该点产生场强的矢量和。

解：(q 2 +q 4) /ε0 ，q 1 , q 2 ,q 3 ,q 4

7. 图中电场强度分量为Ex = b x1/2，Ey = Ez = 0，正立方体的边长为a，则通过这正立方体的E通量? = ，正方体内的总电荷Q = 。

解：(25?1)ba2；(2?1)εo5ba2

8. 三个平行的“无限大”均匀带电平面，其电荷面密度是+σ,则A，B，C，D四个区域的电场强度分别为：EA = ，EB = ，EC = ，

y +σ +σ +σ

A B C D

填空题8图

A B o z a a 填空题7图

x E0 /3 E0 E0 /3 填空题9图

ED = 。（设方向向右为正）

解：每个无限大均匀带电平面产生的场强为? / (2εo)，根据场强的叠加原理可得：EA = ?3? / (2εo)；EB = ?? / (2εo)；EC =? / (2εo)；ED =3? / (2εo)

9. A、B为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，已知两平面间的电场强度大小为E0，两平面外侧电场强度大小都为E0 /3，方向如图。则A、B两平面上电荷面密度分别为? A = ， ?B = 。

???A???A1解：根据上题可得：B?E0,B?E0，解得：

2?02?03 ；?B = 4ε0 E0 / 3

10. 真空中有一半径为R的半圆细环，均匀带电Q，如图所示，设无穷远处为电势零点，则圆心o点的处的电势V0 = ，若将一带电量为q的点电

0 E0 / 3

?A = ?2ε

4

荷从无穷远处移到圆心o点，则电场力做功W= 。

解：V0 = Q / (4πεo R )；W= -q Q / (4πεo R ) Q R

o C

+q -q R ? ? A B o D

填空题11图

填空题10图

11. 图示BCD是以o点为圆心，以R为半径的半圆弧，在A点有一电量为+q的点电荷，o点有一电量为?q的点电荷，线段BA = R，现将一单位正电荷从B点沿半径圆弧轨道BCD移到D点，则电场力所作的功为 。

qq解：VB???0

4π?0R4π?0R VD?qqq ???4π?0(3R）4π?0R6π?0Rq6π?0R VBD?VB?VD? ?WBD?

q6π?0R

12. 质量为m电量为q的小球从电势VA的A点运动到电势为VB的B点，

如果小球在B点的速率为vB，则小球在A点的速率vA= 。

2mvB?2q(VA?VB)2解：由能量守恒可求得vA=[]

m1

三 计算题

2. 如图所示，在x y平面内有与y轴平行、位于x = a / 2和x = ? a / 2处的两条无限长平行的均匀带电细线，电荷线密度分别为??和??，求z轴上任一点的电场强度。

解：过z轴上任一点（0，0，z）分别以两条带z ?? y 电细线为轴作单位长度的圆柱形高斯面，如图所示,

按高斯定理求出两带电直线分别在该处产生的场强?a/2 ? o 为

a/2 x 计算题2图

5

E + ? = ±?/ ( 2πε0 r )

式中正负号分别表示场强方向沿径向朝外朝里，如图所示，按场强叠加原理，该处合场强的大小为

λa/22aλ E?2E?cosθ?. ?

πε0rrπε0(a2?4z2)方向如图所示或用矢量表示E??i

??0(a2?4z2)3. 一段半径为a的细圆弧，对圆心所张的角为θ0，其上均匀分布有正电荷q，试用a、q、θ0表示出圆心o处的电场强度。

解：取坐标xoy如图，由对称性可知：

y + + Ex?dEx?0

+ + q θdq?dldEy?cos??cos?22o 4??0a4??0ax

??cos??ad?24??0a2a??E?Ey??1?021??02?0q?cos?d??sin 4??0a22??0a2?0q2??0a?02?E??sin?02j

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第11章 静电场中的导体和电介质

一 选择题

1. 半径为R的导体球原不带电，今在距球心为a处放一点电荷q ( a＞R)。设无限远处的电势为零，则导体球的电势为 ( )

qqRqqa A . B . C . D . 224π?0a4π?0(a?R)4π?0a4π?o(a?R)解：导体球处于静电平衡，球心处的电势即为导体球电势，感应电荷?q?分

布在导体球表面上，且?q??(?q?)?0，它们在球心处的电势

dq?1 V????dq??0 ??q?4π?R?q?4π?R00q点电荷q在球心处的电势为 V?

4π?0aq据电势叠加原理，球心处的电势V0?V?V??。

4π?0a所以选（A）

2. 已知厚度为d的无限大带电导体平板，两表面上电荷均匀分布，电荷面密度均为? ，如图所示，则板外两侧的电场强度的大小为 ( )

?2??? d A . E? B . E? C . E= D . E=? ? 2?0?0ε02ε0 解：在导体平板两表面外侧取两对称平面，做侧面垂直平板d 的高斯面，根据高斯定理，考虑到两对称平面电场强度相等，且高斯面内电荷为2? S，可得 E??。 ?0选择题2图

所以选（C）

4. 半径分别为R和r的两个金属球，相距很远，用一根细长导线将两球连接在一起并使它们带电，在忽略导线的影响下，两球表面的电荷面密度之比?R /?r为 ( )

A． R／r B. R2 / r2 C. r2 / R2 D. r / R 解：两球相连，当静电平衡时，两球带电量分别为Q、q，因两球相距很远，所以电荷在两球上均匀分布，且两球电势相等，取无穷远为电势零点，则

QqQR? 即 ?

4π?0R4π?0rqr 7

?RQ/4?R2r?? ?rq/4? r2R所以选（D）

5. 一导体球外充满相对介质电常数为εr的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为E，则导体球面上的自由电荷面密度?为 ( )

A. ε0 E B. ε0εr E C. εr E D. (ε0εr ?ε0) E

解：根据有介质情况下的高斯定理??D?dS??q，取导体球面为高斯面，则有

D?S???S，即??D??0?rE。

所以选（B）

9. 一空气平行板电容器，极板间距为d ，电容为c。 若在两板中间平行地插入一块厚度为d / 3的金属板，则其电容值变为 ( )

A. C B. ２C／３ C. 3 C／２ D. ２C

d /3 d 解：平行板电容器插入的金属板中的场强为零，极板上电荷量不变，此时两极板间的电势差变为：

选择题9题 ?d2? d U?Ed?? (d?)??033?0其电容值变为： C??Q? S3?0S3???C U2? d2d23?0所以选（C）

10. 一平板电容器充电后保持与电源连接，若改变两极板间的距离，则下述物理量中哪个保持不变？( )

A. 电容器的电容量 B. 两极板间的场强 C. 电容器储存的能量 D. 两极板间的电势差

解：平板电容器充电后保持与电源连接，则两极板间的电势差不变；平行板

? S电容器的电容C?，改变两极板间的距离d，则电容C发生变化；两极板间

dU1的场强E?，U不变，d变化，则场强发生变化；电容器储存的能量We?CU2，

2dU不变，d变化，导致电容C发生变化，则电容器储存的能量也要发生变化。 所以选（D）

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二 填空题

1. 一任意形状的带电导体，其电荷面密度分布为?(x、y、z)，则在导体表面外附近任意点处的电场强度的大小E(x、y、z) = ，其方向 。

解：E(x、y、z)= ?(x、y、z)/ε0，其方向与导体表面垂直朝外(?>0)或与导体表面垂直朝里(σ<0)。

2. 如图所示，一无限大均匀带电平面附近设置一与之平行的无限大平面导体板。已知带电面的电荷面密度为? ，则导体板两侧面

的感应电荷密度分别为?1 和?2 ? ? 1 ? 2

= 。

解：由静电平衡条件和电荷守恒定律可得：

????1?2?0；?1???2。由此可解得：2?02?02?0?1???2 ；?2??2。

填充题2图

3. 半径为R1和R2的两个同轴金属圆筒(R1< R2)，其间充满着相对介电常数为εr的均匀介质，设两筒上单位长度带电量分别为? 和?? ，则介质中的电位移矢量的大小D= ，电场强度的大小E= 。

解：根据有介质情况下的高斯定理，选同轴圆柱面为高斯面，则有D= ? /（2πr），

电场强度大小E= D/εrε0=? /（2πεrε0 r）。

5. 半径为R的金属球A，接电源充电后断开电源，这时它储存的电场能量为5×10?5J,今将该球与远处一个半径是R的导体球B用细导线连接，则A球储存的电场能量变为 。

1Q2解：金属球A原先储存的能量W??5?10?5J,当它与同样的金属球B

2C1(Q/2)2连接，则金属球A上的电荷变为原来的1/2，则能量W???1.25?10?5J

2C7. 一空气平行板电容器，其电容值为C0，充电后将电源断开，其储存的电场能量为W0，今在两极板间充满相对介电常数为εr的各向同性均匀电介质，则此时电容值C= ，储存的电场能量We = 。

Q解：初始时电容C0?0，充电后将电源断开，Q0不变，由E?D/?0?r，

U0QdUD当两极板间充满电介质时，两极板电势差U?Ed?d?0?0，

?0?r?0?rS?r 9

22W1Q01Q0Q0??0。 ?C???rC0 W?2C2?rC?rU8. 一平行板电容器，极板面积为S，间距为d，接在电源上并保持电压恒定为U。若将极板距离拉开一倍，那么电容器中静电能的增量为 ，电源对电场做功为 ，外力对极板做功为 。

11?0S2解：初始时，电容器的静电能We0?Q0U0?U0，将极板距离拉开一

22d?S111倍，电容值变为C?0?C0，极板间电压不变，?Q?CU0?C0U0?Q0，

2d222此时电容器的静电能We?4d11?S电源对电场做功W?U?q?U(Q0?Q0)??0U2

22d由能量守恒，电源和外力做功的和等于电容器中静电能的改变，所以外力做的功

W???We?W??∴电容器中静电能的增量 ?We?We?We0??111?0S2QU0?We0?U 224d1?0SU2

?0S4dU?2?0S2dU?2?0SU24d

三 计算题

8. 一空气平行板电容器，两极板面积均为S，板间距离

+q ?q 为d，在两极板间平行地插入一面积也是S，厚度为t的金属片，试求：(1)电容C等于多少？(2)金属片在两极板间放

A B 置的位置对电容值有无影响？

解：设极板上分别带电量+q和?q；金属片与A板距离d1 d2 为d1，与B 板距离为d2；金属片与A板间场强为 t d E1 =q / (ε0 S )

金属板与B板间场强为 E2 =q / (ε0 S ) 金属片内部场强为 E??0 则两极板间的电势差为

UA?UB=E1d1+E2d2 =( q /ε0S)(d1+d2) = (q /ε0S) (d ? t)

由此得 C=q /(UA ?UB) =ε0S /（d ? t）

因C值仅与d、t有关，与d1、d2无关，故金属片的安放仅置对电容值无影响。

10. 假想从无限远处陆续移来微量电荷使一半径为R的导体球带电。（1）当球上已带有电荷q时，再将一个电荷元dq从无限远处移到球上的过程中，外力作多少功？（2）使球上电荷从零开始增加到Q的过程中，外力共作多少功？

10

解：（1）令无限远处电势为零，则带电量为q的导体球，其电势为

q V?

4πε0R将dq从无限远处搬到球上过程中外力作的功等于该电荷远在球上所具有电势能

q dW?dWe?dq

4πε0R（2）带电球体的电荷从零增加到Q的过程，外力作功为

QqdqQ2 W?dW? ?04π ε0R8π ε0R??13. 一电容器由两个同轴圆筒组成，内筒半径为a，外筒半径为b，长都是

L，中间充满相对介电常数为εr的各向同性场匀介质，内外筒分别带有电荷Q，设L>>b，即可忽各边缘效应。求：(1)圆柱形电容器的电容；(2)电容器贮存的能量。

解：由高斯定理，两筒之间的场强

Q E?2πε0εrLra b 两筒间的电势差

bQb U?E.dr?ln

a2πε0εrLaL πε0εrLQ2计算题13图 ∴电容C??

bUln()a1Q2b2电容器贮存能量 W?CU?ln

24πε0εrLa?

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第12、13章 稳恒电流和稳恒磁场

一 选择题

1. 边长为l的正方形线圈中通有电流I，此线圈在A点（如图）产生的磁感应强度B的大小为（ ）

A. C .

2μ0IμI B. 0 4πl2πlA B 2μ0I D. 0 πl解：设线圈四个端点为ABCD，则AB、AD线段在A点产生的磁感应强度为零，BC、CD在A点产生的磁感应强度由

I D 选择题1图

C 4πd垂直纸面向里

B??0I(cos?1?cos?2)，可得 BBC?ππ?cos)?42?0I4πl(cosππ?cos)?422?0I，方向8πl BCD??0I4πl(cos合磁感应强度 B?BBC?BCD2?0I，方向垂直纸面向里 8πl2?0I ?4πl所以选（A）

5. 无限长直圆柱体，半径为R，沿轴向均匀流有电流，设圆柱体内（rR）的磁感应强度为Be ，则有：（ ）

A. Bt、Be均与r成正比 B. Bi、Be均与r成反比 C. Bi与r成反比，Be与r成正比 D. Bi与r成正比，Be与r成反比

I解：导体横截面上的电流密度J?，以圆柱体轴线为圆心，半径为r

πR2?Ir的同心圆作为安培环路，当r

2πR?I r

2πr所以选（D）

7. 图为四个带电粒子在O点沿相同方向垂直

a b 于磁力线射入均匀磁场后的偏转轨迹的照片，磁场

方向垂直纸面向外，四个粒子的质量相等，电量大

? B

O 小也相等，则其中动能最大的带负电的粒子的轨迹

c 选择题7图

d 12

是：( )

A. Oa B. Ob C. Oc D. Od

解：根据F?qv?B，从图示位置出发，带负电粒子要向下偏转，所以只有Oc、Od满足条件，又带电粒子偏转半径R?2Emmv，?R2?2k2，质量相同、BqBq带电量也相等的粒子，动能大的偏转半径大，所以选Oc轨迹

所以选（C）

二 填空题

2 图中，将一根无限长载流导线在一平面内弯成如图所示的形状，并通以电流I，则圆心O点的磁感应强度B的值为 。

解：圆心处的磁感应强度是由半圆弧I 产生的，根据毕奥—萨伐尔定律

?0Idl?rI ?34?r?I? a?IB?02?0

4?a4a4. 同轴电缆，其尺寸如图所示，它的内外两导体中的电流均为I，且在横截面上均匀分布，但二者电流的流向正相反，则：（1）在rR3处磁感应强度大小为 。

B?a O 填空题2图

I R3 R1 I R2 I 解：内筒的电流密度j?IπR12，由安培环路定理 B?2π r??0jπ r2

填空题4图

当rR3时，内外电流强度之和为零，所以B2 =0 y I

a b 6. 如图，一根载流导线被弯成半径为R的1 / 4× × × × 45°45 ° 圆弧，放在磁感强度为B的均匀磁场中，则载流导线 a b所受磁场作用力的大小为 ，方向 。 × B × × × x O 解：a b弧所受的安培力可等效为a b线段所受到填空题6图

2π r??0jπ r?0Ir 13

的安培力，由图示，则a b线段l?2R ?Fab?BI l?2BIR，方向沿y轴正方向。

8. 边长分别为a、b的N匝矩形平面线圈中流过电流I，将线圈置于均匀外磁场B中，当线圈平面的正法向与外磁场方向间的夹角为1200时，此线圈所受的磁力矩的大小为 。

解：磁力矩M?m?B?NISBsin1200?3NabIB/2

三 计算题

3. 有一闭合回路由半径为a和b的两个同心共半圆连接而成，如图，其上均匀分布线密度为?的电荷，当回路以匀角速度? 绕过O点垂直于回路平面的轴转动时，求圆心O点处的磁感应强度。

解：圆心O点处的磁感应强度是带电的大半圆线圈转动产生的磁感应强度B1、带电的小半圆线圈转动产生的磁感应强度B2和两个带电线段b-a转动产生的磁感应强度B3的矢量和，由于它们的方向相同，所以有 Bo?B1?B2?B3

2b2b?2π42π?I??πa??0???πa?， B2?02?0 I2??2π2a2a?2π42??drb， B3?dB3??0?2??dr??0??lnb dI3???a2r2π2π2πaI1??πb?， B1??0I1??0?πb???0??b O a 计算题3图 故 Bo??0??b(π?ln) 2πa4. 已知空间各处的磁感应强度B都沿x轴正方向，而且磁场是均匀的，

B=1T，求下列三种情形中，穿过一面积为2m2的平面的磁通量。求：（1）平面与yz平面平行；（2）平面与xz平面平行；（3）平面与y轴平行，又与x轴成450角。

解：（1）平面法线与x轴平行，B?1i ???B?S??2Wb

（2）平面与xz坐标面平行，则其法线与B垂直，有??B?S?0 （3）与x轴夹角为450的平面，其法线与B的夹角为450或1350故有

14

???B?S?BScos45??1.41Wb或??B?S?BScos135???1.41Wb 6 一无限长圆柱形铜导体（磁导率?0），半径为R，通有均匀分布的电流I，今取一矩形平面S（长为1m，宽为2R），位置如右图中画斜线部分所示，求通过该矩形平面的磁通量。

I解：圆柱体的电流密度j?，在圆柱体内部与导体中心轴线相距为r处2πR的磁感强度的大小，由安培环路安律可得： I ?I B?02r,(r≤R)

2πRS 1m 因而，穿过导体内画斜线部分平面的磁通量φ1为

2R ?0IR?0I ?1??B?dS??BdS??o rdr?4π2πR2在圆形导体外，与导体中心轴线相距r处的磁感强度计算题6图 大小为

?I B?0,(r?R)

2π r因而，穿过导体外画斜线部分平面的磁通量φ2为

?I2R?0I ?2??B?dS??Rdr?0ln2

2π r2π穿过整个平面的磁通量

?I?I ???1??2?0?0ln2

4π2π10. 一圆线圈的半径为R，载有电流I，置于均匀外磁场B中（如图示）。在不考虑载流圆线圈本身所激发的磁场情况下，求线圈导线上的张力。（已知载流圆线圈的法线方向与B的方向相同）。

． ． ． I ． ． ． ．

解：考虑半圆形载流导线所受的安培力

． ． ． ． ． ． ．

R Fm?IB?2R ． ． ． ． ． ． ． O ． ． ． ． ． ． ．

列出力的平衡方程式 IB?2R?2T B

． ． ． ． ． ． ．

故 T=IBR

计算题10图 11. 一半径为R=0.1m的半圆形闭合线圈，

载有电流I=10A，放在均匀外磁场中，磁场方向与线圈平面平行，磁感应强度B=5.0×10?2T，求：

（1） 线圈所受力矩的大小？

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（2） 线圈在该力矩作用下转90角，该力矩所作的功？ πR2解：（1）m?IS?Ien，en为垂直纸面向外的单位矢量

2IπR2M?m×B?en×B

2IπR2B1M的大小 M??×10π(0.10)2×5.0×10?2?7.9×10?3N?m

220

（2） π W??2oMd??I?Φ?12IπR2B?7.9×10?3J

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第14章 磁介质

一 选择题

1. 磁介质有三种，用相对磁导率?r表征它们各自的特征时，（ ） A．顺磁质?r?0，抗磁质?r?0，铁磁质?r??1。 B．顺磁质?r?1，抗磁质?r?1，铁磁质?r??1。 C．顺磁质?r?1，抗磁质?r?1，铁磁质?r??1。 D．顺磁质?r?0，抗磁质?r?0，铁磁质?r?1。

解：选（C）

二 填空题

1. 一个单位长度上密绕有n匝线圈的长直螺线管，每匝线圈中通有强度为I的电流，管内充满相对磁导率为?r的磁介质，则管内中部附近磁感应强度B的大小= ，磁场强度H的大小= 。 解：B=?0?rnI，H=nI

2. 图示为三种不同的磁介质的B-H关系曲线，其中虚线表示的是B=?0H的关系，说明a、b、c各代表哪一类磁介质的B-H关系曲线：

a代表 的B-H关系曲线； b代表 的B-H关系曲线； c代表 的B-H关系曲线。 解：铁磁质、顺磁质、抗磁质 填空题2图 3． 长直电缆由一个圆柱导体和一共轴

圆筒状导体组成，两导体中有等值反向均匀电流I通过，其间充满磁导率为?的均匀磁介质，介质中离中心轴距为r的某点处的磁场强度的大小 H= ，磁感应强度的大小B= 。

解：H= I/(2πr)、B= μH=μI/（2πr）

4. 绕有500匝的平均周长50cm的细铁环，载有0.3A电流，铁芯的相对磁导率为600。(1) 铁芯中的磁感应强度B为 。(2) 铁芯中的磁场强度H为 。

17

解：B??0?rnI?4π?10?7?600? H?B500?0.3?0.226T 0.5?0?r?nI?300A/m

三 计算题

2. 一根同轴电缆线由半径为R1的长导线和套在它外面的内半径为R2，外半径为R3的同轴导体圆筒组成，中间充满磁导率为?的各同性均匀非铁磁质，如图，传导电流I沿导线向上流去，由圆筒向下流回，在它们的载面上电流都是均匀分布的，求同轴线内外的磁感应强度大小B的分布。（导体内?? r ?1） 解：由安培环路定理：?H?dl??Ii

L0?r?R1区域：2πrH?Iπ r2πR2?Ir2R2 R3 R1 H?Ir2πR12, B?R2?OIr

I I 2πR12R1?r?R2区域：H?I?I ,B?2πr2πr2Iπ2(r2?R2) R2?r?R3区域：2π rH?I?222π(R3?R2)2r2?R2I(1?2) H?22π rR3?R2计算题2图

B??0H??0I2π r(1?2r2?R222R3?R2)

r?R3区域：H?0,B?0

4. 一铁环中心线周长为30cm，截面积为1cm2，环上密绕线圈300匝，当

导线中通有电流32mA，通过环的磁通量为2.0?10?6Wb。试求：(1) 环内的B和H的大小；(2) 铁环的磁导率?

解：（1）B??/S?0.02T

H?NI/l?32.0A/m

（2）??B/H?6.25?10?4H/m

18

第15章 电磁感应和电磁场

电磁感应

一 选择题

2．尺寸相同的铁环和铜环所包围的面积中，通以相同变化率的磁通量，环 中：（ ） （ ）

A． 感应电动势不同。 B． 感应电动势相同，感应电流相同。 C． 感应电动势不同，感应电流相同。 D． 感应电动势相同，感应电流不同。

解：根据法拉第电磁感应定律，环中的感应电动势应相同，但由于铁和铜的电阻率不同，所以两环的电阻不同，结果环中的感应电流不同。故选（D）。 3．如图所示，一匀强磁场B垂直纸面向内，长为L的导线ab可以无摩擦地在导轨上滑动，除电阻R外，其它部分电阻不计，当ab以匀速v向右运动时，则外力的大小是：

BLvR 2222222BLvBLvBLvC. D. E. 2RRR解：导线ab 的感应电动势??BLv，当ab以匀速v向右运动时，导线ab受到的外力

A. B2L2v B. v

选择题3图

B2L2v与安培力是一对平衡力，所以F外?F安?BL?。

RR所以选（D）

4．一根长度L的铜棒在均匀磁场B中以匀角速度ω旋转着，B的方向垂直铜棒转动的平面，如图，设t = 0时，铜棒与Ob成θ角，则在任一时刻t这根铜棒两端之间的感应电动势是：（ ）

?A. ?L2Bcos(?t??) B.

12?LBcos?t 2C. 2?L2Bcos(?t??)

选择题4图

19

D. ?L2B E.

12?LB 212BL? 2LL解：??（?v?B)?dl??0Bvdl??0B?ldl?所以选（E）

5．均匀磁场局限在半径为R的无限长圆柱形空间内，场中有一根长为R的金属杆MN，其位置如图，如果磁场以匀变率dB/dt增加，那么杆两端的电势差UMN为：（ ） 32dB32dB1dB R C .R D . ?πR24dt4dt6dt解：若圆柱形空间截面的圆心为O，设想有两段导线OM和ON与金属杆MN构成一顺时针方向回路，当磁感应强度为B时，回路

× BRR2322面积上的磁通量??BS?R?()?BR,磁场× × × 224R × × × 变化时，回路的感应电动势为

× × × d?32dB ?????RM × N dt4dt A . 0 B . ?负号表示电动势的方向为逆时针方向。

选择题5图

变化磁场所激发的感生电场的电场线在圆柱形空间内

是与圆柱同轴的同心圆，且E的方向是顺时针。因此在回路OM和ON段上任一导线元上都有E?dl?0，所以在这两段导线上无感应电动势。可见ε就是金属杆MN的感应电动势，方向从M指向N，即N点的电势高。

因此，杆两端的电势差UMN即为UMN????32dB R4dt所以选（B）。

8．两根平行导线载有大小相等，方向相反的电流，已知两根导线截面半径都为a，中心轴相距为d（d>>a），如果两导线内部的磁通量忽略不计，那么这一对导线的单位长度的自感系数为：（ ）

μdμdμμdd?aA. 0 B. 0 C. 0ln D. 0ln2πaπaππa 2a解：在导线所在平面内取垂直于导线的坐标轴r，并设原点在左导线中心，

忽略两导线内部的磁通量，通过两导线间长为l，宽为d的面积内磁通量

d?a?I?0I?I ld?a)ldr?0ln Φ??dΦ??Bldr??(0?

a2π r2π(d?r)πa20

所以选（D）

10．有长为l截面积为S的载流长直螺线管均匀密绕N匝线圈，设电流为I，即管内储藏的磁场能量为：（ ）

A. ?0I2N2S2l2 B. ?0IN2Sl2 C. ?0IN2S2l2 D. ?0I2N2S2l

1B21NIN解：管内为匀强磁场B??0??0()2 I，所以磁能密度 ?m?2?02ll?0N2I2S1B21NI2??0()?S?l? 磁场能量 Wm??m?V? 2?02l2l所以选（D）。

二 填空题

1． 如图所示，一很长的直导线通有交变电流I= I0 sinωt，它旁边有一长方形线圈ABCD，长为l，宽为b?a，线圈与导线在同一平面内，则回路ABCD中的感应电动势 。

解：在矩形线圈上距直导线x处，取一宽为dx，长为

A B l，且与直导线平行的长条形面积，该面积上磁感应强度

I ?I为B?0 a l 2π x?I l磁通量 dΦ?BdS?0dx D C

2π x b b?Il?I lb整个线圈的磁通量 Φ??0dx?0ln 填空题1图 a2π x2πa?l?dΦ?0lbdIb感应电动势 ????(ln)??0(ln)I0co?st

dt2πadt2πa2．将条形磁铁插入与冲击电流计串联的金属环中时，有q = 2.0×10?5C的电荷通过电流计，若连接电流计的电路总电阻R = 25Ω，则穿过环磁通的变化?? = 。

解：感生电流I??R?dqd?d?dq，又因为I?，所以有， ?RdtRdtdtdta 即 ???R?q?25?2.0?10?5?5?10?4Wb 3．在竖直向上的均匀稳恒磁场中，有两条与

水平面成θ角的平行导轨，相距L，导轨下端与电

R θ 填空题3图

B L b

21

阻R相连，若一段质量为m的裸导线ab在导轨上保持匀速下滑，在忽略导轨与导线的电阻和其间摩擦的情况下，感应电动势ε= ；导线ab上感应电流的大小I = ，方向 。

解：导线ab要受到的安培力为 (v?B)?LB2L2vcos? F?BIL?BL?BL?RRR导线ab要保持匀速下滑，导棒受到的安培力（水平向右）与重力（竖直向下）在沿斜面方向的分量相平衡。即

Fcos??mgsin?

?B2L2vcos2??mgsin?

RmgRtan? v?22BLcos?mgRtan? ??BvLcos??BLBvLtan?mgtan? 方向 由b向a ?RRBL

5．长宽分别为a和b的矩形线框置于均匀磁场B中，且随时间变化的规律为B = B0sinωt，线圈平面与磁场方向垂直，则此感应电动势的大小为 。

导线ab上感应电流I???解：???

d?dB??ab??ab?B0cos?t dtdt7．长为l的单层密绕管，共绕有N匝导线，螺线管的自感为L，换用直径

比原来导线直径大一倍的导线密绕，自感为原来的 。

N2解：密绕螺线管的自感L??S，当换用直径比原来导线直径大一倍的

l导线密绕，总匝数变为原来的一半，则自感应变为原来的1/4

8．一个薄壁纸筒，长为30cm、截面直径为3.0cm，筒上绕有500匝线圈，纸筒内用? r = 5000的铁芯充满，则线圈的自感系数为 。

(500)2N2?7解：L??S?5000?4π?10??π(0.015)2?3.7(H)

l0.310．有两个长度相同，匝数相同，截面积不相同长直螺线管，通以相同大小的电流，现在将小螺线管完全放入大螺线管里，（两者轴线重合），且使两者产生的磁场方向一致，则小螺线管内的磁能密度是原来的 ；若使两螺线

22

管产生的磁场方向相反，则小螺线管中的磁能密度为 （忽略边缘效应）

解：大小螺线管内的磁场均为匀强磁场B??nI，将小螺线管完全放入大螺线管里，且使两者产生的磁场方向一致，则小螺线管内的磁场

B2，所以此时小螺线管内的磁能密B?B大?B小?2?nI，磁能密度?m?2?度是原来的4倍。若使两螺线管产生的磁场方向相反，小螺线管内的磁场B?B大?B小?0，所以小螺线管中的磁能密度为0

11．半径为R的无限长柱形导体上均匀流有电流I，该导体材料的相对磁导率? r =1，则在导体轴线上的一点的磁场能量密度为wo = ，在与导体轴线相距r处（r

解：轴线处B=0，所以?m?0。 在与在与导体轴线相距r处（r＜R）

??0IrI2 B?0 πr?22πrπR22πR?0I2r2B2? ?? 2?08π2R4三 计算题

6．在一个长直密绕的螺线管中间放一正方形小线圈，若螺线管长1m，绕了1000匝，通以电流I = 10cos100πt ( SI )，正方形小线圈每边长5cm，共100匝，电阻为1Ω，求线圈中感应电流最大值（正方形线圈的法线方向与螺线管的轴线方向一致）。

解： n =1000（匝/m） B=?0nI

??a2?B?a2?0nI

a 计算题6图

???NdφdI??Na2?0n??2?10?1sin100πt dtdtm Im?ε/R?π2?10?1A?0.99A

9．两同轴长直螺线管，大管套着小管，半径分别为a和b，长为l（l>>a ，

a>b），匝数分别为N1和N2，求互感系数M。

解：设半径为a的长螺线管中通入电流I0，则管内的均匀磁场

23

Ba??0n0I0??0N1I0/l

通过半径为b的线圈横截面积的磁通量为：

?b?BaSb???0N1I0πb2/l

通过半径为b的长螺线管的磁链为：

?b?N2?b??0N1N2I0πb2/l

根据定义： M??b??0N1N2πb2/l I010．一根电缆由实心柱状金属芯（相对磁导率?r1=1）和外包的同轴薄壁金属圆筒构成，芯和壁之间充满相对磁导率为?r2>1的绝缘材料（均匀且各向同性），其内外半径分别为R1和R2，设芯柱上的电流在芯的载面上均匀分布。当圆筒上的电流均匀分布在薄壁上，求：

（1） 当电流为I时，单位长电缆内储存的磁能。 （2） 电缆单位长的自感系数。

R 解：（1）空间磁感应强度的分布： R2 ? r2 ?r1 1?IrB1?12,0≤r≤R1

2πR1

?II B2?2,R1≤r?R2 I 2πr

B3=0，r?R2

计算题10图

式中?1=?r1?o= ?o ，?2=?r2?0 则单位长度电缆内储存的磁能为

2222?0I?2IB2R11R212W??VdV??0.24r.2πrdr??R12πrdr2?2?04πR12?24π2r2

??R?[0?2ln(2)]I216π4πR1μμR1（2）由W?LI2，相对上式有L?2W/I2?0?2ln(2)

8π2πR12变化的电磁场

一 选择题

1．对位移电流，有下述四种说法，请指出哪一种说法正确。（ ）

24

（A） 位移电流是由变化电场产生的。

（B） 位移电流是由线性变化磁场产生的。 （C） 位移电流的热效应服从焦尔—楞次定律。 （D） 位移电流的磁效应不服从安培环路定理。 解：本题选（A）。 2．在感应电场中电磁感应定律可以写成?LEK?dl??d?，式中EK为感dt应电场的电场强度。此式表明： （ ）

（A） 闭合曲线l上EK处处相等。 （B） 感应电场是保守场。

（C） 感应电场的电力线不是闭合曲线。

（D） 在感应电场中不能像对静电场那样引入电势的概念。 解：本题选（D）。

3．在非稳恒情况下，电流连续性方程可以写成： ( )

A. ??J?dS?0 B. ??J?dS?ssdq dtC. ??(J?sdq?D?D)?dS?0 D. ??(J?)?dS??? t? tdts

解：本题选（C）。

4．由两个圆形金属板组成的平行板电容器，其极板面积为A，将该电容器接于交流电源时，极板上的电荷随时间变化，即q=q0sinωt，则电容器内的位移电流密度为：( )

qωq A. q0ωcosωt B. 0cosωt C. 0cosωt D. q0ωAcosωt

AAq解：当电容器极板上的电荷为q时，电荷面密度??，这时电容器内电位

Astqsin?tq?D?q0co?移矢量D???。因为q=q0sinωt，所以D?0 ?J? ??tAAA所以选（B）。

二 填空题

1．平行板电容器的电容C为20.0μF，两板上的电压变化率dU/dt=1.50×105V·s-1，则该平行板电容器中的位移电流为 。

25

解：Id?C?dU?3A dt3．一般电磁场的能量密度表达式为 。

11解：?0?rE2??0?rH2

22

三 计算题

-12

1．在一对平行圆形极板组成的电容器（电容C=1×10F）上，加上频率为

5

50Hz的峰值为1.74×10V的余弦交变电压，计算极板间的位移电流的最大值。 解：??D?DS??S?q?CU

?Id?d?DdU ?Cdtdt 故Idm?2??CUm?5.47?10?5A

26

第17章 光的干涉

一. 选择题

1．在真空中波长为?的单色光，在折射率为n的均匀透明介质中从A沿某一路径传播到B，若A，B两点的相位差为3?，则路径AB的长度为：（ D ）

A. 1.5? B. 1.5n? C. 3? D. 1.5?/n

2?解： ???nd?3? 所以 d?1.5?/n

? 本题答案为D。

2．在杨氏双缝实验中，若两缝之间的距离稍为加大，其他条件不变，则干涉条纹将 （ A ）

A. 变密 B. 变稀 C. 不变 D. 消失

解：条纹间距?x?D?/d，所以d增大，?x变小。干涉条纹将变密。 本题答案为A。

4．在薄膜干涉实验中，观察到反射光的等倾干涉条纹的中心是亮斑，则此时透射光的等倾干涉条纹中心是（ B ）

A. 亮斑 B. 暗斑 C. 可能是亮斑，也可能是暗斑 D. 无法确定 解：反射光和透射光的等倾干涉条纹互补。 本题答案为B。 5．一束波长为??的单色光由空气垂直入射到折射率为n 的透明薄膜上，透明薄膜放在空气中，要使反射光得到干涉加强，则薄膜最小的厚度为 ( B )

A. ?/4 B. ?/ (4n) C. ?/2 D. ?/ (2n) 6．在折射率为n?=1.60的玻璃表面上涂以折射率n=1.38的MgF2透明薄膜，可以减少光的反射。当波长为500.0nm的单色光垂直入射时，为了实现最小反射，此透明薄膜的最小厚度为（ C ）

A. 5.0nm B. 30.0nm C. 90.6nm D. 250.0nm

解：增透膜 emin??/4n?90.6nm

本题答案为C。

7．用波长为?的单色光垂直照射到空气劈尖上，观察等厚干涉条纹。当劈尖角增大时，观察到的干涉条纹的间距将（ B ）

A. 增大 B. 减小 C. 不变 D. 无法确定

27

解：l??2nsin? , 故? 增大，l减小。本题答案为B。

8. 在牛顿环装置中，将平凸透镜慢慢地向上平移，由反射光形成的牛顿环将 ( )

A. 向外扩张，环心呈明暗交替变化 B. 向外扩张，条纹间隔变大

C. 向中心收缩，环心呈明暗交替变化 D. 无向中心收缩，条纹间隔变小 解：本题答案为C。 9．用波长为?的单色平行光垂直照射牛顿环装置，观察从空气膜上下两表面反射的光形成的牛顿环。第四级暗纹对应的空气膜厚度为（ B ）

A. 4? B. 2? C. 4.5? D. 2.25? 解：暗条纹条件：2ne??/2?(2k?1)?/2, k=4，n=1，所以e?2?。 本题答案为B。

10．在迈克耳孙干涉仪的一支光路中，放入一片折射率为n的透明薄膜后，测出两束光的光程差的改变量为一个波长?，则薄膜的厚度是（ D ）

A. ?/2 B. ?/(2n) C. ?/n D. ?/(2(n?1))

解：???2(n?1)d??, 故d??/2(n?1) 本题答案为D。

二. 填空题

1．光强均为I0的两束相干光相遇而发生干涉时，在相遇区域内有可能出现的最大光强是 。

解：4I0。

2．在双缝干涉实验中，若使两缝之间的距离增大，则屏幕上干涉条纹间距 ，若使单色光波长减小，则干涉条纹间距 。

解：?x?D?，所以 d增大，?x减小；?dS 减小，?x也减小。

3．如图，在双缝干涉中若把一厚度为e ，折射率为n的薄云母片，覆盖在S1缝上，中央明纹将向 移动。覆盖云母片后，两束相干

S1 S2 e n 屏 o 填空题3图 28

光到达原中央明纹o处的光程差为 。 解：因为n>1，光从S1、S2传播到屏幕上相遇时光程差为零的点在o点上方，所以中央明纹将向上移动。光程差为(n?1)e。

4．在双缝干涉实验中，中央明条纹的光强度为I0，若遮住一条缝，则原中央明条纹处的光强度变为 。

解：中央明条纹的光强度为I0?(2A)2，遮住一条缝，则原中央明条纹处的光强度I?A2，I=

I0。 45．如图所示，在双缝干涉实验中，SS1=SS2，用波长为?的光照射双缝S1和S2，通过空气后在屏幕E上形成干涉条纹，已知P点处为第三级明条纹，则S1和S2到P点的光程差为 ；若将整个装置放于某种透明液体中，P点为第四级明条纹，则该液体的折射率n = 。

解： ??k? k=3 所以??3?。在透明液体中 n??k'?，k'?4，

S1 P n1 n2 S S2 E 填空题5图

e n3 填空题6图

4?4，n? n36．如图所示，当单色光垂直入射薄膜时，经上下两表面反射的两束光发生干涉。当n1

?'?0

故光程差??2n2e。n1?n3?n2时，上表面有半波损失，下表面无半波损失，附加光程差?'??2，故光程差??2n2e??2。

n1

n3

n2

填空题7图

29

7．用波长为?的单色光垂直照射如图所示的劈尖膜（n1?n2 ?n3 ），观察反射光干涉，劈尖顶角处为 条纹，从劈尖膜尖顶算起，第2条明条纹中心所对应的厚度为 。

解：n1?n2 ?n3 所以上、下表面的反射光都没有半波损失，故劈尖顶角处光程差为零，为明条纹；第2条明条纹即第一级明条纹2n2e?k?,k?1，所以e??2n2。

8．单色光垂直照射在劈尖上，产生等厚干涉条纹，为了使条纹的间距变小，可采用的方法是：使劈尖角 ，或改用波长较 的光源。 解：l??2sin?，要使l变小，使劈尖角增大，或用波长较小的光源。

9．某一牛顿环装置都是用折射率为1.52的玻璃制成的，若把它从空气中搬

入水中，用同一单色光做实验，则干涉条纹的间距 ，其中心是 斑。

1r2?解：??2n水e??n， ??k?，r?（k?）R?n22R2?n变大，干涉条纹间距变密。其中心是暗斑。

10．用迈克耳孙干涉仪测反射镜的位移，若入射光波波长?=628.9nm，当移动活动反射镜时，干涉条纹移动了2048条，反射镜移动的距离为 。 解：?d?N?2=0.644mm。

三. 计算题

1．在双缝干涉实验中，双缝与屏间的距离D=1.2m，双缝间距d =0.45mm，若测得屏上干涉条纹间距为1.5mm，求光源发出的单色光的波长?。

解：根据公式x = k? D / d 相邻条纹间距?x = D? / d 则 ? = d?x / D= 562.5 nm

2．在双缝干涉实验中，若缝间距为所用光波波长的1000倍，观察屏与双缝相距50cm，求相邻明纹的间距。

解：由双缝干涉公式x = k? D /d 得：?x =? D /d = 0.05 cm

4．在杨氏双缝实验中，两缝之间的距离d=0.5mm，缝到屏的距离为D=25cm，

30

若先后用波长为400nm和600nm两种单色光入射，求：（1）两种单色光产生的干涉条纹间距各是多少？（2）两种单色光的干涉条纹第一次重叠处距屏中心距离为多少？各是第几级条纹？

解：如图所示，屏上p点处，从两缝射出的光程差为? = x d / D 明纹条件? = ? k?

p 屏上明纹位置 x = ? D k?/ d

x (1) 两明条纹的间距?x = D?/d

d ?x1 = D?1/d = 0.2mm

D ?x2 = D?2/d = 0.3mm

(2) 在两种单色光的干涉条纹重叠处，有 x1=x2 即k1?1 = k2?2 k1/k2 =?2/?1=3/2

第一次重叠k1=3, k2 =2 x1 = x2 = 0.6mm

故两种单色光的干涉条纹第一次重叠处距屏中心距离为0.6mm，波长为400nm的是第3级条纹，波长为600nm的是第2级条纹。

5．如图，用白光垂直照射厚度e = 400nm的薄膜，若薄膜折射率n2 =1.4，且n1>n2>n3，则反射光中哪些波长的可见光得到加强？

解：由于n1 > n2 > n3

从上下表面反射的光均无半波损失。反射光得到加强的条件是

2 n2e = k?

n1 ?= 2.8?400/ k

n2 e k = 1时，?= 1120 nm

n3 k = 2时，?= 560 nm

计算题5图

k = 3时，?= 373.3nm

可见光范围400nm~760nm，所以反射光中可见光得到加强的是560nm。

6. 一片玻璃（n=1.5）表面附有一层油膜（n=1.32），今用一波长连续可调的单色光束垂直照射油面。当波长为485nm时，反射光干涉相消。当波长增为679nm时，反射光再次干涉相消。求油膜的厚度。

解：由于在油膜上，下表面反射时都有相位跃变?，所以反射光干涉相消的条件是

2ne =（2k+1）?/2。

于是有

2ne =（2k+1）?1/2=（2k?1）?2/2

31

?2??1，进一步得到油膜的厚度

2(?2??1)?2?1679?485e???643nm

2n(?2??1)2?1.32?(679?485)7．在折射率n=1.52的镜头表面涂有一层折射率n2=1.38的MgF2增透膜。如果此膜适用于波长?=550nm的光，膜的最薄厚度应是多少？

解：透射光干涉加强的条件是

2ne+?/2=k?，k =1，2，?

由此解出k?1?1550?10?9e?(k?)?(k?)??(199.3k?99.6)?10?9m

22n22?1.38故最薄需要e=99.6nm。

9．如图，利用空气劈尖测细丝直径，观察到30条条纹，30条明纹间的距离为4.295mm，已知单色光的波长?=589.3nm，L =28.88×10?3m，求细丝直径d。

d L 计算题9图 解： 相邻条纹间的厚度差为?/2，30条明条纹厚度差为（30?1）??/2=8.54?10?6m，劈尖角

? =8 .54?10?6 / 4.295?10?3 =1.989?10?3 rad

d = L? = 5.74?10?5 m

11．用单色光观察牛顿环，测得某一明环直径为3.00mm，它外面第5个明环的直径为4.60mm，平凸透镜的曲率半径为1.03m，求此单色光的波长。

2(k?5)?12k?1解：由rk2?R?和rk2?5?R?可解得

2222rk2?5?rk2dk(4.60?10?3)2?(3.00?10?3)2?5?dk???? 5R20R20?1.03 ?5.90?10?7m?590nm

32

第18章 光的衍射

一 选择题

1．平行单色光垂直入射到单缝上，观察夫朗和费衍射。若屏上P点处为第2级暗纹，则单缝处波面相应地可划分为几个半波带 ( )

A. 一个 B. 两个 C. 三个 D. 四

个

解：暗纹条件：asin???(2k?2),k?1,2,3....，k=2，所以2k=4。

故本题答案为D。

2．波长为?的单色光垂直入射到狭缝上，若第1级暗纹的位置对应的衍射角为? =?π/6，则缝宽的大小为 ( )

A. ?/2 B. ? C. 2? D. 3? 解

：

asin???(2k?2),k?1,2,3....k?1,????6，所以

asin(?)??2?,?a?2?。

62??故本题答案为C。 3．一宇航员在160km高空，恰好能分辨地面上两个发射波长为550nm的点光源，假定宇航员的瞳孔直径为5.0mm，如此两点光源的间距为 ( )

A. 21.5m B. 10.5m C. 31.0m D.

42.0m

解：?1?1.22?D??x?,??x?1.22h?21.5m。 hD本题答案为A。

4．孔径相同的微波望远镜与光学望远镜相比，前者的分辨本领小的原因是（ ）

A. 星体发光的微波能量比可见光能量弱 B. 微波更易被大气吸收 C. 大气对微波的折射率较小 D. 微波波长比光波波长大 解：本题答案为D

5．波长?=550nm的单色光垂直入射于光栅常数d=2×10?4cm的平面衍射光栅上，可能观察到的光谱线的最大级次为 ( )

33

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 解：dsin??k?，k?dsin???3.64。k的可能最大值对应sin??1，所以

?k??3。

故本题答案为B。

6．一束单色光垂直入射在平面光栅上，衍射光谱中共出现了5条明纹。若已知此光栅缝宽度与不透明宽度相等，那么在中央明纹一侧的第二条明纹是第几级？( )

A. 1级 B. 2级 C. 3级 D. 4级 a?b?2,因此?2,?4,?6...等级缺级。衍射光谱中共出现了a5条明纹，所以k??3,?1,0，那么在中央明纹一侧的第二条明纹是第3级。

解：dsin???k?,故本题答案为C。

7．一束白光垂直照射在一光栅上，在形成的同一级光栅光谱中，偏离中央明纹最远的是（ ）

A. 紫光 B. 绿光 C.黄光 D. 红光 解：本题答案为D

8．测量单色光的波长时，下列方法中哪一种最为准确（ ） A. 光栅衍射 B. 单缝衍射 C. 双缝干涉 D. 牛顿环 解：本题答案为A

9．X射线投射到间距为d的平行点阵平面的晶体中，发生布拉格晶体衍射的最大波长为（ ）

A. d / 4 B. d / 2 C. d D. 2d

解：最大波长对应最大掠射角90?和最小级数k=1。根据布拉格公式易知： 本题答案为D

二 填空题

1．波长为?的单色光垂直照射在缝宽为a=4?的单缝上，对应? =30?衍射角，单缝处的波面可划分为 半波带，对应的屏上条纹为 纹。

解：asin??4?sin300?2??4??2，所以可划分为4个半波带，且为暗纹。

2．在单缝衍射中，衍射角? 越大，所对应的明条纹亮度 ，衍射明条纹的角宽度 （中央明条纹除外）。

解：越小；不变。

34

3．平行单色光垂直入射在缝宽为a=0.15mm的单缝上，缝后有焦距f=400mm的凸透镜，在其焦平面上放置观察屏幕，现测得屏幕中央明条纹两侧的两个第3级暗纹之间的距离为8mm，则入射光的波长为? = 。

?3?x解：asin??2k,k?3,sin???

2afax1.5?10?4?4?10?3 ??nm ??500?33f3?400?104．在单缝实验中，如果上下平行移动单缝的位置，衍射条纹的位

置 。

解：衍射条纹的位置是由衍射角决定的，因此上下移动单缝，条纹位置不会变化。

5．一个人在夜晚用肉眼恰能分辨10公里外的山上的两个点光源（光源的波长取为?=550nm）。假定此人眼瞳孔直径为5.0 mm，则此两点光源的间距为 。

解：?1?1.22所以Δx?1.22?D??x h1.22?550?10?9?10?103h??1.342m。 D5.0?10?36．已知天空中两颗星相对于一望远镜的角距离为4.84?10?6 rad，它们发出的光波波长为550nm，为了能分辨出这两颗星，望远镜物镜的口径至少应为 0.139m 。

?解：D?1.22??0.139m ?17．平行单色光垂直入射到平面衍射光栅上，若增大光栅常数，则衍射图样中明条纹的间距将 ，若增大入射光的波长，则明条纹间距将 。

x解：dsin???k?,?~sin?~tan?~

f所以d增大，?变小，间距变小；?增大，?变大，间距变大。

8．波长为500nm的平行单色光垂直入射在光栅常数为2×10?3mm的光栅上，光栅透光缝宽度为1×10?3mm，则第 级主极大缺级，屏上将出现 条明条纹。

解：a?1?10?3mm,d?2?10?3mm,d?2；故第2级主极大缺级； a 35

dsin??k?,当sin??1 时，kmax?d??4；故屏上将出现k=0,?1, ?3 共5

条明条纹。

9．一束具有两种波长的平行光入射到某个光栅上，?1=450nm，?2=600nm，两种波长的谱线第二次重合时（不计中央明纹），?1的光为第 级主极大，?2的光为第 级主极大。

?k3解：重合时，dsin??k1?1?k2?2，1?2?

?2k14 k1、k2为整数又是第2次重合，所以k1?8，k2?6。

10．用X射线分析晶体的晶格常数，所用X射线波长为0.1nm。在偏离入射线60?角方向上看到第2级反射极大，则掠射角为 ，晶格常数为 。

解：30? ；0.2nm

三 计算题

1．在单缝衍射实验中，透镜焦距为0.5m，入射光波长?=500nm，缝宽a=0.1mm。求：（1）中央明条纹宽度；（2）第1级明条纹宽度。

解：（1）中央明条纹宽度

a0.1?10?3(2) 第1级明条纹宽度为第1级暗条纹和第2级暗条纹间的距离

?x0?2ftan?0?2f??2?0.5?500?10?9=5?10?3m=5mm

?x1?ftan?2?ftan?1?f(f?2??=2.5mm ?)?aaa2．在单缝夫琅禾费衍射实验中，第1级暗条纹的衍射角为0.4°，求第2级

亮条纹的衍射角。

解：由亮条纹条件a sin?2=（2 k + 1）?/ 2和k =2 得

a sin?2 = 5? / 2

由暗条纹条件a sin? 1=（2k）?/2和k = 1 得

a sin? 1=?

故 sin? 2/sin? 1=5/2

衍射角一般很小，sin? ? ? ，得 ? 2=5/2? 1=1°

3．假若侦察卫星上的照相机能清楚地识别地面上汽车的牌照号码。如果牌照上的笔划间的距离为4cm，在150km高空的卫星上的照相机的最小分辨角应多大？此照相机的孔径需要多大？光波的波长按500nm计算。

36

解：最小分辨角应为

d4?10?2?7rad ?1???2.67?10l150?103照相机的孔径为

?500?10?9mD?1.22?1.22??2.28m ?7?12.67?105．一束具有两种波长?1和?2的平行光垂直照射到一个衍射光栅上，测得波

长?1的第3级主极大与?2的第4级主极大衍射角均为30°，已知?1=560nm，求：（1）光栅常数d；（2）波长?2。

解：（1）由光栅衍射明纹公式

dsin? = k?

d = k? /sin? =3×5.6×10?7 m /sin30°=3.36×10?6m （2） d sin30°= 4?2

?2= d sin30°/ 4 = 420 nm

7．平行光含有两种波长?1= 400.0nm，?2=760.0nm，垂直入射在光栅常数d = 1.0×10?3cm的光栅上，透镜焦距f = 50 cm，求屏上两种光第1级衍射明纹中心之间的距离。

解：由光栅衍射主极大的公式

d sin? 1 = k?1= 1?1 d sin? 2 = k?2= 1?2

x1 = f tg? 1 ? f sin? 1= f?1 /d x2 = f tg? 2 ? f sin? 2= f?2 /d Δx= x2? x1=1.8cm

8．用波长?=700nm的单色光，垂直入射在平面透射光栅上，光栅常数为3×10?6m的光栅观察，试问：（1）最多能看到第几级衍射明条纹？（2）若缝宽0.001mm，第几级条纹缺级？

解：（1）由光栅方程d sin? = k? 可得：k =d sin? /?

可见k的可能最大值对应sin? =1。将d及?值代入上式，并设sin? =1，得

?4.28

700?10?9k只能取整数，故取k =4，即垂直入射时最多能看到第4级条纹。

k?3?10?6（2）当d 和a 的比为整数比

dk?时，k级出现缺级。题中d= 3×10?6m，ak'a = 1×10?6m，因此d/a = 3，故缺级的级数为3，6，9?。

37

又因k≤4，所以实际上只能观察到第3级缺级。

10．白光（?紫= 400.0nm，?红=760.0nm）垂直入射到每厘米有4000条缝的光栅，试求利用此光栅可以产生多少级完整的光谱？

解：对第k级光谱，角位置的范围从? k紫到? k红，要产生完整的光谱，即要求?紫的第(k+1)级纹在?红的第k级条纹之后，亦即

?k红?? （k?1）紫根据光栅方程d sin? = k?，得

dsin?k红?k?红

dsin?（k?1）?紫 （k?1)紫?由以上三式得到

k?红?（k?1）?紫

760k?400（k?1）所以只有k=1才满足上式，所以只能产生一级完整的可见光谱，而第2级和第3级光谱即有重叠出现。

11．一个X射线管发出的X射线主要是波长为0.15nm的特征谱线，当它以掠射角?1 =11?15?照射某一组晶面时，在反射方向上测得1级衍射极大，求该组晶面的间距。若用另一个X射线管所发出的波长连续的X射线照射该组晶面，在?2 =36?的方向上可测得什么波长的X射线的第1级衍射极大值？

解：由布拉格公式得

2dsin?1??1

得晶面间距为

d??1/2sin?1?0.15/(2?sin11?15?)?0.38nm

若以连续波长的X射线入射，令

2dsin?2??2

得?2?2?0.38?sin36??0.45nm。

38

第19章 光的偏振

一 选择题

1. 把两块偏振片一起紧密地放置在一盏灯前，使得后面没有光通过。当把一块偏振片旋转180?时会发生何种现象：（ ）

A. 光强先增加，然后减小到零 B. 光强始终为零 C. 光强先增加后减小，然后又再增加

D. 光强增加，然后减小到不为零的极小值 πππ解：I?I0cos2(??),?从0增大到的过程中I变大；从增大到π的

222过程中I减小到零。

故本题答案为A。

2. 强度为I0的自然光通过两个偏振化方向互相垂直的偏振片后，出射光强度为零。若在这两个偏振片之间再放入另一个偏振片，且其偏振化方向与第一偏振片的偏振化方向夹角为30?，则出射光强度为：（ ）

A. 0 B. 3I0 / 8 C. 3I0 / 16 D. 3I0 / 32

解：I?I0I313cos2300cos2(900?300)?0???I0。 224432故本题答案为D。

3. 振幅为A的线偏振光，垂直入射到一理想偏振片上。若偏振片的偏振化方向与入射偏振光的振动方向夹角为60?，则透过偏振片的振幅为：（ ）

A. A / 2 B.

3A / 2 C. A / 4 D. 3A / 4

解：A'2?A2cos2600，A'?A/2。

故本题答案为A。

4. 自然光以60?的入射角照射到某透明介质表面时，反射光为线偏振光。则（ ）

A 折射光为线偏振光，折射角为30? B 折射光为部分偏振光，折射角为30? C 折射光为线偏振光，折射角不能确定 D 折射光为部分偏振光，折射角不能确定 解：本题答案为B。

39

二 填空题

1. 强度为I0的自然光，通过偏振化方向互成30?角的起偏器与检偏器后，光强度变为 。

解：3 I0/8

2. 自然光以某一角度入射到两种媒质的分界面发生反射和折射时，一般情况下，反射光为 偏振光，折射光为 偏振光。

解：部分；部分 4. 如图所示，一束自然光相继射入介质I和介质Ⅱ，介质I的上下表面平行，当入射角i0=60°时，得到的反射光R1和R2都是振动方向垂直于入射面的完全偏振光，则光线在介质I中的折射角r=___________，介质Ⅱ和I的折射率之比n2/n1=___________。

解 由题意，入射角i0=60°为起偏角，入射角

填空题4图

和反射角满足关系的i0+ r0?90?，可知光线在介质I

中的折射角r=30°，这又是入射到介质Ⅱ的起偏角，由布儒斯特定律， 介质Ⅱ和I的折射率之比

n23?tanr?tan300?。 n13三 计算题

1. 使自然光通过两个偏振化方向成60?的偏振片，透射光强为I1。今在这两个偏振片之间再插入另一个偏振片，它的偏振化方向于前两个偏振片均成30?角，则透射光强是多少？

解：设自然光经第一偏振片后出射光强为I0，则未插入另一偏振片前透射光强

I1=I0cos260?=I0/4

插入另一偏振片后，从中间偏振片出射光强为 I0?= I0cos230?= 3I0/4 透射光强

I1?= I0?cos230?= 3 I0?/4= 9I0/16 则 I1?/ I1=9/4 I1?=9I1/4

2. 有两个偏振片，当它们偏振化方向间的夹角为30?时，一束单色自然光穿过它们，出射光强为I1；当它们偏振化方向间的夹角为60?时，另一束单色自然光穿过它们，出射光强为I2，且I1= I2。求两束单色自然光的强度之比。

40

解：设两束单色自然光的强度分别为I10和 I20，则经过起偏器后光强分别为I10/2和 I20/2。

II经过检偏器后I1?10cos230?，I2?20cos260?

22因为I1?I2，故两束单色自然光的强度之比

I10cos230?1?? I20cos260?33. 三块偏振片叠在一起，第二块与第一块的偏振化方向间的夹角为45°，第三块和第二块的偏振化方向间的夹角也为45°。光强为I0的自然光垂直照射到第一块偏振片上。

求：（1）通过每一偏振片后的光强；（2）通过第三块偏振片后，光矢量的振动方向。

1解 通过第一偏振片后，自然光变为线偏振光，光强为I0，光矢量的振动

2方向与第一块偏振片的偏振方向相同。

因为第二块偏振片与第一块的偏振化方向间的夹角为45°，故由马吕斯定律，通过第二块偏振片的光强为

I1I0cos2450?0，光矢量的振动方向与第二块偏振24片的偏振方向相同。

因为第三块偏振片和第二块的偏振化方向间的夹角也为45°，故通过第三块偏振片的光强为

I0I光矢量的振动方向与第三块偏振片的偏振方向cos2450?0，

48相同。

4. 水的折射率为1.33，玻璃的折射为1.50。当光由水中射向玻璃而反射时，

起偏振角为多少？当光由玻璃射向水而反射时，起偏振角又为多少？

解：光由水中射向玻璃而反射时，tani1?n玻1.50，i1?48.440； ?n水1.33光由玻璃射向水而反射时，tani2?n水1.33，i2?41.560。 ?n玻1.505. 怎样测定不透明电介质（例如珐琅）的折射率？今测得釉质的起偏振角

46

u? t??? t1?()2?0.2年

c6. 一艘宇宙飞船船身固有长度为l0=90m，相对于地面以u = 0.8c的匀速度从一观测站的上空飞过。(1) 观测站测得飞船的船身通过观察站的时间间隔是多少？(2) 宇航员测得船身通过观察站的时间间隔是多少？

解：(1) 地面观测站测得飞船船身的长度为

l?l01??uc??54m

2则 ? t1?l54??2.25×10?7s 8u0.8?3?10(2) 宇航员测得飞船船身的长度为l0，则

? t2?l0u?3.75×10?7s

7. 一体积为V0，质量为m0 的立方体沿其一棱边的方向相对于观察者A以速度v运动。求观察者A测得其密度是多少？

解： 设立方体的长、宽、高分别以x0，y0，z0 表示，观察者A 测得立方体

2的长、宽、高分别为x?x01??v?c?,y?y0,z?z0。相应体积为

V?xyz?x0y0z01??v?c??V01??v?c?

22观察者A测得立方体的质量

m?m01?(v/c)2

故观察者A测得立方体的密度是

m01?(v/c)m0m????

VV1?(v/c)2V0[1?(v/c)2]028. 一个静止质量是m0的粒子以速率v=0.8c运动，求此时粒子的质量和动能分别是多少？

解： 根据相对论质量公式(11.4.1)式，当粒子的速率为v时的质量为

m0m05m???m0

1?(v/c)21?0.823 47

根据相对论动能公式(11.4.5) 式，当粒子的速率为v时的动能为

Ek?mc2?m0c2?(5m02?m0)c2?m0c2 33即子的动能是其静止能量的2/3。

9. 要使电子的速度从v1=1.2×108m/s增加到v2=2.4×108m/s，必须对它作多少功？（电子静止质量me=9.11×10?31kg）

解：根据功能原理，要做的功

W=?E

根据相对论能量公式

?E?m2c2?m1c2

根据相对论质量公式

m2?m0v1?(2)2c?m0c2，m1?m0v1?(1)2c

v22v)1?(2)2cc11. 某一宇宙射线中的介子的动能Ek = 7M0c2，其中M0是介子的静止质量。试求在实验室中观察到它的寿命是它的固有寿命的多少倍。

解：实验室参照系中介子的能量

1?( E?Ek?E0?7M0c2?M0c2?8E0

W?m0c2=4.72?10?14J=2.95?105eV

设介子的速度为v，又有E?Mc2?M0c2可得 EE0?1令固有寿命为?0，则实验室中寿命

τ?τ01?v2c2?E01?v2c2

1?v2c2?8

1?v2c2?8τ0

故在实验室中观察到它的寿命是它的固有寿命的8倍。

48

第21章 量子力学基础

光的量子性

一 选择题

1. 所谓绝对黑体，是指：（ D ） A. 不吸收不反射任何光的物体； B. 不反射不辐射任何光的物体；

C. 不辐射而能全部吸收所有光的物体； D. 不反射而能全部吸收所有光的物体。

2. 若一物体的绝对温度增加一倍，则它的总辐射能是原来的： ( E ) A. 1倍 B. 2倍 C. 4倍 D. 8倍 E. 16倍 3. 人体辐射的峰值波长估计为： ( C )

A. 0.49μm B. 0.55μm C. 9.3μm D. 无法估计

4．用频率为?的单色光照射某种金属时，逸出光电子的最大动能为Ek ；若改用频率为2?的单色光照射此金属时，则逸出光电子的最大初动能为：( D )

A. 2Ek B. 2h? ? Ek C. h? ? Ek D. h? + Ek 5．某金属产生光电效应的红限波长为?0，今以波长为?（???0）的单色光照射该金属，金属释放出的电子（质量为m e）的动量大小为： ( E )

A. h? B. h?0 C. 2mehc??0???2mehc??0?????0 D.

2mehc?0 E.

??0

hc(?0??)2mehc??0???p2hchc?解：?Ek?A?Ek?，Ek?，p?。

??02me??0??07．光电效应和康普顿效应都包含有电子与光子的相互作用过程。对此，在

以下几种理解中，正确的是： ( D )

A. 两种效应中电子与光子两者组成的系统都服从动量守恒定律和能量守恒

49

定律。

B. 两种效应都相当于电子与光子的弹性碰撞过程。 C. 两种效应都属于电子吸收光子的过程。

D. 光电效应是吸收光子的过程，而康普顿效应则相当于光子和电子的弹性碰撞过程。

解：光电效应中光子与束缚电子碰撞，电子与光子两者组成的系统不服从动量守恒定律。故答案选D。

8．用强度为I，波长为?的X射线分别照射锂(Z = 3)和铁(Z =26)。若在同一散射角下测得康普顿散射的X射线波长分别为?Li和?Fe (?Li，?Fe??)，它们对应的强度分别为ILi和IFe ，则 ( )

A．?Li??F e，ILi? IFe B．?Li=?Fe ，ILi = IFe C．?Li =?Fe ，ILi? IFe D．?Li??Fe ，ILi? IFe

解：因为散射角? 确定时，波长的增加量??与散射物质的性质无关；原子序数小的散射物质，康普顿散射较强。故选C。

9．根据玻尔氢原子理论，氢原子中的电子在第一和第三轨道上运动时速度大小之比v1 / v3是： ( C )

A. 1 / 3 B. 1 / 9 C. 3 D. 9

解：mr1v1??，mr3v3?3?，v1/v3?r3/(3r1)?3

11．将处于第一激发态的氢原子电离，需要的最小能量为：( B )

A. 13.6eV B. 3.4eV C. 1.5eV D. 0eV

二 填空题

1. 大爆炸宇宙论预言存在宇宙背景辐射，其温度为2.7K，则对应这种辐射的能谱峰值的波长为_1.06mm 。

2. 北极星和天狼星的辐射峰值波长?分别为0.35 μm和0.29μm，则它的表面温度估计为8.28?103 K 和 9.99?103 K 。

3. 频率为100MHz的一个光子的能量是 6.626?10?26J ，动量的大小是 2.21?10?34kg.m / s 。

Uc (V) 4. 在光电效应实验中，测得某金属的截止电压Uc与入射光频率?的关系曲线如图所示，由此可知该金

属的红限频率?0 = 5?1014 Hz；逸出功A = 2.1 eV。 2 5. 已知某金属的逸出功为A，用频率为?1的光照0 射该金属能产生光电效应，则该金属的红限频率?0 = ?2 5 10 ?(1014Hz)

填空题4图 50

A/h ，截止电势差Uc = (h?1? A)/e 。 6. 在光电效应中，当频率为3?1015 Hz的单色光照射在逸出功为4.0eV的金属表面时，金属中逸出的光电子的最大初速率为 1.72?106 m /s。

7. 康普顿散射中，当出射光子与入射光子方向成夹角? = π 时，光子的频率减少得最多；当? = 0 时，光子的频率保持不变。

8. 如图所示，一频率为?的入射光子与起始

? ? 散射光子

静止的电子发生碰撞和散射。如果散射光子的频

? ? 率为??，反冲电子的动量为p，则在与入射光子平

? 行的方向上的动量守恒定律的分量形式为 h?c??h??cos?c??pcos?。

反冲电子

填空题8图

9. 根据玻尔氢原子理论，若大量氢原子处于主量子数n = 5的激发态，则跃迁辐射的谱线可以有 10 条，其中属于巴耳末系的谱线有 3 条。

10. 氢原子由定态l跃迁到定态k可发射一个光子。已知定态l的电离能为0.85eV，又知使氢原子从基态激发到定态k所需能量为10.2eV，则在上述跃迁中氢原子所发射的光子的能量为 2.55 eV。

三 计算题

1. 测得炉壁小孔内的辐出度为20W?cm?2，求炉内温度及单色辐出度极大值对应的波长。

解：已知辐出度M=20 W?cm?2=20×104W?m?2

由斯忒藩——玻耳兹曼定律得炉内温度 5.67?10?8根据维恩位移定律，得到单色辐出度极大值所对应的波长

b2.897?10?3?6

=2.11?10m=2.11?m ?m??3T1.37?102. 在加热黑体的过程中，单色辐出度的峰值波长由0.69μm变化到0.50μm, 其辐出度增加了多少倍？

解：由斯忒蕃——玻耳兹曼定律得

T=M/?=

4420?104=1.37?103 (K)

T24M2?T24==（)

T1M1?T14由维恩位移定律得

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