高等数学 第二章 极限与连续 2.8 函数的连续性

这是我们学校的课件,拿来与大家分享,欢迎下载。

高等数学—第二章

极限与连续基础课教学部 数学教研室

这是我们学校的课件,拿来与大家分享,欢迎下载。

第八节

函数的连续性

一、函数改变量 二、连续函数的概念 三、函数的间断点 四、连续函数的运算法则 五、在闭区间上连续函数的性质 六、利用函数连续性求函数极限

这是我们学校的课件,拿来与大家分享,欢迎下载。

一、函数改变量 定义2.11 变量t由初值 t1 改变到终值 t 2 , 则称 t t 2 t1 为变量t的改变量。 等价定义：设函数 y= f (x) U ( x , ) 有定义，若自变量x 在 x 0 改变到 x 0 x ( x 0 ), 则函数 y 的改变量为 从 y f ( x 0 x ) f ( x ). 函数的增量0

yy f (x)

y y

y f (x)

y x0

x

x0

x0 x

x

0

x0

x0 x

x

这是我们学校的课件,拿来与大家分享,欢迎下载。

例1 设正方形边长为x,求边长改变量为Δx 时， 面积的增量。 2 y x 解： 设正方形的面积： 当边长变为x+Δx时，面积为： 2 y1 x x . 则面积的改变量为： 2 2 y y1 y x x x 2 x x x 2 .

特别地，当边长由2m改变到2.05m时，面积改变量为：2 x 0 .05, y 2 2 0 .05 0 .05 0 .2 0 2 5 m . x 2,2

特别地，当边长由2m改变到1.95m时，面积改变量为： 2 y 2 2( 0.05) 0.05 0 .1 9 7 5 m 2 . x 2, x 0.05,

这是我们学校的课件,拿来与大家分享,欢迎下载。

例1 设正方形边长为x,求边长改变量为Δx 时， 面积的增量。 2 y x 解： 设正方形的面积： 当边长变为x+Δx时，面积为： 2 y1 x x . 则面积的改变量为： 2 2 y y1 y x x x 2 x x x 2 . 注意：函数的改变量可以为正，也可以为负。

这是我们学校的课件,拿来与大家分享,欢迎下载。

二、连续函数的概念

定义2.12 设函数y=f (x)在 U ( x 0 , ) 有定义。若当x在 x 0处取得该变量 x x 0

( x 0)

时，有f ( x 0 ) 0,

lim y lim

f ( x0 x ) x 0

则称函数f (x)在点 x 0 处连续。否则，间断。

例2 证 明 ： 函 数 y x 2 在 x x 0 处 连 续证明： lim y lim [ x 0 x x 0 2 ]2 x 0

x 0 x 0

lim [2 x 0 x ( x ) ] 02

y x 在 x x 0处 连 续2

这是我们学校的课件,拿来与大家分享,欢迎下载。

若函数 f (x)在点 x 0 处连续，则 x 0

lim y lim

f ( x0 x ) x 0 0

f ( x 0 ) 0, x0 .

令x

x0 x , x 0

则当 xx x0

时，x

lim y lim

f ( x)

f ( x 0 ) 0,

即，lim

x x0

f ( x ) f ( x 0 ).

这样，就可以得到连续函数的等价定义。

这是我们学校的课件,拿来与大家分享,欢迎下载。

定义2.13 设函数

在 的某邻域内有定义，且 则称函数 f ( x ) 在 x 0 连续 . 否则，间断.

注意：函数 (1)

在点 x 0 连续，必须同时具备下列条件：

在点

有定义，即 存在；

存在；

(2) 极限 (3)

这是我们学校的课件,拿来与大家分享,欢迎下载。

定义2.14 若

在区间[ a

, b ]上每一点都连续，则称

f (x)在 [ a , b ] 上连续，或称它是该区间上的连续函数.注意：若 若 很显然， 则称 f (x)在 x 则称 f (x)在 x 在 , 内连续。 a 处左连续；

b 处右连续。

连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.

这是我们学校的课件,拿来与大家分享,欢迎下载。

例3

证明函数

在

内连续.

证： x ( , ) y sin( x x ) sin x x 2 x 2

y 2 sin

cos( x x

)0

x 0

即这说明 在 内连续.

同理可证： 函数

在

内连续 .

这是我们学校的课件,拿来与大家分享,欢迎下载。

三、函数的间断点

定义2.15 设(1) 函数 (2) 函数 (3) 函数x x0

在点

处不满足连续的条件，即满足

下列三个条件之一，称函数 f (x) 在 处不连续，即间断： 在 处无定义； 在 虽有定义，但 不存在；

在lim

有定义 , 且

存在，但

f ( x ) f ( x0 )

这样的点 称为函数 f (x) 的间断点。

这是我们学校的课件,拿来与大家分享,欢迎下载。

如，函数 f ( x )

1 x

在点x=0处无定义，因此，在点 x=0x 0 x 0 在 x 0处 的 连 续 性 . x 0

处间断。例4

x 1, 讨 论 函 数 f ( x ) 0, x 1,

解： limx 0

f ( x ) lim ( x 1) 1 f (0 ) 0,x 0

x 0

lim f ( x ) lim ( x 1) 1 f (0 ) 0,x 0

左、右均不连续，故 函 数 f ( x )在 点 x 0处 不 连 续 .

这是我们学校的课件,拿来与大家分享,欢迎下载。

间断点的分类： 第一类间断点： 及 若 若 第二类间断点： 均存在， 称 x 0 为可去间断点。 称 x 0 为跳跃间断点。

及

中至少一个不存在，

若其中有一个为 , 称 x 0 为无穷间断点。

若其中有一个为振荡无极限， x 0 为振荡间断点。 称

这是我们学校的课件,拿来与大家分享,欢迎下载。

y

y tan x 2

例如， 2

o

x

x

为其无穷间断点 .

y

y sin

1 x

0

x

x 0

为其振荡间断点 .y

x 1 为可去间断点

.

o

1

x

这是我们学校的课件,拿来与大家分享,欢迎下载。

x , (4) y f ( x ) 1 2 ,x 1

x 1 x 1

y11 2

显然， lim f ( x ) 1 f (1)x 1 为其可去间断点。

oy1

1

x

x 1, (5) y f ( x ) 0 , x 1, f (0 0 ) 1 ,

x 0 x 0 x 0

f (0 0 ) 1

o 1

x

x 0 为其跳跃间断点。

这是我们学校的课件,拿来与大家分享,欢迎下载。

练习： (1) 判断函数的间断点 1 x2 , f (x) 2 x 4, x2 2 x 1且 x 0

(P86 例8)x 1且 x 2

(2)

当 a取 何 值 时 , cos x , 函 数 f (x) a x, x 0, x 0, 在 x 0处 连 续 .

这是我们学校的课件,拿来与大家分享,欢迎下载。

四、连续函数的运算法 则 定理2.13 若 函 数 f ( x ),f ( x ) g ( x ),

g ( x )在 点 x0处 连 续 , 则f (x) g (x) ( g ( x0 ) 0)

f ( x ) g ( x ),

在 点 x0处 也 连 续 .

注意：可推广到有限次四则运算的情况。 推论：多项式函数( , )

f ( x ) a 0 x a1 xn

n 1

a n 1 x a n

在

连续。p(x) a 0 x a1 xn n 1 m 1

分式函数

a n 1 x

a n b m 1 x b m

b0 x

m

b1 x

在使得分母不为零的点连续(即在定义区间连续)。

这是我们学校的课件,拿来与大家分享,欢迎下载。

结论 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数仍连续 连续函数的反函数仍连续

一切初等函数 在定义区间内 连续

分段函数的间断点只可能出现在分段点上。 例如，y 1 x2

的连续区间为

(端点为单侧连续)

y ln sin x 的连续区间为

这是我们学校的课件,拿来与大家分享,欢迎下载。

六、利用函数的连续性求极限若 函 数 f ( x ) 在 点 x 0 处 连 续 , 则 lim f ( x ) f ( x 0 ).x x0

例5

求 lim

e

x

2

co s x2

x 0

arcsin (1 x )ex

.

(连续，可直接代入) 在 x=0处连续，则2

解：因函数原式=

f (x)

co s x

arcsin (1 x )

e

0

2

cos 0

a rc s in (1 0 )

1

2

.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/bscj.html