泛函分析课程总结论文

湛江师范学院数科院

09数本7班 黎耀泽 2009294325（38）

泛函分析课程总结论文

第一部分：知识点体系

第七章：度量空间和赋范线性空间

度量空间：把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距离，使之成为距离空间，这将是深入研究极限过程的一个有效步骤。

泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些代数结构的度量空间，例如赋范线性空间，就是一种带有线性结构的度量空间。

一、度量空间的进一步例子 1、度量空间的定义

定义1.1 设X为一个集合，一个映射d：X?X于X，有

1°d(x,y)?0，且d(x,y)?0当且仅当x?y（非负性）； 2°d(x,y)?d(y,x)（对称性）；

3°d(x,y)?d(x,z)?d(z,y) （三角不等式） 则称d为集合X的一个度量，同时称

?R.若对于任何x,y,z属

?X,d?为一个度量空间

（课本第二章第一节中已经讲解了度量空间的定义，第七章第一节接着讲解度量空间，下面介绍六种度量空间。）

2、常见的度量空间 例2.1 离散的度量空间

?1,ifx?yx,y?X，令 d(x,y)??设 x是任意的非空集合，对 x 中的任意两点

?0,ifx?y(X,d)为离散的度量空间。 称

例2.2 序列空间S

令S表示实数列（或复数列）的全体，对S中的任意两点

x?(?1,?2,...,?n,...),y?(?1,?2,...,?n,...), ?1|?i??i|(S,d)为序列空间。 令 称 d(x,y)??ii?121?|?i??i|

例2.3 （3）有界函数空间B(A）

设A是一个给定的集合，令B(A)表示A上有界实值（或复值）函数全体，

d (x,y)?sup|x(t)?y(t)|对B(A)中任意两点x,y ，定义

t?A 1

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例2.4 可测函数空间

设M(X)为X上实值（或复值）的勒贝格可测函数全体，m为勒贝格测度，

m(X)??f(t)及 g(t)若 ，对任意两个可测函数

|f(t)?g(t)|dt|f(t)?g(t)|由于 ，所以这是X上的可积函数。令 d(f,g)??X1?|f(t)?g(t)|?1 1?|f(t)?g(t)|

例2.5 C[a,b]空间

令C[a,b] 表示闭区间[a,b]上实值（或复值）连续函数全体，对 C[a,b]中任意两点x,y，定义d (x,y)?max|x(t)?y(t)|a?t?b

例2.6 l.

?记l??x??xk??2?2?k?1?222xk???，设x??xk??l，y??yk??l，定义

?12?2?d(x,y)???(yk?xk)?，

?k?1??则d是l上的距离（可以证明d??），l按d?x,y?成为度量空间.

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（在第二章第二节的理论基础上，进一步导入度量空间的相关概念。）

二、度量空间中的极限、稠密集、可分空间 1、收敛点列

x?X{xn}是（X，d）中点列，如果存在 limd(xn,x)?0设 ，使

n??{xn}是（X，d）中的收敛点列，x是点列 {xn的极限。}则称点列

收敛点列性质：

（1）在度量空间中，任何一个点列最多只有一个极限，即收敛点列的极限是唯一的。

（2）M是闭集的充要条件是M中任何收敛点列的极限都在M中。 2、收敛点列在具体空间中的意义

1°Rn为n维欧氏空间，xm?(?1x???1,?2,…,?n??R，不难证明 dn?m?,?2?m?,…?n?m?,…),m?1,2,…,为R中的点列，

?m?in?xm,x??0?????im??,?1?i. ?n2°C?a,b?空间中，设?xn?及x分别为C?a,b?中点列及点，则

d?xn,x??0?xn?x一致收敛.

3°序列空间S中，设xm?(?1x???1,?2,…,?n,

?m?,?2?m?,…?n?m?,…),m?1,2,…及

0?xm依分量收敛于x.

?分别为S中点列及点，则d?xm,x??2

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4°可测函数空间?(?).设?fn?及f分别为?(?)中的点列及点，则

d?fn,f??0?fn?f（可测）.

3、稠密集，可分空间

1°设X是度量空间，E和M是X中的两个子集，令 表示M的闭包，如果 E?M，那么称集M在集E中稠密。 4、等价定义：

如果E 中任何一点x 的任何邻域都含有集M中的点，就称M在E中稠密。

x?E，有M中的点列 对任一 xn?x(n??){xn}，使得

2°当E=X时，称集M为X的一个稠密子集。

3°如果X有一个可数的稠密子集时，称X为可分空间。

（根据度量空间和直线上函数连续性的定义，第三节继续导入度量空间中映射连续性的概念。）

三、连续映射

1、度量空间中的连续性

设 X=(X,d)，Y=（Y，d） 是两个度量空间，T是X到Y中的映射, x0?X,??，存在0??0，使对X中一切满足 d(x,x0)?? 如果对于任意给定

?(Tx,Tx)??则称T在 x0连续。 的x，成立 d0

我们也可以用集显来定义映射的连续性

连续性的极限定义

设T是度量空间(X,d)到（Y，d） 中的映射，那么T在 x0?X,xn?x0(n??)连续的充要条件为当 时，必有 Txn?Tx0(n??)2、连续映射

如果映射T在X的每一点都连续，则称T是X上的连续映射。

{x|x?X,Tx?M?Y}称集合 为集合M在映射T下的原像。

定理：

度量空间X到Y的映射T是X上的连续映射的充要条件为Y中任意开集M的

?1原像 T是MX中的开集。

3.判断映射连续性共有如下四种方法：

1°（定义法）设

x0???????,d?,Y?Y,d??是两个度量空间，T

?0是?到Y中映射，

，如果对于任意给定的正数?，存在正数?的x，有 ，则称T在

Tx0，使对?中一切满足

d?x,x0?????Tx,Tx???d0x0连续.

x02°（邻域法）对

的每个?一邻域，必有

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的某个?一邻域V使TV?U，

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其中TV表示V在映射T作用下的像，则称T在x0连续.

3°（极限法）定理

3.1 设T

?Y,d?,d???中的映射，?是度量空间到度量空间

x?xn???0?那么T在x0??连续的充要条件为当n时，必有Tx?nTx?n??0?.

4°（开集法）定理3.2 度量空间?到Y中的映射T是?上连续映射的充

?1要条件为Y中任意开集?的原像T?是?中的开集.（在这个定理中把开集改

为闭集后定理仍然成立）

四、柯西点列和完备度量空间 1、柯西点列

??0，{xn}是X中点列，设 X=(X,d)是度量空间， 如果对任何事先给定的

N?N(?)，使当n，m>N时，必有 d(xn,xm)??则称 {xn}存在正整数 是X中的

柯西点列或基本点列。

总结：在实数空间当中，柯西点列一定是收敛点列；但是在一般的度量空间当中，柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列一定是柯西点列。 2、完备的度量空间

如果度量空间(X,d)中每一个柯西点列都在(X,d)中收敛，则称(X,d)是完备的度量空间。

例：1、C[a,b]是完备度量空间

2、l是完备度量空间 3、R是完备的度量空间

注意：1、Q全体按绝对值距离构成的空间不完备

2、柯西点列不一定收敛，但是度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列 3、实系数多项式全体P[a,b]，P[a,b]作为C[a,b]的子空间不是完备度量空间

3、子空间完备性定理

完备度量空间X的子空间M，是完备空间的充要条件是：M是X中的闭子空间。

五、度量空间的完备化 1、等距同构映射

?的保距映射T ，?),是两个度量空间，如果存在X到 ?设(X,d)， X(X,d?(Tx,Ty)?d(x,y)d

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n2?),?,d(X?X湛江师范学院数科院

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即 ，则称 (X,d) 和 等距同构，此时 T称为X 到 上的等距同构映射。

六、压缩映射原理及其应用

作为完备度量空间概念的应用，我们介绍巴纳赫的压缩映射原理，它在许多关于存在唯一性的定理（例如微分方程，代数方程，积分方程等）的证明中是一个有力的工具。

在介绍压缩映射原理前，我们来介绍压缩映射以及不动点 1、压缩映射

设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果存在一个数a ，0

d(Tx,Ty)??d(x,y则称)所有的x,y属于X，成立 T是压缩映射。

几何意义：压缩映射就是使映射后距离缩短a倍的映射。 2、不动点

***设X为一个集合，T是X到X的一个映射，如果 使得 x?X，Tx?x，则称x*为映射T的不动点。 3、压缩映射定理

设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T有且只有一个不动点。 注意：

a.完备度量空间中的压缩映射必有唯一的不动点。

b.完备性是保证映射的不动点的存在，至于不动点的唯一性，并不依

赖于X的完备性。

xn?x0(n??)压缩映射具有连续性，即对任何收敛点列 必有

Txn?Tx0(n??)

七、线性空间

1、定义：设X是一非空集合，在X中定义了元素的加法运算和实数（或复数）与X中元素的乘法运算，满足下列条件：（一）关于加法：(1)交换律（2）结合律（3）有零元（4）有负元，（二）关于数乘：（1）分配律（2）结合律（3）?x?X，均有1x?x，满足这样性质的集合X称为线性空间。

例：1、R按自身定义的加法和数乘成线性空间

2、C[a,b]按自身定义的加法和数乘成线性空间

pn

3、空间l(p?0)按自身定义的加法和数乘成线性空间

八、 赋范线性空间和巴拿赫空间 1、赋范线性空间

x?X，有一个确定的实设X是实（或复）的线性空间，如果对于每个向量

数，记为 x与之对应，并且满足： 1° 且 等价于x=0 x?0x?0

2° ?x??x其中 a 为任意实（或复）数；

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